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相对论是以共情（empathy）为基础的。这里“共情”并不是通常所指的情感意义上的共情，而是严密的科学意义上的共情。其核心思想是想象当事物出现在一个与你的移动方式不同的人面前时会怎样。
在人们认为地球围绕太阳旋转的言论很荒谬的时代，伽利略让质疑者想象一下自己被幽禁在一艘巨轮甲板下的情景：
你的船舱里没有舷窗，所以没办法看到经过的海岸线。如果海上风平浪静，船以一个稳定的速度直行，你怎么知道自己正在移动呢？你无从知晓。此时你观察到的东西与你静止状态下观察到的完全相同：把红酒倒入酒杯，它会垂直落入酒杯，与在陆地上的情形一样。这是因为你船舱里的每件东西，家具、空气、红酒都随着船在一起移动。
基于同样的原因，伽利略提到，地球也是在移动的，只不过我们无法察觉。
300年后的爱因斯坦想知道，如果他以光速行驶会看到怎样的景观，电磁波会不会违反麦克斯韦方程组而静止不动呢？远处的时钟看上去会不会停止摆动了呢？基于对这些问题的探索，他提出了狭义相对论，该理论对时间与空间、质量和能量等问题的见解是极具颠覆性的。后来，他又提出了一个问题，如果观察者站在垂直下落的电梯里（假设他保持镇静的时间足够用来观察），物理定律会是怎样的呢？
我十几岁的时候非常崇拜爱因斯坦。不仅因为他才华横溢，还因为他亲切善良。尽管听起来有点可笑，但我报考普林斯顿大学主要就是因为他。我想走近他，踏着他的足迹前进。入学后不久，我就拉上几个同学一道去参观他的故居。直到最近，我才开始从不同的角度去审视他。他并不完美，从某种角度讲，他甚至有点可悲。尽管从很多方面来讲，爱因斯坦都是一个有趣的人，但他意识到自己错过了人类最深层次的亲密关系。他曾经写道：“我是一个真正的‘孤独旅行者’，我的心从未全部属于国家、家庭、朋友，甚至也没有属于我的亲人。”爱因斯坦的全部共情都是理论上的，他很奇怪，总是与最亲近的人保持着距离。
我和乔夫里先生开始通信的时间是1977年3月26日，那是我大学一年级的春天。我不记得促使我写信的原因了，毕竟在我高中最后一年，当我独自解决了追及问题后，我们就再也没有联系过了。尽管之前我非常喜欢上他的微积分课，但这并没有让我和他的关系变得特别亲近。他既不是我的导师也不是值得我信任的顾问，另一位老师迪克西奥先生才是。而且除了微积分，我和乔夫里先生没有任何共同爱好。我对自然、团体运动、水上运动等都不感兴趣。不过肯定有某种原因促使我给他写了第一封信，那是什么呢？
当我现在重读这封信时，看到“我爱普林斯顿大学的一切（到目前为止只有我的数学老师除外）”的时候，我能够看出，我想掩盖的东西比想要表达的更多。
我不愿承认的是，大学里的第一门数学课就让我垂头丧气，这也让我改变了对自己的看法。那是一门偏重证明的线性代数课，是为那些想以数学为专业的大一新生开设的。它属于严谨抽象的数学，如果你想成为一名纯粹的数学家，你就得擅长这些东西。线性代数课的教授是一位著名的拓扑学家，他很腼腆，第一次给我们上课时，他是沿着墙边溜进来的，好像希望自己是隐形人一样。整个学期，他上课时都低头看着自己脚上那双鞋子，用手摸着自己的红胡子。有几次，我壮着胆子向他提问，他好像受到了惊吓，结结巴巴地回答我。我看书、做作业、上课认真听讲，可还是不明白他在讲什么。那非常可怕！不管我怎么努力，我就是不明白。教科书很枯燥，上面的字密密麻麻，也没有插图，作业更是让人莫名其妙。只要一想到即将到来的考试，我就想上厕所。
我给乔夫里先生的信中省略了很多细节，甚至在信里的一些闲谈也显得多余，我想这情有可原。在为“跑题”道歉之后，我把话题转到数学，具体地说是追及问题，它就像乔夫里先生一样，是我从前无忧无虑时期的老朋友了。
这封信的主题是：改变你的参照系，你会变得很强大。有时正如相对论所指出的那样，当我们用正确的参照系去看待事物时，一个令人沮丧的问题会变得更加清晰。
在接下来的信中，我们讨论了四条狗的追逐问题。
有四条狗从一个边长为 a 的正方形的四个顶点出发，每条狗都按逆时针方向追逐它前面的那条狗。如果它们以相同的速度同时起跑，当它们在正方形的中心相遇时，每条狗跑了多远（见图3-1）？
图3-1
这个问题看上去很难。所有狗都在追赶它前面的狗，其追逐路径都是螺旋式的。因此，这个问题其实就是设法找到螺旋式路径的弧长。
解决这个问题的传统方法是用微积分。想一想，在任何给定的时刻，这些狗会在哪里。由问题的对称性可知，它们总是在原正方形内的一个小正方形的顶点处，这个小正方形的中心与原正方形的中心重合。小正方形随着狗的互相追逐而不断旋转并缩小。
现在我们来看在缩小的正方形顶点处的一条狗的情况。设它到中心的距离为 r ，然后用极坐标来考虑这个问题。
