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到现在为止，我已尽我所能讨论了地球绕太阳的运行［第三卷］，以及月球绕地球的运行［第四卷］。现在我来讨论五颗行星的运动。我曾在第一卷中［第九章］一般性地指出，诸行星天球的中心并非在地球附近，而是在太阳附近，由于地球的运动，这些天球的次序和大小和谐一致且精确对称地相互关联着。所以现在我要更清楚地一一证明所有这些论断，以努力履行我的诺言。特别是，我不仅要利用古代的而且也要利用现代的天象观测，以使关于这些运动的理论更加可靠。在柏拉图的《蒂迈欧篇》中，这五颗行星中的每一颗都是按照其特征命名的：土星叫作“费农”（Phaenon），犹如称它为“明亮”或“可见”，这是因为它看不见的时候要比其他行星少，而且它被太阳遮住之后不久又会重新出现；木星因其光彩夺目而被称为“费顿”（Phaeton）；火星因其火焰般的光辉而被称为“派罗伊斯”（Pyrois）；金星有时被称为“启明星”（Phosphorus），有时被称为“长庚星”（Hesperus），即“晨星”或“昏星”，视其在清晨或黄昏出现而定；最后，水星因发出闪烁而微弱的光而被称为“斯蒂尔邦”（Stilbon）。
这些行星在黄经和黄纬上的运行比月球更不规则。
行星在黄经上显示出两种完全不同的运动。一种是由前面已经说过的地球的运动引起的，另一种则是每颗行星的自行。我们也许可以恰当地把前一种运动称为视差动，因为正是它使得行星显现出留、［继续］顺行和逆行等现象。这些现象之所以可能，并非由于行星向前自行时出了差错，而是由地球运动所产生的一种因行星天球大小而异的视差所引起。
于是显然，只有当土星、木星和火星在日出时升起时，我们才能看到它们的真位置。这发生在它们逆行的中点附近。因为在那个时候，它们落在一条过太阳平位置与地球的直线上，而且不受视差的影响。然而，金星和水星受另一种关系的支配。因为当它们与太阳相合时，它们完全被太阳光掩盖了，而只有处于太阳两侧大距的位置上时，我们才能看到它们。因此，我们决不可能在没有视差的情况下发现它们。
因此，每颗行星都有自己的视差运转（我指的是地球相对于行星的运动），这种视差运转是行星与地球相互造就的。 [2]
我认为视差运动不是别的，而是地球的均匀运动超过行星的运动（比如土星、木星和火星），或者地球的运动被行星运动所超过（比如金星和水星）的差值。但由于发现这些视差动周期不均匀，有显著的非规则性，所以古人们认识到，这些行星的运行也是不均匀的，它们的轨道圆具有非均匀性开始出现的拱点，并相信这些拱点在恒星天球上具有永远不变的位置。这种想法为研究行星的平均行度和均匀周期开辟了道路。当他们把某颗行星位于与太阳或某恒星某一精确距离处的位置记录下来，并了解到该行星在一段时间之后到达与太阳相似距离的同一位置时，便认为行星已经经历了全部的非均匀性，并且在一切方面重新回到了它先前与地球的关系。于是凭借这段时间，他们可以计算出完整均匀运转的次数，从而求得行星运行的详细情况。
托勒密［《天文学大成》，Ⅸ，3］是用太阳年来描述这些运转的，他声称自己是从希帕克斯那里得到这些资料的。但他当时把太阳年理解为从一个分点或至点量起的年份，而现在已经很清楚，这样的年份并非完全均匀。有鉴于此，我将采用通过恒星测得的年份，并且用这样的年份更加准确地重新测定了这五颗行星的行度。我发现，这些行度多少有些盈余或不足，情况如下：
在我所谓的视差动中，地球在59个太阳年加1日、6日分和大约48日秒内，相对土星旋转57周。在这段时间里，行星自行运转两周加1°6′6″；木星在71个太阳年减5日、45日分和27日秒内，被地球经过65次。在这段时间里，行星自行运转6周减5°4′1
