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微积分如同电影，把现实想象成一系列快照，然后再把它们按照时间和画面顺序重新组合起来，将这些无法觉察的变化连续起来，带给人一种无缝衔接的错觉。
微积分是以连续性为基础而蓬勃发展起来的学科。其核心假设是：事物都在平缓地发生变化，任何事物都与其此前的一刻有着无限小的差异。
没有微积分，现代生活寸步难行。这种理解变化的方式是强大的，并且超越了任何语言，这可能是迄今为止人类最伟大的想法之一。微积分让我们能够到月球去旅行，以光速来交流，在宽达数百千米的河面上架桥，还能有效阻止疫情的扩散。
但微积分又是简单质朴的，类似于孩童般的纯真。经验告诉我们，变化可以是突然的、不连续的和螺旋式的。但微积分并不考虑这类变化，它坚持世界是没有任何意外的，在这个世界里，事物之间均存在逻辑联系，一件事必然会导致另一件事的发生。只要给出初始条件以及运动定律，就能预测未来，甚至可以重构过去。
我多希望现在就能这样做。但遗憾的是，我与乔夫里先生的书信是断断续续的。有的信被弄丢了或扔掉了，那些保留下来的则是让人难以辨认的片段和情感。有时它们只讲述了部分事实，有些则拨云见日，当然也有一些内容是有意略去的。
那是1974年，在我高二下学期的时候，我选修了约翰逊先生开设的“微积分基础”课程。约翰逊先生毕业于麻省理工学院，年纪在35岁到40岁之间，他个子很高，人也十分严厉，不苟言笑。
我的一些朋友在乔夫里先生的班上学习同样的课程。那时我没有跟乔夫里先生说过话，对他所知甚少。学校里有很多关于他曾获得皮划艇全国冠军之类的传说。他是那种光看外表就会给人留下深刻印象的人——健硕的胸肌、肌肉发达的手臂和腿，头发剪得非常短。
当我们学到一个在微积分中非常基本却难以理解的定义，即有关连续性的严谨定义时，约翰逊先生讲了一些我之前从其他任何一位老师那儿都没听说过的话，他说他要给我们讲一些我们不会理解却必须学习的概念，这让我有不祥的预感。他提到用 ε - δ 语言定义函数的连续性：
若函数 f ( x )在实数集 R 上连续，对于任意 ε >0，总存在 δ >0，即当| x - y |< δ 时，有| f ( x )- f ( y )|< ε 。
他说：“我们在学习过程中会遇到这个定义4～5次，且每一次都会加深对它的理解。虽然万事开头难，但总要有第一次，所以让我们开始学习吧！”
如他所言，我们班的同学在理解用 ε - δ 语言定义函数的连续性的逻辑时遇到了很多困难。后来我们听说乔夫里先生在他们班讲这个问题时所用的方法完全不同。他根本没有尝试去解释 ε 和 δ ，他说，一个连续函数就好像你在纸上画图，你的铅笔始终不离开纸面，那它就是连续的。
这让我学到很多。直观来讲，那确实是“连续性”的意义。它触动了我，以我高中二年级的理解能力，这种直观的讲解方式的确比较简明易懂，但同时也回避了难点。我也因此开始对乔夫里先生的能力产生了怀疑，也许他并不像其外表那样强悍。我庆幸自己选修的是约翰逊先生的课。
第二年，乔夫里先生成了我的老师。现在我可以近距离地打量这个男人了。他整洁的外表再次给我留下了深刻印象。他的手是我握过的最大的手，完全把我的手包住了。每当他在黑板上写字时，每一笔都会让粉笔化成粉末，结果粉尘和粉末漫天飞舞。上完课，他的身上就落满了粉笔灰。
他非常热爱户外活动（这些活动对我毫无吸引力，我喜欢打网球和篮球，但我不喜欢树林，因为虫子太多了，我也不喜欢划独木舟以及背包旅行之类的活动）。在一本年报里，有一张照片捕捉到乔夫里先生在他喜欢的“栖息地”的画面：他在一棵高高的树上，检查他亲手造的一个鸟窝。他也是一个叫“达尔文俱乐部”的社团的指导老师。虽然我不知道他们具体是做什么的，但肯定与户外活动有关。
乔夫里先生在检查他亲手造的鸟窝
