第二卷

前言

我已经一般论述了可望用来解释一切天体现象的地球的三重运动［Ⅰ，11］。下面我将尽我所能通过对问题进行分析和研究来做到这一点。我将从最为人们所熟知的一种运转即昼夜更替谈起。我已经说过［Ⅰ，4］，希腊人称之为nuchthemeron。我认为它特别是由地球的运动直接引起的，因为月、年以及其他名称的时间间隔都源于这种旋转，一如数起源于一，时间是运动的量度。因此，对于昼夜的不等、太阳和黄道各宫的出没，以及这种旋转诸如此类的结果，我只想谈很少的一点看法，因为许多人已经就这些话题写了足够多的论著，而且他们所说的与我的看法和谐一致。他们的解释以地球不动和宇宙旋转为基础，而我以相反的立场能够实现同一目标，这实际上没有差别，因为相互关联的现象往往显示出一种可反转的一致性。不过我不会漏掉任何必不可少的事物。如果我仍然谈及太阳和恒星的出没，等等，大家不应感到惊奇，而应认为我使用的是一种能为所有人接受的惯常术语。我总是牢记：“大地载我辈，日月经天回，星辰消失后，终将再返归。”

第一章　圆及其名称

我已经说过［Ⅰ，11］，赤道是绕地球周日旋转的两极所描出的最大纬圈，而黄道则是通过黄道各宫中心的圆，地心在黄道下面做周年运转。但由于黄道与赤道斜交，地轴倾斜于黄道，所以由于地球的周日旋转，其倾角的最外极限在赤道两侧各描出一个与黄道相切的圆。这两个圆被称为“回归线”，因为太阳在这两条线上（即在冬天和夏天）会改变方向。因此北边的一个圆通常被称为“夏至线”，南边的则被称为“冬至线”。这在前面对地球圆周运动的一般论述中已经讲过了。［Ⅰ，11］

接下来是被罗马人称为“分界圆”的所谓“地平圈”，因为它是宇宙的可见部分与不可见部分的分界线。一切出没的星体似乎都在地平圈上升起和沉没。它的中心位于大地表面，极点则在我们的天顶。但由于地球的尺寸根本无法与天的浩瀚相比，根据我的构想，即使日月之间的距离也无法与天的广袤相比，所以正如我在前面所说［Ⅰ，6］，地平圈就像一个通过宇宙中心的圆，把天平分。但是地平圈与赤道斜交，因此它也同赤道两边的一对纬圈相切：北边是可见星辰的边界圆，南边是不可见星辰的边界圆。普罗克洛斯（Proclus）和大多数希腊人把前者称为“北极圈”，把后者称为“南极圈”。它们随地平圈的倾角或赤极的高度而增大或减小。

还剩下穿过地平圈两极以及赤极的子午圈，因此子午圈同时垂直于这两个圆。当太阳到达子午圈时，它指示出正午或午夜。但地平圈和子午圈这两个中心位于地面的圆，完全取决于地球的运动和我们在特定位置的视线。因为在任何地方，眼睛都充当了所有可见物体的天球的中心。因此，正如埃拉托色尼（Eratosthenes）、波西多尼奥斯（Posidonius）等研究宇宙结构和地球尺寸的人清楚表明的，所有这些在地球上假定的圆也是它们在天上的对应圆和类似圆的基础。这些圆也有专门的名称，尽管其他圆可以有无数种命名方式。

第二章　黄道倾角、回归线的间距以及这些量的测量方法

由于黄道倾斜地穿过两回归线和赤道之间，我认为现在应当研究一下回归线的间距以及黄赤交角的大小。通过感官、借助仪器当然可以得到这个非常珍贵的结果。为此，我们制作一把木制矩尺，最好是用更结实的原料（比如石头或金属）来做，以免木头被空气吹动，使观测者得出错误的结果。矩尺的一个表面应十分光滑，并且长度足以刻上分度，也就是说有五六英尺长。现在与它的尺寸成正比，以一个角为中心，画出圆周的一个象限，并把它分成90个相等的度，再把每一度分成60分或任何可能的分度。在（象限的）中心安装一个精密加工过的圆柱形栓子，使栓子垂直于矩尺表面，并且略为突出一些，约达一根手指的宽度。

仪器制成之后，接下来要在置于水平面的地板上测量子午线。地板应当用水准器尽可能精确地校准，使之不致发生任何倾斜。在这个地板上画一个圆，并在圆心竖起一根指针。在中午以前的某一时刻观察指针的影子落在圆周上的位置，并把该处标记出来，下午再做类似的观测，并把已经标记出的两点之间的圆弧平分。通过这种方法，从圆心向平分点所引直线必将为我们指示出南北方向。

以这条线为基线，把仪器的平面垂直竖立起来，其中心指向南方。从中心所引铅垂线与子午线正交。这样一来，仪器表面必然包含子午线。

因此在夏至和冬至，正午的日影将被那根指针或圆柱体投射到中心，从而可以进行观测。可以利用前面讲的象限弧更准确地确定影子的位置。还要尽可能精确地记下影子中心的度数和分数。如此一来，夏至和冬至两个影子之间的弧长就给出了回归线的间距和黄道的整个倾角。取这个距离的一半，我们就得到了回归线与赤道之间的距离，而黄赤交角的大小也就显然可得了。

托勒密测定了前面所说的南北两极限之间的距离，如果取整个圆周为360°，那么这个距离就是47°42′40″［《天文学大成》，Ⅰ，12］。他还发现，在他之前希帕克斯和埃拉托色尼的观测结果与此相符。如果取整个圆周为83单位，则这个距离为11单位。于是这个间距的一半（即23°51′20″）就给出了回归线与赤道之间的距离以及与黄道的交角。托勒密因此认为这些值是永恒不变的常数。但从那以来，人们发现这些值一直在减小。我的一些同时代人和我都发现，两回归线之间的距离现在不大于约46°58′，交角不大于23°29′。所以现在已经足够清楚，黄道的倾角也是可变的。我在后面［Ⅲ，10］还要通过一个非常可靠的猜测表明，这个倾角过去从未大于23°52′，将来也决不会小于23°28′。