″；火星在79个太阳年加2日、27日分和3日秒内，视差运转共37次。在这段时间里，行星自行运转42周加2°24′56″；金星在8个太阳年减2日、26日分和46日秒内，经过运转的地球5次。在这段时间里，行星绕太阳转动13周减2°24′40″；最后，水星在46个太阳年加34日分和23日秒内，赶上地球145次。在这段时间里，行星绕太阳转动191周加大约31′23″。因此对每颗行星来说，一次视差运转所需的时间为：
土星——378日5日分 32日秒 11日毫秒
木星——398日23日分 2日秒 56日毫秒
火星——779日56日分 19日秒 7日毫秒
金星——583日55日分 17日秒 24日毫秒
水星——115日52日分 42日秒 12日毫秒
如果我们把上列数值换算成圆周的度数，乘以365，再把乘积除以已知的日数和日数的分数，则可得年行度为：
土星——347° 32′ 2″ 54‴ 12″″
木星——329° 25′ 8″ 15‴ 6″″
火星——168° 28′ 29″ 13‴ 12″″
金星——225° 1′ 48″ 54‴ 30″″
水星——53° 56′ 46″ 54‴ 40″″（在三次运转之后）
取以上数值的
，即得日行度为
土星——0° 57′ 7″ 44‴ 0″″
木星——0° 54′ 9″ 3‴ 49″″
火星——0° 27′ 41″ 40‴ 8″″
金星——0° 36′ 59″ 28‴ 35″″
水星——3° 6′ 24″ 7‴ 43″″
仿照太阳和月亮的平均行度表［Ⅲ，14和Ⅳ，4结尾］，可以作出以下行星行度表。但我想没有必要也用这种方式把行星的自行列成表，因为把表中行度从太阳的平均行度中减去，便可得到行星的自行。正如我［在Ⅴ，1中］所说，行星的自行是太阳平均行度的一部分。然而，如果有人不满足于这种安排，他可以按照自己的意愿制定其他表格。以下行星相对于恒星天球的年自行度为：
土星——12° 12′ 46″ 12‴ 52″″
木星——30° 19′ 40″ 51‴ 58″″
火星——191° 16′ 19″ 53‴ 52″″
但对于金星和水星，由于看不到它们的年自行度，所以我们使用太阳的行度，并提出一种测定和显示这两颗行星视运动的方法。情况如下表。
以上就是行星的平均行度。现在我们讨论它们的非均匀视行度。认为地球静止的古代天文学家们［例如托勒密，《天文学大成》，Ⅸ，5］想象土星、木星、火星与金星都各有一个偏心本轮和一个偏心圆，本轮相对于该偏心圆均匀运动，而行星又在本轮上均匀运动。
于是，设AB为偏心圆，中心为点C。又设ACB为其直径，在这条直线上有地球中心D，点A为远地点，点B为近地点。设点E平分DC。以E为圆心作第二个偏心圆FG与第一偏心圆［AB］相等。设点H为FG上任意一点，以H为圆心作本轮IK。过IK的中心作直线IHKC和LHME。根据行星的黄纬，应当认为这两个偏心圆相对于黄道面是倾斜的，本轮相对于偏心圆平面也是倾斜的。但为了简化解释，这里设所有这些圆都处于同一平面内。根据古代天文学家的说法，这整个平面连同点E和点C一起，都随着恒星一起围绕黄道中心D旋转。通过这种安排，他们希望将其理解为，这些点在恒星天球上都有固定不变的位置。虽然本轮在圆FHG上朝东运动，但可由直线IHC调节。相对于该直线，行星在本轮IK上也在均匀运转。
然而，本轮上的运动相对于均轮中心E显然应当是均匀的，而行星的运转相对于直线LME应当是均匀的。因此他们承认，圆周运动相对于一个并非其自身中心的另外的中心而言也可以是均匀的，这个概念是西塞罗著作中的西庇阿（Scipio）所难以想象的。现在，水星的情况也是一样，甚或更加如此。但是（在我看来），我已经结合月亮的情况充分驳斥了这种想法［Ⅳ，2］。这类情况使我有机会思考地球的运动以及如何保持均匀运动的其他方式和科学原理，并使视不均匀运动的计算更经得起考验。
