3.3　组合优化动物园

3.3.1　零输入

零输入是所有目标函数中最朴素的一类，不需要任何参数估计，因此不会受到估计误差的影响。常见的零输入目标函数有两个：等权重和最大化分散权重。

1.等权重（Equal Weight）

当没有任何信息或者偏好时，等权重是最简单的办法。等权重认为组合中每个证券具有同等的重要性，每个证券权重为：

等权重不需要进行任何预测，也不需要进行复杂的数学求解，常被用来作为比较基准。Gray（2014）讨论过Markowitz的一件趣事，非常有意思。Markowitz虽然提出了精细的均值方差模型，但考虑到市场情绪和后悔偏差 ，他做投资时并没有使用这个模型，而是将资金等分到股票和债券中。

I should have computed the historical covariance of the asset classes and drawn an efficient frontier…I split my contributions 50/50 between bonds and equities.

等权重虽然看起来简单，但业绩表现十分抢眼，最经典的研究要属DeMiguel、Garlappi和Uppal（2009）。DeMiguel et al.利用7组不同数据，检验了14个组合优化模型相对于等权重组合的表现。结果表明，基于历史数据的均值方差组合，由于估计误差的存在，在样本外的表现很难超越等权重组合；即使考虑对历史均值方差优化模型的各种调整（贝叶斯压缩、权重限制和卖空限制等），也鲜有能持续好于等权重的方案。

Plyakha、Uppal和Vikov（2012）利用标普500成分股40年的数据比较了等权重、市值加权和价格加权三种方式，结果发现，无论从总收益、阿尔法还是夏普比率来看，等权重皆优于另外两个组合，虽然组合波动、偏度和峰度会更高；等权重组合相对于市值加权和价格加权的超额收益率，是因为其在市场贝塔、市值和价值因子上有更多的暴露，在动量因子上暴露为负并且在反转因子上暴露为正；月度再平衡也是等权重获得更高收益的原因，通过每月重新调整组合至资金等权重，本质上是一个利用反转因子的反转策略。

DeMiguel et al.（2009）和Plyakha et al.（2012）的讨论主要集中在股票资产，Jacobs、Müller和Weber（2014）将研究范围扩展到了多类资产。Jacobs et al.利用全球股票指数（新兴市场、欧洲、北美和环太平洋）和大类资产（全球股票指数、债券和商品）数据，比较了11个常见的组合优化模型和简单模型（包括GDP加权、等权重、市值加权和固定权重），结果发现，无论是股票指数组合还是多资产组合，复杂的数学优化方法效果有限，甚至不能带来任何价值，个人投资者可以利用等权重等简单加权方式实现较高的风险调整后收益。

2.最大化分散权重（Diversification Index）

如果能精确预测某些证券的未来走势，那么持有一个分散组合将变得毫无意义，只要全部押注看好的少量证券即可。然而，在投资领域精确预测只是奢望，外行才会拍胸脯说预测十拿九稳。此时，持有一个分散化的组合，不将鸡蛋放在同一个篮子里，或者多准备几个篮子，可以减小集中持仓被一锅端的风险。

那么，什么样的组合才能被称为分散组合呢？按照Meucci（2010）的定义：

… a portfolio is diversified if“it is not heavily exposed to individual shocks”…即组合不会因为单一冲击受到过多的影响，如债券违约或者股票财务造假，如果重仓持有则会遭到灭顶之灾，但对充分分散的组合来说拖累就十分有限。

衡量组合分散性的指标有很多，可以从资金权重、风险分配和因子配置等角度度量组合的分散程度。资金权重指标只依赖于组合成分持仓占比，不需要收益率预测和方差协方差估计，简单明了、易于计算，如常见的基尼系数；风险分配指标往往依赖于成分的波动率和相关系数估计，如后面要介绍的分散比率（Diversification Ratio）；因子配置是较为前沿的研究，认为组合的收益和风险来源于少量因子，这些因子可以是证券的基本特征（如AQR提出的价值、防御、动量和Carry），也可以是宏观因素（如桥水对冲基金推崇的经济增长和通货膨胀）。表3-2展示了常见的几个分散性指标。

