矢量

我们之前谈到的所有运动都是沿着一条直线的运动，现在我们必须再深入一点。通过分析最简单的情况，以及在最开始的阶段避开所有复杂的情况，我们初步理解了自然法则。直线运动要比曲线运动简单得多，但只理解直线运动对我们而言还远远不够。能够成功地利用力学原理解释的一些运动，包括月球、地球和其他行星的运动都是沿着曲线轨道进行的。从直线运动转向曲线运动带来了许多新的困难。如果我们想要理解经典力学原理，就必须鼓起勇气克服这些困难。经典力学为我们提供了第一个线索，它是科学发展的起点。我们再来看一下另外一个理想化的实验。假设一个完美的球体在一张平滑的桌子上匀速滚动。我们知道，假如我们推一下这个球体，也就是说，对它施加一个外力，那么它的速度就会改变。跟之前我们提到的小车的例子不同，我们假设推的方向既不与小球运动的方向相同，又不与之相反，而是垂直于小球运动的方向，那么结果会怎样呢？我们可以清晰地观察到运动可以分为三个不同阶段：最初的运动，施加外力后的运动以及外力作用停止以后的运动。根据惯性定律，在外力作用前后，小球都是绝对匀速运动的。但是在外力作用之前与之后的匀速直线运动存在区别：小球运动方向改变了。之前小球的运动方向和外力作用方向是垂直的，受力之后小球的运动方向跟这两个方向都不一致，而是介于它们两者之间。如果推力比较大而初速度比较小，那么之后小球的运动方向靠近推力的方向；相反，如果推力比较小而初速度比较大，那么之后小球的运动方向会靠近最开始运动的方向。基于惯性定律，我们可以得出一个新结论：一般说来，外力作用不仅改变物体运动速度，也改变物体运动方向。弄清楚这一点之后，我们就可以接受物理学中矢量这个概念的引入了。

我们可以继续使用简洁明了的推理方式，依旧以伽利略的惯性定律为出发点。在帮助我们揭开运动之谜方面，这个重要线索还有巨大的潜力未被开发。

现在设想一下在一张平滑的桌子上，存在两个朝不同方向运动的小球。为了有更直观的感受，我们假设这两个方向是互相垂直的。因为没有任何外力作用，故小球的运动是绝对匀速的。再进一步假设两个小球的速度相同，即这两个小球在相同的时间内走过的距离相等。但是否现在就可以说这两个小球在物理学意义上具有相同的速度呢？可以说是，也可以说不是！假设两辆汽车的速度计上都显示车速为40英里 /小时，那么无论这两辆车的行驶方向如何，通常我们都可以说这两辆车的速度是一样的。但科学为方便自身使用，必须创造一套特有的语言和概念体系。科学的概念一开始都是日常生活中会用到的普通概念，但发展方向与日常生活中的不同。它们经过改变，不再具备日常生活中的模糊性特征，变得更加精确严谨，从而能更好地应用于科学的思维。

对于物理学家而言，他们更倾向于采用这样的说法：朝着不同方向运动的两个小球速度是不同的。这只是约定俗成的说法，物理学家更倾向于说：从同一个点出发，沿着不同道路行驶的四辆汽车，尽管在速度计上显示的速度都是40英里/小时，它们的速度仍是不同的。速率（只考虑数值）和速度（考虑数值和方向）的区别显示了物理学如何从日常生活中的概念出发，对其进行改造，使其更适合助推科学的发展。

对于测量结果，我们可以用若干种单位来表示，如一根棍子的长度可能是3英尺 7英寸 ，某件东西的质量也许是2磅 3盎司 ，而一个时间长度可能是若干分若干秒。在这几种情况下，测量结果都可以用“数值+单位”的形式来表示。但在描述一些物理概念时，这种形式还不充分，意识到这一点是科学研究中的一大进步。例如，方向性和数值大小都是物理学中速度的基本特征。（图1-1）。这种既有数值又有方向的量被称为矢量，它通常表现为箭头的形式。速度就可以用一个箭头来表示，或者更简单地说，我们用矢量来表示速度。矢量的长度代表某一定量所选单位的数值，可用以表示速度数值；而矢量的方向就是运动的方向。

假设4辆汽车从同一点出发以相同的速率朝4个不同方向开出，那么我们可以像图1-1所示的那样，用4个长度相等方向不同的箭头来表示。图1-1中所用的比例尺是1英寸∶40英里。通过使用这种方法，任何速度都可以用一个矢量来表示。反过来，如果知道比例尺的话，我们就可以根据这样的矢量图确定速度。

如果两辆汽车在马路上相遇，且速度计上显示的速度都是40英里/小时，那么我们可以用长度相等、方向相反的两个箭头来表示这两辆车的速度（图1-2）。这就像地铁上指示“进城”和“出城”的箭头应该用相反的方向一样。但是，所有进城的火车，不论从哪个车站出发或者在哪一条线路上行驶，只要行驶速率相同，速度都是一样的。它们都可以用一个矢量表示。矢量并不能告诉我们火车正经过哪一站，也无法说明火车沿着哪一条平行轨道行驶。换句话说，根据约定俗成的说法，所有图1-3中所画的矢量都可以被认为是相等的。它们彼此重合，或者互相平行，长度相等，表现为朝着相同方向的箭头。而图1-4中所画的矢量都不相同，因为它们长度不同，方向不同。这4个矢量还可以用另外一种方法来表示，即像图1-5一样，4个矢量都从同一点出发。因为出发点无关紧要，所以这些矢量既可以表示从同一地点离开的4辆汽车的速度，又可以表示4辆车在4个不同的地点，以图中所示的速度行驶。

现在我们就可以用矢量图来描述之前讨论过的直线运动情况。我们之前讨论过，一辆匀速直线运动的小车，只要顺着它运动的方向推它一下，它的速度就会增加。如果用图来表示的话，我们可以画出两个矢量：短的那个矢量表示推之前的速度，与短矢量方向相同的长矢量则表示受力之后的速度。虚线矢量的意义也很清楚，它表示因为受力而产生的速度的变化（图1-6）。如果受力方向与运动方向相反，那么速度会因而减小。在这种情况下，矢量图就变得不一样了。虚线矢量依旧表示速度的改变，但它的方向跟之前的例子不同（图1-7）。从中我们可以清楚地理解，速度本身以及速度的变化都是矢量，但速度发生任何变化都是由外力作用引起的，因此外力也必须用矢量来表示。为了完整地描述一个力，我们不能只说用了多大的力去推车，还应说明我们推的方向。这个推力，就像速度和速度的改变一样，不能单用一个数值来表示，也应该用一个矢量来表示。因此外力也是矢量，而且一定与速度改变的方向相同。在图1-6、图1-7中，虚线矢量既指明了力的作用方向，又指明了速度改变的方向。

或许有人会疑惑引入矢量的作用是什么。上述我们所做的工作无非是把一些早已知道的事实转变成一种不熟悉且复杂的语言而已。在这个阶段，我们确实很难说服那些对矢量使用持怀疑态度的人。实际上，就目前状况而言，他们是对的。但是我们将会看到，正是这种奇怪的语言，使我们能对一些事实进行概念化处理。在此过程中，矢量发挥了重要作用。 u25I7LQD9Ezi4osx5vI80DS0BgJSxdRRQctl3VN1LdcwTYNXSfvkyqkdhB0Du5+I