为什么行星的均匀运动会显得不均匀，这有两个原因：地球的运动以及行星本身的运动。我将对每种非均匀性给出一般性的说明，并分别用视觉的证据来阐明它们，以将其更好地彼此区分开来。我先从它们都含有的那种由地球的运动引起的非均匀性讲起，并从被包含在地球轨道圆之内的金星和水星开始。
设地心在前面所述的［Ⅲ，15］周年运转中描出圆AB，它对太阳是偏心的。设AB的中心为点C。现在让我们假定，行星除与AB同心之外没有其他的不规则性。设金星或水星的同心圆为DE。由于它们的黄纬不等于零，所以圆DE必定倾斜于圆AB。但为了解释的方便，可以设想它们在同一平面内。将地球置于点A，从这里作视线AFL和AGM，并与行星的轨道圆相切于点F和点G。设ACB为两圆的公共直径。
假定地球和行星这两个天体都沿同一方向即朝东运动，但行星比地球要快。于是在一个随A行进的观测者看来，点C和直线ACB是以太阳的平均行度运动的。而在圆DFG（它被想象为一个本轮）上，行星朝东经过弧FDG的时间，要比朝西经过剩余弧段GEF的时间更长。在弧FDG上，它将给太阳的平均行度加上整个角度FAG，而在弧GEF上则要减去同一角度。因此，在行星的相减行度超过点C的相加行度的地方，尤其是在近地点E附近，对于A点的观测者来说，它似乎在逆行，其程度视超过量的大小而定，正如这些行星发生的情形那样。后面我们会讲到［Ⅴ，35］，根据佩尔加（Perga）的阿波罗尼奥斯（Apollonius）的定理，在这些情形中，线段CE与线段AE之比应当大于A的行度与行星的行度之比。而当相加行度等于相减行度（相互抵消）时，行星看上去将是静止不动的。所有这些情况都与现象相一致。
因此，如果像阿波罗尼奥斯所认为的那样，行星的运动中没有其他不均匀性，那么这些论述就已经足够了。但是，这些行星在清晨和傍晚与太阳平位置的最大距角（如∠FAE和∠GAE所示）并非到处相等。这两个最大距角既非彼此相等，也不是两者之和彼此相等。其推论是显然的：行星并不在与地球（公转轨道）圆同心的圆周上运动，而是沿着另外的圆运动，这便产生了第二种不均匀性。
对于土星、木星和火星这三颗外行星来说，也可证明有同一结论。重新绘制上图中的地球轨道。设DE为同一平面上在它之外与之同心的圆，取行星位于DE上任一点D，从它作直线DF和DG与地球的轨道圆相切于点F和点G，并从点D作两圆的公共直径DACBE。当行星在日落时升起并且最靠近地球时，它在太阳的行度线DE上的真位置将是明显可见的（仅对A处的观测者而言）。而当地球在相对的点B时，虽然行星在同一条线上，我们也看不到它，因为太阳靠近点C而把它掩盖住了。但是由于地球的运动超过了行星的运动，所以在整个远地弧GBF上，它似乎会将整个∠GDF加到行星的运动上，而在较短时间内在剩余的较小弧段FAG上则是减去这个角。在地球的相减行度超过了行星的相加行度的地方（特别在A点附近），行星就好像被地球抛在后面而向西运动，并且在观测者看到这两种相反行度相差最小的地方停住不动。
于是，所有这些视运动——古代天文学家试图通过每颗行星都有一个本轮来解释——皆由地球的运动所引起，这再一次被表明。然而和阿波罗尼奥斯和古代人的观点相反，行星的运动并不是均匀的，这可由地球相对于行星的不规则运转而看出。因此，行星并不在同心圆上运动，而是以其他方式运动。这一点我也将在后面解释。
行星在经度上的自行几乎具有相同的模式，只有水星是例外，它看上去与其他行星不同。因此可把那四颗行星合在一起讨论，水星则分开来讲。正如前面已经谈到的那样［Ⅴ，2］，古人以两个偏心圆为基础来讨论一个单独的运动，而我却认为视不均匀性由两个均匀运动复合而成：可能是两个偏心圆，或者是两个本轮，或者是一个混合的偏心本轮。正如我前面对太阳和月亮所证明的那样［Ⅲ，20；Ⅳ，3］，它们都能产生相同的不均匀性。
于是，设AB是一个偏心圆，其中心为点C。设过行星高低拱点的直径为ACB，它是太阳平位置所在的直线。设ACB上的点D为地球轨道圆的中心。以高拱点A为中心，CD距离的