第三章　赤道、黄道与子午圈相交的弧和角；赤经和赤纬对这些弧和角的偏离及其计算

正如我所说［Ⅱ，1］，宇宙各部分在地平圈上升起和沉没，我现在要说的是，子午圈把天穹分为相等的两部分。在24小时周期内，子午圈走过黄道和赤道，并且在春分点和秋分点把它们的圆周分割开来，反过来，子午圈又被两圆相截的弧分割开。因为它们都是大圆，所以就形成了一个球面三角形。根据定义，子午圈通过赤极，所以子午圈与赤道正交，该三角形为直角三角形。在这个三角形中，子午圈的圆弧，或者通过赤极并以这种方式截出的圆弧称为黄道弧段的“赤纬”，赤道上的相应圆弧称为“赤经”，它与黄道上与之相关的弧一同升起。

所有这些很容易在一个凸三角形上说明。设ABCD为同时通过赤极和黄极的圆，大多数人称此圆为“分至圈”。设AEC为黄道的一半，BED为赤道的一半，E为春分点，A为夏至点，C为冬至点。设点F为周日旋转的极，在黄道上，设弧EG＝30°，通过它的端点画出象限FGH。在三角形EGH中，边EG＝30°，∠GEH已知，当它为极小时，如果取四直角＝360°，则∠GEH＝23°28′。这与赤纬AB的最小值相符。∠GHE＝90°。因此，根据球面三角形的定理四，三角形EGH的各边角均可求得。可以证明，弦2EG：弦2GH＝弦2AGE或球的直径：弦2AB，它们的半弦之间也有类似比例。由于 弦2AGE＝半径＝100000， 弦2AB＝39822， 弦2EG＝50000。而且如果四个数成比例，那么中间两数之积等于首尾两数之积，因此， 弦2GH＝19911，由表可查得，弧GH＝11°29′，即为弧段EG的赤纬。因此在三角形AFG中，象限的剩余部分边FG＝78°31′，边AG＝60°，∠FAG＝90°。同理， 弦2FG: 弦2AG＝ 弦2FGH: 弦2BH。现在其中有三个量已知，所以第四个量也可求得，亦即弧BH＝62°6′，这是从夏至点算起的赤经，HE＝27°54′，即为从春分点算起的赤经。类似地，由于边FG＝78°31′，边AF＝66°32′，∠AGE＝90°，∠AGF与∠HGE为对顶角，所以∠AGF＝∠HGE＝69°23 ′。在其他所有情况下，我们都将遵循此例。

然而我们不应忽视这一事实，即子午圈在黄道与回归线相切之处与黄道正交，因为正如我已经说的，那时子午圈通过黄极。但在二分点，子午圈与黄道的交角小于直角，并且随着黄赤交角偏离直角越多，该交角比直角就越小，因此现在子午圈与黄道的交角为66°32′。我们还应注意到，从二至点或二分点量起的黄道上的等弧，伴随着三角形的等角或等边。作赤道弧ABC和黄道弧DBE，二者交于分点B。取FB和BG为等弧。通过周日旋转极K、H作两象限KFL和HGM。于是就有了两个三角形FLB和BMG，其中边BF＝边BG，∠FLB＝∠GBM，∠FLB＝∠GMB＝90°，因此，根据球面三角形的定理六，这两个三角形的对应边角都相等。于是，赤纬FL＝赤纬GM，赤经LB＝赤经BM，∠F＝∠G。

如果假设等弧从一个至点量起，情况也是一样的。设等弧AB和BC位于分点B的两侧，B为回归线与黄道的相切点。从赤极D作象限DA和弧DC，并连接DB，于是也可得两个三角形ABD和DBC。底边AB＝底边BC，边BD是公共边，∠ABD＝∠CBD＝90°，因此，根据球面三角形的定理八，这两个三角形的对应边角均相等。由此可知，对黄道的一个象限编制这些角与弧的表，整个圆周的其他象限也将适用。

在以下对表的说明中，我将引用一个这些关系的例子。第一列为黄道度数，第二列为与这些度数相对应的赤纬，第三列为黄道达到最大倾角时出现的赤纬与局部赤纬相差的分数，其最大差值为24′。赤经表与子午圈角度表也是这样编制的。当黄道倾角改变时，与之相关的各项也必然会改变。而赤经变化非常小，它不超过一“时度”（time）（古人把与黄道分度一同升起的赤道分度称作“时度”）的 ，而在一小时里只有一“时度”的 。正如我已经多次说过的，这些圆都有360个单位。但为了区别它们，多数古人都把黄道的单位称为“度”，而把赤道的单位称为“时度”。我在下面也要沿用这种名称。尽管这个差值小到可以忽略，但我仍要单辟一栏把它列进去。因此，只要我们根据黄道的最小倾角与最大倾角之差进行相应的修正，这些表也适用于黄道的任何其他倾角。举例来说，如果倾角为23°34′，我们想知道黄道上从分点量起的30°的赤纬有多大，则从表上可以查到赤纬为11°29′，差值为11′。当黄道倾角为最大即我说过的23°52′时，应把11′加上23°52′。但我们已经确定了倾角为23°34′，它比最小倾角大6′，而6′是最大倾角大于最小倾角的24′的四分之一。由于3′:11′≈6′:24′。如果把3′加上11°29′，便得到黄道上30°弧从赤道算起的赤纬为11°32′。子午圈角度表与赤经表也是一样的，只是必须总对赤经加上差值，而对子午圈角度减去差值，这样才能使一切随时间变化的量更加精确。

