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我已尽我最大的努力论证了，假定的地球运转是如何影响行星在黄经上的视运动，并迫使所有这些现象都服从一种精确而必然的规则性的。接下来，我还要考虑引起行星黄纬偏离的那些运动，表明地球的运动也支配着这些现象，在这一领域也为它们确立规则。科学的这一领域是不可或缺的，因为诸行星的黄纬偏离对于升、落、初现、掩星以及前面已经作过一般解释的其他现象都造成了不小的改变。事实上，当行星的黄经连同它们与黄道的黄纬偏离都已测出时，才能说知道了行星的真位置。对于古代天文学家们认为通过静止的地球所能论证的事情，我将通过假设地球运动来做到，而我的论证或许更为简洁和恰当。
古人在所有这些行星中都发现了双重的黄纬偏离，对应于每颗行星的两种黄经不均匀性。在古人看来，在这些黄纬偏离中，一种是由偏心圆造成的，另一种则是由本轮造成的。我没有采用这些本轮，而是采用了地球的一个大圆（对此我们前文已经多次提及）。我之所以采用这个大圆，并非是因为它与黄道面有某种偏离，实际上两者永远结合在一起，是完全等同的；而是因为行星轨道与黄道面有一个不固定的倾角，这一变化是根据地球大圆的运动和运转而调整的。
然而，土星、木星和火星这三颗外行星的黄经运动所遵循的某些原理却不同于支配其他两颗行星黄经运动的原理，而且这些外行星就其黄纬运动而言也有不小的差别。于是，古人首先考察了它们北黄纬极限的位置和量。托勒密发现，对于土星和木星，这些极限接近天秤宫的起点，而对于火星，则在靠近偏心圆远地点的巨蟹宫终点附近［《天文学大成》，XⅢ，1］。
然而到了我们这个时代，我发现土星的北限在天蝎宫内7°处，木星的北限在天秤宫内27°，火星的北限在狮子宫内27°。从那时到现在，它们的远地点也已经移动［Ⅴ，7，12，16］，这是因为那些圆的运动会引起倾角和黄纬基点的变化。不论地球当时位于何处，在与这些极限相距一个归一化象限或视象限的距离处，这些行星似乎在黄纬上绝对没有任何偏离。于是在这些中间经度处，可以认为这些行星位于它们的轨道与黄道的交点上，就像月亮位于它的轨道与黄道的交点上一样。托勒密［《天文学大成》，XⅢ，1］把这些相交处称为“交点”（nodes）。行星从升交点进入北天区，从降交点进入南天区。这些偏离的产生并不是因为地球的大圆（它永远位于黄道面内）在这些行星中造成了任何黄纬。相反地，所有黄纬偏离均来自交点，而且在两交点的中间位置达到最大。当人们看到行星在那里与太阳相冲并于午夜到达中天时，随着地球的靠近，行星在北天区向北移动和在南天区向南移动时发生的偏离总要比地球在其他任何位置时更大。这一偏离比地球的靠近和远离所要求的更大。这种情况使人认识到，行星轨道的倾角并不是固定不变的，而是与地球大圆的旋转相对应地在某种天平动中发生变化。我们稍后［Ⅵ，2］会对此进行解释。
然而，尽管金星与水星服从一种与其中拱点、高拱点和低拱点相关的精确规则，但它们似乎是以其他某些方式发生偏离的。在它们的中间经度区，即当太阳的平均行度线与它们的高拱点或低拱点相距一个象限时，亦即当行星于晨昏时与同一条太阳的平均行度线相距行星轨道的一个象限时，古人发现它们与黄道并无偏离。通过这一情况古人认识到，这些行星当时正位于它们的轨道与黄道的交点处。由于当行星远离或接近地球时，这一交点分别通过它们的远地点和近地点，所以在那些时刻它们呈现出明显的偏离。但是当行星距地球最远时，亦即在黄昏初现或晨没时（此时金星看起来在最北方，水星在最南方），这些偏离达到最大。
另一方面，在距地球较近的一个位置上，当行星于黄昏沉没或于清晨升起时，金星在南而水星在北。反之，当地球位于这一点对面的另一个中拱点，即偏心圆的近点角等于270°时，金星看起来位于南面距地球较远处，而水星位于北面。在距地球较近的一个位置上，金星看起来在北而水星在南。
但托勒密发现，当地球靠近这些行星的远地点时，金星在清晨时的黄纬为北纬，黄昏时的黄纬为南纬。而水星的情况正好相反，清晨时为南纬，黄昏时为北纬。在相反的位置，当地球在这些行星的近地点附近时，这些方向都作类似的反转，于是金星从南面看时是晨星，从北面看时是昏星，而水星在北面于清晨出现，在南面于黄昏出现。然而，当地球位于这两点［这些行星的远地点和近地点］时，古人发现金星的偏离在北面总比在南面大，而水星的偏离在南面总比在北面大。
由于这一事实，针对［地球位于行星的远地点和近地点］这一情况，古人设想出双重的黄纬，而在一般情况下为三重黄纬。第一种发生在中间经度区，他们称之为“赤纬”（declination）；第二种发生在高、低拱点，他们称之为“偏斜”（obliquation）；最后一种与第二种有关，他们称之为“偏离”（deviation），金星的“偏离”永远偏北，而水星的“偏离”永远偏南。在这四个极限点［高、低拱点和两个中拱点］之间，各黄纬相互混合，轮流增减和彼此让位。我将为所有这些现象指定适当的情况。