为半径作小本轮EF，设行星位于它的近地点F。设该小本轮沿着偏心圆AB朝东运动，行星在小本轮的上半周也朝东运动，但在小本轮圆周的其余部分则朝西运动。设小本轮与行星的运转周期相等。于是，当小本轮位于偏心圆的高拱点，而行星位于小本轮的近地点，而且二者均已各自转了半周时，它们彼此的关系转换了。但在高低拱点之间的两个方照上，本轮和行星各自位于中拱点上。只有在前一种情况下［在高低拱点处］，小本轮的直径才在直线AB上；而在高低拱点之间的中点上，小本轮的直径将垂直于AB；在其他地方则总是接近或远离AB，不断摇摆。所有这些现象都很容易从运动的序列来理解。
于是还要证明，由于这种复合运动，行星并不是描出一个正圆。这种与正圆的偏离是和古代天文学家的想法相一致的，但它们的差别小到几乎无法察觉。重新作一个同样的小本轮，设它为KL，圆心为B。取AG为偏心圆的一个象限，以G为中心作小本轮HI。将CD三等分，设
CD＝CM＝GI。连接GC与IM，二者相交于点Q。因此，根据假设，弧AG相似于弧HI，∠ACG＝90°，所以∠HGI＝90°。而对顶角∠IGQ＝∠MQC，所以三角形GIQ和三角形QCM的对应角均相等。而根据假设，底边GI＝底边CM，所以它们的对应边也相等。而QI＞GQ，QM＞QC，所以IQM＞GQC。但是FM＝ML＝AC＝CG，所以以M为圆心过F和L两点所作的圆与圆AB相等，并与直线IM相交。在与AG相对的另一个象限中，可用同样方式加以论证。因此，小本轮在偏心圆上的均匀运动以及行星在本轮上的均匀运动，使行星描出的圆不是一个正圆，但却近乎正圆。证毕。
现在以D为圆心作地球的周年轨道圆NO。作直线IDR，以及PDS平行于CG。于是，IDR为行星的真行度线，而GC为其平均的均匀行度线。地球在R点时，位于与行星真的最大距离处，而在S点时，处在平均最大距离处。因此，∠RDS或IDP是均匀行度与视行度之差，即∠ACG与∠CDI之差。又假设我们不用偏心圆AB，而取一个以D为圆心的与它相等的同心圆作为半径等于CD的小本轮之均轮。在这第一个小本轮上还应有第二个小本轮，其直径等于半个CD。设第一个本轮朝东运动，而第二个本轮以相等速度朝相反方向运动。最后，设行星在第二个本轮上以两倍速度运行。这就会得出与上面所述相同的结果。这些结果与月亮的现象相差不大，甚至与根据前面提到的任何一种安排所得出的现象都没有很大差别。
但是我在这里选择了一个偏心本轮。虽然太阳与C之间的距离总是保持不变，但D却会有位移，这在讨论太阳现象时已经说明［Ⅲ，20］。但其他行星并没有同等地伴随着这种位移，因此它们一定会有某种不规则性。我们将在后面适当的地方［Ⅴ，16，22］谈到，尽管这种不规则性非常微小，但对于火星与金星来说还是可以察觉的。
因此，我现在要用观测来证明，这些假设能够满足解释现象的要求。我首先要对土星、木星和火星作出证明，对于它们来说，最主要和最艰巨的任务是求得远地点的位置和距离CD，因为其他数值都很容易由它们求出。对于这三颗行星，我使用的方法实际上与以前对月亮所作的处理相同［Ⅳ，5］，即把古代的三次冲与现代相同数目的冲进行比较。希腊人把这种现象称为“日没星出”，而我们则称之为“夜终”（出没）。在那些时候，行星与太阳相冲，并与太阳平均行度线相交。行星于此处摆脱了地球运动带给它的所有不规则性。正如我们前面已经说明的［Ⅱ，14］，这些位置可以通过星盘的观测获得，也可以对太阳进行计算，直到行星明显到达冲日位置为止。
让我们首先从托勒密曾经观测到的土星的三次冲［《天文学大成，Ⅺ，5》］开始谈起。第一次出现在哈德良11年埃及历9月7日的夜间1时。归化到距亚历山大港1小时的克拉科夫子午圈上，这是公元127年3月26日午夜后17均匀小时。我们把所有这些数值都归化到恒星天球上，并把它当作均匀运动的基准。行星在恒星天球上的位置约为174°40′，其原因是，那时太阳依其简单行度在354°40′［-180°＝174°40′］与土星相对（取白羊宫之角为零点）。