在做投资组合优化时，如果目标函数为基于资金权重的分散指标，此时并不需要额外的参数输入，使得结果对参数估计完全免疫。以香农熵为例，其目标函数可以表示为：

实证方面，任瞳和王武蕾（2017）利用股票、债券和商品数据，比较了组合波动在3% 时不同分散指标（基尼系数、赫芬达尔指数和香农熵）的效果，结果发现无论从收益、回撤还是换手率来衡量，基于香农熵的配置方案都最为稳健。

3.3.2　价格外信息加权

实际上，价格外的信息非常丰富，常见信息包括市值、风格因子、基本面数据和宏观指标等，只要是可获得并且有用的，都可以用来指导组合资金分配。如果既想利用已有信息，又不想引入过多误差，则价格外信息是不错的选择。

1.市值加权（Market Capitalization）

对于股票组合来说，市值加权方式已经深入人心，其反映了投资者在投资范围内可以获得的平均收益，在CAPM条件满足时是Markowitz均值方差最优解。20世纪下半叶市值加权在金融领域长期占据主导地位，为被动投资提供了坚实的理论支撑。

然而，越来越多的研究发现，市值加权并没有理想中那么有效。Haugen和Baker（1991）从理论到实例，验证了由于投资者对预期收益和风险的不一致、卖空受到限制及税收等原因，市值加权组合并不是均值-方差最优的；并且存在一些组合，收益和市值加权差不多，但波动更小。Vogel（2015）利用1927—2014年美国的股票数据，选出250只最大的股票，研究了等权重、市值加权、动量加权和波动率加权的效果。结果发现，等权重、动量加权和波动率加权，在CAGR、夏普比率和索提诺比率等多个指标下都好于市值加权，其中波动率加权的夏普和索提诺比率最高，动量加权的收益率最高。

2.基本面权重（Fundamental Index）

Arnott、Hsu和Moore（2004）认为，市值加权会给予高估值股票过多权重，给予低估值股票过少权重，因此结果并不占优。Arnott et al.提出了一个另类加权方法，通过综合账面价值、现金流、营业收入、股利发放和雇员数量，计算每只股票的基本面得分，并利用该得分进行加权，即基本面质量越高权重越大。使用1962—2004年的美国数据回测发现，基本面加权实现了年化收益率12.47%、夏普0.455，同期标普500指数两个指标分别为10.53% 和0.315，基本面加权能有效提升市值加权效果。

3.3.3　方差协方差

1.最小方差组合（Global Minimum Variance Portfolio，GMVP）

在所有可能的结果里，风险最小的点即为最小方差组合。如图3-2所示，最小方差组合在有效前沿上具有唯一性，处于有效前沿最左边，对应的预期收益率也最低。因为处于有效前沿，所以在马科维茨均值-方差框架下是最优的。

事实上，该组合是马科维茨均值-方差优化的特殊情况，其目标函数和约束条件不包含任何预期收益率预测，追求组合总体的方差最小：

在股票市场，最小方差组合是一类流行的Smart Beta策略。Clarke、De Silva和Thorley（2006）使用1968年1月—2005年12月的数据，每月的月末对美国市值最大的1000只股票，计算样本协方差，并用贝叶斯压缩或主成分方法进行修正，然后构造最小方差组合。研究结果表明，不依赖于收益率预测的最小方差组合，相对于市值加权组合，确实能带来信息增量，实现波动率降低了1/4，组合的贝塔系数降低了1/3。

另外，几乎所有的指数公司都有编制最小方差指数，如MSCI的MSCI World Minimum Volatility（USD）Index和标普道琼斯的S&P 500 Minimum Volatility Index，并且都有相应的ETF跟踪。

