前言

衷心感谢您购买本书。

笔者担任日本一家数学培训机构的校长，平时也进行一些数学类书籍的写作，以传授学习数学的意义和价值作为毕生的事业。一直以来，笔者都以数学教师的身份对学生进行指导，笔者的学生从小学生到成年人，甚至老年人，受众群体十分广泛。笔者已有超过20年的教龄，至今已经完成了18本书的写作（包括本书）。

本书的写作宗旨是让您掌握数学思维。笔者从初中入学考试、高中入学考试、大学入学考试等数量众多的题目当中，收集了被大家交口称赞的好题作为题材。此外，在最后一章中选取了社会上有名的难题。这些题目可不是只要背诵公式和解题方法就能够轻松解答的。

通过阅读本书可以掌握何种数学思维能力呢？说得极端一些，是掌握解决未知问题的能力。笔者经常会听到这样的声音（特别是学生时代不擅长数学的人）：“学习数学完全没有用处，步入社会之后一次都没有用到过。让理科生去学习就好了。”确实，我们进入社会之后几乎没有解过二次方程式，一般情况下也不会需要证明两个图形相似。但是，在所有国家，无论文科还是理科，数学都是必修科目，这又是什么原因呢？

一方面，学习数学的真正目的并不是背诵解二次方程的公式和三角形的相似条件，而是通过这些知识培养解决问题的能力。例如，通过解二次方程学习演绎性处理问题的乐趣，从证明相似可以学到确定目标说明正确性的方法。

当今，机器学习和AI（人工智能）技术在飞速发展。它们通过对现有问题的处理方法进行学习，将其模式化后解决问题。

另一方面，现代社会的发展速度惊人。有些内容昨天还是真理，今天却变成了谬误，这种情况比比皆是。使用别人已经准备好的“答案”的时代已经结束。笔者认为现在已经到了需要数学思维能力的时代，我们必须通过自己的头脑思考如何解决不断出现的新的未知问题。

在笔者看来，“数学思维能力”是由以下7种能力综合而来的：

① 整理信息的能力。

② 以不同观点观察的能力。

③ 具体化的能力（想象的能力）。

④ 抽象化的能力（模式化的能力）。

⑤ 分解的能力。

⑥ 变换的能力。

⑦ 综合说明的能力。

想要解决问题，首先需要整理信息。在此基础上，以各种不同的观点来观察问题。如果情况并不明朗，则通过思考试验等进行具体化，丰富想象。相反，有时也需要抽象化，从具体的情况当中剥离多余的信息，进行模式化处理。能够在具体和抽象之间行走自如，随时进行演绎性处理也是十分重要的。另外，越是困难的问题，越要分解问题。多数情况下，将其变换为更加易于思考的问题的做法非常有效。

综上所述，大多数问题都可以找到解题的头绪。但仅此并不能让人放心。数学即为逻辑，而逻辑并不是所有人都能够理解的，因此最后还需要具备归纳总结自己的思考过程、有序地进行说明的能力。

本书严格挑选了最适合锻炼这样的数学思维能力的好题。笔者在选择题目时考虑到了以下要点：

·不是仅将数字代入公式即可解决的题目。

·题目的意义通俗易懂。

·具有独创性。

·不需要过多的知识。

·计算不过于复杂。

·解开后会让人充满喜悦。

·能够较为平衡地考察构成数学思维能力的7项能力。

·文科生已经学过的内容（高中篇的第18题除外）。

·表达出题者的想法。

本书中的问题涵盖滩中学、开成中学、樱荫中学、庆应义塾女子高等学校、东京大学和京都大学等数学考试和奥林匹克数学（算术）竞赛中的题目，可以说是难度最高，同时也是质量最高的题目。

笔者作为一名数学教师，衷心地为出题者喝彩，向受到各种条条框框束缚却能奉献出如此好题的老师们表示敬意。

出考察知识的题目很简单：随意将情况变复杂，或者让计算很烦琐，出这样的“怪题”并不难。而保持独创性，又包括丰富的知识点，出这样的题目则极难，甚至可以说是具有艺术性的。正因如此才称为“好题”。

本书的目标读者

本书中的题目都是无法轻松解答的难题，因此笔者首先希望对数学有自信的人来挑战。各题中设置的难易度和目标解题时间也是考虑到这些人而设置的。

当然，也非常欢迎对数学没有自信的人。想必您一定是对“掌握数学思维能力”的部分感兴趣，如果能够按照“如何使用本书”的方法阅读，一定会实现期望的目标。

而且，希望那些对数学不太自信，但想要了解数学思维能力为何物的文科生一定要阅读本书。除高中篇的第18题（东大积分问题）之外，所有题目均为文科生已经学过的内容。

本书的特色

本书将所有问题大体分为下列5大模块：

笔者希望读者将锻炼数学思维能力与记住数学知识、公式严格区分开来，所以在最开始归纳出解答该题目所需的前提知识和公式（有些题目没有这部分内容，表示没有相应的前提知识或公式）。

之后的“解题思路探讨”是本书的核心。笔者并不希望本书成为单纯地罗列好题和答案的“习题册”，也不希望仅仅揭示优秀的解法让您感叹。笔者最希望传递的是，无论多么难的题目，只要正确应用数学思维能力，一步一步去做，都可以得到答案。因此，有些部分稍显冗长，有些部分稍显啰嗦，但这些正是这一“过程”中最希望您知道的。即使您看到题目的第一反应是完全没有头绪，只要在“过程”中跟着笔者一同思考，就一定能够掌握数学思维能力。

最后是类似专栏性质的“永野之见”，这是笔者代替出题者讲出自己的想法。此外这个部分还加入了可以使用该题中的数学思维解答类似题型的重要事项。

如何使用本书

首先，请尝试在目标解题时间内解出题目。此时，可以先过目“前提知识、公式”。如果能够在目标时间内凭自己的能力解出题目，那么您非常优秀。

如果未能在目标解题时间内解出题目的话，请前往“解题思路探讨”。如前文所述，其中详细地写了如何使用数学思维能力，以及如何找到切入点。在这里最重要的是与笔者一同思考。

尽可能不要简化“答案”，写出“全部”过程。在阅读“解题思路探讨”后细细琢磨，这样做的话相信文科生也能够理解。

再多说一句，本书中的题目都很难。但是，应用数学思维能力一步一步去做的话，一定会看见曙光。即使不知道背后有什么奇特解法，但是只要循序渐进，必能解决，这才是好题之所以经典的原因。

如果您能够通过本书中的宝贵好题，发现使用数学思维能力解出题目的乐趣，笔者会倍感欣慰。

让我们一起来享受其中的乐趣吧！

永野裕之