第二次冲发生在哈德良17年埃及历11月18日，即公元133年罗马历6月3日午夜后15均匀小时。托勒密发现行星位于243°3′，而此时太阳按其平均行度是在63°3′［＋180°＝243°3′］。
他报告的第三次冲发生在哈德良20年埃及历12月24日。同样归化到克拉科夫子午圈，是在公元136年7月8日午夜后11小时。这时行星在277°37′，而太阳依其平均行度是在97°37′［＋180°＝277°37′］。
因此，第一时段共有6年70日55日分，在此期间行星的视行度为68°23′［＝243°3′-174°40′］，地球相对于行星的平均行度即视差动为352°44′。于是把一个圆周所缺的7°16′加上，即得行星的平均行度为75°39′［＝7°16′＋68°23′］。第二时段有3埃及年35日50日分，在此期间行星的视行度为34°34′［＝277°37′-243°3′］，而视差动为356°43′。将一个圆周所余的3°17′［＝360°-356°43′］加上，即得行星的平均行度为37°51′［＝3°17′＋34°34′］。
回顾了这些数据之后，以点D为圆心作行星的偏心圆ABC，直径为FDG，地球大圆的中心在此直径上。设A为第一次冲时小本轮的中心，B为第二次冲时小本轮的中心，C为第三次冲时小本轮的中心。以这些点为中心，以
DE为半径作该本轮。用直线把A、B、C三个中心与D、E相连，这些直线与小本轮圆周相交于K、L、M三点。取弧KN与弧AF相似，弧LO与弧BF相似，弧MP与弧FBC相似。连接EN、EO和EP。于是计算可得：弧AB＝75°39′，弧BC＝37°51′，视行度角＝∠NEO＝68°23′，∠OEP＝34°34′。
我们的第一项任务是确定高低拱点F和G的位置，以及行星偏心圆和地球大圆中心之间的距离DE。如果做不到这一点，那么就无法区分均匀行度与视行度。但在这里，我们遇到了与托勒密在探讨这一问题时遇到的同样大的困难。因为如果已知∠NEO包含已知弧AB，而∠OEP包含弧BC，那么就可以推导出我们所需要的数值。然而已知弧AB所对的是未知角∠AEB，类似地，已知弧BC所对的∠BEC也是未知的。∠AEB和∠BEC两角都应当求出。但如果没有确定与小本轮上的弧段相似的弧AF、FB与FBC，那么就无法求得∠AEN、∠BEO和∠CEP这些视行度与平均行度之差。这些量值彼此密切相关，只能同时已知或未知。于是，由于直接的先验（a priori）方法行不通，比如化圆为方和其他许多问题，在无计可施的情况下，天文学家只好求助于后验的（a posteriori）方法。所以托勒密在这项研究中详细阐述了一种冗长的处理方法并进行了浩繁的计算。在我看来，重述这些说法和数值既枯燥又没有必要，因为我在下面的计算中采用的大致是同一种做法。
回顾他的计算，他在最后［《天文学大成》，Ⅺ，5］求得弧AF＝57°1′，弧FB＝18°37′，弧FBC＝56
°。如果取DF＝60
p
，则DE＝两中心之间的距离＝6
p
50′，如果取DF＝10000，则DE＝1139。现在
DE＝854，其余的
DE＝285给小本轮。利用这些数值，并把它们用于我的假设，我将表明它们与观测现象一致。
对于第一次冲，在三角形ADE中，边AD＝10000 p ，边DE＝854 p ，∠ADE为∠ADF［＝57°1′］的补角。因此，根据平面三角形定理，我们可以求得边AE＝10489 p ，而如果取四直角＝360°，则∠DEA＝53°6′，∠DAE＝3°55′。但是∠KAN＝∠ADF＝57°1′，因此相加可得∠NAE＝60°56′［＝57°1′＋3°55′］。由此可知，如果取AD＝10000 p ，则三角形NAE的两边均为已知：边AE＝10489 p ，边NA＝285 p ，且∠NAE也可知。如果取四直角＝360°，则其余角∠NED［＝∠AED-∠AEN］＝51°44′［＝53°6′-1°22′］。