好了，说说乔夫里先生的课堂吧！他的课堂很有意思。他总是那么开心，对人也很友善，并且充满热情，虽然是对一些奇怪的事情。有一次，他一进校门就将一只山羊用一条很长的绳子绑在了树上。山羊固执地不停拉绳子，试图逃脱，结果却是被绳子一圈又一圈地缠得更紧了。接着他让我们为山羊的缠绕路径列一个方程。
我毫无头绪。他与那位有着麻省理工学院强大背景的、温和而严肃的约翰逊先生完全不同。我真看不透这个正在给我上课的人，但他还是很平易近人的，所以以上种种也就算不上很大的问题了。
数学本身非常有趣也很容易。我可以从书本中学习几乎所有知识。乔夫里先生的课程并没有讲很多额外的内容，除了那些奇怪的自然问题。
有时他在讲解一道题时会突然中断，然后向我们讲起他以前教过的最优秀的学生，随后便陷入遐想，这时的他会注视远方且面带微笑。片刻平静之后，他对我们说，杰米·威廉姆斯（他以前的一个学生）已经得出了斐波那契数列第 n 项的公式。这项成就确实值得铭记。
斐波那契数列就是0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，这个数列以数字0和1开始，之后每一个数字都是它前面两个数字的和。
这个问题是这样的，如果 F 0 =0且 F 1 =1，求第 n 项 F n 的公式。如果你对 F 100 或 F 1000 感兴趣，你就需要这样一个公式了，而不会想把那些中间项一直相加到第100项或第1000项再得到一个答案。有没有一个简洁的公式能用 n 直接表达 F n 呢？答案令人赞叹：
杰米·威廉姆斯是怎么得到这个公式的呢？
随着时间的流逝，我发现我就像那只被绳子绑在树上的山羊，而乔夫里先生就是那棵树。我不断拽紧绳子想远离他，但最终我和他的距离却越来越近，这些年来一直如此。
怎么会这样呢？这一切并不是因为他教给我很多，甚至他的方式是简单的、不合乎常规的，这让我十分困惑。我觉得我比他强，虽然我羞于承认，但事实就是这样。
看看他都做了什么。
他非常从容地提出一个问题，一点儿也不急，然后他就站到一边。通常我会和本比赛看谁能先解决这个问题。如果我们都解出了这个题目，我们就看谁的方法更好。
本非常出色，他比我小一岁，个子矮小但头脑敏锐，兴趣广泛（和他在一起，我总觉得自己是个土包子）。他是那种天才型选手，他思考问题根本不用写，他就像是一个哲学家，灵感来了，他写下几行方程，略算几步，问题一下子就解决了！
而我属于勤奋型，没有本聪明（回想起来，我认为本比我更有数学天分）。我的风格是简单直接的，我愿意寻找破解问题的方法，即使那个方法很笨拙或者很费力，要花几个小时做演算，我也并不介意。因为经过不懈努力，我最终一定会得到正确的答案。
事实上，我就喜爱数学的这一点，它很公正。如果你起步正确，努力做下去，并且每一步都正确，尽管过程可能令人煎熬，但从逻辑上说，你最终一定会胜利。答案就是你的回报。
当我拨开演算的迷雾时，我获得了极大的成就感，同时还有另一个奖励。乔夫里先生是一个不可思议的啦啦队员，他时不时地把我和本做比较，把我们比作乌龟和兔子，目光中流露出一种近乎敬畏的欣赏和喜悦。
在我高三结束时，学校举行了年度颁奖礼。当颁发伦斯勒数学和科学奖的时候，他们念到了我的名字。如果我没记错的话，当时是乔夫里先生为我做的致辞。他把我比喻成一个攀登者，勇攀数学高峰，最终将带着传奇归来。
他的致辞让我听起来非常伟大，像个英雄。
有些数学问题是无解的，
不可能获得明确的答案，
正如我们的人生一样。
修完学校提供的数学课程之后，在高中的最后一年，我与乔夫里先生分开了，并且开始自学。我每天花一小时独自坐在空荡的教室里，阅读关于多元微积分的书，或者探索惠更斯摆钟之谜。其他时间我用来做研究，通常都是关于追逐问题的。我完全被这类数学家称为“追及”（pursuit）的问题迷住了。
我第一次知道追及问题是在乔夫里先生的课堂上。问题是这样的：