于是必须认为，这五颗行星的轨道圆都倾斜于黄道面（它们的交线是黄道的一条直径），倾角可变但有规则。对土星、木星和火星而言，如同我对二分点岁差所证明的那样［Ⅲ，3］，交角以交线为轴作着某种振动。然而对这三颗行星而言，这种振动是简单的，且与视差运动相对应，它在一个确定周期内随视差运动一起增减。于是，每当地球距行星最近，即行星于午夜过中天时，该行星轨道的倾角达到最大，在相反位置最小，在中间位置则取平均值。结果，当行星位于它的北纬或南纬的极限位置时，它的黄纬在地球靠近时要比地球最远时大得多。尽管根据物体看起来近大远小的原理，这种变化的唯一原因只能是地球的远近不同，但这些行星黄纬的增减［较之仅由地球远近改变所引起的］变化更大。除非行星轨道的倾角也在起伏振动，否则这种情况不可能发生。但正如我已经说过的［Ⅲ，3］，对于振荡运动，我们必须取两个极限之间的平均值。
为了说明这些情况，设ABCD为黄道面上以E为圆心的地球大圆。设行星轨道与这一大圆斜交。设FGKL为行星轨道的平均固定赤纬，点F位于黄纬的北限，点K位于南限，点G位于交线的降交点，点L位于升交点。设［行星轨道与地球大圆的］交线为BED。沿直线GB和DL延长BED。除了拱点的运动，这四个极限点不能移动。然而应当认为，行星的黄经运动并非发生在圆FG的平面上，而是发生在与FG同心且与之倾斜的另一个圆OP上。设这些圆彼此相交于同一条直线GBDL。因此，当行星在圆OP上运转时，这个圆有时与平面FK重合，并且由于天平动而在FK的两个方向上振动，因此黄纬好像在不断变化。
于是，首先设行星位于其黄纬北限处的点O，且距位于点A的地球最近。此时行星的黄纬将随∠OGF（即轨道OGP的最大倾角）而增大。它是一种靠近与远离的运动，因为根据假设，它与视差运动相对应。于是若地球位于点B，则点O将与点F重合，行星的黄纬看上去要比以前在同一位置时为小。如果地球位于点C，那么行星的黄纬看上去还会小得多。因为O会跨到其振动的最外的相对部分，那时其纬度仅为北纬减去天平动后的余量，即等于∠OGF。此后，在通过剩下的半圆CDA的过程中，位于点F附近的行星的北纬将一直增大，直到地球回到它出发的第一点A为止。
当行星位于南方点K附近时，如果设地球的运动从点C开始，则行星的行为和变化将是一样的。但假定行星位于交点G或L上，与太阳相冲或相合。即使当时圆FK与OP彼此之间的倾角可能为最大，我们也察觉不到行星的黄纬，因为它占据着两圆的一个交点。我认为由以上所述不难理解，行星的北纬如何从F到G减小，而南纬如何从G到K增大，并且在L处完全消失并且跨到北方的。
以上就是三颗外行星的运动方式。金星和水星无论是经向还是纬向的运动都与它们有所不同，这是因为内行星的轨道［与大圆］相交于它们的远地点和近地点。与外行星类似，它们在中拱点的最大倾角也因振动而变化。然而内行星与外行星所不同的是还有另一种振动。两者都随地球运转而变化，但方式不同。第一种振动的性质是，每当地球回到内行星的拱点时，振动就重复两次，其轴为前面提到的过远地点和近地点的固定交线。这样一来，每当太阳的平均行度线位于近地点或远地点时，交角就达到其极大值，而在中间经度区总为极小值。
而叠加在第一种振动上的第二种振动与前者的不同之处在于，它的轴线是可移动的。结果，当地球位于金星或水星的中间经度时，行星总是在轴线上，即位于这一振动的交线上。反之，当地球与行星的远地点或近地点排成一条直线时，行星与第二种振动的轴的偏离最大，正如我已说过的［Ⅵ，1］，金星总是向北倾斜，水星总是向南倾斜。不过在这些时刻，这些行星不会有由第一种简单赤纬所产生的纬度。
于是举例来说，假定太阳的平均运动在金星的远地点，并且该行星也在同一位置。由于此时行星位于其轨道与黄道面的交点上，所以它显然不会因为简单赤纬或第一种振动而产生纬度。但交线或轴线沿着偏心圆横向直径的第二种振动，却给行星叠加了最大偏离，因为它与通过高、低拱点的直径相交成直角。而另一方面，假定行星位于［距其远地点］一个象限的两点中任何一点，并且在其轨道的中拱点附近。这［第二种］振动的轴将与太阳的平均行度线重合。金星将把最大偏离加在北纬偏离上，而南纬偏离则由于减去了最大偏离而变小了。偏离的振动就是这样与地球的运行相对应的。 [1]
为使以上论述更容易理解，我们重作大圆ABCD以及金星或水星的轨道FGKL（它是圆ABC的偏心圆，且两者之间的倾角为平均偏斜）。它们的交线FG通过轨道的远地点F和近地点G。为了便于论证，我们首先把偏心圆轨道GKF的倾角看成简单恒定的，或者介于极小值和极大值之间，只不过它们的交线FG随着近地点和远地点的运动而移动。当地球位于交线上即在A或C处，且行星也在同一条线上时，它当时显然没有黄纬，因为它的整个纬度都在半圆GKF和FLG的两侧。如前所述［Ⅵ，2前面］，行星在该处北偏或南偏取决于圆FKG与黄道面的倾角。有些天文学家把行星的这种偏离称为“偏斜”，另一些人则称之为“偏转”（reflexion）。另一方面，当地球位于B或D，即位于行星的中拱点时，被称作“赤纬”的FKG和GLF将分别为上下相等的纬度。因此它们与前者只有名称上的不同而并无实质性的差别，在中间位置上甚至连名称也可以互换。
然而，这些圆的倾角就“偏斜”而言要比“赤纬”大。因此，正如我们已经说过的［Ⅵ，2］，这种不等被认为源于以交线FG为轴的振动。于是，当我们知道两边的交角时，我们很容易根据其差值推出从最小值到最大值的振动量。
