数的演进

人们在从事生产或其他活动中，数目多次反映到人的头脑中来，再通过长期思考，进一步抓住它的特性，从感性认识上升到理性认识，从而形成了数的概念。

（1）十进位制

数的概念形成于新石器时代末期，完成于奴隶社会初期的商代。商代是我国奴隶制经济发展时期，科学、文化都达到了较高水平：当时已能大规模地炼铜；已经发明了车子；有了历法；农业生产技术也有了很大提高。特别是甲骨文和金文的出现标志着我国的文字从简单的象形逐渐发展到成熟的阶段。所有这些技术和文化成就对于数学的发展都起了推动作用。

在甲骨文中许多数目字，其中最大的数目字已经达到“三万”。现举百以上的例子如下：

二百：“二百人王”

三百：“左右中人三百”

四百：“四百”

九百：“乎……九百人”

一千：“丁未卜……王登千人”

五千：“五千”

八千：“□人八千在驭”

一万、三千：“登妇好三千、登旅万”

三万：“癸卯卜……其□三万”

甲骨文的字形有些和现代文字不同，但是我们可以清楚地看出：后来汉文中的数目字是从甲骨文演变来的。甲骨文中的数目是十进位的，是以前不完善十进制的完善化和必然的发展。从1到10的每个数都有文字表示，还有“百”、“千”、“万”等也都有相当的文字符号。

在一片甲骨文上有由1到10的全部十个自然数，没有和实物连在一起，说明商代已经有了抽象的自然数概念。

在商代的记数法中还有一种六十循环的办法，这就是主要用在历法上的所谓“天干地支”。天干有十个，即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支有十二个，即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥。从干、支的头一个字甲、子开始依次各取一各，配成甲子、乙丑、丙寅……干或支完了接着再取，直到癸亥，共取六十次。以后又是甲子等出现了循环。在一片甲骨上就有一个完整的甲子表，至于零散的甲子纪年纪日的甲骨就更多了。这种干支纪年法后来一直沿用，现在农历还在使用。

商代至少应有加法、减法和乘法运算，只是没有明确的记载。实际上，甲骨文只能记录结果，而不能记载算法和运算过程。但是通过一些实例可看出其算法。在一片甲骨上，记载了如下的数字：

五十犬，五十羊，五十豚，

三十犬，三十羊，三十豚，

二十犬，二十羊，二十豚，

十五犬，十五羊，十五豚。

全是5的倍数，而前三排又都是10的倍数。

周以后有了运算记载，例如在周代的一件铜器上有“东宫乃曰：偿　禾十秭，遗十秭为廿秭。（如）来弗偿则倍　秭。”秭是后来的大多数名称，指万亿，这段文字是说偿还奴隶主乃庄稼（禾）十秭，同时要送给他四十秭。实际上这已包括10＋10＝20和20×2＝40两种算法——加和乘。

战国时，李悝倡“尽地力之教”，他算了一笔账：“今一夫挟五口，治田百亩，岁收亩一石半，为粟百五十石（1.5×100＝150），除十一之税十五石（150÷10＝15），余百三十五石（150－15＝135）。食：人月一石半，五人终岁为粟九十石（1.5×12×5＝90），余有四十五石（135－90＝45），石三十〔钱〕，为钱千三百五十（45×30＝1350），除社闾尝新春秋之祠用钱三百，余千五十（1350－300＝1050）。衣：五人终岁用千五百，不足四百五十（1050－1500＝-450）。……”这里已讲到了减法、乘法和除法，特别是最后的一次计算出现了不足，用现代的观点来看就是有了负数。李悝未必懂这个意义，但是却为负数概念的出现提供了来源。

由于重复计算的需要，我国古代早已出现了乘法口诀，但是直到春秋战国时代的文献中才有了不完全的记载；而且次序与现代不同，由“九九八十一”开始，因此又称这种口诀为“九九”。

（2）分数应用

至迟在春秋战国时代我国已经有了分数的概念。在春秋战国（特别是战国）的著作中记载了许多分数及其应用的例子。当时社会上思想活跃，生产活动的范围有所扩大，技术水平也有提高，实践中提出了许多新的数学问题。比如不够一个整体的物体就不能用自然数表示其数量，而必须创造新数。在《墨子》、《管子》和《商君书》等书中所记载的分数大都是由于分配而引起的。例如《墨子》讲到食盐的分配时就有“二升少半”和“一升大半”的记载。其中“少半”和“大半”即1/3和2/3，还有“半”为1/2，都是当时分数上专门的名词。《管子》在讲土地种植的分配时有“十分之二”、“十分之四”、“十分之五”、“十分之六”、“十分之七”等份数。在另一处也讲到了“五升少半”、三升少半“。在《商君书》中有这样的记载：“地方百里者，山陵处什一，薮泽处什一，溪谷流水处什一，都邑蹊道处什一，恶田处什二，良田处什四”，就是说一百平方里的地面上各种地貌所占的比例，前四种都是1/10，后两种各为2/10和4/10，加起来为10/10（＝1）。战国时代在制造量器“商鞅量”时也用到了分数，规定“积十六尊五分尊一为升”。“尊”就是寸，这句话是说1升＝ （立方）寸。

在《考工记》中记载了由于制造各种器具和器具规格的需要而大量使用了分数，特别是有了分数运算。例如“六分其轮崇，以其一为牙围，三分其牙围漆其二”，这里说的是1牙围＝1/6轮崇；一牙围的2/3要上漆。《考工记》中还记载了一种叫做殳的竹制兵器的规格，“凡为殳五分其长以其一为之被而围之，叁分其围去一以为晋围，五分其晋围以其一为首围”。意思是说1围＝1/5长，1晋围＝1－ ＝ － ＝ ，1首围＝1/5晋围。这些事实有力地说明了我国早在公元前四、五世纪就已建立了分数概念并有了广泛的应用。

春秋战国时由于制造衡器和乐器的需要，也用到了其他一些数学知识。例如战国墓葬中出土的天平砝码的重量以1、2、4、8……递增，相当于以等比数列20、21、22、23……递增。这种数列的出现，显然是当时以十六两为一斤的规定而来的。在乐律研究中有“三分损益法”，用到分数运算。在《管子》一书中有“先主一，而四之三开，以合九九”的记载，相当于1×3 ⁴ ＝9×9＝81，这已有了指数的初步观念。 xjxwu+7ucCLyJxWr/8UiZTOzXeVUaxAXZMMBM5oAn6Hy7Y2I1CRQwbcAdCt0gnin