第一卷

前言

在激励人类心灵的各种文化和技艺研究中，我认为首先应当怀着强烈感情和极大热忱去研究的，是那些最美好、最值得认识的事物。这门学科探究的是宇宙神圣的旋转，星体的运动、大小、距离、出没以及天上其他现象的原因，简而言之就是解释宇宙的整个现象。的确，还有什么东西能比天更美呢？天包含了一切美的事物，它的（拉丁文）名字caelum和mundus就说明了这一点：后者表示纯洁和装饰，而前者则表示一种雕刻品。由于天至高无上的完美性，大多数哲学家都把它称为可见之神。因此，如果就研究主题来评判各门技艺的价值，那么最出色的就是这样一门技艺，有些人称之为天文学，另一些人称之为占星术，而许多古人则称之为数学之圆满完成。它毫无疑问是自由技艺的顶峰，最值得一个自由人去研究。它得到了几乎所有数学分支的支持，算术、几何、光学、测地学、力学以及所有其他学科都对它有所贡献。

虽然一切好的技艺都旨在引导人的心灵远离邪恶，将其引向更好的事物，但这门技艺可以更充分地完成这一使命，还可以提供非同寻常的理智愉悦。当一个人致力于他认为最有秩序和神所支配的事物时，他通过潜心思索和体认，难道还觉察不到什么是最美好的事，不去赞美一切幸福和善之所归的万物的创造者吗？虔诚的《诗篇》作者宣称上帝的作品使其欢欣鼓舞，这并非空穴来风，因为这些作品就像战车一样把我们引向对于至善的沉思。

柏拉图曾经超群地认识到，这门技艺能够赋予广大民众以极大的裨益和美感（更不要说对于个人的无尽益处）。他曾在《法律篇》（Laws）第七卷中指出，这门学科之所以需要研究，主要是因为它可以把时间划分成年月日，使国家保持对节日和祭祀的警觉和关注。柏拉图说，如果有人否认天文学对于一个想要研究更高学术分支的人是必要的，他的想法就是愚不可及的。他认为，任何不具备关于太阳、月亮以及其他天体的必要知识的人，都不可能变得神圣或被称为神圣。

然而这门研究最崇高主题的、与其说是人的倒不如说是神的科学，遇到的困难却并不少。主要原因是，我发现它的原理和假设（希腊人称之为“假说”）导致这门学科的许多研究者意见并不统一，所以他们并非依赖相同的观念。另一个原因是，除非是随着时间的推移，借助于许多以前的观测结果，这方面的知识才可以被一代代地传给后人，否则，行星的运动和恒星的运转就不可能被精确地测定，从而得到透彻的理解。尽管亚历山大城（Alexandria）的克劳迪乌斯·托勒密（Claudius Ptolemy）远比他人认真勤奋、技艺高超，他利用四十多年的观测，已经把这门技艺发展到了臻于完美的境地，以至于似乎一切缺口他都已经填补了，但我还是发现，仍然有相当多的事实与他的体系所得出的结论不相符，而且后来还发现了一些他所不知道的运动。因此在讨论太阳的回归年时，甚至连普鲁塔克也说：“到目前为止，天文学家们的技巧还无法把握天体的运动。”以年本身为例，我想人人都知道，关于年的看法大相径庭，以致许多人已经对精确测量年感到绝望。对于其他天体来说，情况也是如此。

然而，为了避免一种印象，即认为这个困难是懒惰的借口，我将试图——这有赖于上帝的帮助，否则我将一事无成——对这些问题进行更广的研究，因为这门技艺的创始者们距离我的时间越长，我用以支持自己理论的途径就越多。我可以把他们的发现同我的新发现进行比较。此外，我承认自己处理事物的方式将与前人有所不同，但我很感激他们，因为正是他们最先开辟了研究这些问题的道路。

第一章　宇宙是球形的

首先应当指出，宇宙是球形的。这或者是因为在一切形状中，球形是最完美的，它是一个完整的整体，不需要连接；或者是因为它是一切形体中容积最大的，最适于包容和保持万物；或者是因为宇宙的各个部分即日月星辰看起来都是这种形状；或者是因为万物都有被这种边界包围的趋势，就像水滴或别的液滴那样。因此谁都不会怀疑，这种形状也必定属于神圣物体。

第二章　大地也是球形的

大地也是球形的，因为它从各个方向挤压中心。但是地上有高山和深谷，所以乍看起来，大地并不像是一个完美的球体。不过山谷几乎无法改变大地整体上的球形，这一点可以说明如下。我们从任何地方向北走，周日旋转的天极都会逐渐升高，而相反的天极则以同样数量降低。北面的星辰大都不下落，而南面的一些星辰则永不升起。因此，在意大利看不见老人星，在埃及却可以看到它。在意大利可以看见波江座南部诸星，而在我们这些较冷的地区却看不见。相反，当我们往南走时，这些星辰会升高，而在我们这里看来很高的星就沉下去了。不仅如此，天极的高度变化同我们在地上所走的路程成正比。如果大地不是球形，情况就决不会如此。由此可见，大地同样被包围在两极之间，因此是球形的。再者，东边的居民看不到我们这里傍晚发生的日月食，西边的居民也看不到这里早晨发生的日月食；至于中午的日月食，东边的居民要比我们看到的晚一些，而西边的居民则要看到的早一些。

航海家们知道，大海也是这种形状。比如当从船的甲板上还看不到陆地时，在桅杆顶端却能看到。反之，如果在桅杆顶端放置一个光源，那么随着船驶离海岸，岸上的人就会看到亮光逐渐减弱，直至最后消失，好像沉没了一样。此外，本性流动的水和土一样，显然总是趋向低处，不会超过它的上升所允许的限度而流到岸上较高的地方去。因此，只要陆地露出海面，它就比海面更高。

第三章　大地和水如何形成了一个球

于是，遍布大地的海水四处奔流，包裹着大地，填满了其低洼的沟壑。大地和水由于重性都趋向于同一个中心。因此，水应当少于大地，否则整个大地就会被水吞没。大地的某些部分和四处遍布的许多岛屿没有被淹没，以使生物得以存活。有人居住的国家和大陆本身不就是一个比其他岛屿更大的岛屿吗？

我们不应听信某些逍遥学派人士的臆测，认为水的体积是整个陆地的10倍。根据他们所接受的猜测，当元素相互转化时，1份土可以变成10份水。他们还断言，大地之所以会高出水面，是因为大地内部存在的空洞使得陆地在重量上不平衡，因而几何中心不同于重心。他们的错误乃是出于对几何学的无知。他们没有意识到，只要大地还有某些部分是干的，水的体积就不可能比大地大6倍，除非整个大地空出其重心并把这个位置让给水，就好像水比它本身更重似的。由于球的体积与直径的立方成正比，所以如果大地与水的体积之比为1比7，那么大地的直径就不可能大于从（它们共同的）中心到水的周缘的距离。因此，水的体积不可能（比大地）大9倍。

此外，大地的几何中心与重心并无差别，这可以从以下事实来确定：从海洋向内，陆地的曲率并非总是连续增加的，否则陆地上的水会被全部排光，而且内陆海和辽阔的海湾也不可能形成。不仅如此，从海岸向外的海水深度会持续增加，于是远航的水手们无论航行多远也不会遇到岛屿、礁石或任何形式的陆地。可是我们知道，几乎在有人居住的陆地的正中，地中海东部和红海之间相距还不到15弗隆（furlongs）。另一方面，托勒密在其《地理学》（Geography）一书中，把有人居住的地球几乎拓展到全世界。在他留作未知陆地的子午线以外的地方，现代人又加上了中国（Cathay）以及经度宽达60°的广阔土地。由此可知，有人居住的陆地所占经度范围已经比留给海洋的经度范围更大了。如果再加上我们这个时代在西班牙和葡萄牙国王统治时期所发现的岛屿，尤其是美洲（America，以发现它的船长而得名，因其大小至今不明，被视为第二组有人居住的国家）以及许多闻所未闻的新岛屿，那么我们对于对跖点或对跖人的存在就没有理由感到惊奇。的确，几何学推理使我们不得不相信，美洲与印度的恒河流域沿直径相对。

有鉴于所有这些事实，我最终认为大地和水有同一重心，也就是大地的几何中心。由于大地较重，而且裂隙中充满了水，所以尽管可能有更多的水出现在表面，但水还是比大地少很多。

大地与包围它的水结合在一起，其形状必定与其影子显示的相同。在月食的时候可以看到，大地以一条完美的圆弧遮住了月亮，因此大地既不是恩培多克勒（Empedocles）和阿那克西美尼（Anaximenes）所设想的平面，也不是留基伯（Leucippus）所设想的鼓形，既不是赫拉克利特（Heracleitus）所设想的碗形，也不是德谟克利特（Democritus）所设想的另一种凹形，既不是阿那克西曼德（Anaximander）所设想的柱体，也不是克塞诺芬尼（Xenophanes）所传授的低处朝下无限延伸、厚度朝底部减小的一个形状，而是哲学家们所理解的完美球形。

第四章　天体的运动是均匀而永恒的圆周运动，或是由圆周运动复合而成

现在我想到，天体的运动是圆周运动，因为适合球体的运动就是沿一个圆旋转。球体正是通过这样的动作显示它具有最简单物体的形状。当球本身在同一个地方旋转时，起点和终点既无法发现，又无法相互区分。

可是由于天球有很多，所以运动是多种多样的。其中最明显的是周日旋转，希腊人称之为nuchthemeron，也就是昼夜更替。他们设想，除地球以外的整个宇宙都是这样自东向西旋转的。这种运动被视为一切运动的共同量度，因为我们甚至主要是用日数来量度时间本身的。

其次，我们还看到了沿相反方向即自西向东的其他旋转，我指的是太阳、月亮和五颗行星的运动。太阳的这种运动为我们定出了年，月亮定出了月，这些都是人们最为熟知的时间周期。其他五颗行星也都以类似的方式沿着各自的轨道运行。然而，［这些运动与周日旋转或第一种运动］有许多不同之处。首先，它们不是绕着与第一种运动相同的两极旋转，而是倾斜地沿黄道运行；其次，这些行星看上去并未沿轨道均匀运动，因为我们看到日月的运行时快时慢，其他五颗行星有时还会出现逆行和停留。太阳总是径直前行，而行星则有时偏南、有时偏北地漫游。正是由于这个缘故，它们被称为“行星”［漫游者］。此外，它们有时距地球较近（这时说它们位于近地点），有时距地球较远（这时说它们位于远地点）。