假设一个邮递员正在尝试摆脱一条追着他跑的狗。邮递员从原点 O 出发，然后以匀速 v 沿着直线跑。与此同时，那条狗从直线外的某一点出发，以匀速 w 跑向直线，到达直线后突然改变方向，使它总能直奔邮递员当前所在的位置，请列出这条狗的追逐曲线方程（见图2-1）。
图2-1
还有一道追及问题更具有乔夫里的特色：
一个皮划艇运动员正在奋力划向对岸的某处。划皮划艇的人是那种目标坚定但头脑简单的人，总是直奔目的地，即使河流正把他冲向下游也是如此。假设河水水流速度是常数 v ，皮划艇运动员以相对于水流的常速 w 划行，请给出皮划艇的运动路径（见图2-2）。
图2-2
这两个追及问题，一个是关于小狗和邮递员的，另一个是关于一心想划到对岸的皮划艇运动员的，都是微分方程的练习题。这些都是关于微积分的方程，关于通量和变化。微分方程描述的是系统如何根据作用于它的力的不断变化而改变自己。所有这些推力和拉力都让系统处于新的条件或新位置中，而这时力又会再次发生改变。例如，在狗和邮递员的问题中，邮递员一直保持运动状态，所以那条狗就必须时刻修正前进方向。
这正是微积分背后最令人赞叹不已的概念，试想一下，在即时的、每个无穷小的时间单位里正在发生什么。实际上，你正把一种无法言喻的思想变成一个强有力的预测工具。我们可以根据狗的行进路径在每个时刻的变化写出一个微分方程，表达“瞄准”的概念。通过解这个方程，我们知道了那条狗必须遵循的整个行进路线。整个轨迹是建立在狗追邮递员的无限小步子的基础上的。
这种把世界上任何事物都看成由无限小的变化累加而成的观点，是微积分最具革命性的见解。想出如何把这种思想变成可运算的数学方法是一个突破，这直接导致了17世纪微积分的创立。当时牛顿想通过计算推测出行星是如何运动的。他想到行星的运动是受不断变化的万有引力作用的，当它们绕太阳旋转时，它们与太阳的距离也在变化，这就改变了它们受到的引力。当行星在下一时刻移到一个新位置时，万有引力又会略有不同。计算出行星的运动轨迹就成了微分方程的一个问题。
通过解决追及问题，你会觉得自己正在与牛顿同行。这种感觉多好啊！
乔夫里先生给我们出的追及问题虽然很有挑战性，但还是可以解答的。这些追及问题的共性强化了我对数学公正性的感觉。我要做的就是把文字表达的问题转化成正确的方程式，耐心且准确地解代数问题，就一定可以得到正确的答案。
最先让我意识到我的浅薄的是我自己编的一道题。它很像那些我解过的追及问题，但由于某种原因，这道题变得特别难解，我花了好几个月的时间来解这道题。它既令我沮丧又让我极度渴望。我认为只要我付出足够的努力，肯定能攻克它，数个月的挫折会让征服的感觉变得更加美妙。
问题是这样的：
假设一条狗在一个圆形的池塘中间看见一只鸭子在围绕圆周游泳。狗为了追赶鸭子总是直接向它游去。换句话说，狗的速度向量总是与它和鸭子之间的连线有关。与此同时，鸭子以尽可能快的速度、按逆时针方向沿着池塘边游动以摆脱狗的追赶。假设这两种动物以相同的速度匀速游动，请列出狗游动路线的方程（见图2-3）。
图2-3
狗渐渐接近鸭子所在的圆周的路径显然是螺旋式的。什么方程能表达螺旋线呢？
和绑在树上的山羊不同，山羊身上的线是越缠越紧的螺旋线，而这是一条扩展式螺旋线，从中心开始越来越大，但不会超过圆周的边界。
多么迷人的路径！
我算不出来。我试过了所有我能想出来的变量的变化，我还试图把这个问题简化成一个巧妙的微分方程。这个方程看起来应该是有解的，但我就是解不出来。
我当时不了解的是，有些数学问题是无解的，不可能获得明确的答案，正如我们的人生一样。
就像这个例子，没有公式可以表达狗追及的螺旋式路径，用我们常用的初等数学函数无法描述它，这个问题无解。
后来，我意识到这是一个法则，而不是一个例外。在这种情况下，大多数微分方程是无解的，我们的“公式图书馆”不足以解决它们。那些我们在高中学过的、能解的问题只是少数，因此弥足珍贵。