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佯谬和悖论在英语中是同一个词：paradox，而在中文中这两个词的意思稍有不同，笔者喜欢中文中这两个词的微妙区别，用它表明物理佯谬与数学悖论之不同恰到好处，尽管许多时候这两个词被人们交叉使用。
中文中的“悖论”，一般指因为数学定义不完善，或逻辑推理的漏洞而导出了互为矛盾的结果。比如著名的“理发师悖论”。传说有一个理发师，将他的顾客集合定义为城中所有“不给自己理发之人”。但某一天，当他想给自己理发时却发现他的“顾客”定义是自相矛盾的。因为如果他不给自己理发，他自己就属于“顾客”，就应该给自己理发；但如果他给自己理发，他自己就不属于“顾客”了，但他给自己理了发，又是顾客，到底自己算不算顾客？该不该给自己理发？这逻辑似乎怎么也理不清楚，由此而构成了“悖论”。
理发师悖论实际上等同于罗素悖论。英国哲学家及数学家伯特兰·阿瑟·威廉·罗素（Bertrand William Russell，1872—1970）提出的这个悖论当时在数学界引起轩然大波，或者称之为引发了第三次数学危机，因为那时的数学家们正在庆幸G.康托（G. Cantor，1845—1918）的“集合论”解决了数学的基础问题，没想到这个基础之基础自身却裂了一条大口。
数学的三次危机都可以说是与悖论联系在一起的。第一次数学危机可追溯到古希腊时代的希帕索斯悖论，起因于研究某些三角形边长比例时发现的无理数，泄露这个“怪数”的学者希帕索斯（Hippasus，大约公元前500年）被他的同门弟子扔进大海处死。第二次危机则与芝诺悖论及贝克莱悖论有关，基于对无穷小量本质的研究，它的解决为牛顿、莱布尼茨创建的微积分学奠定了基础。毕达哥拉斯学派在淹死了希帕索斯之后，对错误有所认识，被迫承认了无理数，并提出了“单子”，它有点类似“极小量”的概念。不过，这个做法却遭到了诡辩数学家芝诺的嘲笑，他抛出一个快跑运动员阿格里斯永远也追不上乌龟的“芝诺悖论”，令历代数学家们反复纠结不已。牛顿发明微积分之后，虽然在实用上颇具优势，但理论基础尚未完善，贝克莱等人便用悖论来质疑牛顿的无穷小量，将其称之为微积分中的“鬼魂”。
因为前两次数学危机的解决，建立了实数理论和极限理论，最后又因为有了康托的集合论，数学家们兴奋激动，认为数学第一次有了“基础牢靠”的理论。
然而，当初康托的集合论对“集合”的定义太原始了，以为把任何一堆什么东西放在一起，只要它们具有某种简单定义的相同性质，再加以数学抽象后，就可以叫做“集合”了。可没有想到如此“朴素”的想法也会导致许多悖论，罗素悖论是其一。因此，这些悖论解决之后，人们便将康托原来的理论称为“朴素集合论”。
实际上，集合可以分为在逻辑上不相同的两大类，一类（A）可以包括集合自身，另一类（B）不能包括自身。可以包括自身的，比如说，图书馆的集合仍然是图书馆；不能包括自身的，比如说，全体自然数构成的集合并不是一个自然数。
显然一个集合不是A类就应该是B类，似乎没有第三种可能。但是，罗素问：由所有B类集合组成的集合X，是A类还是B类？如果你说X是A类，则X应该包括其自身，但是X是由B类组成，不应该包括其自身。如果你说X是B类，则X不包括其自身，但按照X的定义，X包括了所有的B类集合，当然也包括了其自身。总之，无论把X分为哪一类都是自相矛盾的，这就是罗素悖论（Russell paradox），即理发师悖论的学术版。
还有一个与朴素集合论有关的悖论，叫作“说谎者悖论”（Liar paradox），由它引申出来许多版本的小故事。它的典型语言表达为：“我说的话都是假话”。为什么说它是悖论？因为如果你判定这句话是真话，便否定了话中的结论，自相矛盾；如果你判定这句话是假话，那么引号中的结论又变成了一句真话，仍然产生矛盾。
