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问题
如下所示，按照规则分别排列写有从1开始的连续整数的卡片。
①从1开始每隔一个数字进行排列。
②将剩余卡片排列在①中已排列好的卡片后。
例如，从1到8的8张卡片，进行3次①②的操作后，恢复至最初状态。此时，请回答下列问题。
①从1到7的7张卡片，需要进行多少次操作可以恢复至最初状态？
②从1到5的5张卡片，进行4次操作后可以恢复至最初状态。那么有多少种卡片进行4次操作后能够恢复至最初状态？请写出完成4次操作后所有情况下最后一张卡片的数字。
（1）的解题思路探讨
如果是从1到7的7张卡片的话，实际操作一下也不会很麻烦。从这一点来看，可以说（1）是 敦促我们进行思考试验的题目 。
但是，将得到的结果与问题当中从1到8的卡片排列相比较后可以发现，卡片数量为偶数时，最后一张卡片的位置不会改变。
（1）的解答
实际操作一次。
综上所述，答案为3次。
答案：
3次
（2）的解题思路探讨
大家是否注意到，在上面“答案”的排列末尾加上“8”之后，与问题当中“1到8”的排列是相同的。 卡片张数为偶数时最后卡片的位置不变 。
问题当中提到，“从1到5的5张卡片，进行4次操作后可以恢复至最初状态”。所以从1到6的6张卡片，进行4次操作后也可以恢复至最初状态（在1到5的卡片排列好后加上卡片6，即为1到6的卡片排列）。但是本题的难点在于必须考虑“所有”符合条件的情况。
首先尝试通过以各种张数进行思考试验来找到头绪是非常正确的想法，但是实际尝试后你会感觉这道题非常麻烦。而且即使耐心地尝试了各种张数，发现了几种可以通过4次操作返回最初状态的情况，也无法轻易下结论——包含“所有”情况。于是，笔者希望尝试一下思路转换—— 逆向探索 。
既然同时追寻所有数字非常困难，那么先关注卡片“2”（也可以是其他数字），思考将卡片“2”操作4次后恢复到最初状态的条件。这样一来，可能有人会觉得：只考虑“2”，即使“2”恢复了最初的状态，其他卡片也不一定会恢复最初的状态，所以只考虑卡片“2”的移动会不会没有意义？但是，“2”恢复到最初状态 至少是 所有数字恢复最到初状态的 必要条件 ，所以首先思考如何满足此条件是合理的。
（2）的解答
卡片张数为偶数时，最后一张卡片的位置不会改变。
题目当中提到，“从1到5的5张卡片，进行4次操作后可以恢复至最初状态”，所以可以明确，如果是“1到6”的卡片，也可通过4次操作恢复至最初状态。
“1到3”的卡片情况如下图所示，进行2次操作后即可恢复至最初状态，即“1到4”也可以通过2次操作恢复至最初状态。
“1到7”和“1到8”的卡片如（1）所示，经过3次操作恢复至最初状态。所以下面思考排列9张以上卡片时的情况。
如果将9张以上卡片的情况全部写下来的话，估计手都要写断了。此时要思考经过4次操作即可恢复至最初状态的话，第3次的状态如何，然后再思考为了实现第3次的话第2次应该如何，这样从第4次的状态开始依次逆向思考：第4次→第3次→第2次……而不是思考第1次→第2次→……此外，最开始只关注了卡片“2”，思考卡片“2”操作4次后恢复至最初状态的条件。让我们确认一下之后满足条件时其他数字的卡片会如何变化。
另外，下图中“奇 1 ”“奇 2 ”“奇 3 ”……是指左数第1张奇数卡片、第2张奇数卡片、第3张奇数卡片……此次考虑的卡片张数是9张以上，所以请注意奇数卡片有5张以上。
从上图可以看出，要使第4次操作后“2”回到原来位置，即左数第2个位置，需要使“2”在第3次操作结束后位于“奇 2 ”。同样，要使第3次操作结束后“2”在“奇 2 ”的位置，需要使“2”在第2次操作结束后位于“奇 3 ”。
要使第2次操作结束后“2”在“奇 3 ”的位置，需要使“2”在第1次操作结束后位于“奇 5 ”（卡数在9张以上时，一定会有“奇 5 ”，因此可以这样思考）。
最初摆放的“2”位于左数第2个（第一个偶数）位置，所以第1次操作结束后，“2”的左侧应该是所有奇数按照从小到大的顺序排列的。“奇 5 ”是从左数第9张卡，所以可以知道奇数卡共有8张。