在下一个瞬间d t 里，这条狗向目标方向（它正在追逐的狗）移动的距离为d s 。那个小小的弧长d s ，可以看成是直角边长为 r d θ 和-d r 的一个无穷小的直角三角形的斜边长（这里，我们假定 r d θ 是一条线段，而不是一段圆弧）。注意，因为d r 是负的，所以必须写成-d r 。如图3-2所示，在下一个瞬间，狗移动的距离减少了它与中心的距离 r 。
图3-2
看一下那个无穷小的直角三角形，我们可以看出，它实际是一个底角为
的等腰直角三角形。所以我们得到
。
由于
，所以狗追赶的路径方程
r
=
r
(
θ
)满足以下条件：
。
这个微分方程很容易解，只要把
r
从
θ
中分离出来，再两边积分：
，就可推出，1n
r
=-
θ
+
C
，或者等价于
r
=
K
e
-
θ
，这里
K
=e
C
。
这是对数螺旋曲线的方程，对数螺旋曲线是由伯努利兄弟最先研究的著名而美妙的图形。伯努利兄弟是继牛顿之后那批最伟大的数学家中的两位。
要估计常数
K
，注意条件是
θ
=0、
（如果在我们解决这个问题时，狗处在图3-3中的正方形中）。
图3-3
这样
，又由于
r
=
K
e
-
θ
，我们可得出
。因此，
是其中一条狗追踪的曲线。
要完全解决这个问题，我们需要知道当这条狗在中心和其他狗相遇时，它已经跑了多远。这时 r =0，意味着 θ →∞（当螺旋线无限增加时的情况）。
从
θ
=0到
θ
=∞这段弧的长度可以按下列方法计算：根据等腰直角三角形我们得知
。这是根据毕达哥拉斯定理推导出来的，这里我们把d
s
看作斜边，
r
d
θ
看作底。现在用
替换
r
d
θ
中的
r
，得到d
s
=
a
e
-
θ
d
θ
。因
此。
这是个可疑的简单答案：当这条狗与其他三条狗在正方形的中心相遇时，每条狗总共跑的距离是 a ，与正方形的边长相等。
下面这封信是关于不用微积分该如何解决这个追及问题的。
亲爱的乔夫里先生：
我这次要告诉您一个真正有价值的方法！还记得下面这个问题吗（当然是个追及问题）？有四条狗相互追赶，每条狗都从正方形的一个顶点出发，按逆时针方向追逐它前面的那条狗。当它们在正方形的中心相遇时，每条狗跑了多远？
您也许记得那个令人印象深刻的答案，它们跑的距离等于边长 a （见图3-4）！现在我把这道题推广至有 n 条狗从一个正 n 边形各顶点出发的情况。其答案也是很简洁的：
图3-4
这里 a 是边长。这些并不新鲜。但您记得吧，我曾经提到用直觉方法解决的可能性（它的可能性似乎微乎其微）。如果您在想我是不是要给您介绍一种直觉的解答方法，那么您猜对了。但首先……
我希望您一切都好，在卢米斯又顺利度过了一年。对我来说，快乐依旧，我爱普林斯顿大学的一切（到目前为止只有我的数学老师除外。这里三分之二的老师其实是数学家，而不只是老师。他们想在第二学期用严格的高级微积分课把我“淹死”，但幸运的是，我游出来了，游上了熟悉的数学六级课程的海岸。第一学期的线性代数也太抽象了，但我强制自己给这门课一个机会。我感觉就是这种抽象扼杀了杰米·威廉姆斯对数学的兴趣，我是不会让这种事情在我身上重演的。现在一切还好）。
我经常打网球，甚至还开始有了一些小小的社交活动。
好了，进入正题。
首先，让我们从四条狗开始。根据对称性，所有狗的相互位置始终都处在同一个正方形里，这一点，您同意吧？即在任何时刻，狗的速度的方向之间都呈直角。现在考虑把任意两条狗的位置连接起来的部分（见图3-5）。
图3-5
（棘手的部分要来了。）
在这个瞬间，沿着连接它们的线段，追赶者在这条线上拥有全部速度，而被追赶者的速度为0。所以如果我们只考虑在所有瞬间这些连接的部分，那被追赶者就好像从未“跑开”一样，从这个意义上讲，它的速度相对于线段是正常的。被追赶者还是站在它的角落里不动——它的侧向运动要这么做该有多好。追赶者是坚决的，出发点是固定的。您看出追赶者跑的距离是 a 了吗？
如果您没有看出来，再换一种方式来看这个问题。在追赶者的头上放一部摄影机。它总是以让被追赶者在画面中心的方式旋转，实际上，这是错的，它根本不必旋转，是不是？
不管怎样，把摄影机放在它头上并打开，追击开始。追击结束后把胶卷取出，在一个屏幕上看结果。您将看到什么？
被追赶者出现在画面的中心，看不出来它在跑。您正在接近真相。您能把这个片段和下个片段（假设没有背景）区分开吗？被追赶者仍待在它的角落，追赶者跑了距离 a 并追上了被追赶者？您不能区分，所以两种情况答案都是 a （当然摄影机的说法只是一个比喻，用来抵消追赶者的正常速度）。
我把
n
边形的问题留给您做练习。我建议您还是用摄影机的方法。您应该能得出
（抱歉，乔夫里先生，我忍不住给您留了作业）。
友谊长存。
史蒂夫
1977年3月26日
附：上述方法是《科学美国人》栏目中的马丁·加德纳提出的。
又附：把这个题目给埃德·爱克，但别给他答案，看看他会怎么解答。