2.最大分散度（Maximum Diversification，MD）

最大分散度优化由Choueifaty和Coignard在2008年提出，其目标函数如下：

式中，目标函数称为分散比率（Diversification Ratio，DR），分母为组合波动率，分子为成分的波动率加权平均。从直觉上看，当资产预期收益率与其波动率成正比时，最大分散度就等价于最大夏普比，此时能达到马科维茨均值-方差最优；同时，当所有证券波动率都相等时，最大多元化又等同于最小方差。

Choueifaty、Froidure和Reynier（2013）进一步讨论了分散比率（DR）和最大分散组合（MDP）的性质。首先，由于证券之间的相关性，波动率的加权平均要大于组合标准差，DR指标总是大于或等于1；极端情形下，如果所有证券相关系数都为1，此时所有资产等同，那么DR即为1，分散度最低。其次，可以将DR分解为证券相关系数和证券集中度，组合内证券之间的相关系数越低，持仓数量越分散，则分散比率越大，即DR随着证券平均相关系数（或集中度指标）的减小而增加。然后，DR的平方近似等于组合的风险因子来源个数，也就是说该值越大，独立的风险来源越丰富，组合的分散作用越好。最后，最大分散度组合中，每一个证券和最大分散度组合的相关系数都相等。

实证方面，Choueifaty和Coignard（2008）分别在美国股票（S&P 500成分股）和欧元区股票（DJ欧元区大盘股）两个市场，采用1990—2008年的数据，在每个月月末，利用过去1年（250天）的日度收益率估计协方差矩阵，约束最小/最大权重下计算最大分散度组合，并与市值加权、最小方差和等权重进行对比分析。结果发现，最大分散组合在这4个组合中的夏普比最高，持续跑赢另外几个组合；最大分散组合的收益在市值因子上有明显暴露，但是不能完全被Fama-French三因子模型和LLehman多因子模型解释，存在较为显著的阿尔法收益；另外，最大分散组合的解比较稳健，实现的分散度比率随着协方差的改变而改变，是市值加权组合的1.5倍左右。

Choueifaty et al.（2013）将研究范围拓展到了全球股票，利用MSCI World成分股中市值最大的前50%，构造了市值加权、风险平价、等权重、最大分散度和最小方差组合。结果发现，风险平价、最小方差和最大分散度3个组合收益较高波动却很低，夏普比优于其他组合，其中最大分散度组合的夏普比最高；风险平价、最小方差、等权重和最大分散度在SMB上有显著的正暴露，在HML上也有显著的正暴露，最大分散度组合在这4个模型中的阿尔法收益最大。

3.风险加权（Naive Risk Parity）

在股票因子领域，低风险异象广泛存在 ，即低风险股票相对于高风险股票有更好的表现，因此可以用个股风险进行加权，给予低（高）波动股票更多（少）的权重。拓展开来，采用证券的风险倒数确定权重，即为风险加权。其表达式为：

式中， 为风险定义，当 k = 1时，为波动率倒数加权；当 k = 2时，为方差倒数加权。波动率倒数加权是最常见的形式，如Moskowitz、Yao和Pedersen（2012）在研究时间序列动量组合时，就采用了该方法确定每一个期货品种的权重。

风险加权只需要考虑每个证券的风险，不需要对证券之间的相关关系进行预测，因此也被称为Naive Risk Parity。风险加权是风险平价的简化形式，当证券之间的相关系数相等时，波动率倒数加权等同于风险平价。

4.风险平价（Risk Parity）

风险平价模型近些年比较流行，部分原因是Ray Dalio及全天候基金的风靡，以至于很多人错误地将全天候等同于风险平价。风险平价最早由磐安基金的Qian（2005）提出，理解起来比较容易，和常见的从资金等权重分配不同，其从风险的角度进行均衡配置，以追求所有证券对组合的风险贡献相同。

Kazemi（2012）以经典的万金油60/40组合为例，详细介绍了风险平价策略。如图3-3所示，将60% 的资金配置股票和40% 的资产配置债券，看起来是一个完美的分散组合，但从风险的视角来看，90% 的风险都由股票资产贡献，整个组合的波动还是由股票主导的；如果从风险的视角进行资金分配，将大约3/4的资金分配给债券，将1/4的资金分配给股票，就能实现股票和债券的风险平价。