现在设想另一个倾斜于GKFL的偏离圆。设该圆对金星而言是同心的，而对水星而言是偏偏心圆，这一点我们将在后面说明［Ⅵ，2］。设它们的交线RS为振动轴，此轴按照以下规则沿一个圆运动：当地球位于点A或点B时，行星位于其偏离的极限处，比如在点T。地球离开A前进多远，可以认为行星也离开T多远。在此期间，偏离圆的倾角减小，结果当地球走过象限AB时，可以认为行星已经到达了该纬度的交点R。然而此时，两平面在振动的中点重合，并且反向运动。因此，原来在南面的一半偏离圆向北转移。当金星进入这个半圆时，它离开南纬北行，由于这种振动而不再转向南方。与此类似，水星沿相反方向运行，留在南方。水星与金星还有一点不同，即它不是在偏心圆的同心圆上，而是在一个偏偏心圆上摇摆。我曾经用一个小本轮来论证其黄经运动的不均匀性［Ⅴ，25］。不过在那里，它的黄经是抛开其黄纬来考虑的，而这里是抛开黄经来研究黄纬。它们都包含在同一运转中从而相等地完成。因此很显然，这两种变化可以由单一的运动和同样的振动所产生，此运动既是偏心的又是倾斜的。除了我刚才描述的以外，再没有其他安排了。对此我将在后面作进一步讨论［Ⅵ，5-8］。
解释了五颗行星黄纬的理论之后，我现在必须转向事实并对细节作出分析。首先［我应确定］各个圆的倾角有多大。凭借过倾斜圆两极并与黄道正交的大圆计算出这些倾角。纬度偏离值是在这个大圆上测定的。理解了这些安排，我们就可以确定每颗行星的黄纬了。
让我们再一次从三颗外行星开始。根据托勒密的表［《天文学大成》，ⅩⅢ，5］，当行星与太阳相冲，纬度为最南限时，土星偏离3°5′，木星偏离2°7′，火星偏离7°7′。而当行星位于相反位置即与太阳相合时，土星偏离2°2′，木星偏离1°5′，而火星仅偏离5′，所以它几乎掠过黄道。黄纬的这些值可以从托勒密在行星消失和初现前后所测的纬度推出来。
得到这些结果之后，设一个与黄道垂直的平面通过黄道中心，AB为此平面与黄道的交线，CD为此平面与三颗外行星偏心圆中任何一个的交线，此交线通过最南限和最北限。再设黄道中心为点E，地球大圆的直径为FEG，D为南纬，C为北纬。连接CF、CG、DF和DG。
对于每颗行星而言，地球大圆［的半径］EG与行星偏心圆［的半径］ED之比在前面已经就地球和行星任何已知的位置求出来了，而最大黄纬的位置也已由观测给出。因此，最大南纬角BGD作为三角形EGD的外角已知。根据平面三角形定理，与之相对的内角，即偏心圆相对黄道面的最大南面倾角GED也可求出。类似地，我们可以通过最小南黄纬如∠EFD求得最小倾角。在三角形EFD中，边EF与边ED之比以及∠EFD均已知，所以最小南面倾角即外角GED也可求得。这样，由两倾角之差可以求出偏心圆相对于黄道的整个振动量。不仅如此，用这些倾角还可以计算出相对的北纬，比如∠AFC和∠EGC。如果所得结果与观测相符，就表明我们没有出错。
然而，我将以火星为例，因为它的黄纬超过了所有其他行星。当火星位于近地点时，托勒密指出［《天文学大成》，ⅩⅢ，5］其最大南黄纬约为7°，而当位于远地点时，最大北黄纬为4°20′。但在确定了∠BGD＝6°50′之后，我发现相应的∠AFC≈4°30′。由于已知EG:ED＝1
p
:1
p
22′26″［Ⅴ，19］，由这些边和∠BGD可以求得，最大南面倾角DEG≈1°51′。由于EF:CE＝1
p
:1
p
39′57″［Ⅴ，19］，∠CEF＝∠DEG＝1°51′，所以当行星与太阳相冲时，上面提到的外角∠CFA＝4
°。
类似地，当火星位于相反位置即与太阳相合时，假定∠DFE＝5′，那么由于边DE和EF以及∠EFD均已知，所以可得∠EDF以及表示最小倾斜度的外角∠DEG≈9′。由此还可求得北纬度角∠CGE≈6′。从最大倾角中减去最小倾角，可得这个倾角的振动量为1°51′-9′≈1°41′。于是，［振动量的］
≈50
′。
对于其他两颗行星，即木星和土星，我们也可以用类似的方法求出倾角和黄纬。由于木星的最大倾角为1°42′，最小倾角为1°18′，所以它的整个振动量不超过24′。而土星的最大倾角为2°44′，最小倾角为2°16′，所以二者之间的振动量为28′。因此，当行星与太阳相合时，通过在相反位置出现的最小倾角，可以求出以下相对黄道的纬度偏离值：土星为2°3′，木星为1°6′。这些值必须测定出来，我们要用它们来编制后面的表［Ⅵ，8结尾］。
由上述内容，这三颗行星的特定纬度一般来说便可清楚。和前面一样，设AB为与黄道垂直且过行星最远偏离极限的平面的交线，北限为点A。设直线CD为行星轨道［与黄道］的交线，并与AB相交于点D。以点D为圆心作地球大圆EF。冲时行星与地球所在的点E排成一线，取任一已知弧EF。从点F和行星位置点C向AB引垂线CA和FG。连接FA与FC。
在这种情况下，我们先求偏心圆倾角ADC的大小。我们已经表明［Ⅵ，3］，地球位于点E时倾角为极大，而且振动的性质要求，它的整个振动量与地球在由直径BE决定的圆EF上的运转成比例。因此，由于弧EF已知，所以可求得ED与EG之比，这就是整个振动量与刚刚由∠ADC分离出的振动之比。于是在目前情况下∠ADC可知。
这样，三角形ADC的各边角均已知。但CD与ED之比已知，CD与［ED减去EG的］余量DG之比也已知，所以CD和AD二者与GD之比也可求得。于是［AD减去GD的］余量AG可得。由此同样可得FG，因为FG＝
