引言

我们很幸运生活在一个继续发现的时代。就像发现

美洲新大陆一样——你只能发现一次。我们是生活

在一个发现自然基本定律的时代。

——美国物理学家　理查·费恩曼　1964年

本书摘选了数学史上最重要的31部典范之作，它们汇成了对那些推进人类认识世界并为现代科学技术开山铺路的数学家们的赞歌。

许多世纪以来，数学家们努力帮助人类达到对自然的伟大洞察，诸如认识到地球是圆的、使苹果落地和使重物运动的是同一种力、空间是有限的和非永恒的、时空相互联系并因物质和能量而弯曲，以及未来只能或然地确定。我们认识世界方式的变革总是与数学思想的变革携手并进。没有笛卡儿的解析几何和牛顿自己发明的微积分，牛顿绝不可能建立其力学定律；没有傅里叶的方法和由高斯、柯西引领的微积分和复变函数论研究，很难想象电动力学和量子理论的发展——正是勒贝格的测度理论使冯·诺伊曼得以奠定量子力学的严格基础；同样，不借助黎曼的几何思想，爱因斯坦也不可能完成他的广义相对论；而事实上，如果没有拉普拉斯的概率统计概念，整个近代科学就不可能如此影响巨大（如果确有影响的话）。

迄今还没有哪一种智力探索比数学研究对物理科学更为重要。然而数学不仅仅是科学的工具和语言，它还有自身的目的。长期以来，数学一直影响着我们的世界观。魏尔斯特拉斯提出了崭新的函数连续性概念；康托尔的工作革新了人们对无限的认识；布尔的《思维规律》揭示了逻辑作为一种程序系统服从与代数相同的规律，从而阐明了思维的本质，最终能够在一定程度上使思维的机械化，即现代数字计算机得以实现；早在有可能在计算机上进行熟练的计算之前很久，图灵就阐明了数值计算的威力和局限；哥德尔证明了一条使许多哲学家和所有其他相信绝对真理的人大感困惑的定理：任何一个足够复杂的逻辑系统（例如算术）一定存在一个既不能证明也不能证伪的命题。更糟糕的是，他同时还证明了：一个系统在逻辑上是否相容的问题不可能由该系统本身获得证明。

这部引人入胜的文集展示了所有这类突破性的发展，25个世纪来数学的核心思想，通过原始文献来追踪古往今来数学思想的进化与变革。

本书选载的第一篇文献是公元前300年左右欧几里得的著作，不过早在公元前3500年以前埃及人和巴比伦人就已经发展了令人印象深刻的数学计算能力。埃及人运用这种技能建造了伟大的金字塔并实现了其他令人惊异的目标，然而埃及人的计算缺乏某种后来被认为对数学来说至关重要的品质，即严格性。例如，古代埃及人将一个圆的面积等同于一个边长为其直径的8/9的正方形的面积。这一方法相当于取数学常数π的值为256/81.一方面，这是了不起的，因为它与精确值的误差还不到百分之零点五。但另一方面，这一结果是完全错误的。为什么要在乎百分之零点五的误差呢？因为埃及人的近似值忽视了π的真值的一个深刻而基本的性质：它根本不可能写成任何分数的形式。这是一个原则问题，与任何纯粹的数量精确性问题无关。π的无理性直到19世纪后半叶才被证明，早期希腊人确实发现了不能用分数表示的数，这使他们感到困惑和震惊。希腊人的高明之处在于：他们认识到数学中原则的重要性，认识到数学本质上是一门从一套概念和法则出发、严格地推导出精确结果的学科。

公元前300年左右，亚历山大城欧几里得的《原本》集希腊几何知识之大成。在随后几个世纪里，希腊人在几何与代数两个领域里都作出了重大的推进。阿基米德可谓古代世界最伟大的数学家，他深入研究几何图形的性质并创造了求面积和体积以及计算π的新的近似值的天才方法。另一位亚历山大数学家丢番图考察了代数问题中文字和数字混杂的情况，指出抽象可以使数学极大地简化。因此丢番图应该是在代数中引进符号的第一人。1000多年以后，法国人笛卡儿将代数与几何两大领域结合起来而开创了解析几何。笛卡儿的工作为牛顿发明微积分铺平了道路，微积分与解析几何共同标志着科学研究的崭新方法。自牛顿时代以来，数学创新的步伐始终激动人心，数学的基础学科代数、几何与微积分（或函数理论）相互渗透、相互滋养，并引发在诸如概率论、数论和热的理论等各种不同领域的深入应用。随着数学的成熟，它所提出的问题也越来越深刻：本书选录的最后两位思想家哥德尔和图灵也许提出了最深刻的问题——什么是可知？数学的未来发展将一如既往，肯定会（直接或间接地）影响我们的生活方式和思维方式。古代世界创造了体力的奇迹，例如埃及的金字塔。而正如本书所阐明的，现代世界的奇迹则是我们自身智力的奇迹。

（李文林　译）