第四章　如何测定黄道外任一黄经黄纬已知的星体的赤经赤纬，以及它过中天时的黄道度数

以上谈的是黄道、赤道、子午圈及其交点。但对于周日旋转来说，重要的不仅是知道那些出现在黄道上的太阳现象的起因，还要用类似的方法对那些位于黄道以外的、黄经黄纬已知的恒星或行星求出从赤道算起的赤纬和赤经。

设ABCD为通过赤极和黄极的圆，AEC为以点F为极的赤道半圆，BED为以点G为极的黄道半圆，它与赤道交于点E。从极点G作弧GHKL通过一恒星，设恒星位于给定的点H，从周日旋转极点过该点作象限FHMN。于是显然，位于点H的恒星与点M和点N同时落在子午圈上。弧HMN为恒星从赤道算起的赤纬，EN为恒星在球面上的赤经，它们即为我们所要求的坐标。

在三角形KEL中，由于边KE已知，∠KEL已知，∠EKL＝90°，因此，根据球面三角形的定理四，边KL可以求得，边EL可以求得，∠KLE也可求得。于是相加可得，弧HKL可求得。因此，在三角形HLN中，∠HLN已知，∠LNH＝90°，边HL也可求得。同样根据球面三角形的定理四，其余的边——恒星的赤纬HN以及LN——也可求得。余下的距离即为赤经NE，即天球从分点向恒星所转过的弧长。

或者采用另一种方法。如果我们在前面取黄道上的弧KE为LE的赤经，则LE可由赤经表查得，与LE相应的赤纬LK也可由表查得，∠KLE可由子午圈角度表查得。于是如我已经证明的，其余的边和角就可求得了。然后，由赤经EN可得恒星与点M过中天时的黄道度数EM。

第五章　地平圈的交点

正球的地平圈与斜球的地平圈不同。在正球中，地平圈是与赤道垂直或通过赤极的圆。而在斜球中，赤道倾斜于被称为地平圈的圆。因此在正球中，所有星体都在地平圈上出没，昼夜总是等长。子午圈把所有周日旋转所形成的纬圈平分，并且通过它们的极点，在那里就出现了我在讨论子午圈时［Ⅱ，1，3］ 所解释过的现象。然而，我们现在所说的白昼是指从日出到日没，而不是通常所理解的从天亮到天黑，或者说是从晨光熹微到华灯初上。我在后面讨论黄道各宫的出没时［Ⅱ，13］还要谈到这一问题。

另一方面，在地轴垂直于地平圈的地方没有天体出没。只要不受其他某种运动比如绕太阳周年运转的影响，每个星体都将描出一个使其永远可见或永远不可见的圆。结果，那里白昼要持续半年之久，其余时间则是黑夜。而且除了冬夏之别也没有其他差别，因为在那种情况下地平圈与赤道是重合的。

而对于斜球来说，有些天体会有出没，而另一些则永远可见或永远不可见。同时，昼夜并不等长。斜地平圈与两纬圈相切，纬圈的角度视地平圈的倾角而定。在这两条纬圈中，与可见天极较近的一条是永远可见天体的界限，而与不可见天极较近的另一条纬圈则是永远不可见天体的界限。因此，除赤道这个最大的纬圈以外（大圆彼此平分），完全落在这两个界限之间的地平圈把所有纬圈都分成了不等的弧段。于是在北半球，斜地平圈把纬圈分成了两段圆弧，其中靠近可见天极的一段大于靠近不可见的南极的一段。南半球则情况相反。太阳在这些弧上的周日视运动产生了昼夜不等长的现象。

第六章　正午日影的差异

因为正午的日影各不相同，所以有些人可以被称为环影人，有些人被称为双影人，还有些人被称为异影人。环影人可以从各个方向接受日影。这些人的天顶或地平圈的极点与地球极点之间的距离，要小于回归线与赤道之间的距离。在那些地区，作为永远可见或永不可见的星体的界限，与地平圈相切的纬圈大于或等于回归线。因此在夏天，太阳高悬于永远可见星体之中，把日晷的影子投向四面八方。但是在地平圈与回归线相切的地方，回归线就成了永远可见和永远不可见的星体的界限。因此在至日，太阳看起来是在午夜掠过地球，那时整个黄道与地平圈重合，黄道的六个宫迅速同时升起，相对各宫则同时沉没，黄极与地平圈的极点相重合。

双影人的正午日影落向两侧，他们生活在两回归线之间，古人把这个区域称为中间带。正如欧几里得在《现象》（Phaenomena）中的定理二所证明的，因为在整个区域，黄道每天要从头顶上经过两次，所以在那里日晷的影子也要消失两次：随着太阳的往来穿梭，日晷有时把日影投向南方，有时把日影投向北方。

剩下像我们这样居住在双影人和环影人之间的人是异影人，因为我们只把自己的正午日影投向一个方向，即北方。

古代数学家习惯用一些穿过不同地方的纬圈把地球分为七个地区，这些地区是梅罗（Meröe）、息宁（Siona）、亚历山大城、罗得岛（Rhodes）、达达尼尔海峡（Hellespont）、黑海中央、第聂伯河（Boristhenes）和君士坦丁堡等。这些纬圈是根据以下三点选取的：一年中在一些特定地点最长白昼的长度之差及其增加、在分日和至日正午用日晷观测到的日影长度，以及天极的高度或每一地区的宽度。由于这些量随时间发生某种变化，它们现在已经与以前有所不同了。正如我所提到的［Ⅱ，2］，其原因就是黄道倾角可变，而以前的天文学家忽视了这一点。或者说得更确切些，是赤道相对于黄道面的倾角可变，而那些量依赖于这个倾角。但天极的高度或所在地的纬度以及分日的日影长度，都与古代的观测记录相符。这是必然的，因为赤道取决于地球的极点。因此，那些地区不能由特殊日期落下的日影足够精确地决定，而要由它们与赤道之间永远保持不变的距离来更加准确地决定。然而，尽管回归线的变化非常小，但它却能使南方地区的白昼和日影产生微小的变化，而对于向北走的人来说，这种变化就更为显著了。

