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你愿意参加下面的游戏吗？
掷3次骰子，将获得的3个数字自由组合成一个三位数（比如获得数字1、5、6，则可以将其组合成156或561等）。
将这个三位数连着写两遍（如果是156则写156156），然后，用得到的六位数除以7，假设此时得到的余数就是你的幸运数字。
游戏规则是，你可以拿到和幸运数字相同数量的1万日元纸币，但是必须要先交1000日元的报名费。
六位数除以7后得到的余数可能是0、1、2、3、4、5、6，也就是说最多可以拿到6万日元，而只要不是运气太差获得的六位数刚好能被7整除，至少都能拿到1万日元，因此许多人都跃跃欲试。
但是希望你再仔细思考一下。我不建议你参加这场游戏。假设六位数是156156，你试着算一下。156156÷7=22308，六位数能够被7整除，所以余数是0，你的奖金梦落空了。实际上，这场游戏中所有的余数都是0。
下面就让我们揭开这个游戏的谜底吧。
将三位数连着写两遍就相当于用三位数乘以1001，而1001可以被7整除，所以你的“幸运数字”一定是0。
其实，用骰子只是为了增强游戏效果，任何一个三位数连写两遍都会得到同样的结果。
幸运数字必为0
0和从0开始依次递增1（1、2、3……）或递减1得到的数（-1、-2、-3……）都被称作整数，研究整数性质的数学分支叫作数论。尽管我们对整数非常熟悉，但它的性质在研究界却一直被认为扑朔迷离。
例如，当n为大于或等于3的整数时，不存在非零自然数（大于或等于1的整数）x、y、z，能使等式x n +y n =z n 成立。这就是费马大定理。皮埃尔·德·费马（1607-1665）是17世纪知名的法国数学家，他曾在一本书的空白处写道：“关于此定理，我已经发现了一种美妙的证法，可惜这里空白的地方太小，写不下。”
遗憾的是，现代的数学家多认为费马发现的证明方法有缺陷。因为证明这一定理非常复杂，需要用到现代数学的技巧，所以直到费马去世300多年后（1994年）才由英国的数学家安德鲁·怀尔斯（1953-）成功证明。
整数分为很多种类，且分别有不同的名字，例如自然数、质数、偶数、奇数、三角数、平方数、亲和数、勾股数（见下一页）。
其中还包括像“完全数”这种颇为威风的数字。
如果整数a能被整数b整除，那么就称b为a的约数。在正整数范围内，如果一个整数恰好等于它的约数（除了自身以外）之和，则称该数为“完全数”。最小的完全数是6，除此之外，还有28、496、8128，10000以内的完全数仅此4个，目前为止研究者们仅发现了51个完全数。
各种各样的整数
完全数
2018年发现了第51个完全数，数字的位数超过4900万，非常庞大。由于从公元前4世纪左右开始至今，一共才发现51个完全数，所以，完全数是十分罕见的数字。但数学家们都期待有无数个完全数存在（尚未证明）。
坎特伯雷大主教首任主教圣奥斯定因在英格兰传教而闻名，他也曾说：“6本身就是完美的数，并不是因为上帝用6天创造了万物，所以6就是完美的，事实恰恰相反。正因为6是完全数，所以上帝才要赶在6天内完成创造万物的工作。”
此外，因为6是前两个质数2和3的乘积，所以6的倍数中有许多都能被各种数整除，便于计算。事实上，我们生活中就存在很多6的倍数（12个月、24小时、30天、60分、360度等）。
而6之后的完全数是28，稳定的原子核中质子和中子总数即为28个（这样的数也被称为幻数），构成成年人头盖骨的骨头总数（不包含舌骨）和成年人的牙齿总数（不包含智齿）都是28。此外，100年内每过28年，日期和星期就会循环一次，所以我们可以直接使用28年前的日历。
还有一个具有神奇性质的整数“6174”。这本书写于2019年夏天，那么现在就用2、0、1、9这4个数字分别组合成一个最大的数和一个最小的数，然后将二者相减，即“9210”减“0129”（0129即129），结果是“9081”。再用“9081”重复相同的步骤，得到“9621”，继续重复可以得到“8352”，8、3、5、2可以组成的最大数和最小数分别为“8532”和“2358”，二者的差即为“6174”。
到这里并没有什么特别之处，甚至可能会让人感到有些无聊。但如果我告诉你，继续重复同样的步骤后，不论最初的4个数字是什么数字，最后一定能够得到“6174”这一结果，神不神奇？想要验证非常简单，不妨就用自己出生的年份试试（不过如果4个数字中所有数字都相同的话，像“9999”，结果则是0）。
具有这样性质的数字叫作卡布列克常数。卡布列克是20世纪印度的数学家，正是他发现了数字的这一性质。四位数中只有“6174”是卡布列克常数，三位数的卡布列克常数是“495”，六位数的有“549945”和“631764”（五位数中不存在卡布列克常数）。包括0在内，目前共发现了20个卡布列克常数。
神奇数字“6174”
约翰·卡尔·弗里德里希·高斯（1777-1855）是19世纪德国最伟大的数学家之一，他曾说过：“数论是数学中的皇冠。”我认为这不仅是因为数论难度级别高，更是由于数论中的许多思路都极具美感（有关数学之美将在第3章详述）。此外，还有可能是因为数论的方法和理论独具一格，无法应用于其他领域，颇有孤高的气质，让人觉得它如“皇冠”一般高贵。