尽管如此，我们还是应当承认，这些星体的运动总是圆周运动或是由若干圆周运动复合而成，因为这些不均匀性总是遵循一定的规律定期反复。除非运动是圆周运动，这种情况就不可能出现，因为只有圆周运动才可能使物体回复到先前的位置。例如，太阳由圆周运动的复合可以使昼夜不等且更替不绝，四季周而复始。这里还应觉察出若干种不同的运动，因为一个简单的天体不可能被单一的球体不均匀地推动。之所以会存在这种不均匀性，要么是因为推动力不稳定（无论是从外部施加的，还是从内部产生的），要么是因为运转物体本身发生了变化。而这两种看法都不能被我们的理智所接受，因为很难设想以最完美的秩序构成的物体会出现这种缺陷。

因此，合情合理的看法只能是，它们的运动本来是均匀的，但在我们看来却成了不均匀的。这或者是因为其轨道圆的极点有别于地球，或者是因为地球并不位于其轨道圆的中心。当我们从地球上观察这些行星的运行时，其轨道的每一个部分与我们眼睛的距离并非保持不变。［而光学已经证明］物体从近处看要比从远处看大一些。类似地，由于观察者的距离在变化，所以即便行星在相同时间内走过相等的轨道弧段，其运动看起来也是不一样的。因此，我认为必须首先仔细考察地球与天的关系，以免我们在考察最崇高物体的时候，会对距离我们最近的事物茫然无知，并且由于同样的错误，把本应属于地球的东西归于天体。

第五章　圆周运动对地球是否适宜？地球的位置在何处？

既已说明大地也呈球形，我认为应当研究在这种情况下它的形状是否也决定了运动，以及地球在宇宙中处于什么位置。如果没有回答这些问题，就不可能正确地解释天象。尽管权威们普遍认为，地球静止于宇宙的中心，相反的观点是不可思议的甚至是可笑的，然而如果我们更仔细地考察一下，就会发现这个问题并未得到解决，因此决不能置之不理。

视位置的任何变化都缘于观测对象的运动，或者观测者的运动，或者两者不均等的运动。同方向的等速运动（我指的是观测对象和观测者之间的运动）是觉察不到的。我们是在地球上看天穹周而复始的旋转，因此如果假定地球在运动，那么在我们看来，地球外面的一切物体也会有程度相同但方向相反的运动，就好像它们在越过地球一样。特别要指出的是，周日旋转就是这样一种运动，因为除地球和它周围的东西以外，周日运动似乎把整个宇宙都卷进去了。然而，如果你承认天并没有参与这一运动，而是地球在自西向东旋转，那么经过认真研究你就会发现，这才符合日月星辰出没的实际情况。既然包容万物并为之提供背景的天构成了一切事物所共有的空间，那么立刻就有这样一个问题：为什么要把运动归于包容者而不归于被包容者？为什么要归于空间框架而不归于空间中的东西？事实上，据西塞罗著作记载，毕达哥拉斯学派的赫拉克利特和埃克番图斯，以及叙拉古（Syracuse）的希克塔斯都持有这种观点。他们认为，地球在宇宙的中央旋转，星星沉没是因为被地球本身挡住了，星星升起则是因为地球转开了。

如果我们承认地球在做周日旋转，那么就会产生另一个同样重要的问题，即地球的位置在何处。迄今为止，几乎所有人都相信地球是宇宙的中心。谁要是否认地球占据着宇宙的中心或中央，他就会断言地球与宇宙中心的距离同恒星天球的距离相比微不足道，相对于太阳或其他行星的天球却是可观的和值得注意的。他会认为太阳和行星的运动之所以看上去不均匀，是因为它们不是绕地心，而是绕别的中心均匀转动，从而也许可以为不均匀的视运动找到适当的解释。行星看起来时远时近，这一事实必然说明其轨道圆的中心并非地心。至于靠近和远离是由地球还是行星引起，这还不够清楚。

如果除周日旋转外还赋予地球别的运动，这并不会让人感到惊奇。事实上，据说毕达哥拉斯派学者菲洛劳斯就主张，地球除旋转外还参与了其他几种运动，地球是一个天体。据柏拉图的传记作者说，菲洛劳斯是一位卓越的天文学家，柏拉图曾经专程去意大利拜访他。

然而，许多人以为能够用几何推理来证明地球处于宇宙的中心，一如浩瀚无垠的天的一个点，正处于天的中心。地球是静止不动的，因为当宇宙运动时，它的中心保持静止，而且最靠近中心的物体运动最慢。

第六章　天之大，地的尺寸无可比拟

同天的尺寸相比，地球这个庞然大物真显得微不足道了，这一点可以由以下事实推出：地平圈（这是希腊词horizons的翻译）平分了整个天球。如果地球的尺寸或者地球到宇宙中心的距离同天相比是可观的，那么情况就不会是这样。因为一个圆要是把球分为两半，就势必会通过球心，而且是在球面上所能描出的最大的圆。

设圆ABCD为地平圈，地球上的观测者位于点E，也就是地平圈的中心。地平圈把天分为可见部分和不可见部分。现在，假定我们用装在点E的望筒、天宫仪或水准器看到，巨蟹宫的第一星在C点上升的同时，摩羯宫的第一星在A点下落，于是A、E和C都在穿过望筒的一条直线上。显然，这条线是黄道的一条直径，因为可见的黄道六宫形成了一个半圆，而直线的中点E就是地平圈的中心。当黄道各宫移动位置，摩羯宫第一星在B点升起时，我们可以看到巨蟹宫在D点沉没，此时BED将是一条直线，并且为黄道的一条直径。但我们已经看到，AEC也是同一圆周的一条直径，圆周的中心显然就是两条直径的交点。由此可知，地平圈总是将黄道（天球上的一个大圆）平分。但在一个球上，将大圆平分的圆必定是大圆。所以地平圈是一个大圆，圆心就是黄道的中心。

尽管从地球表面和地心引向同一点的直线必定不同，但由于这些线的长度与地球相比为无限长，两线可视为平行线［Ⅲ，15］ 。由于它们的端点极远，因此两线可视为同一条线。光学可以表明，这两条线包围的空间与它们的长度相比是微不足道的。这种推理清楚地表明，天不知要比地大多少倍，可以说尺寸为无限大。基于感官的证词，可以说地与天相比不过是物体上的一个小点，如沧海之一粟。

但我们似乎还没有得出其他结论，它还不能说明地球必然静止于宇宙的中心。事实上，如果庞大无比的宇宙每24小时转一圈，而不是它微小的一部分即地球在转，那就更让人惊讶了。主张中心不动，最靠近中心的部分运动最慢，这并不能说明地球静止于宇宙的中心。

考虑一个类似的例子。假定天转动而天极不动，越靠近天极的星运动越慢。譬如说，小熊星座远比天鹰座或小犬座运转得慢，是因为它离天极很近，描出的圆较小。但所有这些星座都同属一个球。当球旋转时，轴上没有运动，而球上各个部分的运动都互不相同。随着整个球的转动，尽管每一点转回初始位置所需的时间相同，但移动的距离却并不相同。这一论证的要点是，地球作为天球的一部分，也要具有相同的本性和运动，尽管因为靠近中心而运动较小。因此，地球作为一个物体而不是中心，也会在天球上描出弧，只不过在相同时间内描出的弧较小罢了。这种论点的错误昭然若揭。若果真如此，有的地方就会永远是正午，有的地方永远是午夜，星体的周日出没也不会发生，因为整体与部分的运动是统一而不可分割的。

但情况各不相同的天体都受一种大不相同的关系的支配，即轨道较小的星体比轨道较大的星体运转得快。最高的行星土星每30年转动一周，最靠近地球的月亮每月转动一周，最后，地球则被认为每昼夜转动一周。于是，关于周日旋转的问题再次出现。此外，以上所述使得地球的位置更加难以确定。因为已得到证明的只是天的尺寸比地大很多，但究竟大到什么程度则是完全不清楚的。在另一个极端则是被称为“原子”的极为微小的不可分物体。由于无法感知，如果一次取出很少几个，就不能立即构成一个可见物体；但大量原子加在一起最终是能够组合成可见尺度的。地球的位置也是如此。虽然它不在宇宙的中心，但与之相距是微不足道的，尤其是与恒星天球相比。

第七章　为什么古人认为地球静止于宇宙的中心

因此，古代哲学家试图通过其他一些理由来证明地球静止于宇宙的中心。然而他们把重性和轻性作为主要证据。事实上，土是最重的元素，一切有重物体天然就会朝地球运动，趋向它最深的中心。由于大地是球形的，所以重物皆因自己的本性沿着与地表垂直的各个方向被带向地球。若不是因为地面阻挡，它们会在地心相撞，因为垂直于与球面相切的水平面的直线必定会穿过球心。由此可知，到达中心的物体会在那里静止，所以整个地球都会静止于中心。作为一切落体的收容者，地球将因其自身的重量而保持静止不动。

类似地，古代哲学家还试图通过分析运动及其本性来证明自己的结论。根据亚里士多德（Aristotle）的说法，单个简单物体的运动是简单运动，简单运动包括直线运动和圆周运动，而直线运动又分为向上和向下两种。因此，每一简单运动要么朝向中心（即向下），要么远离中心（即向上），要么环绕中心（即圆周运动）。只有土和水被认为是重的，应当向下运动，趋于中心；而被赋予轻性的气和火则应远离中心向上运动。这四种元素做直线运动，而天体围绕中心做圆周运动，这似乎是合理的。这就是亚里士多德的说法。［《论天》，Ⅰ，2；Ⅱ，14］