至于日晷的影子，显然无论太阳处于何种高度，都可以得出日影的长度，反之亦然。设日晷AB投下日影BC。由于日晷垂直于地平面，根据直线与平面垂直的定义，∠ABC必然总为直角。连接AC，便得到直角三角形ABC。如果已知太阳的一个高度，就可以求得∠ACB。根据平面三角形的定理一，日晷AB与其影长BC之比可以求得，BC的长度也可求得。与此相反，如果AB和BC已知，那么根据平面三角形的定理三，∠ACB和投影时太阳的高度便可求得。通过这种方法，古人在描述地球上那些地区的过程中，有时在分日、有时在至日对每一地区确定了正午日影的长度。

第七章　如何相互导出最长白昼、日出间距和天球倾角；白昼之间的余差

无论天球或地平圈有何种倾角，我都将同时说明最长和最短的白昼、日出间距以及白昼之间的余差。日出间距是在冬夏二至点的日出在地平圈上所截的弧长，或者是至点日出与分点日出的间距。

设ABCD为子午圈，BED为东半球上的地平圈半圆，AEC为以点F为北极的赤道半圆。取点G为夏至时的日出点，作大圆弧FGH。因为地球绕赤极F旋转，所以点G和点H必然同时到达子午圈ABCD。纬圈都是围绕相同的极点作出的，所以过极点的大圆会在纬圈上截出相似的圆弧。因此，从点G的日出到正午的时间量出弧AEH，而从午夜到日出的时间也量出地平圈下面半圆的剩余部分CH。AEC是一个半圆，而AE和EC是过ABCD的极点画出的象限，所以EH将等于最长白昼与分日白昼之差的一半，EG将是分日与至日的日出间距。于是在三角形EGH中，球的倾角GEH可由弧AB求得。∠GHE为直角，夏至点与赤道之间的距离GH也可知。其余各边可根据球面三角形的定理四求得：边EH为最长白昼与分日白昼之差的一半，边GE为日出间距。如果除了边GH以外，边EH（最长白昼与分日白昼之差的一半）或EG已知，则球的倾角E可知，因此极点位于地平圈之上的高度FD也可求得。

其次，假设黄道上的点G不是至点，而是任何其他点，弧EG和弧EH也可求得。从前面所列的赤纬表可以查到与该黄道度数相对应的赤纬弧GH，其余各量可用同一方法获得。因此还可知，在黄道上与至点等距的分度点在地平圈上截出与分点日出等距且同一方向的圆弧，并使昼夜等长。之所以如此，是因为黄道上的这两个分度点都在同一纬圈上，它们具有相同的赤纬且在同一方向上。但如果从与赤道的交点沿两个方向取相等的弧，那么日出间距仍然相等，但方向相反。昼夜也是等长的，因为它们在分点两边描出纬圈上的相等弧长，正如黄道上与分点等距的两点从赤道算起的赤纬是相等的。

在同一图形中，设两纬圈弧GM和KN与地平圈BED交于点G和点K，LKO为从南极点L作的一条大圆象限。由于赤纬HG＝赤纬KO，所以DFG和BLK两个三角形各有两对应边相等：FG＝LK，极点的高度相等，即FD＝LB，∠D＝∠B＝90°，因此第三边DG＝第三边BK。它们的剩余部分即日出间距GE＝EK。因为这里也有边EG＝边EK，边GH＝边KO，且对顶角∠KEO＝∠GEH，边EH＝边EO，EH＋90°＝OE＋90°，所以弧AEH＝弧OEC。但由于通过纬圈极点的大圆在球面平行圆周上截出相似圆弧，所以GM和KN相似且相等。证毕。

然而，这些都可作另一种说明。同样以点E为中心作子午圈ABCD。设赤道直径以及赤道与子午圈的交线为AEC，BED为地平圈与子午圈的直径，LEM为球的轴线，点L为可见天极，点M为不可见天极。设AF为夏至点的距离或其他任何赤纬。在这个赤纬处画纬圈，其直径为FG，它也是该纬圈与子午面的交线。FG与轴线交于点K，与子午圈交于点N。根据波西多尼奥斯的定义，平行线既不汇聚也不发散，它们之间的垂线处处相等，因此KE＝ 弦2AF。类似地，KN将是半径为FK的纬圈上的弧的两倍所对半弦，该弧的两倍表示分点日与其他日之差，因为所有以这些线为交线和直径的半圆——即斜地平圈BED、正地平圈LEM、赤道AEC和纬圈FKG——都垂直于圆周ABCD的平面。根据欧几里得《几何原本》Ⅺ，19，它们相互之间的交线分别在E、K、N各点垂直于同一平面。根据Ⅺ，6，这些垂线彼此平行。点K为纬圈的中心，而点E为球心，因此EN为代表纬圈上的日出点与分日日出点之差的地平圈弧的两倍所对半弦。由于赤纬AF与象限的剩余部分FL均已知，所以弧AF的两倍所对半弦KE，以及弧FL的两倍所对半弦FK就能以AE等于100000的单位定出。但是在直角三角形EKN中，∠KEN可由极点高度DL得出，余角∠KNE等于∠AEB，因为在斜球上，纬圈与地平圈的倾角相等，各边均可以球半径等于100000的单位得出，所以KN也能以纬圈半径FK等于100000的单位得出。KN为代表分日与纬圈一日之差的弧所对半弦，它同样能以纬圈等于360°的单位得出。于是，FK:KN显然由两个比构成，一是弦2FL：弦2AF，即FK:KE，二是弦2AB：弦2DL，后一比值等于EK:KN，也就是说，取EK为FK和KN的比例中项。类似地也有BE:EN由BE:EK和KE:EN构成。托勒密用球面弧段对此作了详细说明［《天文学大成》，Ⅰ，13］。我相信，用这种方法不仅昼夜不等可以求得，而且对于月球和恒星，如果已知赤纬，则它们在地平圈之上由周日旋转所描出的纬圈弧段就可以同地平圈之下的弧段区分开来，于是月球和恒星的出没就容易得知了。