与此类似，对于第二次冲，在三角形BDE中，取BD＝10000 p ，则边DE＝854 p ，而∠BDE＝180°-∠BDF＝161°22′［＝180°-18°38′］，所以三角形BDE的边角均可知：取BD＝10000 p 时，边BE＝10812 p ，∠DBE＝1°27′，∠BED＝17°11′［＝180°-（161°22′＋1°27′）］。但是∠OBL＝∠BDF＝18°38′，所以相加可得，∠EBO［＝∠DBE＋∠OBL］＝20°5′［＝18°38′＋1°27′］。于是在三角形EBO中，除∠EBO外还可知以下两边：BE＝10812 p 以及BO＝285 p 。根据平面三角形定理，∠BEO＝32′，因此∠OED＝∠BED-∠BEO＝16°39′［＝17°11′-32′］。
而对于第三次冲，在三角形CDE中，和前面一样，边CD已知，边DE已知，而且∠CDE＝180°-56°29′［＝123°31′］，根据平面三角形的定理四，在取CE＝10000 p 时，可得底边CE＝10512 p ，∠DCE＝3°53′，相减可得，∠CED＝52°36′［＝180°-（3°53′＋123°31′）］。因此，如果取四直角＝360°，则相加可得，∠ECP＝60°22′［＝3°53′＋56°29′］。于是在三角形ECP中，除∠ECP外有两边已知。而且∠CEP＝1°22′，因此相减可得，∠PED［＝∠CED-∠CEP］＝51°14′［＝52°36′-1°22′］。由此可知，视行度的整个∠OEN［＝∠NED＋∠BED-∠BEO］＝68°23′［＝51°44′＋17°11′-32′］，而∠OEP＝34°35′［∠PED-∠OED＝51°14′-16°39′］，与观测相符。偏心圆高拱点的位置F与白羊头部相距226°20′。由于当时的春分点岁差为6°40′，所以拱点到达天蝎宫内226°20′＋6°40′＝233°，这与托勒密的结果［《天文学大成》，Ⅺ，5］相符。我们曾经说过，第三次冲时行星的视位置为277°37′，从这个数值中减去视行度角51°14′＝∠PEF，则余量226°23′为偏心圆高拱点的位置。
作地球的周年轨道圆RST，它与直线PE交于点R。作与行星平均行度线CD平行的直径SET。由于∠SED＝∠CDF，所以视行度与平均行度之差，即∠CDF与∠PED之差角∠SER＝5°16′［＝56°30′-51°14′］。视差的平均行度与真行度之差与此相同。弧RT＝180°-弧SER＝174°44′［＝180°-5°16′］，即为从假设的起点T（即太阳与行星的平均会合点）到第三次“夜末”（即地球和行星的真冲点）之间视差的均匀行度。
因此，在这次观测的时候，即哈德良20年（即公元136年）7月8日午夜后11小时，土星距其偏心圆高拱点的近点角行度为56
°，而视差的平均行度为174°44′。确定这些数值对于以下内容是有用的。
然而，托勒密所计算出的土星行度与现代数值相差并不少，而且一时弄不清楚误差的来源，所以我不得不作新的观测，即重新测定土星的另外三次冲。第一次冲发生在公元1514年5月5日午夜前1
小时，当时土星位于205°24′。第二次冲发生在公元1520年7月13日正午，当时土星位于273°25′。第三次冲发生在公元1527年10月10日午夜后6