因此，亚历山大城的托勒密曾说［《天文学大成》，Ⅰ，7］，如果地球在运动，哪怕只做周日旋转，也会同上述道理相违背。因为要使地球每24小时就转一整圈，这个运动必定异常剧烈，速度快到无法超越。而在急速旋转的情况下，物体很难聚在一起。如果它们是由结合而产生的，那么除非有某种黏合剂把它们结合在一起，否则它们更可能飞散开去。托勒密说，如果情况是这样，那么地球早就应该分崩离析，并且从天空中消散了（这当然是一个荒谬绝伦的结论）。不仅如此，生物和其他自由重物都不可能安然无恙。直线下落的物体也不会垂直落到指定位置，因为在此期间，如此快速的运动已经使这个位置移开了。还有，云和其他在空中飘浮的东西也会不断向西飘去。

第八章　上述论证的不当之处和对它们的反驳

根据以上所述以及诸如此类的理由，古人坚持地球必定静止于宇宙的中心，并认为这种状况是毫无疑问的。如果有人相信地球在旋转，那么他肯定会认为其运动是自然的而非受迫的。自然产生的结果与受迫产生的结果截然相反，因为受外力作用或受迫的物体必定会解体，不能长久，而自然产生的东西却秩序井然，保持其最佳状态。因此，托勒密担心地球和地上的一切物体都会因自然旋转而分崩离析，这是毫无根据的，地球的旋转与源自人的技艺和理智的产物完全不同。

但他为什么不替比地球大得多而运动又快得多的宇宙担心呢？既然极度的受迫运动会使天远离中心，天是否就变得无比广阔了呢？如果运动停止，天也会随之瓦解吗？如果这种推理站得住脚，那么天的尺寸一定会增长到无限大。因为运动的力量把天提得越高，运动就变得越快，因为天在24小时内必须转过越来越大的距离。反过来说，随着运动速度的增加，天也变得越来越广阔。于是越大就越快，越快就越大，如此推论下去，天的尺寸和速度都会变成无限大。然而根据我们所熟悉的物理学公理，无限既不能被穿越，也不能被推动，因此天必然是静止的。

他们又说，天之外既没有物体，也没有空间，甚至连虚无也没有，是绝对的“无”，因此天没有地方可以扩张。然而，竟然有某种东西可以为无所束缚，这真是令人惊讶。假如天是无限的，只是在内侧为凹面所限，那倒更有理由相信，天之外别无他物，因为无论多大的物体都包含在天之内，而天是静止不动的。天的运动是人们推测宇宙有限的主要依据。因此我们还是把宇宙是否有限的问题留给自然哲学家们去探讨吧。

我们认定，地球限于两极之间，并以一个球面为界。那么，为什么我们迟迟不肯承认地球具有与它的形状天然相适应的运动，而认为是整个宇宙（它的限度是未知的，也是不可知的）在运转呢？为什么我们不肯承认看起来属于天的周日旋转，其实是地球运动的反映呢？正如维吉尔（Virgil）著作中的埃涅阿斯（Aeneas）所说：

我们驶出海港前行，陆地与城市退向后方。

当船只在平静的海面上行驶时，船员们会觉得自己与船上的东西都没有动，而外面的一切都在运动，这其实只是反映了船本身的运动罢了。同样，当地球运动时，地球上的人也会觉得整个宇宙都在旋转。

那么，云和空中其他飘浮物以及上升和下落的物体的情况如何呢？我们只需要说，不仅地球和与之相连接的水有这种运动，而且大部分气以及与地球以同样方式连接在一起的东西也有这种运动。这或是因为靠近地面的气中混合了土或水，从而遵循着与地球一样的本性；或是因为这部分气靠近地球而又不受阻力，所以从不断旋转着的地球那里获得了运动。而另一方面，同样令人惊奇的是，他们说最高处的气伴随着天的运动，那些突然出现的星体（我指的是希腊人所说的“彗星”或“胡须星”）便说明了这一点。和其他天体一样，它们也有出没，被认为产生于那个区域。我们可以认为，那部分气距地球太远，因此不受地球运动的影响。于是，离地球最近的气以及悬浮在其中的东西看起来将是静止的，除非有风或其他某种扰动使之来回摇晃。气中的风难道不就是大海中的波浪吗？

我们必须承认，升落物体在宇宙中的运动具有两重性，即都是直线运动与圆周运动的复合。因自身重量而下落的土质物，无疑会保持它们所属整体的本性。火质物被向上驱策也是由于这个原因。地上的火主要来源于土质物，火焰被认为只不过是炽燃的烟。火的一个性质是使它所进入的东西膨胀，这种力量非常大，以至于无论用什么方法或工具都无法阻止它爆发到底。但膨胀运动是从中心到四周的，所以如果地球有任何一部分着火了，它都会从中间往上升。因此，说简单物体的运动是简单运动（特别是圆周运动），这是对的，只要这一物体完整地保持其自然位置。在位置不变的情况下，它只能做圆周运动，因为与静止类似，圆周运动可以完全保持自己的原有位置。而直线运动则会使物体离开其自然位置，或者以各种方式从这个位置上移开。但物体离开原位是与宇宙的有序安排和整个设计不相容的。因此，只有那些并非处于正常状态，并且没有完全遵循本性而运动的物体才会做直线运动，此时它们已经与整体相分离，失去了统一性。

进一步说，即使没有圆周运动，上下运动的物体也不是在做简单、恒定和均匀的运动。因为它们单凭自己的轻性或重量的冲力是无法取得平衡的。任何落体都是开始慢而后不断加快，而我们看到地上的火（这是唯一看得到的）上升到高处之后就忽然减慢了，这说明原因就在于土质物所受到的迫力。而圆周运动由于有永不衰减的原因，所以总是均匀地转动。但直线运动的原因却会很快停止运作，因为物体以直线运动到达自然位置之后就不再有轻重，运动也就停止了。因此，由于圆周运动是整体的运动，而部分还可以有直线运动，所以“圆周”运动可以与“直线”运动并存，就像“活着”可以与“生病”并存一样。亚里士多德把简单运动分为离心、向心和绕心三种类型，这只能被解释成一种逻辑练习。正如我们虽然区分了点、线、面，但它们都不能单独存在或脱离物体而存在。

再者，作为一种性质，静止被认为比变化和不稳定更为高贵和神圣，因此变化和不稳定更适合地球而不是宇宙。此外，把运动归于空间结构或包围整个空间的东西，却不归于地球这个占据空间的被包围者，这似乎是相当荒谬的。最后，由于行星显然距离地球时近时远，所以同一个天体绕心（被认为是地心）的运动既是离心的又是向心的。因此，必须在更一般的意义上来解释这种绕心运动，充分条件是，任何这种运动都环绕自己的中心。所有这些论证都表明，地球运动比静止的可能性更大。对于周日旋转来说，情况尤为如此，因为它对地球尤为适宜。我想关于问题的第一部分，就说到这里吧。

第九章　可否赋予地球多种运动？宇宙的中心

如前所述，既然否认地球运动是没有道理的，我们现在应当考虑，是否有多种运动适合于地球，以至于可以将其看成一颗行星。行星不均匀的视运动以及它们与地球距离的变化（这些现象是无法用以地球为中心的同心圆来解释的）都说明，地球并不是所有旋转的中心。既然有许多中心，自然就会引出一个问题，即宇宙中心到底是地球的重心还是别的某一点？我个人认为，重心不是别的，而是神圣的造物主植入物体各部分中的一种自然欲望，以使其结合成为完整的球体。我们可以假定，太阳、月亮以及其他明亮的行星都有这种冲动，并因此而保持球状，尽管它们是以各不相同的方式运转的。所以如果说地球还以别的方式运动，比如绕一个中心转动，那么其附加运动一定会在它之外的许多天体上反映出来。周年转动便是这些运动中的一种。如果把周年转动从太阳换到地球，而把太阳看成静止的，那么黄道各宫和恒星在清晨和晚上都会显现出同样的东升西落；而且行星的留、逆行和［重新］顺行都可以认为不是行星的自行，而是地球运动的反映。最后，我们将会认识到，占据着宇宙中心的正是太阳。正如人们所说，只要我们睁开双眼，正视事实，就会发现支配行星排列次序的原则以及整个宇宙的和谐都向我们揭示了所有这些事实。

第十章　天球的次序

恒星天是一切可见事物中最高的东西，我认为这是谁都不会怀疑的。至于行星，古代哲学家希望按照运转周期来排列它们的次序。他们的原则是，运动同样快的物体离我们越远，视运动就越慢，这一点已为欧几里得的《光学》（Optics）所证明。他们认为，月亮转一圈的时间最短，是因为它距离地球最近，转的圆最小；而最高的行星是土星，它转一圈的时间最长，轨道最大。土星之下是木星，然后是火星。

至于金星和水星，意见就有分歧了，因为这两颗行星并不像其他行星那样通过与太阳的任一距角。因此，有些人把金星和水星排在太阳之上，比如柏拉图的《蒂迈欧篇》（Timaeus）［38D］；也有些人把它们排在太阳之下，比如托勒密［《天文学大成》，Ⅸ，1］和许多现代人；比特鲁吉（Al-Bitruji）则把金星排在太阳之上，把水星排在太阳之下。

根据柏拉图追随者的看法，所有行星本身是暗的，只是由于接受太阳光才发光。因此，位于太阳之下的行星不会有大距，看上去应该呈半圆形或无论如何不是整圆形。因为它们一般是向上也就是朝着太阳反射其所接受的光线，一如我们在新月或残月中所见到的情形。此外，他们还认为，行星要是在太阳之下，那么当它们从太阳前掠过时必定会遮住太阳，遮住多少要看行星的大小，但历史上从未观察到这种掩食现象，因此柏拉图的追随者们认为，这些行星决不会位于太阳之下。

而那些把金星和水星排在太阳之下的人则援引日月之间的广阔空间为依据。地月之间的最大距离为地球半径的 倍，为日地最小距离的 。而日地间最小距离为地球半径的1160倍，所以日月距离为地球半径的 倍。为了不致使如此广阔的空间完全空虚，他们宣称近地点与远地点之间的距离（他们用这些距离计算出各个天球的厚度）大约就等于日月距离。具体说来，月亮的远地点之外紧接着水星的近地点；水星的远地点之外是金星的近地点；最后，金星的远地点几乎紧接着太阳的近地点。他们算出，水星近地点与远地点之间的距离约为 个地球半径，剩下的空间差不多刚好可以用金星的近地点和远地点之差，即910个地球半径填满。