第八章　昼夜的时辰及其划分

由此可见，在天极高度已知的情况下，可以由表查出对应于太阳赤纬的白昼的差值。如果是北半球的赤纬，就把这个差值与一个象限相加；如果是南半球的赤纬，就把这个差值从一个象限中减去，然后再把得到的结果增加一倍，我们便得到了白昼的长度，圆周的其余部分就是黑夜的长度。

把这两个量的任何一个除以赤道的15度，就得到它含有多少个相等的小时。但如果取 ，我们就得到了一个季节时辰的长度。这些时辰根据其所在的日期命名，每个时辰总是一天的 。因此我们发现，古人曾用过“夏至时辰、分日时辰和冬至时辰”这些名称。然而起初，除了从日出到日没的12个小时以外，并没有别的时辰。但古人习惯于把一夜分成四更。这种时辰规定得到了各国的默认，从而沿用了很长时间。为了执行这一规定，人们发明了水钟。通过滴水的增减变化，人们可以对白昼的差值调节时辰，即使在阴天也能知道时刻。但到了后来，当对白天和夜间都适用的更易观测的等长时辰得到广泛应用之后，季节时辰就废止不用了。于是，如果你问一个普通人，什么是一天当中的第一、第三、第六、第九或第十一小时，他将给不出任何回答或答非所问。此外，关于等长时辰的编号，有人从正午算起，有人从日没算起，有人从午夜算起，还有人从日出算起，这由各个国家自行决定。

第九章　黄道弧段的斜球赤经；当黄道任一分度升起时，如何确定在中天的度数

前面已经说明了昼夜的长度及其差异，接下来要说的是斜球经度，即黄道十二宫或黄道的其他弧段升起的时刻。赤经与斜球经度之间的差别，就是我已经说过的分日与昼夜不等长日之间的差别。古人借动物的名称来给由不动恒星组成的黄道各宫命名，从春分点开始，它们依次为白羊、金牛、双子、巨蟹等。

为了把问题说得更清楚，我们重新绘出子午圈ABCD。设赤道半圆AEC与地平圈BED交于点E。取点H为分点。设黄道FHI通过点H，并与地平圈交于点L。从赤极K过交点L作大圆象限KLM。于是显然，黄道弧HL与赤道弧HE一同升起。但在正球中，弧HL与弧HEM一同升起，它们的差是弧EM。前已说明［Ⅱ，7］，EM是分日与其他日期的白昼之差的一半。但对于北半球赤纬来说，这里应当从赤经减去加到大圆象限的量，而对于南半球赤纬来说，它应该与赤经相加以得到斜球经度。因此，整个宫或黄道上其他弧段升起的大小可由该宫或弧的起点到终点的赤经算出。

由此可知，当从分点量起的黄道任一经度的点正在升起时，它位于中天的度数也可求得。因为黄道上正在升起的点L的赤纬可由它与分点的距离弧HL得出，弧HEM是赤经，AHEM是半个白昼的弧，于是剩下的AH可得。AH是弧FH的赤经，它可由表查得。或者因为黄赤交角AHF与边AH都已知，而∠FAH为直角，所以在上升分度与中天分度之间的整个弧FHL可以求得。

与此相反，如果我们首先已知的是中天分度即弧FH，则正在升起的分度也可得知。赤纬弧AF可以求得，弧AFB和剩下的弧FB也可通过球的倾角求出。于是在三角形BFL中，∠BFL和边FB已经得到了，而∠FBL为直角，所以要求的边FHL可得。下面［Ⅱ，10］还要介绍求这个量的另一种方法。

第十章　黄道与地平圈的交角

因为黄道倾斜于天球的轴线，所以它与地平圈之间形成了各种交角。在讲述日影差异时我已经说过［Ⅱ，6］，对于居住在两回归线之间的人们来说，黄道每年有两次垂直于地平圈。但我认为，只要显示了与我们居住在异影区的人有关的那些角度也就足够了。从这些角度出发很容易理解关于角度的一般的比率。当春分点或白羊宫的起点升起时，黄道在斜球上较低，并以最大南赤纬的量转向地平圈，这种情况出现在摩羯宫起点位于中天时；相反地，黄道较高时，它的升起角也较大，此时天秤宫的起点升起而巨蟹宫的起点位于中天。我认为以上所说是显然的。赤道、黄道和地平圈这三个圆都通过同一交点即子午圈的极点，它们在子午圈上截得的弧段表示升起角的大小。

为了说明对黄道其他度数测量升起角的方法，再次设ABCD为子午圈，BED为半个地平圈，AEC为半个黄道。设黄道的任一分度在点E升起。我们要求出在四直角＝360°的单位中∠AEB的大小。由于升起分度E已知，所以由上所述，中天的分度、弧AE以及子午圈高度AB可得。因为∠ABE＝90°，弦2AE：弦2AB＝球的直径：弦2AEB。所以∠AEB可得。

但如果已知分度不是在升起，而是在中天（设其为A），升起角仍可测定。以点E为极点，作大圆象限FGH，完成象限EAG和EBH。因为子午圈高度AB已知，所以AF＝90°-AB。由前述∠FAG也已知，而∠FGA＝90°，所以弧FG可得。90°-FG＝GH即为所要求的升起角。同样，我们也说明了当中天分度已知时，如何求得升起分度，因为在论述球面三角形时我已说明［Ⅰ，14，定理三］，弦2GH：弦2AB＝球的直径：弦2AE。