小时，当时土星位于白羊角以东7′。因此，第一次冲与第二次冲之间相隔6埃及年70日33日分，在此期间土星的视行度为68°1′［＝273°25′-205°24′］。第二次冲与第三次冲之间相隔7埃及年89日46日分，在此期间土星的视行度为86°42′［＝360°7′-273°25′］。土星在第一段时间内的平均行度为75°39′，在第二段时间内的平均行度为88°29′。因此在计算高拱点和偏心率时，我们应首先遵循托勒密的做法［《天文学大成》，Ⅹ，7］，认为行星仿佛在一个简单的偏心圆上运行。尽管这种安排并非恰当，但由此更容易达到真相。
于是，设ABC为行星沿其均匀运行的圆周，并设第一次冲出现在点A，第二次在点B，第三次在点C。在ABC内，设地球轨道圆的中心为点D。连接AD、BD和CD，并把每一直线延长到对面的圆周上，比如CDE。连接AE与BE。于是∠BDC＝86°42′。取两直角＝180°时，∠BDE＝93°18′［＝180°-86°42′］，但是取两直角＝360°时，∠BDE＝186°36′，而截出弧BC的∠BED＝88°29′，于是在三角形BDE中，余下的∠DBE＝84°55′［＝360°-（186°36′＋88°29′）］，因此三角形BDE中的各角均已知，取三角形外接圆的直径＝20000，则各边边长可由圆周弦长表得出：BE＝19953 p ，DE＝13501 p 。类似地，在三角形ADE中，取两直角＝180°时，已知∠ADC＝154°43′［＝68°1′＋86°42′］，∠ADE＝25°17′［＝180°-154°43′］。但如果取两直角＝360°，∠ADE＝50°34′，截出弧ABC的∠AED＝164°8′［＝75°39′＋88°29′］，余下的∠DAE＝145°18′［＝360°-（50°34′＋164°8′）］，因此各边也可知：如果取三角形ADE的外接圆直径＝20000 p ，则DE＝19090 p ，AE＝8542 p 。但如果取DE＝13501 p ，BE＝19953 p ，则AE＝6041 p 。所以在三角形ABE中，BE和EA两边可知；截出弧AB的∠AEB＝75°39′。因此根据平面三角形的定理，如果取BE＝19968 p ，则AB＝15647 p 。但如果取偏心圆直径＝20000 p ，则弦AB＝12266 p ，EB＝15664 p ，DE＝10599 p 。于是，通过弦BE可得弧BAE＝103°7′。因此整个弧EABC＝191°36′［＝103°7′＋88°29′］，圆的其余部分弧CE＝360°-弧EABC＝168°24′。因此弦CDE＝19898 p ，CD＝CDE-DE＝9299 p 。
如果CDE是偏心圆的直径，那么高低拱点的位置显然都会落在这条直径上面，而且偏心圆与地球大圆两个中心的距离可得。但因弧EABC大于半圆，所以偏心圆的中心将落到它里面。设该中心为点F，过点F和点D作直径GFDH，作FKL垂直于CDE。
显然，矩形CD×DE＝矩形GD×DH。但矩形GD×DH＋（FD）
2
＝（
GDH）
2
＝（FDH）
2
，所以（
直径）
2
-矩形GD×DH或矩形CD×DE＝（FD）
2
。因此，如果取半径GF＝10000
p
，则FD＝1200
p
。但如果取半径FG＝60
p
，则FD＝7
p
12′，这与托勒密的值［《天文学大成》，Ⅺ，6：6
p
50′］差别不大。但CDK＝
CDE＝9949
p
，且CD＝9299
p
，所以余下的DK＝650
p
［＝9949
p
-9299
p
］，这里GF＝10000
p
，FD＝1200
p
。但如果取FD＝10000
p
，则DK＝5411
p
＝
弦2DFK。如果取四直角＝360°，则∠DFK＝32°45′。这是在圆心所张的角，它所对的弧HL与此量相似。但整个弧CHL＝
CLE［168°24′］≈84°13′，所以余下的弧CH＝CHL-HL＝84°13′-32°45′＝51°28′，此即为第三次冲点到近地点的距离。而弧CBG＝180°-51°28′＝128°32′，即为高拱点与第三次冲点的距离。由于弧CB＝88°29′，所以弧BG＝CBG-CB＝128°32′-88°29′＝40°3′，即为高拱点与第二次冲点的距离。由于弧BGA＝75°39′，所以从第一次冲点到远地点G的距离弧AG＝BGA-BG＝75°39′-40°3′＝35°36′。
