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学完线性代数后，我情绪低落，开始考虑是否应该从数学专业转到物理专业。大二时，我遇到了一位特别棒的老师埃利阿斯·斯腾，他教复分析这门课，于是我就继续以数学为专业了。
那一年，我哥哥艾安跟我长谈了一次。具体内容我已记不太清楚了，但记得那时我们一起开车回家过感恩节，他问我未来有什么打算、要学什么专业，等等，然后就试图说服我读医学院的预科。大家总是告诉我应该成为一名医生，因为“你喜欢数学和科学”“当医生，你可以做很多事，有些和数学有很大关系，比如放射学”。我母亲还会说：“你有一双多么灵巧的手啊！”
但是艾安采用了不同的策略。他是一位律师，有极好的判断力。而且他确信他的建议是适合我的。他说我应该学生物和化学，还有有机化学，因为我会喜欢这些学科的。学习这些课程不是因为它们会令我成为医生，而是因为现在学比以后忙的时候学会轻松得多。即使将来不上医学院，我仍然可以从这些广泛的科学背景中受益。
经过反复思考，我决定尝试一下医学预科课程。
当然这完全是非理性的。我对当医生根本不感兴趣。成为数学教授一直都是我的梦想。
1979年2月，我给乔夫里先生写信时，我心里一直也是这种想法，但我只是简单提了一下。毕竟他既不是我的知己，也不是我的导师。他是一个享受我的数学之旅的人，而且我想我们之间只是分享数学问题。
的好奇心
这封信是关于
的无理性的。数学家关心这个数，是因为它对于几何来说是一个基本原理，它告诉我们，正方形的对角线相对于其边长的长度。例如，一个1单位长度乘1单位长度的正方形，其对角线的单位长度就是
（见图4-1）。
图4-1
这个答案可以从勾股定理直接推导出来。根据勾股定理，一个直角三角形，两条直角边长分别为
a
和
b
，斜边长为
c
，则
a
2
+
b
2
=
c
2
。把正方形的对角线看成是直角边分别为
a
=1和
b
=1的直角三角形的斜边，则得到
c
2
=1
2
+1
2
=2，因此对角线的长度就是
。
古希腊人、古巴比伦人、古印度人，还有中国人，很早就知道正方形对角线的长度比其边长要长40%左右，但是这个基本而神奇的
到底是什么呢？
毕达哥拉斯学派最初猜测
一定是两个整数的比，他们非常想知道这两个数到底是什么。对这些数学家来说，这绝不是微不足道的好奇心，其实它是所有以“万物皆数”这种神秘思想为基础的研究的一部分。这种思想认为宇宙的法则都可以用数学表达，更具体地说，是根据小的整数来表达。毕达哥拉斯本人就发现音乐的和声是基于数字的：以同样的力度弹两根琴弦，但弹其中一根琴弦的时间是另一根的两倍长，则长的琴弦的音调正好比短的琴弦的音调低八度。事实上，任何长度琴弦之间的比都包含小的数字，如2∶3、4∶3、5∶2，这使它们产生了美妙的和声。
基于这些，很自然就会期望
一定也是某些整数的比。它约等于
，但又不完全相等，因为5
2
+5
2
=25+25=50，而7
2
=49，接近但还不够。也许两个大点儿的数可以解决问题？
这就是问题所在。我们能找到两个整数
m
和
n
，并让
，或者
n
2
+
n
2
=
m
2
吗？
答案是否定的。
是无理数，这意味着它不能写成两个整数的比。其哲学含义是深刻而令人称奇的。如果整数都不足以描述像正方形对角线这样简单的事情，又怎能寄希望于它表述毕达哥拉斯的其他原理呢？
毕达哥拉斯的学生之一希帕索斯发现
的无理性时，毕氏门徒愤怒异常，把他扔进了海里，淹死了他。
关于