因此，他们不承认这些天体是像月亮那样的不透明物体，而认为它们要么是自己发光，要么是通过吸收太阳光来发光。此外，由于纬度经常变化，它们很少遮住我们看太阳的视线，因此不会掩食太阳。还应谈到，这两颗行星与太阳相比非常之小，甚至连比水星更大的金星也不足以遮住太阳的百分之一。因此，根据拉卡（Raqqa）的巴塔尼（Al-Battani）的说法，他认为太阳的直径是金星的10倍，因此，要在强烈的太阳光下看到这么小的一个斑点绝非易事。此外，伊本·鲁世德（Ibn Rushd）在《托勒密〈天文学大成〉注释》（Paraphrase）中谈到，在表中所列的太阳与水星的相合时刻，他看到了一颗黑斑，由此判定这两颗行星是在太阳天球之下运动。

但这种推理也是没有说服力和不可靠的，以下事实可以清楚地表明这一点。根据托勒密的说法［《天文学大成》，V，13］，月球近地点的距离为地球半径的38倍，但下面将会说明，据更准确的测量结果应大于49倍。但我们知道，这个广阔的空间中除了气和所谓的“火元素”之外一无所有。此外，使得金星偏离太阳两侧达45°角距的本轮的直径，必定是地心与金星近地点距离的6倍，这将在适当的地方［V，21］加以说明。如果金星围绕静止的地球旋转，那么在金星的巨大本轮所占据的，比包含地球、气、以太、月亮、水星的空间还要大得多的整个空间里，会由什么东西所占据呢？

托勒密［《天文学大成》，Ⅸ，1］也论证说，太阳应在呈现冲和没有冲的行星之间运行。该论证是不可信的，因为月亮也有对太阳的冲，这一事实本身就暴露出此种说法的谬误。

还有人把金星排在太阳之下，再下面是水星，或者别的什么顺序，他们会提出什么样的理由来解释，为什么金星和水星不像其他行星那样沿着与太阳相分离的轨道运行呢？即使它们的［相对］快慢不会打乱它们的次序，也还是有这样的问题。因此，要么地球并非排列行星和天球所参照的中心，要么实际上既没有次序原则，也没有任何明显的理由说明为什么最高的位置应当属于土星，而不是属于木星或其他某颗行星。

因此，我认为必须重视一部百科全书的作者马提亚努斯·卡佩拉（Martianus Capella）和其他一些拉丁学者所熟悉的观点。根据他们的说法，金星和水星绕太阳这个中心旋转。在他们看来，正是由于这个缘故，它们偏离太阳不会超过其旋转轨道所容许的范围。因为和其他行星一样，它们并非绕地球旋转，而是“有方向相反的圆”。所以除了意指它们的天球中心靠近太阳，这些作者还能是什么意思呢？于是水星天球必定包含在金星天球——后者公认比前者大一倍多——之内，水星天球可以在那个广阔区域中占据适合自己的空间。如果有人由此把土星、木星和火星都与那个中心联系起来，那么只要他认为这些行星的天球大到足以把金星、水星以及地球都包含在内并绕之旋转，那么他的这种看法并不错，行星运动的规则图像便可以表明这一点。

众所周知，［这些外行星］总是在黄昏升起时距地球最近，这时它们与太阳相冲，即地球在它们与太阳之间；而在黄昏沉没时距地球最远，这时它们在太阳附近隐而不现，即太阳在它们与地球之间。这些事实足以说明，它们的中心不是地球，而是金星和水星旋转的中心——太阳。

但由于所有这些行星都与同一个中心相联系，所以在金星的凸球与火星的凹球之间的空间必定也是一个天球或球壳，它的两个表面是与这些球同心的。这个（夹层的球）可以容纳地球及其伴随者月球以及月亮天球内包含的所有东西。在这个空间中，我们为月亮找到了一个合适而恰当的位置，主要是由于这个原因，我们决不能把月球与地球分开，因为月球无疑距地球最近。

因此我敢毫无难堪地断言，月亮和地球中心所包围的整个区域在其余行星之间围绕太阳每年走过一个大圆（grand circle）。宇宙的中心在太阳附近。此外，由于太阳保持静止，所以太阳的任何视运动实际上都是由地球的运动引起的。尽管与任何其他行星天球相比，日地距离并不是太小，但宇宙的尺寸如此之大，以至于同恒星天球相比，日地距离仍是微不足道的。我认为，这种看法要比那种把地球放在宇宙中心，因而必须假定几乎无数层天球的混乱结果更令人信服。我们应当留意造物主的智慧，为了避免任何徒劳之举或无用之事，造物主往往宁愿给同一事物赋予多种效力。

所有这些论述虽然难懂，几乎难以设想，当然与许多人的信念相反，但凭借上帝的帮助，我将在下面透彻地阐明它们，至少要让那些懂点天文学的人明白是怎么一回事。因此，如果仍然承认第一原则（因为没有人能提出更适宜的原则），即天球尺寸由时间长短来度量，那么天球由高到低的次序可排列如下：

第一个也是所有天球中最高的是恒星天球，它包容自身和一切，因而是静止不动的。它毫无疑问是宇宙的处所，其他所有天体的运动和位置都要以此为参照。有人认为它也有某种运动，但在讨论地球的运动时［Ⅰ，11］，我将对此给出一种不同的解释。

［恒星天球］接下来是第一颗行星——土星，它每30年转动一周；然后是木星，每12年转一周；再后是火星，每2年转一周；第四位是地球以及作为本轮的月亮天球［Ⅰ，10］，每1年转一周；第五位是金星，每9个月转一周；最后第六位是水星，每80天转一周。

但静居于万物中心的是太阳。在这个华美的殿堂中，谁能把这盏明灯放到另一个或更好的位置，使之能够同时照亮一切呢？有人把太阳称为宇宙之灯、宇宙之心灵、宇宙之主宰，这都没有什么不妥。三重伟大的赫尔墨斯（Hermes the Thrice Greatest）把太阳称为“可见之神”，索福克勒斯（Sophocles）笔下的埃莱克特拉（Electra）则称其为“洞悉万物者”。于是，太阳就像端坐在王位上统领着绕其运转的行星家族。此外，地球并没有被剥夺月亮的护卫。恰恰相反，正如亚里士多德在一部论动物的著作中所说，地球与月亮的关系最为亲密。与此同时，地球与太阳交媾受孕，每年分娩一次。

因此，我们在这种安排中发现宇宙具有令人惊叹的对称性，天球的运动与尺寸之间有一种既定的和谐联系，这用其他方式是无法发现的。细心观察的人会觉察到，为什么木星顺行和逆行的弧看起来比土星长而比火星短，而金星的却比水星的长。对于这种方向转换，土星要比木星显得频繁，而火星和金星却比水星罕见。此外，土星、木星和火星在日落时升起时，要比傍晚沉没或晚些时候距地球更近。特别是火星，当它彻夜照耀时，其亮度似乎可以与木星相比，只有从它的红色才能将其辨认出来。但在其他情况下，它在繁星中看上去只不过是一颗二等星，只有通过勤勉的跟踪观测才能认出来。所有这些现象都是由同一个原因即地球运动引起的。

但恒星没有这些现象，这说明它们极为遥远，以至于周年转动的天球及其反映都在我们眼前消失了。因为光学已经表明，任何可见之物都有一定的距离范围，超出这个范围就看不见了。星光的闪烁也说明，最远的行星土星与恒星天球之间有无比遥远的间隔。这个特征正是恒星与行星的主要区别，因为运动的东西与不动的东西必定有巨大差异。最卓越的造物主的神圣作品是何等伟大啊！

第十一章　地球三重运动的证据

既然行星有如此众多的重要方式来支持地球的运动，我现在就来对这种运动作一概述，并进而用这一原则来解释现象。总的来说，必须承认地球有三重运动：

第一重运动是地球的昼夜自转，正如我所说［Ⅰ，4］，希腊人称之为nuchthemeron。它使地球自西向东绕轴转动，于是宇宙看起来像是沿相反方向旋转。地球的这种运动描出了赤道，有些人仿效希腊人的术语isemerinos把它称为“均日圈”。

第二重运动是地心沿黄道绕太阳的周年运转，其方向也是自西向东，即沿着黄道十二宫的次序。正如我所说［Ⅰ，10］，地球连同其同伴在金星与火星之间运行。由于这重运动，太阳看起来像是沿黄道做类似的运动。例如，当地心通过摩羯宫时，太阳看起来正通过巨蟹宫；当地球在宝瓶宫时，太阳看起来在狮子宫，等等。这些我已经说过了。

需要明确的是，赤道和地轴相对于穿过黄道各宫中心的圆以及黄道面的倾角是可变的。因为如果它们所成的角度是恒定的，并且只受地心运动的影响，那么就不会出现昼夜长度不等的现象了。这样一来，某些地方就会总是有最长或最短的白昼，或者昼夜一样长，或者总是夏天或冬天，或者总是一个季节，保持恒定不变。

因此需要有第三重运动，即倾角的运动。这也是一种周年转动，但沿着与黄道各宫次序相反的方向，即与地心运动的方向相反。这两种运动周期几乎相等而方向相反，这就使得地轴和地球上最大的纬度圈赤道几乎总是指向天的同一方向，仿佛保持不动。与此同时，由于地心（仿佛是宇宙中心）的这种运动，太阳看起来像是沿黄道在倾斜的方向上运动。这时需要记住，与恒星天球相比，日地距离可以忽略不计。

这些事情最好用图形而不是语言来说明。设圆ABCD为地心在黄道面上周年运转的轨迹，圆心附近的点E为太阳，直径AEC和BED将这个圆四等分。设点A为巨蟹宫，点B为天秤宫，点C为摩羯宫，点D为白羊宫。假设地心原来位于点A，围绕点A作地球赤道FGHI，它与黄道不在同一平面上，直径GAI为赤道面与黄道面的交线。作直径FAH与GAI垂直，设点F为赤道上最南的一点，点H为最北的一点。在这些情况下，地球的居民将看见靠近中心点E的太阳在冬至时位于摩羯宫，因为赤道上最北的点H朝向太阳。由于赤道与AE的倾角，周日自转描出与赤道平行而间距为倾角EAH的南回归线。