风险平价的构建思想非常简单，首先定义边际风险贡献（Marginal Risk Contribution，MRC）：即组合风险对证券 i 的权重的一阶导数，反映了证券 i 每增加一单位权重，对组合风险的影响大小。知道了证券 i 的边际风险贡献后，乘以其权重就可以得到风险贡献：

风险贡献可以理解为组合总风险中证券 i 的贡献比例。所有成分的风险贡献之和即为组合风险：

风险平价组合要实现的是，组合内所有证券对组合的风险贡献相同，即

因此，风险平价组合的目标函数为：

风险平价组合和最大分散度组合在逻辑上非常相似，都是为了达到组合的最大分散作用，但是两者的目标函数并不一样。Maillard、Roncalli和Teïletche（2008）在他们的研究中详细讨论了风险平价的性质。首先，组合中波动较高的证券（或者相关性高的证券）在权重计算时会受到惩罚，获得更小的权重；其次，因为风险平价的解是内生性的，因此只能通过数值方法求解。另外，当所有成分的相关系数相同并且夏普比也相等时，风险平价组合是Markowitz最优的；当组合所有成分的相关系数相等时，风险平价即为波动率倒数加权。最后可以证明，风险平价介于等权重和最小方差之间，其波动大于最小方差，小于等权重组合。

总体来说，如果不考虑相关系数，风险平价会给予低风险的成分较高的权重，给予高风险的成分较低的权重，这样整体组合的风险不会太高，因此从收益的角度来看可能并没有吸引力。但是如果能够放杠杆，那就是另一个说法了。风险平价组合往往处于可行域中风险较低和收益较小的位置，如果融资受限或者成本较高，那么提高收益的唯一途径便是偏离风险平价组合，给予高风险资产更大的资金分配，此时组合的夏普比跟着降低；如果融资比较容易，则在不降低夏普比的条件下，可以通过杠杆提高收益。因此，CTA相关的投资组合，天然适合采用风险平价策略（Baltas，2015）。

实证结果表明，不同的证券类型，风险平价的效果可能存在差异。Maillard et al.（2008）利用美国行业数据、农业商品数据和全球资产数据回测了等权重、最小方差和风险平价策略，每月再平衡，协方差采用滚动一年进行估计。结果发现，首先，在波动率和相关系数近似的美国行业中，等权重和风险平价的结果差不多，但风险平价在风险上更加分散，而等权重在权重上更加分散，两者的夏普比略低于最小方差组合，但分散度指标显著占优；其次，在农业商品中，所有资产的波动差异较大但相关性很接近，此时风险平价组合接近波动率倒数加权。风险平价在收益和风险上的表现都比等权重更好，但略输于最小方差组合。而从短期稳定性来看，风险平价组合回撤最小，在风险和权重配置上都比较均衡。最后在全球资产中比较这三个组合，无论是波动性还是相关性，差别都较大，是最常见的应用场景，此时风险平价组合在收益和夏普比上碾压等权重与最小方差组合。

3.3.4　均值-方差优化

1.均值-方差优化（Mean Variance Optimization，MVO）

均值-方差优化算是组合优化问题的佼佼者了，也是组合优化领域的标准框架。1952年，Markowitz才25岁，就完成了论文《资产选择：有效的多样化》，以期望收益率表示组合收益，以收益率方差表示组合风险，开启了现代投资组合管理理论的大门。

在所有优化模型中，MVO可能是大家最熟悉的一个，只要是有过一点金融相关背景的，都知道如何去表述MVO：给定风险水平下实现组合收益最大化，或者给定收益水平下实现组合风险最小化。不同投资者的风险承受能力也不同，常用风险厌恶系数 λ 来衡量风险承受能力，即激进型的投资者拥有较大的 λ ，保守型的投资者拥有较小的 λ 。学术界和实业界常用指数效用函数来衡量投资者的目标函数，即