弦2EF。因此在直角三角形AGF中，［AG与FG］两边已知，所以斜边AF以及AF与AC之比也可知。最后，在直角三角形ACF中，［AF和AC］两边已知，所以∠AFC可知，此即我们所要求的视纬度角。
我将再次以火星为例进行分析。设其最大南纬极限位于其低拱点附近，而低拱点在点A附近。设行星位于点C，当地球位于点E时，前已证明［Ⅵ，3］倾角达到其最大值，即1°50′。现在我们把地球置于点F，于是沿弧EF的视差行度为45°。因此，如果取ED＝10000
p
，则直线FG＝7071
p
，把GD＝FG＝7071
p
从半径［＝ED＝10000
p
］中减去，余量GE＝10000
p
-7071
p
＝2929
p
。我们已经求得
振动∠ADC＝0°50
′［Ⅵ，3］，在此情况下，它的增减量之比＝DE:GE≈50
′:15′。现在，倾角ADC＝1°50′-15′＝1°35′。因此，三角形ADC的各边角均可知。如果取ED＝6580
p
，前已求得CD＝9040
p
［Ⅴ，19］。因此以相同单位来表示，FG＝4653
p
，AD＝9036
p
，相减可得，AEG＝AD-GD［＝FG］＝4383
p
，AC＝249
p
。因此在直角三角形AFG中，垂边AG＝4383
p
，底边FG＝4653
p
，于是斜边AF＝6392
p
，于是在三角形ACF中，∠CAF＝90°，边AC与边AF已知［＝249
p
，6392
p
］，于是可知∠AFC＝2°15′，即为地球位于点F时的视纬度角。对于土星和木星，我们也将作同样的分析。
还剩下金星和水星。我已经说过［Ⅵ，1］，它们的黄纬偏离可以通过三种相互关联的黄纬偏移共同来说明。为使它们可以彼此分离，我将从古人所说的“赤纬”开始谈起，因为它比较容易处理。在这三种偏移当中，只有它有时会脱离其他偏移而发生。这［种分离］发生在中间经度区和交点附近，根据修正的黄经行度计算，此时地球与行星的远地点和近地点相距一个象限。当地球在行星附近时，［古人］求得金星的南黄纬或北黄纬为6°22′，水星为4°5′；而当地球距行星最远时，金星的南黄纬或北黄纬为1°2′，水星为1°45′［托勒密，《天文学大成》，ⅩⅢ，5］。用已经编制的修正表［Ⅵ，8结尾］可以查出行星在这些情况下的倾角。而当金星距地球最远而纬度为1°2′，以及距地球最近而纬度为6°22′时，约为2
°的轨道倾角适合这两种情况。当水星距地球最远而纬度为1°45′，以及距地球最近而纬度为4°5′时，都要求6
°的弧作为其轨道的倾角。因此，如果取四直角等于360°，则金星轨道的倾角等于2°30′，水星轨道的倾角等于6
°。我现在要证明，在这些情况下，它们赤纬的每一个特定数值都可以解释。我们先来看金星。
取黄道面为参考平面。设一个与之垂直且过其中心的平面与之交于直线ABC，［黄道面］与金星轨道平面的交线为DBE。设点A为地球的中心，点B为行星轨道的中心，∠ABE为行星轨道对黄道的倾角。以点B为中心作轨道DFEG，作直径FBG垂直于直径DE。设想轨道平面与所取垂直面之间的关系是，在轨道平面中垂直于DE的直线都彼此平行且与黄道面平行，其中只画出了FBG是这样一条垂线。
利用已知直线AB和BC以及已知的倾角ABE，可以求出行星的黄纬偏离为多少。因此，比如设行星与最靠近地球的点E相距45°。我之所以要仿效托勒密的做法［《天文学大成》，ⅩⅢ，4］选取此点，是为了弄清楚轨道的倾角是否会引起金星或水星的经度改变，这些改变应该在基点D、F、E与G之间的大约一半处达到最大。其主要原因是，当行星位于这四个基点时，它的经度与没有“赤纬”时是一样的，这是自明的。
因此如前所述，取弧EH＝45°。作HK垂直于BE，作KL和HM垂直于作为参考平面的黄道面。连接HB、LM、AM和AH。由于HK平行于黄道面［而KL和HM已画成垂直于黄道］，所以我们得到了一个四角为直角的平行四边形LKHM。平行四边形的边LM为经度行差角LAM所包围。由于HM也垂直于同一黄道面，所以∠HAM包含了黄纬偏离。已知∠HBE＝45°，所以如果取EB＝10000
p
，则HK＝
弦HE＝7071
p
。
类似地，在三角形BKL中，已知∠KBL＝2
°［Ⅵ，5前面］，∠BLK＝90°，如果取BE＝10000
p
，则斜边BK＝7071
p
，所以以同样单位来表示，其余的边KL＝308
p
，边BL＝7064
p
。但前已求得［Ⅴ，21］，AB:BE≈10000
p
:7193
p
，所以其余的边HK＝5086
p
，HM＝KL＝221
p
，以及BL＝5081
p
。于是相减可得，LA＝AB-BL＝10000
p
-5081
p
＝4919
p
。现在，在三角形ALM中，边AL和LM＝HK已知［4919
p
，5086
p
］，∠ALM＝90°，所以斜边AM＝7075
p
，∠MAL＝45°57′为计算出来的金星的行差或大视差。
类似地，在三角形MAH中，已知边AM＝7075 p ，边MH＝KL［＝221 p ］，于是可得∠MAH＝1°47′＝赤纬。如果我们还想不厌其烦地考察金星的这一赤纬能够引起多大的经度变化，可取三角形ALH，边LH为平行四边形LKHM的一条对角线。当AL＝4919 p 时，LH＝5091 p ，且∠ALH＝90°，由此可得，斜边AH＝7079 p 。因此，由于两边之比已知，所以∠HAL＝45°59′，但前已求得∠MAL＝45°57′，所以多出的量仅为2′。证毕。