现在令地心沿黄道各宫的方向运行，最大倾斜点F沿相反方向转动同样角度，两者都转过一个象限到达点B。在这段时间内，由于两者旋转相等，所以∠EAI始终等于∠AEB，直径FAH和FBH，GAI和GBI，以及赤道和赤道都始终保持平行。由于已经多次提到的理由，在无比广阔的天界，同样的现象会出现。所以从天秤宫的第一点B看来，E看起来在白羊宫。黄赤交线与GBIE重合。在周日自转中，轴线的垂直平面不会偏离这条线。相反，自转轴将完全倾斜在侧平面上。因此太阳看起来在春分点。当地心在假定条件下继续运动，走过半圈到达点C时，太阳将进入巨蟹宫。赤道上最大南倾点F将朝向太阳，太阳看起来是在北回归线上运动，与赤道的角距为ECF。当F转到圆周的第三象限时，交线GI将再次与ED重合。这时看见太阳是在天秤宫的秋分点上。再转下去，H逐渐转向太阳，于是又会重复初始情况。

我们也可以用另一种方式来解释：设AEC为黄道面的一条直径，也就是黄道面同一个与之垂直的圆的交线。绕点A和点C（相当于巨蟹宫和摩羯宫）分别作通过两极的地球经度圈DGFI。设地轴为DF，北极为D，南极为F，GI为赤道的直径。当点F转向点E附近的太阳时，赤道向北的倾角为IAE，于是周日旋转使太阳看起来沿着南回归线运动。南回归线与赤道平行，位于赤道南面，它们之间的距离为LI，直径为KL。或者更确切地说，从AE来看，周日自转产生了一个以地心为顶点、以平行于赤道的圆周为底的锥面。在相对的点C，情况也是类似，不过方向相反。因此已经很清楚，地心与倾角这两种运动如何组合起来使地轴保持在同一方向和几乎同样的位置，并使所有这些现象看起来像是太阳的运动。

但我已经说过，地心与倾角的周年运转近乎相等。因为如果它们精确相等，那么二分点和二至点以及黄道倾角相对于恒星天球都不会有什么变化。但由于有微小的偏离，所以只有随着时间的流逝变大后才能被发现。从托勒密时代到现在，二分点岁差共计约21°。由于这个缘故，有些人相信恒星天球也在运动，因此设想了第九层天球。当这又不够用时，现代人又加上了第十层天球。然而，他们仍然无法获得我希望用地球运动所得到的成果。我将把这一点作为一条证明其他运动的原理和假说。

我承认，太阳和月亮的运动也可以用一个静止的地球来显示。然而，这对其他行星是不适宜的。菲洛劳斯出于诸如此类的理由相信地球在运动。这似乎是有道理的，因为根据一些人的说法，萨摩斯（Samos）的阿里斯塔克（Aristarchus）也持相同的观点，这些人没有被亚里士多德提出和拒斥的论证［《论天》，Ⅱ，13—14］所促动。但是只有通过敏锐的心灵和坚持不懈的研究才能理解这些议题。因此当时大多数哲学家对它们都不熟悉，柏拉图并不讳言当时只有少数人精通天体运动理论。即使菲洛劳斯或任何毕达哥拉斯主义者得知了这些，大概也不会把它们传给后人。因为毕达哥拉斯学派不会把哲学奥秘写下来或者向所有人泄露，而是只托付给忠实的朋友和男亲属，并由他们一个个传下来。吕西斯（Lysis）写给希帕克斯（Hipparchus）的一封存留至今的信便是这种习惯的证据。由于这封信提出了值得注意的见解，并且为了说明他们给哲学赋予了什么价值，我决定把它插入这里并以此结束第一卷。以下就是我从希腊文译出的这封信。

吕西斯致希帕克斯，致以问候。

我决不相信，毕达哥拉斯死后，其追随者们的兄弟情谊会消失。但既然我们已经意外地四散远离，就好像我们的船已经遇难损毁，那么追忆他的神圣教诲，不把哲学宝藏传给那些还没有想过灵魂净化的人，这仍是虔敬之举。因为把我们花费巨大努力而获得的成果泄露给所有人，这样做是不妥当的，一如不能把埃莱夫西斯（Eleusis）女神的秘密泄露给不谙此道者。犯有这些不端行为的人应被斥为邪恶和不虔敬。另一方面，值得静心思索一下，经过5年时间，承蒙他的教诲，我们花了多少时间来擦拭我们心灵所沾染的污垢。染匠们清洗织物后，除染料外还使用一种媒染剂，为的是使颜色固定持久，防止其轻易褪色。那位神圣的人用同样的方式来培养热爱哲学的人，以免为他们中间任何人的才能所怀的希望落空。他不会兜售其箴言，不会像许多智者那样设置陷阱来迷惑青年人，因为这毫无价值。恰恰相反，他所传授的是神的和人的教义。

但有些人长时间大肆模仿他的教诲。他们以一种不正当的混乱程序对年轻人进行指导，致使其听者变得粗鲁而自以为是。因为他们把杂乱而被玷污的道德与哲学的崇高箴言混在一起。结果就像把纯净新鲜的水倒入了充满污垢的深井，污垢被翻搅起来，水也浪费掉了。这就是以这种方式教和被教的人所发生的情况。茂密而黑暗的树林堵塞了没有正确掌握专门知识和秘密的人的头脑和心灵，完全损害了他们优雅的精神和理智。这些树林感染了各种各样的罪恶，它们茂盛起来会阻塞思想，妨碍它往任何方向发展。

我认为这种干扰主要来源于自我放纵和贪婪，两者都极为猖獗。由自我放纵产生了乱伦、酗酒、强奸、淫乐和某些暴力冲动，它们会导致死亡和毁灭。事实上，有些人的激情冲动极强时，竟然连他们的母亲或女儿也不放过，甚至会触犯法律，与国家、政府和统治者发生冲突。其设下的陷阱使他们束手就擒，终获审判。另一方面，贪婪会产生故意伤害、谋杀、抢劫、吸毒以及其他种种恶果。因此我们应当竭力用火和剑来根除隐藏这些强烈欲望的林中兽穴。一旦发现自然理性摆脱了这些欲望，我们就可以在其中植入一种非常卓越和多产的作物。

希帕克斯，你也曾满怀热情地学过这些准则。但我的好人啊，你在体验了西西里的奢华之后便不再注意它们了，而为了这种生活你本来什么也不应当抛弃。许多人甚至说，你在公开讲授哲学。这种做法是毕达哥拉斯所禁止的，他把自己的笔记遗赠给了女儿达穆（Damo），嘱咐她不要让家族以外的任何人翻阅。虽然她本可以出售这些笔记赚得一大笔钱，但她拒绝这样做，因为她认为清贫和父亲的命令比黄金更可贵。他们还说，达穆临终时也嘱咐自己的女儿碧塔丽（Bitale）担负起同样的职责。而我们这些男人却没有听从导师的教诲，违背了我们的誓言。如果你改正自己的做法，我会珍爱你。倘若不这样做，在我看来你已经死了。

在几乎整部著作中，我要用的证明包含平面和球面三角形中的直线和圆弧。虽然关于这些主题的许多知识已见于欧几里得（Euclid）的《几何原本》，但那本著作并未包含这里主要问题（即如何由角求边和由边求角）的答案。

第十二章　圆的弦长

［根据哥白尼原来的方案，为第二卷第一章］

根据数学家的一般做法，我把圆分成360°。古人将直径划分为120单位［例如托勒密，《天文学大成》，Ⅰ，10］，但为了避免在弦长的乘除运算中出现分数（弦长经常是不可公度的，而且平方后也往往如此）的麻烦，后人也把它分成1200000单位或2000000单位。印度数字符号得到运用之后，有人也使用其他合适的直径体系。把这样的数字符号应用于数学运算，速度肯定要快过希腊或拉丁体系。为此，我也采用把直径分成200000单位的分法，这已足够排除任何明显误差了。当数量之比不是整数比时，我只好取近似值。下面我将用六条定理和一个问题来说明这一点，内容基本是仿照托勒密的。

定理一

给定圆的直径，可求内接三角形、正方形、五边形、六边形和十边形的边长。

欧几里得在《几何原本》中证明，直径的一半或半径等于六边形的边长，三角形边长的平方等于六边形边长平方的3倍，而正方形边长的平方等于六边形边长平方的2倍。因此，如果取六边形边长为100000单位，则正方形边长为141422单位，三角形边长为173205单位。

设AB为六边形的边长。根据欧几里得《几何原本》Ⅱ，1或Ⅵ，10，设点C为它的黄金分割点，较长的一段为CB，把它再延长一个相等长度BD，则整条线ABD也被黄金分割。其中较短的BD是圆内接十边形的边长，AB是内接六边形的边长。此结果可由《几何原本》ⅩⅢ，5和9得出。

BD可按下列方法求出：设AB的中点为点E，则由《几何原本》ⅩⅢ，3可得，（EBD） ² ＝5（EB） ² ，而EB＝50000，所以由它的平方的5倍可得EBD＝111803，因此，BD＝EBD-EB＝111803-50000＝61803，这就是我们所要求的十边形的边长。

而五边形边长的平方等于六边形边长与十边形边长的平方之和，所以五边形边长为117557单位。

因此，当圆的直径为已知时，其内接三角形、正方形、五边形、六边形和十边形的边长均可求得。证毕。

推论

因此， 已知一段圆弧的弦，可求半圆剩余部分所对弦长。

内接于半圆的角为直角。在直角三角形中，直角所对的边（即直径）的平方等于两直角边的平方之和。由于十边形一边所对的弧为36°，［定理一］业已证明其长度为61803单位，而直径为200000单位，因此可得半圆剩下的144°所对的弦长为190211单位。五边形一边的长度为117557单位，它所对的弧为72°，于是可求得半圆其余108°所对弦长为161803单位。