上述这两个悖论导致了一种“左也不是，右也不是”的尴尬局面。说谎者悖论中的那句话，无论说它是真还是假，都有矛盾；而罗素悖论中的集合X，包含自己或不包含自己，也都有矛盾。朴素集合论产生的另一个有趣悖论“Curry's paradox”，与上述两个悖论有点不一样，它导致的荒谬结论是“左也正确，右也正确”，永远正确！
我们也可以用自然语言来表述“Curry's paradox”。比如，我说：
“如果这句话是真的，则马云是外星人。”根据数学逻辑，似乎可以证明这句话永远都是真的，为什么呢？因为这是一个条件语句，条件语句的形式为“如果A，则B”，其中包括了两部分：条件A和结论B。这个例子中，A=这句话是真的，B=马云是外星人。如何证明一个条件语句成立？如果条件A满足时，能够导出结论B，这个条件语句即为“真”。那么现在，将上述的方法用于上面的那一句话，假设条件“这句话是真的”被满足，“这句话”指的是引号中的整个叙述“如果A，则B”，也就是说，A被满足意味着“如果A，则B”被满足，亦即B成立。也就得到了B“马云是外星人”的结论。所以，上面的说法证明了此条件语句成立。
但是，我们知道事实上马云并不是外星人，所以构成了悖论。此悖论的有趣之处并不在于马云是不是外星人，而是在于我们可以用任何荒谬结论来替代B。那也就是说，通过这个悖论可以证明任何荒谬的结论都是“正确”的。如此看来，这个悖论实在太“悖”了！
以上三个悖论都牵涉到“自我”指涉（self-reference）的问题。理发师不知道该不该给“自己”理发？说谎者声称的是“我”说的话。“Curry's paradox”产生悖论的关键是“这句话”的语义表达中包括了条件和结论两者。看起来，将自身包括在“集合”中不是好事，可能会产生出许多意想不到的问题，那么，如果将自身排除在集合之外，悖论不就解决了吗？也许问题并非那么简单，但总而言之，这些悖论提醒数学家们重新考察集合的定义，为它制定了一些“公理”作为条条框框，从而使得康托的朴素集合论走向了现代的“公理集合论”。
上面只是数学中的几个简单悖论，数学中的悖论只和理论自身的逻辑有关，修改理论便可解决。物理中的佯谬除了与理论自身的逻辑体系有关之外，还要符合实验事实。打个比方，数学理论的高楼大厦自成一体，建立在自己设定的基础结构之上。物理学中则有“实验”和“理论”两座高楼同时建造，彼此相通相连、不断更新。理论大厦不仅仅要满足自身的逻辑自洽，还要和旁边的实验大楼统一考虑，每一层都得建造在自身的下一层以及多层实验楼的基础之上。因此，在物理学发展的过程中，既有物理佯谬，也有数学悖论，可能还有一些未理清楚难以归类的混合物产生出来，也许这可算是英语中使用同一个单词表达两者的优越性。
前面提到过，数学史上的三次危机以及导致危机的悖论的根源，都与连续和无限有关，都是由于无限进入到人的思维领域中而导致思考方法不同而产生的。第一次是从整数、分数扩展到实数，虽然整数和分数在数目上也有无限多，但本质上仍然有别于（小数点后数字）无限不循环的无理数。第二次危机中的微积分革命导致对“无限小”本质的探讨，推导总结发展了极限理论。第三次危机涉及的“集合”，显然需要更深究“无限”的概念。
看来，的确如数学家外尔所说：“数学是无限的科学”。实际上“无限”的概念对物理学和其他科学也至关重要，宇宙有限还是无限？物质是否可以“无限”地分下去？存在“终极理论”吗？人类思维有极限吗？我们（细胞数目）有限的大脑，能真正想通“无限”这个问题吗？就像小狗永远也学不会微积分那样，有些东西对我们人类的大脑来说，是不是也可能是永远无法认知的？
科学研究就是提出和解决悖论、佯谬的过程。正如数学史上悖论引发的三次危机，既是危机又是契机，有力地推动了数学的发展，促进了人类的进步。