对于水星，我仍将采用与前面类似的构造求出其赤纬。设弧EH＝45°，使得若取斜边HB＝10000 p ，那么和以前一样，HK＝KB＝7071 p 。因此，由前面所求得的经度差［Ⅴ，27］可以推出，半径BH＝3953 p ，半径AB＝9964 p 。用这样的单位来表示，BK＝KH＝2795 p 。如果取四直角＝360°，则已求得倾角ABE＝6°15′［Ⅵ，5前面］。由于直角三角形BKL中的各角已知，所以以同样单位来表示，底边KL＝304 p ，垂边BL＝2778 p 。相减可得，AL＝AB-BL＝9964 p -2778 p ＝7186 p 。但是LM＝HK＝2795 p ，因此在三角形ALM中，∠L＝90°，而边AL和边LM已知［＝7186 p ，2795 p ］，因此可求得斜边AM＝7710 p ，∠LAM＝21°16′，即为算出的行差。
类似地，在三角形AMH中两边已知：AM［＝7710 p ］，MH＝KL［＝304 p ］，边AM和边MH所夹的∠M为直角。由此可得∠MAH＝2°16′，即为我们所要求的纬度。但如果我们想知道［这个纬度］在多大程度上是由真行差和视行差引起的，那么作平行四边形的对角线LH，由［平行四边形的］边长可得，LH＝2811 p ，AL＝7186 p ，所以∠LAH＝21°23′，即为视行差。它大约比前面［∠LAM］的计算结果［21°16′］大7′。证毕。
以上谈论的是在行星轨道的中间经度区发生的黄纬偏移。我曾经说过［Ⅵ，1］，这些黄纬被称为“赤纬”。现在，我必须讨论在近地点与远地点附近发生的黄纬，它与“偏离”或第三种［黄纬］偏移混合在一起。三颗外行星并不发生这种偏移，但［对于金星和水星，］它更容易在思想中被区分和分离开。如下所示。
托勒密曾经观测到［《天文学大成》，ⅩⅢ，4］，当行星位于从地球中心向它们的轨道所引的切线上时，这些［近地点和远地点的］黄纬达到最大值。正如我已说过的［Ⅴ，21，27］，这种情况发生在行星于晨昏时距太阳最远的时候。托勒密还发现［《天文学大成》，ⅩⅢ，3］，金星的北纬比南纬大
°，而水星的南纬约比北纬大1
°。但是为了减少计算的难度和繁杂，他对于不同的黄纬值取了2
°作为平均值，主要是因为他相信这样做不会导致可觉察的误差，这一点我很快也会说明［Ⅵ，7］。这些度数是环绕地球并与黄道正交的圆上的纬度，而纬度正是在这个圆上测量的。现在，如果我们取2
°作为对黄道每一边的偏移角，并且在求得偏斜以前暂时排除偏离，那么我们的论证会更为简易一些。
于是，我们必须首先表明，此黄纬偏移在偏心圆切点附近达到最大，经度行差也在这里达到最大。设黄道面与金星或水星偏心圆相交于通过［行星的］远地点和近地点的直线。在交线上取点A为地球的位置，与黄道相倾斜的偏心圆CDEFG的中心为点B。于是，［在偏心圆中］画出的与CG垂直的任何直线所形成的角都等于［偏心圆对黄道的］倾角。作AE与偏心圆相切，AFD为任一条割线。从D、E、F各点作DH、EK、FL垂直于CG，作DM、EN和FO垂直于黄道水平面。连接MH、NK和OL以及AN和AOM。AOM为一直线，因为它的三个点在两个平面（即黄道面和与之垂直的ADM平面）上。对于假设的倾角来说，∠HAM和∠KAN包含了这两颗行星的经度行差，而∠DAM和∠EAN则包含了它们的黄纬偏移。
我首先要说，在切点处形成的∠EAN为最大的纬度角，而此处的经度行差也几乎达到其最大值。由于∠EAK是所有［经度角］中最大的，所以KE:EA＞HD:DA，KE:EA＞LF:FA。但是EK:EN＝HD:DM＝LF:FO，因为正如我所说，∠EKN＝∠HDM＝∠LFO。此外，∠M＝∠N＝∠O＝90°，所以NE:EA＞MD:DA，NE:EA＞OF:FA。由于∠DMA、∠ENA和∠FOA都是直角，所以∠EAN＞∠DAM，而且∠EAN大于所有其他以这种方式构造的角。
因此，在由这一偏斜所引起的经度行差的差值中，最大值显然也出现在点E附近的最大距角处。因为［在相似三角形中］对应角相等，所以HD:HM＝KE:KN＝LF:LO。由于它们的差值也具有相等的比例，所以它们的差值［HD-HM，KE-KN，LF-FO］也具有相等的比例。因此，EK-KN与EA之比要大于其他差值与AD这样的边长之比。于是，最大经度行差与最大黄纬偏移之比等于偏心圆弧段的经度行差与黄纬偏移之比，这也是很清楚的。因为，KE与EN之比等于所有类似于LF和HD的边与类似于FO和DM的边之比。证毕。
作了上述初步论述之后，让我们看看这两颗行星平面的倾角有多大。让我们回忆一下前面所说的内容［Ⅵ，5］：每颗行星当［与太阳］的距离介于最大和最小之间时，最多偏北或偏南5°，相反方向取决于它在轨道上的位置。因为在偏心圆的远地点和近地点，金星的偏移与5°相差极小，而水星却与5°相差
°左右。
和前面一样，设ABC为黄道与偏心圆的交线。按照前已解释的方式，以点B为中心作倾斜于黄道面的行星轨道。从地球中心作直线AD切［行星的］轨道于点D。从点D作DF垂直于CBE，DG垂直于黄道的水平面。连接BD、FG和AG。取四直角＝360°，并设前已提到的每颗行星的纬度差之半DAG＝2