定理二

在圆内接四边形中，以对角线为边所作矩形等于两组对边所作矩形之和。

设ABCD为圆内接四边形，那么我说对角线AC和DB的乘积等于AB与CD的乘积和AD与BC的乘积之和。取∠ABE＝∠CBD，加上共同的∠EBD，得到∠ABD＝∠EBC。此外，∠ACB＝∠BDA，因为它们对着圆周上的同一段弧。因此两个相似三角形［BCE和BDA］的相应边长成比例，即BC:BD＝EC:AD，于是EC×BD＝BC×AD。而因为∠ABE＝∠CBD，由于对着同一段圆弧，∠BAC＝∠BDC，所以ABE和CBD两个三角形也相似。于是，AB:BD＝AE:CD，AB×DC＝AE×BD。但我们已经证明了AD×BC＝BD×EC，相加可得BD×AC＝AD×BC＋AB×CD。此即需要证明的结论。

定理三

由上述可知， 已知半圆内两不相等的弧所对弦长，可求两弧之差所对的弦长。

在直径为AD的半圆ABCD中，设AB和AC分别为不等弧长所对的弦，我们希望求弦长BC。由上所述［定理一的推论］，可求得半圆剩余部分所对的弦长BD和CD。于是在半圆中作四边形ABCD，它的对角线AC和BD以及三边AB、AD和CD都为已知。根据定理二，AC×BD＝AB×CD＋AD×BC。因此，AD×BC＝AC×BD-AB×CD。所以，（AC×BD-AB×CD）÷AD＝BC，即为我们所要求的弦长BC。

由上所述，例如当五边形和六边形的边长为已知时，它们之差12°（即72°-60°）所对的弦长可由这个方法求得为20905单位。

定理四

已知任意弧所对的弦，可求其半弧所对的弦长。

设ABC为一圆，直径为AC。设BC为给定的带弦的弧。从圆心E作直线EF垂直于BC。根据《几何原本》Ⅲ，3，EF将平分弦BC于点F，延长EF，它将平分弧BC于点D。作弦AB和BD。三角形ABC和EFC为相似直角三角形（它们共有∠ECF）。因此，由于CF＝ BFC，所以EF＝ AB。而半圆剩余部分所对弦长AB可由定理一的推论求得，所以EF也可得出，于是就得到了半径的剩余部分DF。作直径DEG，连接BG。在三角形BDG中，从直角顶点B向斜边作的垂线为BF。因此，GD×DF＝（BD） ² 。于是BDG弧的一半所对的弦BD的长度便求出了。因为12°的弧所对的弦长已经求得［定理三］，于是可求得6°的弧所对的弦长为10467单位，3°为5235单位，1 °为2618单位， °为1309单位。

定理五

已知两弧所对的弦，可求两弧之和所对的弦长。

设AB和BC为圆内已知的两段弦，则我说整个ABC弧所对的弦长也可求得。作直径AFD和BFE以及直线BD和CE。由于AB和BC已知，而DE＝AB，所以由前面定理一的推论可求得BD和CE的弦长。连接CD，补足四边形BCDE。其对角线BD和CE以及三边BC、DE和BE都可求得。剩下的一边CD也可由定理二求出。因此半圆剩余部分所对弦长CA可以求得，此即我们所要求的整个ABC弧所对的弦。这就是我们所要求的结果。

至此，与3°、1 °和 °弧所对的弦长都已求得。用这些间距可以制得非常精确的表。然而如果需要增加一度或半度，把两段弦相加，或作其他运算，那么求得的弦长是否正确就值得怀疑了。这是因为我们缺乏证明它们的图形关系。但是用另一种方法可以做到这一点，而不会有任何可觉察的误差。托勒密［《天文学大成》，Ⅰ，10］也计算过1°和 °所对的弦长，不过他首先说的是以下定理。

定理六

大弧与小弧之比大于对应两弦长之比。

设AB和BC为圆内两段相邻的弧，其中BC较大，则我说弧BC：弧AB＞弦BC：弦AB。设直线BD等分∠B。连接AC，与弦BD交于点E。连接AD和CD，则AD＝CD，因为它们所对的弧相等。在三角形ABC中，角平分线也交AC于点E，所以底边的两段之比EC:AE＝BC:AB。由于BC＞AB，所以EC＞EA。作DF垂直于AC，它等分AC于点F，则点F必定在较长的一段EC上。由于三角形中大角对大边，所以在三角形DEF中，DE＞DF，而AD＞DE，则以D为中心，DE为半径所作的圆弧将与AD相交并超出DF。设此弧与AD交于点H，与DF的延长线交于点I。由于扇形EDI＞三角形EDF，而三角形DEA＞扇形DEH，所以三角形DEF：三角形DEA＜扇形EDI：扇形DEH。而扇形与其弧或中心角成正比，顶点相同的三角形与其底边成正比，所以∠EDF:∠ADE＞底EF：底AE。相加可得，∠FDA:∠ADE＞底AF：底AE。同样可得，∠CDA:∠ADE＞底AC：底AE。相减，∠CDE:∠EDA＞底CE：底EA。而∠CDE:∠EDA＝弧CB：弧AB，底边CE:AE＝弦BC：弦AB。因此，弧CB：弧AB＞弦BC：弦AB。证毕。

问题

两点之间直线最短，弧长总大于它所对的弦长。但随着弧长不断减少，这个不等式逐渐趋于等式，以至于最终圆弧与直线在圆的切点处一同消失。所以在此之前，它们的差别必定小到难以察觉。

例如，设弧AB为3°，弧AC为1 °。设直径长200000单位，［按定理四］已经求得弦AB＝5235，弦AC＝2618。虽然弧AB＝弧AC的两倍，但弦AB＜弦AC的两倍，弦AC-2617＝1。如果取弧AB＝1 °，弧AC＝ °，则弦AB＝2618，弦AC＝1309。虽然弦AC应当大于弦AB的一半，但它与后者似乎没有什么差别，两弧之比与两弦之比现在似乎是相等的。因此当弦与弧差别十分微小以至于成为一体时，我们无疑可以把1309当作 °所对的弦长，并且按比例求出1°或其他分度所对的弦长。于是， °与 °相加，可得1°所对弦长为1745单位， °为872 单位， °约为582单位。

我相信在表中只列入倍弧所对的半弧就足够了。用这种方法，我们可以把以前需要在半圆内展开的数值压缩到一个象限之内。这样做的主要理由是在证明和计算时，半弦比整弦用得更多。表中每增加 °给出一值，共分三栏。第一栏为弧的度数和六分之几度，第二栏为倍弧的半弦数值，第三栏为每隔1°的差值。用这些差值可以按比例内插任意弧分的值。此表如下：

第十三章　平面三角形的边和角

［根据哥白尼原来的方案，为第二卷第二章］

一

已知三角形的各角，则各边可求。

设三角形为ABC，根据《几何原本》Ⅳ，5，对它作外接圆，于是在360°等于两个直角的体系中，AB、BC和CA三段弧都可求得。当弧为已知时，取直径为200000单位，则圆内接三角形各边的长度可由上表当作弦得出。

二A

已知三角形的两边和一角，则另一边和两角可求。

已知的两边可以相等也可以不相等，已知的角可以是直角、锐角或钝角，已知角可以是也可以不是已知两边的夹角。

首先，设三角形ABC中已知的两边AB与AC相等，并设此两边的夹角为已知∠A。于是底边BC两侧的另外两个角可求。此两角都等于两直角减去∠A后的一半。如果底边的一角原来已知，那么由于与之相等的角已知，用两直角减掉它们，就得到了另一个角。当三角形的角和边均为已知时，取半径AB或AC等于100000，或直径等于200000，则底边BC可由表查得。

二B

若直角BAC的相邻两边为已知，则另一边和两角可求。

因为显然，（AB） ² ＋（AC） ² ＝（BC） ² ，所以BC的长度可以求出，各边的相互关系也得到了。所对角为直角的圆弧是半圆，其直径为底边BC。如果取BC为200000单位，则可得∠B、∠C两角所对弦AB和AC的长度。在180°等于两直角的体系中，查表可得∠B、∠C两角的度数。如果已知的是BC和一条直角边，也可得到相同结果。我想这一点已经很清楚了。

二C

若一锐角∠ABC及其夹边AB和BC为已知，则另一边和两角可求。

从点A向BC作垂线AD，需要时（视垂线是否落在三角形内而定）延长BC线，形成两个直角三角形ABD和ADC。由于∠D是直角，由假设∠B为已知，所以三角形ABD的三个角都为已知。设直径AB为200000单位，于是∠A、∠B两角所对的弦AD和BD可由表查出，AD、BD以及BC与BD的差CD也都可求出。因此在直角三角形ADC中，如果已知AD和CD两边，那么所求的边AC以及∠ACD也可依照上述方法得出。

二D

若一钝角∠ABC及其夹边AB和BC为已知，则另一边和两角可求。

从点A向BC的延长线作垂线AD，得到三个角均为已知的三角形ABD。∠ABC的补角∠ABD已知，∠D又是直角，所以如果设AB为200000单位，则BD和AD都可以得到。因为BA和BC的相互比值已知，BC也可用与BD相同的单位表示，于是整个CBD也如此。直角三角形ADC的情况与此相同，因为AD和CD两边已知，于是所要求的边AC以及∠BAC和∠ACB都可求出。

二E

若三角形ABC的两边AC和AB以及一边AC所对的∠B为已知，则另一边和两角可求。

如果设三角形ABC的外接圆的直径为200000单位，则AC可由表查出。由已知的AC与AB的比值，可用相同单位求出AB。查表可得∠ACB和剩下的∠BAC。利用后者，弦CB也可求得。知道了这一比值，边长就可用任何单位来表示了。

三

若三角形的三边为已知，则三个角可求。

等边三角形的每个角都是两直角的三分之一，这是尽人皆知的。

等腰三角形的情况也很清楚。腰与第三边之比等于半径与弧所对的弦之比，在360°圆心角等于四直角的体系中，两腰所夹的角可由表查出。底角等于两直角减去两腰夹角所得差的一半。

