第4题
综合知识、推论、印象解答的题目

问题

a、b为整数，a大于b。此时，针对分数 ，将 定义如下：

①计算b÷a，小数点后无法除尽时，某一数字排列会循环出现，如下例1、例2所示，&nbsp；将开始循环的第1位以后部分去掉，定义为 。

②除法b÷a在小数点后若干位除尽时，如例3，则将其直接定义为 。

（1）请计算 及 。答案用分数表示，可以约分时必须约分。

（2）在□中填入相同整数，计算 和 。填入30以下的整数计算后，两者计算结果不等的整数仅有3个。请找出这3个整数。此外，请计算各自情况下的 ，用小数表示。

前提知识、公式

◎有关循环小数（在某一位之后，相同数字无限重复）

表示为

◎某个数字进行质因数分解（分解为质数的积）出现的质数和这些质数的乘积为该数字的约数。

例：12=2×2×3⇒2、3、2×2、2×3、2×2×3是12的约数。

（1）的解题思路探讨

因为题中定义了特殊记号，所以在开始前先来 明确一下它的定义 。可能有人会吃一惊，但是题目中也详细地列出了例子，所以不会理解不了 符号的含义。

的值按照定义可以比较轻松地计算出来。但是由于与（2）有联系，所以还是希望将 的计算一般化（公式化）。

（1）的解答

所以按照定义，

因此

上述计算虽然可得到结果。但是，通分计算的话很麻烦。是否有 更简单的计算方法 呢？

于是我们尝试用小数直接计算 。

这里“0.000459459……”是“0.459459459……”的千分之一，即

如果发现这一点的话问题就可以迎刃而解了，计算起来非常简单

分子17是质数，无法继续约分，因此答案是 。

答案：

（2）的解题思路探讨

利用（1）中 …… 小数点后3位循环 以及

的话，

即为 的小数点后6位循环。

填入□的数字为1～30，逐一地计算起来还是很麻烦。这里要用到循环小数的知识（第024页）。

（2）的解答

根据 、 、 ，能够推出小数点后每隔6位会出现1的0.000001000001……可表示为

假设某数字的小数点后循环出现“123456”，则该数字可表示为

所以若 的小数点后循环6位数的话，那么应该可表示为

其表示约分 时为 。

即 □为999 999的约数 。

为掌握999 999的约数，先将999 999进行质因数分解吧。

999 999的质因数分解中出现的质数和它们的乘积为999 999的约数（第024页）。

999 999=3×3×3×7×11×13×37

999 999除1以外的约数为右侧所示质数的积，其中包括（9999=3×3×11×101、99 999=3×3×41×271的质因数中包含非999 999的质因数101、41和271，所以不包含在内）：

3×3=9、3×3×11=99、3×3×3×37=999

□为这些数的约数时， 循环第1位～第3位，请注意。（假设□为99的约数11时， ）

用公式表示的话就是：

□并非9、99或999的约数，从下图可以看出，□的质因数包括7和13。

最终，□ 为999 999的约数且质因数中包含7和13 ，在30以内。即

□=7 13 21

综上所述，可得出：

答案：

7、13、21

约数为7时⇒=0.428571

约数为13时⇒=0.230769

约数为21时⇒=0.142857

永野之见

不愧是开成高中（ 开成高中位于东京的西日暮里，是日本国内门槛最高的高中。每年有很多开成毕业生考入东京大学、京都大学等著名院校，开成高中因此闻名——编者注 ）啊。（2）是特别难的一道题。

首先通过（1）的解答，

成立的话，那么必须推出 是小数点后6位循环的数。如果解答（1）的时候已经竭尽全力，解答（2）的时候会毫无头绪。

当然，还是需要你具备一定的计算能力。也有很多题目需要具备能够完成复杂计算的较高的计算能力。但与此同时，即使是对自己的计算能力有自信，经常思考如何让计算更轻松也很重要。

例如，这道概率题（该题是高中定期测试水平的题目）。

问

箱子中有13个白球，7个黑球。A、B、C 3人按照下列顺序分别取出1个球，并且不再将取出的球放回。求C取出黑球的概率。

C取出黑球的情况共有以下4种。

（i）A白→B白→C黑

（ii）A白→B黑→C黑

（iii）A黑→B白→C黑

（iv）A黑→B黑→C黑

答案为这四个分数之和。如果不多思考的话就会分别对4个分数进行乘法计算：

这样求出结果。但是，喜欢动脑筋的人会考虑保留分子的乘法（也许可以约分）：

如此一来就可以避免大部分烦琐的计算（分母也按照计划完成了约分）。所以，在掌握计算能力的同时不要忘记多动脑筋，换言之就是不断问自己 ：“这样做是可以的，但是有没有更加有效的方法？” 笔者认为这是解决所有问题（不仅仅是计算）时都需要具备的能力。

现在回到本题当中。

解答（2）时，即便在（1）中优化了计算方法，发现 是小数点后6位循环的数（循环小数），但距离目标仍然很远……

但是，聪明的学生都会具备一定的知识储备，可以将循环小数用 、 和 等形式用分数表示出来：

根据这些 已知事实 ，不难 类推 出循环6位的循环小数 为

如上所示写出后，想到□为999 999的约数也就不是难事了。

此外，考虑999 999约数的话，想到对

999 999=3×3×3×7×11×13×37

进行质因数分解也是顺理成章的（对于参加开成中学考试的学生来说）。本题最大的难点在于之后。

□为30以下的数且为999 999的约数，同时必须是9、99和999的约数（如答案所示，是循环1～3位的数）。注意到这一点后，还需要在头脑中想到□应该是7和13的质因数（同时想到各自 约数集合的包含关系 ）。这对于中学入学考试来说是相当有难度的问题。

考入开成中学的学生数学平均分大约是60～70分，所以即使是在这些录取的学生当中，正确回答出本题（2）的孩子也不多。

总结起来，正确解答出本题所需的能力包括：

·具备计算能力的同时兼顾优化计算。

·有关循环小数和质因数分解的知识。

·根据已知事实进行类推的能力。

·想象集合包含关系的能力。

·将每个单独的知识、推论和想象综合起来的能力

这些并不能简单地归纳为“感觉”。掌握这些能力需要日积月累，不懈努力。

这道题可以说是小升初考试的决胜关键。看到这样的题目，我发自内心地想为那些从三年级开始就走进补习班、整整三年压抑自己玩耍的欲望而埋头苦读的小学生竖起大拇指。 eFaBSdhf7rwC6igX+ehL53KSP+fFhkjSLu9Ki9mVPXBRG0d2pwRdKAfaIH+b2aMn