是无理数有个标准证明。你可能听人们说过数学的某些方面是优雅的。但在我看来，这个证明一点儿也不优雅。而我在写给乔夫里先生信中的证明方法，倒可算是优雅的一例。
那个标准证明应该是这样的。假设
，
m
和
n
是没有公约数的整数。换句话说，在开始证明前，我们先用公约数去除
m
和
n
，得到一个真分数。这样做的目的是简明，它保证让
m
和
n
尽可能最小，也避免了一个数可以由好几个不同的分数表示所产生的混乱，如1/2=2/4=3/6。而用真分数，我们可以保证分数是用唯一的方式表达的。
下面我们要导出一个矛盾，表明对于任何
m
和
n
，要写成
是不可能的。
证明：若
，则
所以现在我们知道 m 一定是偶数，这意味着我们可以把它写成2乘某数，即 m =2 p ， p 是一个整数。
现在矛盾来了。因为 m =2 p ，且 m 2 =2 n 2 （见上面的推理），可以得出（2 p ） 2 =2 n 2 ，可以推导出4 p 2 =2 n 2 。除以一个公约数2，得到2 p 2 = n 2 。这里就有问题了。因为2 p 2 = n 2 ，我们知道 n 2 也可以写成2乘某数，这就是说 n 2 是偶数，则 n 也是偶数。
因此，我们可以得出
m
和
n
都是偶数的结论。这就与前面
m
和
n
没有公约数矛盾了（前面刚刚证明
m
和
n
都是偶数，因此它们都是可以被2除的）。这就说明我们最初的假设是错误的，因此
一定是无理数，事实也是如此。
这个证明的逻辑是严密的，但还是有些麻烦。除了证明比较曲折之外，这个论断也主题不明。这个证明让
的无理性看起来像是数论而不是几何里的一个事实。我们开头提到的那些形状——正方形、对角线和三角形哪里去啦？
而我写给乔夫里先生的信中的证明则是纯几何的，是我在普林斯顿的老师贝内迪克特·格罗斯证明给我看的。
亲爱的乔夫里先生：
又到了我们年度数学问题的时间了！希望您和家人都幸福快乐。到目前为止，一切都好！我的学习方向现在从数学转向医学了，这些医学预科课程非常有挑战性。但数学仍是我的最爱（我以它为专业），我忍不住要给您看一个几何中的基本事实，即
是无理数的巧妙证明（见图4-2）。
图4-2
假设
，
m
和
n
是整数。把
n
想象成这样一个数：它是我们重复相加某个单位长度的倍数，直到相加的结果等于边长（见图4-3）。
图4-3
我的意思是直角边长是单位长度的 n 倍，而斜边长是单位长度的 m 倍。在 BC 上找到一点 D ，使 DB = AB 。画一条垂线 DE （与 AC 相交于点 E ），然后连接 EB （见图4-4）。
图4-4
因为在Rt△ ABE 和Rt△ DBE 中， BE = BE ， AB = DB ，Rt△ ABE ≌Rt△ DBE ，所以 EA = ED ，那么△ CDE 是一个∠ ECD =45°的等腰直角三角形。因此 CD = ED = EA ，见图4-5中打记号的地方。
图4-5
到目前为止，还看不出什么。
现在要证明了（希望您以前没看过这个证明）。
我们假设 AB 和 BC 都是某个单位长度 ℓ 的倍数。现在考虑等腰直角三角形 CDE 。
先看 CD 。 CD = CB - DB ，由于 DB = AB ，因此 CD 的长度=原来斜边的长度-原来直角边的长度，它们都是单位长度 ℓ 的整数倍。因此，它们的差也是 ℓ 的整数倍（整数的封闭性），则等腰直角三角形 CDE 的边长 CD 是 ℓ 的整数倍。等一下，我们还得证明 CE 的长度同样也是 ℓ 的整数倍。 CE = AC - AE = AC - CD ，它们都是 ℓ 的整数倍（ AC =原来的边长， CD 的长上面已证明是 ℓ 的整数倍）。