如果所研究的三角形是不等边的，我们可以把它分解为直角三角形。设三角形ABC为不等边三角形，它的三边均为已知，作AD垂直于最长边BC。根据《几何原本》Ⅱ，13，如果AB所对的角为锐角，则（AC） ² ＋（BC） ² -（AB） ² ＝BC×CD的两倍。∠C必定为锐角，否则根据《几何原本》Ⅰ，17-19，AB就将成为最长边，而这与假设相反。因此，如果知道了BD和DC，那么同以前多次遇到的情况一样，我们就得到了边角均为已知的直角三角形ABD和ADC。由此，三角形ABC的各角就得到了。

另一种方法是利用《几何原本》Ⅲ，36，也许更容易得出结果。设最短边为BC，以点C为圆心，BC为半径画的圆将与其他两边或其中的一边相截。

先设圆与两边都相截，即与AB截于点E，与AC截于点D。延长ADC线到点F，使DCF为直径。根据欧氏定理，FA×AD＝BA×AE。这是因为这两个乘积都等于从点A引出的切线的平方。由于AF的各段已知，所以整个AF也可知。由于半径CF＝半径CD＝BC，并且AD＝CA-CD。因此，由于已知BA×AE，所以可求得AE以及BE弧所对BE弦的长度。连接EC，便得到各边已知的等腰三角形BCE，于是可得∠EBC。由此便可求得三角形ABC的其他两角∠C和∠A。

如第二图所示，再设圆不与AB相截。BE可求得，而且等腰三角形BCE中的∠CBE及其补角∠ABC都可求得。根据前面所说的方法，其他角也可求出。

关于平面三角形我已经说得够多了，其中还包括了许多测地学的内容。下面我转到球面三角形。

第十四章　球面三角形

［根据哥白尼原来的方案，为第二卷第三章］

这里我把球面上由三条大圆弧所围成的圆形称为凸面三角形。一个角的大小以及各个角的差，用以交点为极所画大圆的弧长［来度量］。这样截出的弧与整个圆之比等于相交角与四直角即360°之比。

一

若球面上任意三段大圆弧中，两弧之和大于第三弧，则由这三条大圆弧显然可构成一球面三角形。

关于圆弧的这个结论，《几何原本》Ⅺ，23已对角度作过证明。由于角之比等于弧之比，而大圆的平面通过球心，所以三段大圆弧显然在球心形成了一个立体角。因此本定理成立。

二

（球面）三角形的任一边均小于半圆。

半圆在球心形不成角度，而是成一直线穿过球心。而其余两边所属的角在球心不能构成立体角，因此形不成球面三角形。我想这就是为什么托勒密要在论述这类三角形（特别是球面扇形）时规定各边均不能大于半圆的原因。［《天文学大成》，Ⅰ，13］

三

在直角球面三角形中，直角对边的二倍弧所对的弦同其一邻边二倍弧所对的弦之比，等于球的直径同对边和另一邻边所夹角的二倍所对的弦之比。

设ABC为球面三角形，其中∠C为直角，则我说，两倍AB所对的弦同两倍BC所对的弦之比等于球的直径同两倍的BAC角在大圆上所对弦之比。

以点A为极作大圆弧DE，设ABD和ACE为所形成的两个象限。从球心点F作下列各圆面的交线：ABD和ACE的交线FA，ACE和DE的交线FE，ABD和DE的交线FD，以及AC和BC的交线FC。然后作BG垂直于FA，BI垂直于FC，以及DK垂直于FE。连接GI。

如果圆与圆相交并通过其两极，则两圆相互正交。因此∠AED为直角。根据假设，∠ACB也是直角。于是EDF和BCF两平面均垂直于AEF。在平面AEF上，如果从点K作一直线垂直于交线FKE，那么根据平面相互垂直的定义，这条垂线将与KD成一直角。因此，根据《几何原本》Ⅺ，4，直线KD垂直于AEF。同样，作BI垂直于同一平面，根据《几何原本》Ⅺ，6，DK平行于BI。由于∠FGB＝∠GFD＝90°，所以FD平行于GB。根据《几何原本》Ⅺ，10，∠FDK＝∠GBI。但是∠FKD＝90°，所以根据垂线的定义，∠GIB也是直角。由于相似三角形的边长成比例，所以DF:BG＝DK:BI。由于BI垂直于半径CF，所以BI＝ 弦2CB。同样，BG＝ 弦2BA，DK＝ 弦2DE或 弦2DAE，而DF是球的半径，所以有，弦2AB：弦2BC＝直径：弦2DAE（或弦2DE）。这条定理的证明对于今后是有用的。

四

球面三角形中，一角为直角，若另一角和任一边已知，则其余的边角可求。

设球面三角形ABC中∠A为直角，而其余的两角之一∠B也是已知的。已知边的情形可分三种。它或与两已知角都相邻（AB），或仅与直角相邻（AC），或者与直角相对（BC）。

首先设AB为已知边。以点C为极作大圆弧DE。完成象限CAD和CBE。延长AB和DE，使其相交于点F。由于∠A＝∠D＝90°，所以点F也是CAD的极。如果球面上的两个大圆相交成直角，则它们将彼此平分并通过对方的极点，因此ABF和DEF都是象限。因AB已知，象限的其余部分BF也已知，∠EBF等于其已知的对顶角∠ABC。根据上一定理，弦2BF：弦2EF＝球的直径：弦2EBF。而这中间有三个量是已知的，即球的直径、弦2BF和弦2EBF或它们的一半，所以根据《几何原本》Ⅵ，15， 弦2EF也可知，于是查表可得弧EF。因此，象限的其余部分DE即所求的∠C可得。

反过来也同样，弦2DE：弦2AB＝弦2EBC：弦2CB。但DE、AB和CE这三个量是已知的，因此第四个量即倍弧CB所对的弦可得，于是所要求的边CB可得。由于弦2CB：弦2CA＝弦2BF：弦2EF，而这两个比值都等于球的直径：弦2CBA，且等于同一比值的两个比值也彼此相等，所以既然弦BF、弦EF和弦CB三者为已知，那么第四个弦CA可求得，而弧CA为三角形ABC的第三边。

再设AC为已知的边，我们要求的是AB和BC两边以及余下的∠C。与前面类似，反过来可得，弦2CA：弦2CB＝弦2ABC：直径，由此可得CB边以及象限的剩余部分AD和BE。再由弦2AD：弦2BE＝弦2ABF（直径）：弦2BF，因此可得弧BF及剩下的边AB。类似地，弦2BC：弦2AB＝2弦CBE：弦2DE，于是可得弦2DE，即所要求的余下的∠C。

最后，如果BC为已知的边，可仿前述求得AC以及余下的AD和BE。正如已经多次说过的，利用直径和它们所对的弦，可求得弧BF及余边AB。于是按照前述定理，由已知的弧BC、AB和CBE，可求得弧ED，即为我们所要求的余下的∠C。

于是在三角形ABC中，∠A为直角，B角和任一边已知，则其余的边角可求。证毕。

五

如果已知球面三角形之三角，且一角为直角，则各边（之比）可求。

仍用前图。由于∠C已知，可求得弧DE和象限的剩余部分EF。由于BE是从弧DEF的极上画出的，所以∠BEF为直角。由于∠EBF是一个已知角的对顶角，所以按照前述定理，已知一个直角∠E、另一角∠B和边EF的三角形BEF的边角均可求。因此BF可得，象限的剩余部分AB也可得。类似地，在三角形ABC中，同样可得其余的边AC和BC。

六

同一球上的两直角球面三角形，若有一角和一边（无论与相等的角相邻还是相对）相等，则其余对应边角均相等。

设ABC为半球，ABD和CEF为它上面的两个三角形。设∠A和∠C为直角，∠ADB等于∠CEF，其中有一边等于另一边。先设等边为等角的邻边，即AD等于CE。则我要证明，AB边等于CF边，BD边等于EF边，余下的∠ABD也等于余下的∠CFE。以点B和点F为极，作大圆的象限GHI与IKL。完成象限ADI和CEI。它们必定在半球的极即点I相交，因为∠A和∠C为直角，而象限GHI和CEI都通过圆ABC的两极。因此，由于已经假定边AD＝边CE，则它们的余边弧DI＝弧IE。而∠IDH＝∠IEK，因为它们是等角的对顶角；以及∠H＝∠K＝90°，因为等于同一比值的两个比值也彼此相等；且根据本章定理三，弦2ID：弦2HI＝球的直径：弦2IDH，以及弦EI：弦2KI＝球的直径：弦2IEK，因此，弦2ID：弦2HI＝弦2EI：弦2IK。根据欧几里得《几何原本》Ⅴ，14，弦2DI＝弦2IE，因此弦2HI＝弦2IK。因为在相等的圆中，等弦截出等弧，而分数在乘以相同的因子后保持相同的比值。所以单弧IH与IK相等，于是象限的剩余部分GH和KL也相等。于是显然∠B＝∠F。根据定理三的逆定理，弦2AD：弦2BD＝弦2HG：弦2BDH（或直径），以及弦2EC：弦2EF＝弦2KL：弦2FEK（或直径），因此，弦2AD：弦2BD＝弦2EC：弦2EF。而根据假设，AD等于CE，因此，根据欧几里得《几何原本》Ⅴ，14，弧BD＝弧EF。

同样，如果已知BD与EF相等，我们可以用同样方法证明其余的边角均相等。如果假设AB与CF相等，则由比的相等关系可得同样结论。

七

两非直角球面三角形，若一角相等，与等角相邻的边也相等，则其他对应边角均相等。

在ABD和CEF两个三角形中，如果∠B＝∠F，∠D＝∠E，且边BD与等角相邻，边BD＝边EF，则我说这两个三角形的对应边角都相等。

再次以点B和点F为极，作大圆弧GH和KL。设AD与GH延长后交于点N，EC和LK延长后交于点M。于是在两三角形HDN和EKM中，等角的对顶角∠HDN＝∠KEM。由于圆弧通过极点，所以∠H＝∠K＝90°。并且边DH＝边EK，因此根据前一定理，这两个三角形的边角均相等。

