第四节
空间直线方程

任给空间直角坐标系中的一条直线 L ，所谓直线 L 的方程，就是直线 L 上任意点 M 的坐标（ x ， y ， z ）所满足的一个方程，并且满足这个方程的点 M （ x ， y ， z ）一定在直线 L 上。本节将在空间直角坐标系中建立直线的方程，并讨论空间中直线与直线、直线和平面的夹角及点到直线的距离.

一、空间直线的点向式方程与参数方程

如果一个非零向量 平行于一条已知直线 L ，则称 s 是直线 L 的 方向向量 .显然，直线上的任何一向量都平行于该直线的方向向量.

由于过空间一点只可作一条直线平行于已知直线。因此，当直线 L 上一点 和它的一方向向量 s = 为已知时，直线也就完全确定了。下面来建立这条直线 L 的方程.

设 为直线 L 上的任一点，那么向量 = 与 L 的方向向量 平行（图7-21），于是存在数 t ，使

从而

消去 t ，得

反过来，如果点 M 满足方程（7-10），那么向量 与 s 平行，则点 M 一定在直线 L 上。因此方程（7-10）就是直线 L 的方程，这个方程称为直线 L 的 点向式方程 或 对称式方 程 .称方程组（7-9）为直线 L 的 参数方程 .

特别地，若方程（7-10）中 m ， n ， p 中有一个为零，例如 m =0，而 n ， p ≠0时，方程（710）应理解为

当 m ， n ， p 中有两个为零，例如 m = n =0，而 p ≠0时，方程（7-10）应理解为

例如，方程 表示的是一条过点 M ₀ （1，3，-2）且平行于向量 s =（2，0，5）的直线 L ， L 的方程还可写成

例1 求过点（1，-1，2）且与平面 x +2 y - z =0垂直的直线的点向式方程和参数方程.

解 由于所求直线与平面 x +2 y - z =0垂直，故可取平面的法向量（1，2，-1）作为直线的方向向量，故所求直线的点向式方程为

直线的参数方程为

例2 试求过已知点 M ₀ （ x ₀ ， y ₀ ， z ₀ ）与 M ₁ （ x ₁ ， y ₁ ， z ₁ ）的直线 L 的方程.

解 过点 M ₀ ， M ₁ 作向量 =（ x ₁ - x ₀ ， y ₁ - y ₀ ， z ₁ - z ₀ ），因点 M ₀ ， M ₁ 在直线 L 上，故向量 可作为直线 L 的方向向量，又点 M ₀ （ x ₀ ， y ₀ ， z ₀ ）在直线 L 上，故直线 L 的方程为

二、空间直线的一般方程

空间直线L还可以看作空间两个平面 Ⅱ ₁ 和 Ⅱ ₂ 的交线，如果两个相交的平面 Ⅱ ₁ 和 Ⅱ ₂ 的方程分别为 A ₁ x + B ₁ y + C ₁ z + D ₁ =0和 A ₂ x + B ₂ y + C ₂ z + D ₂ =0，那么它们的相交直线 L （图7-22）上任意一点的坐标应同时满足这两个平面方程，即应满足方程组

反过来，如果点 M （ x ， y ， z ）的坐标满足方程组（7-11），则点 M （ x ， y ， z ）既在平面 Ⅱ ₁ 上又在平面 Ⅱ ₂ 上，从而必在它们的相交直线 L 上，故式（7-11）就是直线 L 的方程，称方程组（7-11）为 空间直线的一般方程 .

通过空间一直线 L 的平面有无限多个，只要在这无限多个平面中任意选取两个，把它们的方程联立起来，所得方程组就是直线 L 的一般式方程.

例 3 用点向式方程和参数方程表示直线

解 方程组中两个方程所表示的平面法向量分别是 n ₁ =（1，1，1）， n ₂ =（2，-1，3），两平面的交线与 n ₁ ， n ₂ 均垂直，即与 n ₁ × n ₂ 平行，故可取 j -3 k 为交线的方向向量.

取直线上的一点（ x ₀ ， y ₀ ， z ₀ ）.不妨取 x ₀ =1，代入方程组，得

解得 y ₀ =0， z ₀ =-2.

根据式（7-9）和式（7-10），得直线的点向式方程为

进而可得直线的参数方程为

三、两条直线的夹角

两直线的方向向量的夹角称为 两直线的夹角 .通常规定

设直线 L ₁ 和 L ₂ 的方向向量分别为 s ₁ =（ m ₁ ， n ₁ ， p ₁ ）和 s ₂ =（ m ₂ ， n ₂ ， p ₂ ），由于直线 L ₁ 和 L ₂ 的夹角 ，故直线 L ₁ 和 L ₂ 的夹角可由公式

确定.

从两直线垂直、平行的充分必要条件可得下列结论：

直线 L ₁ 和 L ₂ 互相垂直的充分必要条件是 m ₁ m ₂ + n ₁ n ₂ + p ₁ p ₂ =0；

直线 L ₁ 和 L ₂ 互相平行的充分必要条件是

例4 求直线 和 的夹角.