为了说明这些关系，我附了三张表。第一张是正球赤经表，从白羊宫开始，每隔黄道的6°取一值；第二张是斜球赤经表，也是每隔6°取一值，从极点高度为39°的纬圈开始到极点高度为57°的纬圈，每隔3°一列；第三张表是与地平圈的交角，也是每6°取一值，共七列。这些表都是根据最小的黄道倾角即23°28′制定的，这个数值对我们这个时代来说大致是正确的。

第十一章　这些表的用法

由上所述，这些表的用法是清楚的。我们先根据太阳的度数求得赤经，再对于每一等长小时加上赤道的15°（如果总和超过一个整圆的360°，就要去掉这个数值），余量即为黄道在从正午算起的相关时辰在中天的度数。如果对你所在地区的斜球经度作同样处理，便可得到从日出算起的时辰的黄道升起分度。此外，如前所述［Ⅱ，19］，对于赤经已知的黄道外的任何恒星来说，与之一同在中天的黄道分度可以根据表由从白羊宫起点算起的相同赤经给出。由于黄道的斜球经度和分度都列于表中，所以由恒星的斜球经度可以求得与它们一同升起的黄道分度。沉没也可作同样处理，但要用相反的位置计算。进而言之，如果在中天的赤经加上一个象限，则得到的和为升起分度的斜球经度。因此，升起分度可由在中天的分度求得，反之亦然。接下来一个表给出了黄道与地平圈的交角，它们是由黄道的升起分度决定的。由这些角度可以知道，黄道的第90°距离地平圈的高度有多大。在计算日食时，它是必须要知道的。

第十二章　通过地平圈的两极向黄道所画圆的角与弧 ^[1]

下面，我将讨论黄道与通过地平圈天顶的圆的交角和弧的大小（交点都位于地平圈之上）。但我们曾在前面讲过［Ⅱ，10］太阳的正午高度或黄道在中天的任一分度的正午高度，以及黄道与子午圈的交角。子午圈也是通过地平圈天顶的一个圆。此外，我也讲过上升时的角度，从直角减去这个角，余量就是过地平圈天顶的象限与升起的黄道所夹的角。

重新绘出前图［Ⅱ，10］，剩下的问题是讨论子午圈与黄道半圆和地平圈半圆的交点。在黄道上取点G为正午和升起点或沉没点之间的任意点。从地平圈的极点F过点G作大圆象限FGH。如果指定时辰，就可以求得子午圈与地平圈之间的整个黄道弧段AGE。根据假设，AG已知，由于正午高度AB已知，所以AF可得。根据球面三角形的定理，弧FG可得。因此，由于90°-FG＝GH，所以G的高度可得，∠FGA可得。此即我们所要求的量。

这些关于黄道的交点和角度的事实是我在查阅球面三角形的一般讨论时从托勒密那里扼要摘引的。如果有人希望就这一主题进行深入研究，他可以找到比我所讨论的例子更多的应用。

第十三章　天体的出没

天体的出没显然也是由周日旋转所引起的。不仅我刚才讨论的那些简单的出没是如此，而且那些在清晨或黄昏出现的天体也是如此。尽管后一现象与周年运转有关，但这里讲讲更为适宜。

古代数学家们区分了真出没与视出没。当天体与太阳同时升起时，此为真晨升；而当天体随日出而沉没时，此为真晨没。在整个这段时间，该天体被称为“晨星”。但是当天体随日没而升起时，该昏升为真昏升；而当天体与太阳同时沉没时，此为真昏没。在中间这段时间，它被称为“昏星”，因为它白天隐而不见，而在晚上出现。

而视出没的情况如下。当天体在日出之前的黎明时分首次显露并开始出现时，此为视晨升；而在太阳刚要升起时天体看起来正好沉没，此为视晨没。当天体看起来第一次在黄昏升起时，此为视昏升；而当天体在日没后不再出现时，此为视昏没。此后，太阳的出现使天体被掩，直到它们在晨升时排成以上顺序为止。

这些不仅适用于恒星，而且也适用于土星、木星和火星这些行星。但金星与水星的出没情况不同。它们不会像外行星那样随着太阳的临近而被掩，也不会因太阳的远离而显现，而是在靠近太阳时沉浸在太阳的光芒之中，自己仍清晰可见。其他行星都有昏升与晨没，而它们在任何时候都不会被掩，而是几乎彻夜照耀长空。另一方面，从昏没到晨升，金星和水星在任何地方都看不见。还有另外一个区别，那就是对于土星、木星和火星来说，清晨的真出没要早于视出没，而黄昏的真出没却要晚于视出没，因为清晨它们要早于日出，黄昏它们要晚于日没。而对于内行星来说，视晨升与视昏升均晚于真晨升与真昏升，而视晨没与视昏没却要早于真晨没与真昏没。

我曾在前面讲过任一位置已知的天体的斜球经度以及出没时的黄道分度［Ⅱ，9］，由此便可得知确定出没的方法。如果此时太阳出现在该分度或相对的分度上，那么恒星就有真晨昏出没。

由此可知，视出没因每一天体的亮度和大小而异。亮度较强的天体被太阳光遮掩的时间要短于亮度较弱的天体。隐没和出现的极限是由地平圈与太阳之间的通过地平圈极点的近地平圈弧决定的。对于一等星来说，此极限为12°，土星为11°，木星为10°，火星为11 °，金星为5°，水星为10°。但是白昼的残余归于夜幕的这一整段时间（包含黎明或黄昏）占前面那个圆周的18°。当太阳下沉了这18°时，较暗的星星也开始出现了。有些人把一个平行于地平圈的平面置于地平圈之下的这个距离处。他们说，当太阳到达这个平行圈时，白天正在开始或夜晚正在结束。因此，如果我们知道了天体出没的黄道分度以及黄道与地平圈在那一点的交角，并且找到了升起分度与太阳之间的许多黄道分度，它们多得足以根据对该天体所确定的极限给出太阳位于地平圈之下的深度，那么我们就可以断言天体的初现或隐没正在发生。然而，我在前面关于太阳在地面之上的高度的一切解释，都适用于太阳往地面之下的沉没，因为初位置外没有任何差别。因此，在可见半球中沉没的天体在不可见半球中升起，相反的事情也是容易理解的。关于天体的出没和地球的周日旋转，我们就说这么多吧。