即奇数必须 是“1、3、5、7、9、11、13、15”共8个 。
但是，之前只确认了“2”，所以要确认当有8个奇数时，即“1到15”和“1到16”时所有数字恢复至最初状态的情况（如一开始了解到的，卡数为偶数张时，最后一张卡片的位置不变，因此实际上只需要确认“1到15”即可，“1到15”没有问题的话，“1到16”也没有问题）。
从“1到15”排列的话，4次操作后可以将所有数字恢复至最初状态。因此，从“1到16”排列时也可以经过4次操作将所有数字恢复至最初状态。
最终，4次操作后可以将所有数字恢复至最初状态的情况共有“1到5”“1到6”“1到15”“1到16”共4种情况。
由此可知，答案为 5、6、15、16 。
答案：
5、6、15、16
不仅是这道题，只要你觉得某道题很麻烦，都可以尝试大胆地转换思路，这是非常有效的。不擅于转换思路的人请试着养成“反过来想想会怎样”的习惯。
具备转换思路所需各种视角的第一步就是具备“ 逆向思维 ”。
另外，无法直接说出答案时， 先去思考必要条件 的思路将成为解决问题强有力的武器。
例如，试想一下，我们现在要寻找新住处：要满足“距离车站近、二楼以上、自动锁”等三个条件的房子。此时，“距离车站近”是必要条件，因此首先筛选出满足“距离车站近”的房子，再从其中选择满足其他条件的房子，这是非常自然且有效的思路。
假设我们要去超市购买炸鸡所用的鸡肉时，没有人会在蔬菜区浪费时间仔细寻找，无论是谁都会直接到肉类区。这是因为要购买的是肉类。然后再到肉类区的鸡肉柜台前，仔细选购适合制作炸鸡的鸡肉。
算术和数学也是如此。 寻找答案时，先根据必要条件缩小寻找的范围，之后在该范围内逐一斟酌，寻找满足条件的答案， 这才是合理的过程。
下面这道高中入学考试题目也可以用这一战略去攻破。
问
有一个3位数，十位是5，只知道个位和百位是12的倍数。交换个位和百位的数字后，这个数成为15的倍数。请求出原来的3位数。（巣鸭高等学校）
将原来的数字的百位设为x，个位设为y。而十位为5，所以可得出
交换该数字的个位和百位后，为
题目中写到交换个位和百位后的数字“100y+50+x”是15的倍数。 由于该数字是15的倍数 ，因此需要至少是5的倍数，所以x是0或者5。
但是，x是原来数字的百位，所以不可能是“0”。因此
x=5
将x=5代入原来的数字“100x+50+y”当中，得到
原来的数字：100x+50+y=100×5+50+y=550+y……①
接下来寻找为12的倍数的y值。 由于是12的倍数 ，因此需要至少是2的倍数，所以“0、2、4、6、8”是y的候补。因为y是交换后数字的百位，所以不是0。
即y的候补为“2、4、6、8”中的某一个数字。根据①，得出
原来的数字：550+y=552或554或556或558
原来的数字的候补缩小为“552、554、556、558”中的某一个数字。 之后思考这些数字是否为12的倍数 。
552=12×46
554=12×46+2
556=12×46+4
558=12×46+6
因此，为12倍数的只有“552”。
最后思考 552的个位和百位交换后是否为15的倍数 （如果不是15的倍数的话，则本题“无解”）。交换后的数字为“255”。
255=15×17
因此满足条件。
综上所述，原来的3位数是552。
通常，“ P⇒Q ”（⇒表示“如果……那么”，是一个逻辑符号）的命题（能够客观判断真伪的情况）为真时，将P称为Q的 充分条件 ，将Q称为P的 必要条件 。
例如：“人类⇒哺乳类”是真命题，所以：
哺乳类是人类的必要（的）条件
人类是哺乳类的充分（的）条件
充分条件、必要条件这些都是高中数学的内容，而本题实际在让学生尝试理解 “通过必要条件缩小范围→思考满足条件” 这一步，这是探索答案的合理步骤。
即使是对成人来说，解答本题也并非易事。但如果是培养了良好逻辑思维能力的小学生的话，也不是没有解开的可能。从直接挖掘逻辑思维能力本身，而不是凭感觉或知识这一点来说，这是一道好题。