解 直线 L ₁ 和 L ₂ 的方向向量分别是 s ₁ =（1，-4，1）和 s ₂ =（2，-2，-1），设直线 L ₁ 和 L ₂ 的夹角为 φ ，则由式（7-12）得

因此 .

四、直线与平面的夹角

设直线 L 与平面 Ⅱ 的法线（平面的垂线）的夹角为 ，则θ的余角 φ 称为 直线 L 与平面 Ⅱ 的夹角 （图7-23）.

如果直线 L 的方向向量为 s =（ m ， n ， p ），平面Ⅱ的法线向量为 n =（ A ， B ， C ），则直线 L 与平面 Ⅱ 的法线的夹角 θ 满足

又由于 ，故直线 L 与平面 Ⅱ 的夹角 φ 可由公式

确定。并且可以推得下列结论：

直线 L 与平面 Ⅱ 垂直的充分必要条件是 ；

直线 L 与平面 Ⅱ 平行的充分必要条件是 Am + Bn + Cp =0.

例5 求直线 与平面 Ⅱ ：2 x + y + z -6=0的交点与夹角.

解 将直线 L 的方程写成参数方程 ，并代入平面方程得

2（2+ t ）+（3+ t ）+（4+2 t ）-6=0，

解得 t =-1.把 t =-1代入直线的参数方程，得交点坐标为（1，2，2）.

又直线 L 的方向向量为 s =（1，1，2），平面 Ⅱ 的法向量为 n =（2，1，1），由式（7-13）得

因此直线 L 与平面 Ⅱ 的夹角 .

五、点到直线的距离

设直线 L 的对称式方程为 ，求直线 L 外一点 M ₁ （ x ₁ ， y ₁ ， z ₁ ）到直线 L 的距离 d （图7-24）.

过直线 L 上点 M ₀ （x ₀ ，y ₀ ，z ₀ ）作向量 ，设以向量 和直线 L 的方向向量 为邻边的平行四边形的面积为 S ，则 .又 S = d × ，故

例6 求点 M ₁ （1，0，2）到直线 的距离.

解 直线 L 的方向向量 s =（2，1，1），直线上一点 M ₀ 的坐标为（-1，-1，0），故

又

所以

有时用平面束的方程解题比较方便，现在来介绍它的方程.

设直线 L 由方程组

所确定，其中系数 A ₁ 、 B ₁ 、 C ₁ 与 A ₂ 、 B ₂ 、 C ₂ 不成比例。建立三元一次方程

其中 λ 为任意常数。因为 A ₁ 、 B ₁ 、 C ₁ 与 A ₂ 、 B ₂ 、 C ₂ 不成比例，所以对于任何一个λ值，方程（7-16）的系数 A ₁ + λA ₂ 、 B ₁ + λB ₂ 、 C ₁ + λC ₂ 不全为零，从而方程（7-16）表示一个平面。若一点在直线 L 上，则点的坐标必同时满足方程（7-14）和方程（7-15），因而也满足方程（7-16），故方程（7-16）表示通过直线 L 的平面且对于不同的 λ 值，方程（7-16）表示通过直线 L 的不同的平面。反之，通过直线 L 的任何平面[除平面（7-15）外]都包含在方程（7-16）所表示的一族平面内。通过定直线的所有平面的全体称为 平面束 ，而方程（7-16）就作为通过直线 L 的 平面束的方程 [实际上，方程（7-16）表示缺少平面（7-15）的平面束].

例7 求直线 在平面 x + y + z =0上的投影直线的方程.

解 过直线 的平面束的方程为（ x + y - z -1）+ λ （ x - y + z +1）=0，

即

其中 λ 为待定常数。该平面与平面 x + y + z =0垂直的条件是（1+ λ ）·1+（1- λ ）·1+（-1+ λ ）·1=0，即 λ +1=0，由此得 λ =-1.代入式（7-17），得投影平面的方程为2 y -2 z -2=0，即 y - z -1=0.所以投影直线的方程为

练习题7-4

1.用点向式方程及参数方程表示直线

2.求过两点 P ₁ （3，-2，1）和 P ₂ （-1，0，2）的直线方程.

3.求过点（4，-1，3）且平行于直线 的直线方程.

4.求过点（2，-3，1）且垂直于平面2 x +3 y + z +1=0的直线方程.

5.求过点（0，1，2）且与直线 垂直相交的直线方程.

6.过点（-1，2，0）向平面 x +2 y - z +1=0作垂线，求垂足坐标.

7.求直线 与直线 的夹角.

8.求直线 与平面 x - y +2 z =0的夹角.

9.求过点 M ₀ 1，0，-2且垂直于平面2 x - y +3 z =0的直线方程.

10. 求直线 在平面4 x - y + z =1上的投影直线的方程. JO9nvYo7yCiMXX72NsV+XsujkYUXDxL2Ma8NnDGvNRcgt/Y0rWa7WaJvIJwhk0Fy