第十四章　恒星位置的研究及其编目 ^[2]

解释了地球的周日旋转以及它对昼夜及其各部分和变化所产生的结果之后，现在我们应当谈谈有关周年运转的解释了。然而不少天文学家都认为，这门学科应当把恒星现象优先这一传统做法当作这门科学的基础。于是我想我应当遵循这种看法。正如在我的原理和基本命题中，已经假定了所有行星的漫游所共同参照的恒星天球是静止不动的，因为运动要求有某种静止的东西。尽管托勒密在其《天文学大成》一书中［Ⅲ，1，导言］指出，除非首先获得关于太阳和月亮的知识，否则就无法了解恒星，并且因此认为必须把对恒星的讨论推到那时进行，但我采取这种顺序是不应让人感到惊讶的。

我认为这种意见必须反对。但如果你认为它是为了计算太阳和月球的视运动而提出的，那么托勒密的这种意见也许是站得住脚的。几何学家梅内劳斯（Menelaus）曾经通过与恒星合月有关的计算记录了许多恒星的位置。

我当然承认，不能脱离月亮的位置而确定恒星的位置，反过来说，月亮的位置也不能脱离太阳的位置来确定。但这些都是需要借助于仪器来解决的问题，我相信这一论题不能用任何别的办法来研究。另一方面，我坚持认为，如果不顾恒星，任何人都不可能把关于太阳和月亮的运动与运转的理论制成精确的表。因此，托勒密和他前后的其他学者只是用分日或至日来导出太阳年的长度，他们在力求为我们确立基本命题的过程中，永远也不可能就这个长度达成一致。因此，再没有什么论题会有更大的分歧了。这使大多数专家感到困惑，以致他们几乎放弃了精通天文学的愿望，宣称人的心灵无法把握天的运动。托勒密了解这种态度，他［《天文学大成》，Ⅲ，1］在计算他那个时代的太阳年时，并非没有怀疑时间的推移会使误差出现，他建议后人在这个问题上寻求更高的精度。因此，我认为在本书中应当首先表明仪器在多大程度上有助于确定太阳、月亮和恒星的位置（即它们与一个分点或至点的距离），其次要说明布满星座的恒星天球。

但正如我很快就要表明的，如果借助于仪器，通过对太阳和月球的位置仔细进行检验来确定某颗恒星的位置，结果就会好很多。有些人甚至徒劳地警告我，仅用分日和至日而无需借助恒星就可以确定太阳年的长度。在这种持续至今的努力中，他们从来未能达成一致意见，再没有什么地方有更大的分歧了。托勒密注意到了这一点。他在计算他那个时代的太阳年时，并非没有怀疑时间的推移会使误差出现，他建议后人在这个问题上寻求更高的精度。因此，我认为在本书中应当首先表明仪器如何有助于确定太阳和月亮的位置（即它们与春分点或宇宙中其他基点的距离）。这些位置将会为我们研究其他天体提供便利，正是这些天体才使恒星天球及其繁星点点的图像呈现在我们眼前。

我在前面已经说明了，测定回归线的间距、黄道倾角、天球倾角或者赤极高度应当使用何种仪器［Ⅱ，2］。我们还可以用同样方法测定太阳在正午的任何高度。此高度可以通过它与球的倾角之间的差别来使我们求得太阳赤纬有多大。有了这个赤纬值，从至点或分点量起的太阳在正午的位置也就很清楚了。在我们看来，太阳在24小时中移动了大约1°，因此太阳每小时移动2 ′。这样，太阳在正午以外的其他任何指定时辰的位置都很容易得出。

但是为了观测月球和恒星的位置，另一种被托勒密称为“星盘”的仪器被制造出来［《天文学大成》，Ⅴ，1］。仪器上的两个环，或者说是四边形环架的平边与其凸凹表面垂直。这些环大小相等，各方面都类似，大小便于使用，不会因为太大而难于操作，尽管为了划分刻度，大的要比小的好。环的宽度和厚度至少是直径的 。把它们装配起来，沿直径彼此垂直，凹凸表面合在一起就好像是一个球的表面。事实上，让一个环处于黄道的位置，而另一个环通过两个圆（即赤道和黄道）的极点。把黄道环的边划分为通常的360等份，每一等份还可以根据仪器的情况继续划分。在另一个环上从黄道量出象限，并且标出黄极。从这两点根据黄赤交角的比例各取一段距离，把赤极也标出来。

把这些环这样装好之后，还要安装另外两个环。它们固定在黄道的两极上，可以绕之运动，一个在里面动，一个在外面动。其平面间的厚度相等，边缘的宽度也相似。把这些环装配起来之后，应使大环的凹面处处与黄道的凸面相接触，小环的凸面也处处与黄道的凹面相接触。再有，不要使它们的转动受阻，而要让黄道及其子午圈能够自由轻便地在它们上面滑动，反之亦然。于是，我们在圆环上沿与黄道相对的两极穿孔，并插入轴来固定和支撑这些环。此外，内环也要这样分成360°，使得每个象限在极点成90°。

不仅如此，在内环的凹面处还应装有第五个环，它能在同一平面内转动。其边缘固定有托架，托架上有孔径和窥视镜或目镜。通过它的星光会沿环的直径射出，就像在屈光镜中那样。此外，为了测定纬度，还要在环的两边安装一些板子，作为套环上指示数目的指针。