理论上讲，组合成分间存在无数种混搭方式，每种方式得到一个收益风险对，将所有结果集合在一起，就形成了可行域，即图3-4中的黑点区域。然而，可行域中并不是所有点都是“好结果”，只有处于可行域上侧边缘的点才是真正的最优值，即MVO的解，如图3-4中 A 到 D 之间的连线，这条线称为有效前沿。任何异于有效前沿的点，均能找到相同风险（收益）下收益（风险）更高（低）的组合。

有效前沿上有两种特殊情况：最小方差组合（点 A ）和切点组合（点 B ）。前者位于有效前沿的左端，是所有可行域中风险最小的，详细讨论可见最小方差组合部分。

切点组合，顾名思义，即以无风险收益率为起点的射线，同有效前沿相切时的组合。切点组合最大的特点是，其在所有可行域中的夏普比最大，因此也被称为最大夏普组合。如果投资者使用杠杆受到限制或者杠杆成本很高，则提高收益的唯一方式就是沿着有效前沿放大风险，但这么做会牺牲组合的夏普比，看起来并不是非常划算；相反，如果可以轻松利用杠杆，那么可以通过放大杠杆的方式，保持夏普比始终最优。因此，另外一个常见的MVO即最大化组合的夏普比，其目标函数为：

MVO在预期收益率和组合风险之间进行权衡，理论结构上看起来非常漂亮和完美，潜在的应用价值也让人垂涎三尺。正如王帅和王建渗（2018）的研究所说，如果对资产未来的收益有较为准确的预测，则应考虑收益类配置模型，如BL和MVO等，以获取对收益准确预测而带来的高收益。但是并没有这样的好事，MVO在实际应用时面临很多问题。

总体来说，MVO背负着“六宗罪”。第一，参数估计误差大。Chopra和Ziemba（1993）的研究表明，在风险厌恶系数为50 的情况下，均值估计误差带来的效用损失远远高于方差和协方差；风险厌恶系数越高，对均值的估计误差越敏感，效用损失越大。参数尤其是预期收益的估计误差，会给结果带来巨大的不确定性，带来“垃圾进、垃圾出”的后果。第二，结果对参数输入非常敏感。Michaud（1989）在讨论MVO的缺点时发现，其结果可能极其不稳定，输入参数的较小改变，可能会使结果大相径庭。第三，优化结果可能过于集中。Broadie（1993）的测试表明，在约束条件欠缺时，MVO的结果容易集中在少数证券甚至一个证券上。第四，换手率高，交易成本太大。De Carvalho、Lu和Moulin（2012）比较了6个组合优化模型（市值加权、等权重、风险平价、波动率倒数、MVO和最大分散度），结果表明MVO换手率较高，在不加卖空约束时换手率更高。第五，容易得到极端的分配结果。Best和Grauer（1991）的研究表明，MVO容易算出极端大或极端小的权重，且结果对输入均值异常敏感。第六，较差的样本外表现。DeMiguel et al.（2009）得出的结果表明，基于历史数据的均值-方差组合，由于估计误差的存在，在样本外表现上很难超越等权重组合。

2.Black-Litterman模型（BL）

因为均值-方差优化面临一系列问题，所以对其的改进也慢慢被提了出来，Black-Litterman模型算是名气最大的一个。BL模型由Black和Litterman（1990）提出，尝试从预期收益率的角度进行优化，将投资者的主观观点考虑进来，以减小预期收益率的估计误差。具体而言，假设投资者对组合内的一个或多个证券收益率具有一定的预测能力，通过贝叶斯方法将这些主观的预期收益率和先验分布下的均衡收益率进行加权平均，形成一个新的后验收益率估计值，最后使用后验收益率进行均值-方差优化，即可得到蕴含投资者观点的解。

Idzorek（2005）详细介绍了BL模型的计算步骤和细节。

首先，计算组合所有证券的先验均衡收益率。假设其服从正态分布，预期收益率向量为 Π ，由风险厌恶系数、历史协方差矩阵和初始权重向量计算而成。这里初始权重向量可以为任何指定权重，如市值加权或最小方差组合权重；成分间预期协方差等于某个常数 τ 乘以历史协方差。

