下载掌阅APP，畅读海量书库
立即打开
日本战国时代的武将丰臣秀吉，智慧过人，却不擅长阅读写作，因此他身边围聚许多被称为“御伽众”的家臣，为他讲授学问和经验。其中一位名为曾吕立新左卫门，他不仅是制作刀鞘的名匠，还是日本落语（日本传统曲艺形式之一——编者注）的鼻祖，所以世间流传诸多与他相关的哲理故事。
有一天，丰臣秀吉决定嘉奖新左卫门，于是便问他想要什么奖赏。新左卫门想了一会儿答道：“请第1天给我1粒米，第2天给我2粒，第3天4粒，第4天8粒，像这样依次递增，从1粒开始，成倍增加，持续1个月的时间。”丰臣秀吉当即同意，说道：“要的也太少了啊。”然而随着时间流逝，丰臣秀吉渐渐意识到自己的承诺难以实现，并为此苦恼不已。
数量增长速度出人意料的米粒
事实上，按照新左卫门的要求，即使过了2周，也只需提供8192粒米，比1合（150克，约6500粒）稍多，但1个月后却要提供5.2亿粒，约200袋（12吨）这一惊人的数量。意识到这一情况后，丰臣秀吉只好慌忙改换了其他的奖赏。
相同的数连续相乘被称为幂运算，随着指数增大，乘积会在某一转折点开始突然爆炸式增加。
例如，可以试着计算一下报纸折叠后的厚度。假设一张报纸厚0.1毫米，那么对折n次后的厚度即为0.1×2 n 毫米。用这一公式来计算，折叠10次后厚度仅为10厘米，而折叠14次后厚度就能超过成年女性的平均身高（约164厘米）。
接下来的增长会更加迅速。折叠30次后厚度能达东京到热海的距离（约107千米），更令人吃惊的是，只需折叠42次就能超过地月距离（约38万千米）。当然，实际折叠过程中由于纸张长度受限，不可能折叠这么多次。但想必通过计算，你已感受到了幂运算的爆炸式增长。
拓展幂运算，便是我们高中学习过的指数函数。指数函数与我们的生活息息相关，其中和生活最贴近的就是利息计算的复利法。
复利法指的是“在计算利息时，某一计息周期的利息是由本金加上先前周期所积累利息总额来计算的计息方式”。而单利法则是指“仅按本金计算利息，上期本金所产生的利息不计入下期本金计算利息的计算方式”。
假设本金为100万日元，年利率为10%，那么使用单利法和复利法计算1年后的本息之和都是：
100万日元+100万日元×10%=110万日元
但是，从第二年开始，二者结果将出现差异。使用复利法计算，须计算一年后本息和110万日元产生利息，所以两年后的本息和为：
110万日元+110万日元×10%=121万日元
而使用单利法时，只有初始本金产生利息，所以两年后的本息和为：
110万日元+100万日元×10%=120万日元
可能你会认为“不就差了1万日元吗”，但再过几年，差距将会非常明显。
复利和单利的比较
以上图表展现的是本金100万日元、年利率10%、存期10年的情况下，复利和单利的增长变化。可以看出，最初几年二者几乎相差无几，但10年后，二者相差了约60万日元。因为使用复利法计算时，是用最初的100万日元乘以1.1的幂次方，而使用单利法计算，则是用100万日元加上每年的利息10万日元。
当然，因为现在（2020年）是超低息时代，所以银行存款年利率最高也不超过0.3%（日本网银的定期存款）。这种情况下，将100万日元存进银行10年，按复利法计算结果为103.408万日元，单利法计算结果是103万日元，仅仅相差408日元。
使用指数函数不仅能够计算复利，还可以描述许多社会和自然现象。
18世纪末至19世纪初有一位知名的英国经济学家、牧师，他就是马尔萨斯（1766-1834）。马尔萨斯在其著作《人口原理》中预测：“今后，人口将如等比数列般增加，而食物则是按等差数列的状态增长，所以最终人类将面临食物危机。”
这里提到的“等比数列”指的是一串数字中，后一个数和前一个数之比相等的数列，如：1、3、9、27……这种增长方式即幂的计算方式，故人口增长可以用指数函数表示。
马尔萨斯认为，由于种植农作物和饲养家禽所需的土地资源有限，食物不能和人口一样呈等比数列式增长，理想状态下的增长也只能是等差数列式增长。
马尔萨斯的《人口原理》
等差数列指的是一串数字中，后一个数字和前一个数字之差相等的数列，如：1、4、7、10……这时，食物增长可以用一次函数（直线）表示。
实际上，回看世界人口发展历程可以发现，自19世纪末开始，人口数量呈爆炸式增长。1800年世界人口约10亿人，100年后达16亿人，1950年为25亿人，2000年暴增至61亿人，2015年世界人口总数为73亿人，预计2056年将超100亿。
而日本在2007年以后，人口开始减少。得出这一结论很大程度上是基于出生率（准确来说是合计特殊出生率）降低，即一名女性一生中所生孩子的平均数下降。的确，1947年出生率为4.54，2005年却降至1.25。尽管现在恢复到了1.4左右，但仍未达到维持人口数量稳定所需的出生率（2.07）。
顺便一提，维持人口数量稳定所需的出生率约为2，意味着如果一对夫妻生孩子数量少于2，日本的整体人口就会减少。
根据牛顿（1642-1727）的“冷却定律”：当物体表面与周围存在温度差时，单位时间从单位面积散失的热量与温度差成正比。例如，把80℃的味噌汤放在室温20℃的房间冷却时，最初的温度差是60℃，所以一段时间内冷却的速度较快。假设15分钟后味噌汤的温度降至60℃，味噌汤和室内的温度差为40℃，冷却速度便会减慢。
味噌汤的温度变化趋势
随着时间推移，当味噌汤的温度降为25℃时，仅和室温相差5℃，这时的冷却速度会变得非常缓慢。换言之，味噌汤的冷却速度在最初的时间段内非常快，然后逐渐变缓，这种变化可以用指数函数来表示。
题外话，成年子女的家与父母居所间的最合适的距离被称为“一碗汤的距离（一碗热汤端到对方家时，汤的温度刚好合适入口）”。那么，这段距离究竟有多长呢？
液体温度的下降速度不仅取决于外界气温，还会受到液体表面积、容器的导热性的影响，所以不能一概而论。在1988年，当时的日本东京都老人综合研究所（现东京都健康长寿医疗中心研究所）提出，不锈钢锅中的味噌汤，从刚煮好的90℃左右冷却到65℃需要约30分钟，这时的温度刚好适合饮用，这就是“一碗汤的距离”，相当于“步行30分钟（约2100米）”的距离。
原本“一碗汤的距离”指的是能够在突发情况时迅速赶到年迈父母身边的距离，但由于当下社会双职工家庭和健康老人的人数不断增加，现在“一碗汤的距离”这一词语的含义逐渐演变为“方便老人帮忙照顾孙辈的距离”。
一般而言，如果某一变量瞬间变化的程度和对应时间的变量的数值成一定比例，那么，这一变量的变化就遵循指数函数的规律（见下图公式）。我们周围不少现象都遵循着幂运算规律，数字会出现爆炸式变化。而这样的剧变居然可以使用指数函数这一初级函数（高中文科生都会学习的函数知识）进行表示，这难道不令人兴奋吗？
剧变的方程式表达
这种情况并非仅在当前出现。在人类发明数学前，自然现象和人类有意识组织的社会活动都可以用简单的数学公式加以表示。每每想到此，我便深深感叹数学的强大和有趣，且更加坚信数学里蕴藏着无限的可能性。