°。我们的任务是求出两平面的倾角即∠DFG的大小。
对于金星而言，如果取轨道半径＝7193 p ，那么以此为单位，我们已经求得位于远地点处的最大距离＝10208 p ，位于近地点处的最小距离＝9792 p ［Ⅴ，21-22：10000±208］。这两个值的平均值＝10000 p ，我为这一论证而采用了这个值。考虑到计算的繁难，托勒密试图走捷径［《天文学大成》，ⅩⅢ，3结尾］。在这两个极值不会造成很大差别的地方，采用平均值是比较好的。
于是，AB:BD＝10000
p
:7193
p
，而∠ADB＝90°，由此可得边AD＝6947
p
。类似地，BA:AD＝BD:DF，我们有DF＝4997
p
。由于∠DAG＝2
°，∠AGD＝90°，所以在三角形ADG中，各角均已知，如果取AD＝6947
p
，则边DG＝303
p
，于是［在三角形DFG中，］DF和DG两边均已知［＝4997；303］，且∠DGF＝90°，所以∠DFG＝3°29′，即为倾角或偏斜角。由于∠DAF超出∠FAG的量为经度视差之差，所以此差值必定可以由各已知角的大小导出。
如果取DG＝303
p
，我们已经求得斜边AD＝6947
p
，DF＝4997
p
，现在（AD）
2
-（DG）
2
＝（AG）
2
，且（FD）
2
-（DG）
2
＝（GF）
2
，所以AG＝6940
p
，FG＝4988
p
。如果取AG＝10000
p
，则FG＝7187
p
，∠FAG＝45°57′。如果取AD＝10000
p
，则DF＝7193
p
，∠DAF≈46°。因此当偏斜角最大时，视差行差大约减少了3′［＝46°-45°57′］。然而在中拱点处，两圆之间的倾角显然为2
°，但在此处它却增加了将近1°［达3°29′］，这是我所说的第一种天平动加给它的。
对于水星，论证方式也是类似的。如果取轨道半径为3573
p
，那么轨道与地球的最大距离为10948
p
，最小距离为9052
p
，这两个值的平均值为10000
p
［Ⅴ，27］。AB:BD＝10000
p
:3573
p
。于是在三角形ABD中，第三边AD＝9340
p
。由于AB:AD＝BD:DF，所以DF＝3337
p
。根据假设，纬度角∠DAG＝2
°，所以如果取DF＝3337
p
，则DG＝407
p
。于是在三角形DFG中，这两边之比为已知，而∠G＝90°，于是∠DFG≈7°。这就是水星轨道相对于黄道面的倾角或偏斜角。然而我们已经求得，在［与远地点和近地点的距离为］一个象限的中间经度区，倾角为6°15′［Ⅵ，5］，所以第一种天平动给它增加了45′［＝7°-6°15′］。
类似地，为了确定行差角及其差值，可以注意，如果取AD＝9340 p ，DF＝3337 p ，则已知DG＝407 p 。而（AD） 2 -（DG） 2 ＝（AG） 2 ，（DF） 2 -（DG） 2 ＝（FG） 2 ，所以AG＝9331 p ，FG＝3314 p 。由此可得行差角GAF＝20°18′，∠DAF＝20°56′，依赖于偏斜角的∠GAF大约比∠DAF小8′。
接下来，我们还要看看这些与轨道［距地球］的最大和最小距离有关的偏斜角和黄纬是否与观测值相一致。为此，在同样的图形中我们仍然假定，对于金星轨道与地球的最大距离，AB:BD＝10208 p :7193 p 。由于∠ADB＝90°，用同样的单位来表示，AD＝7238 p 。AB:AD＝BD:DF。于是用同样的单位来表示，DF＝5102 p 。但已求得偏斜角DFG＝3°29′［Ⅵ，7前面］。如果取AD＝7238 p ，则剩余的边DG＝309 p 。于是，如果取AD＝10000 p ，则DG＝427 p 。由此可知，在行星与地球的最大距离处，∠DAG＝2°27′。而在行星与地球的最小距离处，如果取BD＝轨道半径＝7193 p ，则AB＝9792 p ［10000-208］，垂直于BD的AD＝6644 p 。AB:AD＝BD:DF。类似地，DF＝4883 p 。但已经取∠DFG＝3°29′，所以如果取AD＝6644 p ，则DG＝297 p 。于是三角形ADG的各边均已知，所以∠DAG＝2°34′。然而，无论3′还是4′［2°30′＝3′＋2°27′＝2°34′-4′］都不够大，很难用星盘这样的仪器测量出来。因此，前面对金星所取的最大黄纬偏移仍然有效。
类似地，设水星轨道与地球的最大距离与水星半径之比AB:BD＝10948 p :3573 p ［Ⅴ，27］，则通过与前面类似的论证，我们可以求得AD＝9452 p ，DF＝3085 p 。但我们这里再次求得水星轨道与黄道面的倾角DFG＝7°，并且如果取DF＝3085 p 或DA＝9452 p ，则DG＝376 p ，因此直角三角形DAG的各边已知，所以∠DAG≈2°17′，即为最大黄纬偏移。
但在轨道与地球的最小距离处，AB:BD＝9052 p :3573 p ，因此用同样单位来表示，AD＝8317 p ，DF＝3283 p 。由于倾角相同［＝7°］，如果取AD＝8317 p ，则DF:DG＝3283 p :400 p 。所以∠DAG＝2°45′。