最后，还应安装第六个环以盛放和支撑整个星盘，星盘悬挂在位于赤极的扣栓上面。把这最后一个环安到一个台子上，使之垂直于地平面。而且，当环的两极调节到球的倾角方向时，应使星盘子午圈的位置与自然子午圈的位置相合，决不能有任何偏离。

我们希望用这种仪器来测定某颗恒星的位置。当黄昏或日没临近，此时月亮也能望见，把外环调整到我们已经定出的太阳当时应在的黄道分度上，并把两个环的交点转向太阳，使两环（即黄道和通过黄极的外环）彼此投下相等的影子。然后把内环转向月亮。把眼睛置于内环平面上，在我们看来月亮就在对面，就好像被同一平面等分，我们把该点标在仪器的黄道上。该点就是那一时刻所观测到的月亮黄经位置。事实上，没有月亮就无法得知恒星的位置，因为在一切天体中，只有月亮在白天和夜晚都能出现。夜幕降临之后，当我们待测的恒星可见时，把外环调整到月亮的位置，就像我们曾对太阳所做的那样。然后再把内环转向恒星，直至恒星似乎触及环平面，并且用装在内环小圆上的目镜可以看见。这样，我们可以测出恒星的黄经和黄纬。这些操作完成之后，我们眼前就出现了中天的黄道分度，进行观测的时刻也就很清楚了。

举例说来，安敦尼·庇护（Antoninus Pius）2年的埃及历8月9日的日没时分，托勒密想在亚历山大城测定狮子座胸部的一颗称为轩辕十四的恒星的位置［《天文学大成》，Ⅶ，2］。他于午后5 个分点小时把星盘对准落日，发现太阳位于双鱼宫内 处。移动内环，他观测到月球位于太阳以东 。因此，当时月球的视位置位于双子宫内 处。半小时之后（此时是午后第6小时结束时），恒星开始出现于中天的双子宫内4°，他把仪器外环转到已经测得的月球的位置。移动内环，他沿黄道各宫次序测出恒星位于月球以东 。前面已经说过，月球距落日 ，即月球位于双子宫内 。但月球每小时大约移动 ，所以月球在半小时之内应当移动了 。然而考虑到月球视差（在那个时刻应当减掉这个量），月球移动的范围应略小于 ，他测出的差值约为 。因此，月球应位于双子宫内 。但在我讨论月球视差时，大家会清楚地看到，差值并没有这样大［Ⅵ，16］。因此，月球的视位置显然要大于 而略小于 。给这个位置加上 ，就得到恒星位于狮子宫内 ，它与太阳夏至点的距离约为 ，纬度为北纬 。这就是轩辕十四当时所在的位置，其他恒星的位置也可同样测定出来。根据罗马历，托勒密的这次观测是在公元139年，即第229个奥林匹克运动会期第一年的2月23日做的。

这位卓越的天文学家就以这种方式记下了每颗恒星与当时春分点的距离，并为以生物命名的天上的星座编了目录。这些成果对我的研究颇有裨益，它使我免去了一些相当艰苦的工作。我认为恒星的位置不应参照随时间改变的二分点来确定，倒是二分点应当参照恒星天球来确定，所以我可以简便地在另一个不变的起点编制星表。我决定从黄道第一宫白羊宫开始，并以它前额上的第一星作为起点。我的目的是，那些作为一组而发光的天体将会永远具有相同的确定外观，就好像一旦获得持久位置就固定和联系在一起了。古人凭借惊人的热忱和技巧，把恒星组合成了48个图形。只有那些通过罗得岛附近第四地区的永不可见的星体圈所包含的恒星除外，因此这些不为古人所知的恒星始终不属于任何星座。根据小西翁（Theo the Younger）在为阿拉托斯（Aratus）的著作所撰写的评注中发表的看法，恒星之所以会形成某种图形，正是因为它们数量庞大，所以必须被分成若干部分，人们再根据某些叫法对其逐一命名。这种做法古已有之，因为我们甚至在赫西俄德（Hesiod）和荷马的著作中都能读到昴星团、毕星团、大角星和猎户星座的名字。因此，在根据黄经对恒星列表时，我将不使用从二分点和二至点导出的黄道十二宫，而是用简单和熟悉的度数。除去我发现的个别错误或误解之外，我将在其他一切方面遵循托勒密的做法。我将在下一卷讨论如何测定恒星与那些基点之间的距离。

星座与恒星描述表

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[1] 本章后面一部分的一个较早版本保存在了fol.46 ^r 的原稿上，没有任何迹象表明它已被取代。它在上面第二段第二句话的中间，从黄道上任意点的选择处开始：

在升起与正午之间。设它为η，其象限为ζηθ。通过指定的时辰，弧αηε已知，类似地，αη以及子午圈角为ζαη的αζ也可知。因此，根据球面三角形的定理十一，弧ζη和角ζηα都可知。这些即为所求。两倍εη和两倍ηθ所对弦之比，以及两倍εα及两倍αβ弧所对弦之比，都等于半径与角ηεθ的截距之比。因此给定点η的高度ηθ可知。但是在三角形ηθε中，ηε和ηθ两边已知，角ε也已知，而θ为直角，由这些量还可以求得余下的角εηθ的大小。关于角度和圆周截段的这种讨论是我在查阅三角形的一般讨论时从托勒密和其他人那里扼要摘引的。如果有人希望就这一主题进行深入研究，他可以找到比我所讨论的例子更多的应用。

[2] 按照哥白尼原来的计划，这是一本新书的开始。本章前三分之二的一份早期草稿存在于原稿fol. 46 ^v -47 ^v ，没有迹象表明它被取代。这份早期草稿比印刷本讲得更为明确。本章的第一段与第三段按草稿翻译出来。 PsaiemrokuEhtBdyxyEGSKh2sV2Tpyr6LLDckaPZQJ4qNSWxWm4zjsugRKInzjjW