因为根据假设，∠B＝∠F，所以弧GH＝弧KL。根据等量加等量结果仍然相等这一公理，弧GHN等于弧MKL。因此两三角形AGN和MCL中，边GN＝边ML，∠ANG＝∠CML，并且∠G＝∠L＝90°。所以这两个三角形的边和角都相等。由于等量减等量，其差仍相等，因此弧AD＝弧CE，弧AB＝弧CF，∠BAD＝∠ECF。证毕。

八

两球面三角形中，若有两边和一角（无论此角是否为相等边所夹的角还是底角）相等，则其他对应边角均相等。

在上图中，设边AB＝边CF，边AD＝边CE。先设等边所夹的∠A等于∠C，则我说，底BD＝底EF，∠B＝∠F，以及∠BDA＝∠CEF。我们现在有两个三角形：AGN和CLM，其中∠G＝∠L＝90°，而由于∠GAN＝180°-∠BAD，∠MCL＝180°-∠ECF，所以∠GAN＝∠MCL。因此两个三角形的对应边角都相等。而由于弧AN＝弧CM，弧AD＝弧CE，所以相减可得，弧DN＝弧ME。但我们已经证明∠DNH＝∠EMK，且根据已知，∠H＝∠K＝90°，因此，三角形DHN和三角形EMK的相应边角也都相等。于是弧BD＝弧EF，弧GH＝弧KL，因此∠B＝∠F，∠ADB＝∠FEC。

但如果不假设AD和EC相等，而设底BD＝底EF，如果其余不变，则证明是类似的。由于外角∠GAN＝外角∠MCL，∠G＝∠L＝90°，且边AG＝边CL，所以用同样的方式，我们可以证明三角形AGN与三角形MCL的对应边角都相等。对于它们所包含的三角形DHN和MEK来说，情况是一样的。因为∠H＝∠K＝90°，∠DNH＝∠KME，而DH和EK都是象限的剩余部分，所以边DH＝边EK。由此可得以前的相同结论。

九

等腰球面三角形两底角相等。

设三角形ABC中，边AB＝边AC，则我说，底边上的∠ABC＝∠ACB。从顶点A画一个与底边垂直的即通过底边之极的大圆。设此大圆为AD。于是在ABD和ADC这两个三角形中，由于边BA＝边AC，边AD＝边AD，且∠BDA＝∠CDA＝90°，因此根据上述定理，显然∠ABC＝∠ACB。证毕。

推论

由上可知，从等腰三角形顶点所作的与底边垂直的弧平分底边以及等边所夹的角，反之亦然。

十

同一球上两球面三角形对应边都相等，则对应角也相等。

每个三角形的三段大圆弧都形成角锥体，其顶点位于球心，底是由凸三角形的弧所对直线构成的平面三角形。根据立体图形相等和相似的定义，这些角锥体相似且相等。而当两个图形相似时，它们的对应角也相等，所以这些三角形的对应角也相等。特别是那些对相似形作更普遍定义的人主张，相似形的对应角必须相等，因此我想情况已经很清楚，正如平面三角形的情形，对应边相等的球面三角形是相似的。

十一

任何球面三角形中，若两边和一角已知，则其余的角和边可求。

如果已知边相等，则两底角相等。根据定理九的推论，从直角顶点作垂直于底边的弧，则命题不难证得。

但如果已知边不相等，如图中的三角形ABC，∠A和两边已知，已知角或为两已知边所夹，或不为其所夹。首先，设已知角为已知边AB和AC所夹。以点C为极作大圆弧DEF，完成象限CAD和CBE。延长AB与DE交于点F。于是在三角形ADF中，边AD＝90°-弧AC，∠BAD＝180°-∠CAB。这些角的大小及比值与直线和平面相交所得角的大小比值相同。而∠D＝90°，因此，根据本章定理四，三角形ADF的各边角均为已知。而在三角形BEF中，∠F已得，且∠E的两边都通过极点，所以∠E＝90°，而边BF＝弧ABF-弧AB，所以按照同一定理，三角形BEF的各边角也均可得。由BC＝90°-BE，可得所求边BC。由弧DE＝弧DEF-弧EF，即得∠C。由∠EBF可求得其对顶角∠ABC，即为所求角。

但如果假定为已知的边不是AB，而是已知角所对的边CB，则结论是相同的。因为象限的剩余部分AD和BE均已知。根据同样的论证，两三角形ADF和BEF的各边角均可得。如前所述，三角形ABC的边角均可得。

十二

任何球面三角形中，若两角和一边已知，则其余的角和边可求。

仍用前面的图形。在三角形ABC中，设∠ACB和∠BAC以及与它们相邻的边AC均已知。如果已知角中有一个为直角，则根据前面的定理四，其他所有量均可求得。然而我们希望论证的是已知角不是直角的情形。因此，AD＝90°-AC，∠BAD＝180°-∠BAC，且∠D＝90°，因此根据本章的定理四，三角形AFD的边角均可求得。但因∠C已知，弧DE可知，所以剩余部分弧EF＝90°-弧DE。∠BEF＝90°，∠F是两个三角形共有的角。根据定理四可求得BE和FB，并可由此求得其余的边AB和BC。

如果其中一个已知角与已知边相对，比如已知角不是∠ACB而是∠ABC，那么如果其他情况不变，我们就可以类似地说明，整个三角形ADF的各边角均可求得。它的一部分即三角形BEF也是如此。由于∠F是两三角形的公共角，∠EBF为已知角的对顶角，∠E为直角，因此，如前面已经证明的，该三角形的各边均可求得。由此可得我的结论。所有这些性质总是被一种不变的相互关系维系着，一如球形所满足的关系。

十三

最后，若球面三角形各边已知，则各角可求。

设三角形ABC各边均为已知，则我说其各角也可求得。三角形的边或相等或不相等，我们先假设AB等于AC，那么与两倍AB和AC所对的半弦显然也相等。设这些半弦为BE和CE。由《几何原本》Ⅲ，定义4及其逆定义可知，它们会交于点E，这是因为它们与位于它们的圆的交线DE上的球心是等距的。但根据《几何原本》Ⅲ，3，在平面ABD上，∠DEB＝90°，在平面ACD上，∠DEC＝90°，因此，根据《几何原本》Ⅺ，定义4，∠BEC是这两个平面的交角。它可按如下方法求得。由于它与直线BC相对，所以就有平面三角形BEC，它的各边均可由已知的弧求得。由于BEC的各角也可知，所以我们可以求得所求的∠BEC（即球面∠BAC）及其他两角。

但如果三角形不等边，如第二图所示，则与两倍边相对的半弦不会相交。如果弧AC＞弧AB，并设CF＝ 弦2AC，则CF将从下面通过。但如果弧AC＜弧AB，则半弦会高一些。根据《几何原本》Ⅲ，15，这要视它们距中心的远近而定。作FG平行于BE，使FG与两圆的交线BD交于点G。连接GC，于是显然，∠EFG＝∠AEB＝90°。由于CF＝ 弦2AC，所以∠EFC＝90°。因此∠CFG为AB和AC两圆的交角，这个角也可得出。由于三角形DFG与三角形DEB相似，所以DF:FG＝DE:EB。因此FG可用与FC相同的单位求得。而DG:DB＝DE:EB，若取DC为100000，则DG也可用同样单位求出。由于∠GDC可从弧BC求得，所以根据平面三角形的定理二，边GC可用与平面三角形GFC其余各边相同的单位求出。根据平面三角形的最后一条定理，可得∠GFC，此即所求的球面角∠BAC。然后根据球面三角形的定理十一可得其余各角。

十四

将一弧任意分为两段小于半圆的弧，若已知两弧之二倍弧所对弦长之半的比值，则可求每一弧长。

设ABC为已知圆弧，点D为圆心。设点B把ABC分成任意两段，且它们都小于半圆。设 弦2AB: 弦2BC可用某一长度单位表出，则我说，弧AB和BC都可求。

作直线AC与直径交于点E。从端点A和C向直径作垂线AF和CG，则AF＝ 弦2AB，CG＝ 弦2BC。而在直角三角形AEF和CEG中，对顶角∠AEF＝∠CEG，因此两三角形的对应角都相等。作为相似三角形，它们与等角所对的边也成比例：AF:CG＝AE:EC。于是AE和EC可用与AF或GC相等的单位表出。但弧ABC所对的弦AEC可用表示半径DEB的单位求得，还可用同样单位求得弦AC的一半即AK以及剩余部分EK。连接DA和DK，它们可以用与BD相同的单位求出。DK是半圆减去ABC后余下的弧所对弦长的一半，这段弧包含在∠DAK内。因此可得弧ABC的一半所对的角∠ADK。但是在三角形EDK中，两边为已知，∠EKD为直角，所以∠EDK也可求得。于是弧AB所夹的整个角∠EDA可得，由此还可求得剩余部分CB。这即是我们所要证明的。

十五

若球面三角形的三角（不一定是直角三角形）均已知，则各边可求。

设三角形为ABC，其各角均已知，但都不是直角，则我说各边均可求。从任一角∠A通过BC的两极作弧AD与BC正交。AD将落在三角形之内，除非B、C两底角一个为钝角，一个为锐角。若是如此，就应从钝角作底边的垂线。完成象限BAF、CAG和DAE。以点B和点C为极作弧EF和EG。因此∠F＝∠G＝90°。于是直角三角形EAF中， 弦2AE: 弦2EF＝ 球的直径： 弦2EAF。同样，在三角形AEG中， 弦2AE: 弦2EG＝ 球的直径： 弦2EAG。因此， 弦2EF: 弦2EG＝ 弦2EAF: 弦2EAG。因为弧FE和EG为已知，且弧FE＝90°-∠B，弧EG＝90°-∠C，所以可得∠EAF与∠EAG两角之比，此即它们的对顶角∠BAD与∠CAD之比。现在整个∠BAC已知，因此根据前述定理，∠BAD和∠CAD也可求得。于是根据定理五，可以求得AB、BD、AC、CD各边以及整个BC。

就实现我们的目标而言，关于三角形所做的这些题外讨论已经足够了。如果要做更加细致的讨论，就需要特别写一部著作了。 vJDmQD25h4CcPK+Ors/6mXnHTN4s5cOVWg8UTJEXXX1mDraKxvqcmv5h4smbAD48