这里也假设，与［水星轨道与地球距离的］平均值相联系时的黄纬偏移角＝2
°，这个量与远地点处达到最小的黄纬偏离角相差13′［＝2°30′-2°17′］，而与在近地点处达到最大的黄纬偏离角相差15′［＝2°45′-2°30′］。我在计算中不使用这些［远地点和近地点的差值］，而将以平均值为基础，上下取
°，这与观测结果并无可觉察的差异。
由于以上的论证，也因为最大经度行差与最大黄纬偏离之比等于轨道其余部分的行差与几个黄纬偏移之比，我们将求得金星和水星的轨道倾角所引起的所有黄纬量。但正如我已经说过的［Ⅵ，5］，我们只能得到介于远地点和近地点之间的黄纬。我们已经表明，这些纬度的最大值为2
°［Ⅵ，6］，此时金星的最大行差为46°，水星的最大行差约为22°［Ⅵ，5：45°57′，21°16′］。我们已经在它们的非均匀行度表中［Ⅴ，33结尾］就轨道的个别部分列出了行差。我将分别对每颗行星从2
°中取出最大行差值比最小行差值多出来的那部分，并在下面的表中列出这部分数值［Ⅵ，8结尾］。通过这种方法，我们可以求出当地球位于这些行星的高、低拱点时每一特定偏斜纬度的精确值。类似地，我已经记录了［当地球与行星的远地点和近地点之间］距离一个象限而［行星］位于中间经度区时行星的赤纬。这四个临界点［高低拱点和两个中拱点］之间出现的情况可以运用数学技巧由业已提出的圆周体系导出，不过需要费些气力。然而，托勒密在处理任何问题时都力求简洁。他发现［《天文学大成》，ⅩⅢ，4结尾］，这两种纬度［赤纬和偏斜］本身无论是整体还是各个部分都像月球纬度那样成比例地增减。因为它们的最大纬度为5°＝
×60°，所以他把每一部分都乘以12，并把乘积做成比例分数，想把它们不仅用于这两颗行星，而且还用于另外三颗外行星，这一点我们后面会予以解释［Ⅵ，9］。
阐述了上述主题之后，我们还要讨论第三种黄纬运动即“偏离”。古人把地球置于宇宙的中心，认为偏离是由偏心圆的振动造成的，它与围绕地球中心旋转的本轮的振动同步，而且当本轮位于偏心圆的远地点或近地点时偏离达到最大［托勒密，《天文学大成》，ⅩⅢ，1］。正如我在前面所说，金星总是向北偏
°，而水星总是向南偏
°。
但我们并不很清楚，古人是否把轨道圆的这个倾角看成固定不变。因为他们总是取比例分数的
作为金星的偏离，取比例分数的
作为水星的偏离［托勒密，《天文学大成》，ⅩⅢ，6］。这些数值表明了这种不变性。但如果倾角并非总是像基于此角的比例分数的分布所要求的那样总是保持不变，那么这些分数就不继续有效了。而且即使倾角保持不变，我们依然无法理解那些行星的这一纬度如何会突然从交点返回它原先的纬度值。你也许会说，这种返回就如同光学中所讲的光线的反射那样发生。但我们这里讨论的运动并不是瞬时的，而是依其本性就会持续一段可测量的时间。
因此必须承认，这些行星有一种类似于我所解释的天平动［Ⅵ，2］。它使圆的各个部分纬度反向。它也是它们数值变化的一个必然结果，对水星而言这个变化为
°。如果根据我的假设，这个纬度是可变的，并非绝对常数，那么这不应使人感到惊奇。然而它不会引起可在一切变化中区分出来的可觉察的不规则性。
设水平面垂直于黄道。在这两个平面的交线上，设点A为地球的中心，点B为距地球最远或最近处的通过倾斜轨道两极的圆CDF的中心。当轨道中心位于远地点或近地点即在AB上时，无论行星位于与轨道平行的圆上的任何地方，它的偏离都为最大。在这个平行于轨道的圆上，直径DF平行于轨道直径CBE。这两个平行的圆垂直于CDF平面，取这些直径［DF和CBE］为与CDF的交线。设DF被平分于点G，即［与轨道］平行的［圆］的中心。连接BG、AG、AD与AF。取∠BAG＝10′为金星的最大偏离。于是在三角形ABG中，∠B=90°，由此可知两边之比AB:BG＝10000
p
:29
p
。但整个ABC＝17193
p
［CB＝CA-BA＝17193
p
-10000
p
＝7193
p
；CE＝2×7193
p
＝14386
p
］，AE＝AC-CE＝17193
p
-14386
p
＝2807
p
，
弦2CD＝
弦EF＝BG。因此∠CAD＝6′，∠EAF≈15′。而∠BAG［＝10′］-∠CAD＝4′，∠EAF-∠BAG＝5′，这些差值小到可以忽略不计。因此，当地球位于远地点或近地点时，无论金星位于轨道的任何地方，其视偏离都在10′左右。
然而对水星而言，我们取∠BAG＝
°，AB:BG＝10000
p
:131
p
，ABC＝13573
p
，相减可得，AE＝6427
p
［＝AB-BE＝10000
p
-3573
p
］。于是∠CAD＝33′，∠EAF≈70′。因此∠CAD少了12′［＝45′-33′］，而∠EAF多了25′［＝70′-45′］。不过在我们看到火星之前，这些差值实际上被太阳光遮住了。因此古人只研究过水星的视偏离，就好像它是固定不变的一样。
然而，如果有人想不辞辛苦地弄清楚当行星为太阳所掩藏时的那些偏离有多大，我将在下面阐述如何做到这一点。