然后，估计主观收益率的分布。同样假设其服从正态分布，预期收益率向量为 Q ，如果投资者对 k 个证券具有预测观点，那么 Q 为这 k 个收益率预测的看法向量；预期协方差矩阵为 Ω ，即观点的误差矩阵，代表预测观点的信心水平，可以有多种构造方式，参见Satchell和Scowcroft（2000）。

最后，将先验均衡收益率和主观收益率按照一定的比例进行加权，得到新的后验收益率预测收益向量 μ BL 及其协方差矩阵Σ BL 。接下来的做法与均值-方差优化一样，即把新的参数代入优化器，得到Markowitz最优解。

实证方面，Bessler、Opfer和Wolff（2012）利用1993—2011年的大类资产数据，对比了8个优化模型，包括3个BL模型、等权重、固定权重、均值-方差、BS模型和最小方差组合。结果发现，由于引入了更为可靠的收益率估计，BL模型持续优于最小方差、BS模型和MVO，具有更高的样本外风险调整后收益、更低的组合风险和更分散的组合持仓。

3.Bayes-Stein模型（BS）

对收益率预测的另一个改进方向是Stein在1955年提出的压缩估计法，并由Jobson、Korkie和Ratti（1979）引入组合分析领域，Jorion在1984年做了进一步发展。这个估计方法认为每个组合成分的均值都应该向一个共同的值压缩（world mean），这样能很好地降低参数估计的不确定性，提升组合的样本外表现。具体来看，BS的计算公式如下 ：

式中， R g 为压缩目标， k 为压缩强度， R o 为成分历史均值。压缩目标和压缩强度直接用样本数据估计。压缩目标假设所有资产收益率相同，通常让其等于最小方差组合的收益率；压缩强度由样本大小、资产数量、压缩目标、样本均值和协方差等决定。当压缩强度为0时，即不进行压缩估计，结果为传统的均值-方差优化；当压缩强度为1时，即假设所有证券的收益率相同，则优化结果蜕化为最小方差组合。

对比BS模型和BL模型，两者均使用贝叶斯压缩方法，试图减小收益率的估计误差，使均值-方差优化结果更加稳健和合理。两者最大的不同是，BS压缩估计向一个相同的常数压缩，并不会改变收益率均值的原有排序；而BL模型由于吸收了投资者的主观观点，原有的收益率排序可能被打乱，结果更加灵活多样。

Jorion（1985）使用7个国家1971—1983年的股票指数数据，比较了等权重、均值-方差优化、BS压缩估计和最小方差组合的表现。结果发现，组合收益率的事前估计值和事后实现值差异较大，而组合波动率的事前和事后差异较小，侧面说明了收益率估计误差减小的重要性；相比于传统的均值方差组合，BS压缩估计结果改善明显，收益率和夏普比都明显提高；最小方差组合的夏普比最高，但是和BS的结果没有显著性差异。

Stevenson（2001）利用11个国家1976—1998年的REITs数据，讨论了BS压缩估计对传统均值方差的改善。首先，检验了均值、方差和协方差估计误差可能带来的影响，发现收益均值估计误差带来的影响比方差和协方差大得多，因此收益均值的改进提升空间可能比较大；接着，比较了传统均值-方差组合、BS均值-方差组合、最小方差组合和等权重组合的表现，发现传统的均值-方差优化表现最差，BS压缩后的均值-方差优化效果确实有所提高，表现为收益更大、波动更小；最后，比较了4个组合的夏普比是否有显著性差异，发现BS组合和最小方差组合相对传统的均值-方差组合，夏普比有显著的提高，而BS组合、最小方差组合和等权重三者之间没有明显差异。 VxSE9vOojsTupUrcE3g4C55QsNDS1Lk03x4qnHh6BDElV+ZlgajwsX0TbZqq9Vgb