所以小等腰直角三角形 CDE 的斜边长和直角边长也都是单位长度 ℓ 的整数倍（很明显△ ABC 与△ DCE 的相似比>2，即2 CE < BC ）。
因此（你知道会得出什么吗？）我们可以画出一系列逐渐缩小的等腰直角三角形。实际上，我们可以画一个非常小的三角形，但它的直角边长和斜边长还是单位长度 ℓ 的整数倍（参见前面的论证）。
但这很疯狂！如果我们选择了一个斜边长度< ℓ 的三角形，会得到什么呢？没有 ℓ 的整数倍（除了0）在长度上是小于 ℓ 的，所以出现矛盾。
因此，没有这样一个 ℓ 存在，所以斜边长和直角边长是不可通约的。这个证明是我的教授在讲费马最终定理的讲座上讲的（顺便讲一下，这个定理目前还未被证明）。
相比传统的证明方法，我更喜欢这个方法。因为它更符合问题的几何性质。有机会的话，请告诉我您对此的看法以及您的近况。
再见。
史蒂夫
1979年2月20日
又附：给读者的练习题：请用这种证法证明黄金分割是无理数（即黄金矩形的边长是不可通约的）。
再会！
在我寄出这封信后不久，转折的时刻就到了。
在被哥哥说服转向医学预科后，我课业繁重，要学习抽象代数学和微分几何、一年级生物、一年级化学以及有机化学，这些课同时上。每周还有3门实验课。对于任何人来说，这都很辛苦，特别是对于不擅长处理现实世界事情的人来说尤其如此。我总是最后一个离开实验室，这让助教很讨厌我。“为什么你要花这么长时间？”她问道，“这些实验就像烧水或煮饭一样啊。”但我以前从未做过这两件事。
另一个吃力的事是准备医学院入学考试（MCAT）。因为要补习的东西很多，所以我注册了一门卡普兰复习课。最近的上课地点在新布伦兹维克，距学校1小时的车程，星期天上午上课。没有一个大学生想在这个时间起床，尤其是准备MCAT。但我还是说服自己完成计划。
当我回家度春假时，我妈妈看着我的脸说：“有点不对劲儿，出什么事了吗？学校的情况怎么样？”
“我喜欢学校，”我说，“还好，我在学习有用的东西。”
“不对，你看起来不快乐。到底是怎么回事？”
我自己也不是很清楚。“可能我太累了，”我说，“我功课太多。”
“不对，应该是别的什么事。明年你有什么打算？那时你就大四了。”
这才是令我烦恼的事。“因为成为医学院的预科生太晚了，我不得不修生物化学、脊椎动物生理学，以及一堆医学院要求的其他课程。此外，我还要完成数学系的学年论文和两门课程。这意味着我的课程表太满了，不能修量子力学了。”
“你为什么这么在意这点？”她问道。
“因为那是我一直都想学的东西！”我脱口而出，“大一时，老师让我们去图书馆选一本书，我每次都选同一本——《原理与方法：原子能的奥妙》。一直如此。玻尔和海森堡、薛定谔和爱因斯坦，这些人都是我心目中的英雄。我生活的全部就是为了达到这种境界，现在我终于要学习海森堡的不确定性原理是讲什么的了，而且能学的不只是理论本身，还有涉及的数学问题。但我再也没机会去学习了，因为我无法将这门课排进课表，太迟了。然后我会进医学院，解剖尸体。”
她看着我的眼睛。
“如果你现在就说‘我喜欢数学和物理，我想学量子力学，我不想当医生，我要去做那些能让我成为最好的数学教授的事’，会怎么样？”
我开始哭起来，如释重负。然后我们俩一起又哭又笑。我没有参加MCAT，我对自己的决定从未后悔。有些人一生从未发现他们真正的热爱。但幸运的是，我通过试错，发现并确定了自己真正热爱的事业。