我将以水星为例，因为它的偏离比金星更显著。设直线AB位于行星轨道与黄道的交线上。地球位于行星轨道的远地点或近地点A。和前面对偏斜的处理一样［Ⅵ，7］，仍取线段AB＝10000 p ，把它当作最大距离和最小距离的平均值。以点C为中心作圆DEF与偏心轨道平行，且与之相距CB。设想行星此时正在这个平行圆上发生其最大偏离。设此圆的直径为DCF，它也必然平行于AB，且DCF和AB都位于与行星轨道垂直的同一平面上。举例说来，设弧EF＝45°，我们研究行星在此弧段的偏离。作EG垂直于CF，EK和GH垂直于轨道的水平面。连接HK，完成矩形。再连接AE、AK和EC。
根据水星的最大偏斜，如果取AB＝10000 p ，则BC＝131 p ，CE＝3573 p 。直角三角形EGC的各角已知，边EG＝KH＝2526 p 。由于BH＝EG＝CG［＝2526 p ］，AH＝AB［＝10000 p ］-BH＝7474 p ，因此在三角形AHK中，直角H的夹边已知［＝7474 p ，2526 p ］，所以斜边AK＝7889 p 。但已经取［KE＝］CB＝GH＝131 p ，于是在三角形AKE中，直角K的两夹边AK和KE已知，所以∠KAE可以求得，此即为我们所要求的在所假设弧段EF的偏离，它与实际观测角度相差极小。对水星的其他偏离以及对金星作类似的计算，我将把结果列入附表。
做了上述说明之后，我将对金星和水星在这些极限之间的偏离校准六十分位或比例分数。设圆ABC为金星或水星的偏心轨道，点A和点C为该纬度上的交点，点B为最大偏离的极限。以点B为中心，作小圆DFG，其横向直径是DBF。设偏离的天平动沿着直径DBF发生。我已经说过，当地球位于行星偏心轨道的远地点或近地点时，行星位于其最大偏离点F，行星的均轮与小圆在该点相切。
现在设地球位于与行星偏心圆的远地点或近地点的任意距离处。根据这一行度，取FG为小圆上的相似弧段。作行星的均轮AGC与小圆相交，并且截其直径DF于点E。把行星置于AGC上的点K，而根据假设，弧EK与弧FG相似。作KL垂直于圆ABC。
我们的任务是由FG、EK和BE求得KL的长度，即行星与圆ABC的距离。根据弧FG可以求得弧EG，它就好像是一条几乎与圆弧或凸线无甚区别的直线。类似地，EF也可用与整个BF和BE［＝BF-EF］相同的单位表示出来。BF:BE＝弦2CE：弦2CK＝BE:KL。因此，如果把BF和半径CE都与60这个数相比，则可得BE的值。把这个数平方，并把得到的积除以60，我们便可得到KL＝所求的弧EK的比例分数。我也类似地把它们列入下表的第五列即最后一列。
通过以上诸表计算五颗行星黄纬的方法如下。对于土星、木星和火星，我们可以由校准的或归一化的偏心圆近点角求得公共数：使火星的近点角保持不变，木星先减去20°，土星则先加上50°。然后，把结果用六十分位或比例分数列入最后一列。
类似地，利用校准的视差近点角，我们取每颗行星的数为与之相关的黄纬。如果比例分数由高变低，则取第一纬度即北黄纬，此时偏心圆的近点角小于90°或大于270°；如果比例分数由低变高，即如果表中所列的偏心圆近点角大于90°或小于270°，则取第二纬度即南黄纬。因此，如果把其六十分位值乘以这两个纬度中的任何一个，则乘积即为黄道以北或以南的距离，这取决于所取数的类型。
而对于金星和水星，应首先从校准的视差近点角中取发生的赤纬、偏斜和偏离这三种黄纬。将它们分别记录下来。一个例外是，对于水星，如果偏心圆近点角及其数是在表的上部找到的，则应减掉偏斜的十分之一；而如果偏心圆近点角及其数是在表的下部找到的，则应加上偏斜的十分之一。把由这些运算所得到的差或和保留下来。
然而，必须把这些黄纬明确区分成南北两类。假设校准的视差近点角位于远地点所在的半圆中，即小于90°或大于270°，而且偏心圆近点角小于半圆，或者假设视差近点角位于近地点圆弧上，即大于90°且小于270°，而且偏心圆的近点角大于半圆。那么，金星的赤纬在北，而水星的赤纬在南。另一方面，假设视差近点角位于近地点圆弧上，而且偏心圆近点角小于半圆，或者假设视差近点角位于远地点圆弧上，而且偏心圆近点角大于半圆。那么相反地，金星的赤纬在南，而水星的赤纬在北。然而，在偏斜的情况下，如果视差近点角小于半圆，而且偏心圆近点角为远地的，或者，如果视差近点角大于半圆，而且偏心圆近点角为近地的，那么金星的偏斜是向北的，而水星的偏斜是向南的。反之亦然。然而，金星的偏离总是向北，水星的偏离总是向南。
然后，根据校准的偏心圆近点角查到所有五颗行星公共的比例分数。尽管这些比例分数是属于三颗外行星的，我们仍然先把它们应用于偏斜，其余的应用于偏离。然后，给同一偏心圆近点角加上90°，与这个和有关的共同的比例分数再次被应用于赤纬。
当所有这些量都已按次序排好之后，把已确定的三种黄纬值分别与其比例分数相乘，由此得到的结果即为对时间和位置均已修正的黄纬值，于是我们终于得到了关于这两颗行星三种黄纬的完整说明。如果所有这些纬度都属于同一类型，那么就把它们加在一起。但如果不是同一类，就只把属于同一类型的两种纬度加起来。根据这样得到的和是否大于属于相反类型的第三种黄纬，可以从前者中减去后者，或者从后者中减去前者，得到的余量即为我们所要求的黄纬。
《天球运行论》第六卷终
（张卜天译）
续表
续表
[1] 该段较早版本为：
于是，当太阳的平均行度线通过行星远地点或近地点时，无论行星位于其轨道上的哪个部分，它的偏离都为最大；而［当太阳的平均行度线］在［行星的］中拱点附近时，它将没有偏离。