现在设ABC为一个圆，FDEG为直径，圆心为点D，远地点为点F，近地点为点G。设弧AF＝35°36′，弧FB＝40°3′，弧FBC＝128°32′。取土星偏心圆半径FD＝10000
p
，设DE等于前已求得的土星偏心圆与地球大圆两中心间的距离［1200
p
］的
，即设DE＝900
p
，且以其余的
即300
p
为半径，以A、B、C三点为圆心作小本轮。根据上述条件绘出图形。
如果我们希望根据这一图形，采用前面解释过并且即将重述的方法求出土星的观测位置，那么我们就会发现一些不相符之处。简要说来，为了不使读者负担过重，或者不在偏僻小径中耗费精力，而是直指光明大道，根据我们已经讲过的三角形定理，由上述数值我们必定会得出以下结果：∠NEO＝67°35′，∠OEM＝87°12′。但∠OEM要比视角［＝86°42′］大
°，∠NEO要比68°1′小26′。要使它们彼此相符，只有使远地点略微前移［3°14′］，并取弧AF＝38°50′［而不是35°36′］，于是弧FB＝36°49′［＝40°3′-3°14′］，弧FBC＝125°18′［＝128°32′-3°14′］，两中心间的距离DE＝854
p
［而不是900
p
］，并且当FD＝10000
p
时，小本轮的半径＝285
p
［而不是300
p
］。这些数值与前面托勒密所得结果［Ⅴ，5］近乎一致。
由此可以发现，这些值与现象和观测到的三次冲相符。因为对于第一次冲，若取AD＝10000 p ，则在三角形ADE中，边DE＝854 p ，∠ADE＝141°10′，且与∠ADF＝38°50′在中心合为两直角。如果取半径FD＝10000 p ，则其余的边AE＝10679 p ，∠DAE＝2°52′，∠DEA＝35°58′。类似地，在三角形AEN中，由于∠KAN＝∠ADF［＝38°50′］，整个∠EAN＝41°42′［＝∠DAE＋∠KAN＝2°52′＋38°50′］，且当AE＝10679 p 时，边AN＝285 p 。所以∠AEN＝1°3′。但整个∠DEA＝35°58′，于是相减可得，∠DEN＝∠DEA-∠AEN＝34°55′［＝35°58′-1°3′］。
类似地，对于第二次冲，三角形BED的两边为已知：如果取BD＝10000 p ，则DE＝854 p ，∠BDE［＝180°-（∠BDF＝36°49′）］＝143°11′。因此BE＝10679 p ，∠DBE＝2°45′，余下的∠BED＝34°4′。但是，∠LBO＝∠BDF［＝36°49′］，因此，整个∠EBO＝39°34′［＝∠DBO＋∠DBE＝36°49′＋2°45′］。此角的两夹边为BO＝285 p ，BE＝10697 p 。因此，BEO＝59′，∠OED＝∠BED［＝34°4′］-∠BEO＝33°5′。而对于第一次冲，我们已经表明∠DEN＝34°55′，于是相加可得，整个∠OEN［＝∠DEN＋∠OED］＝68°［＝34°55′＋33°5′］。它给出了第一次冲与第二次冲的距离，且与观测［＝68°1′］相符。
类似的证明也适用于第三次冲。在三角形CDE中，已知∠CDE＝54°42′［＝180°-（∠FDC＝125°18′）］，边CD＝10000
p
，边DE＝854
p
，因此第三边EC＝9532
p
，∠CED＝121°5′，∠DCE＝4°13′，因此相加可得，整个∠PCE＝129°31′［＝4°13′＋125°18′］。所以在三角形EPC中，边CE＝9532
p
，边PC＝285
p
，∠PCE＝129°31′，所以∠PEC＝1°18′。∠PED＝∠CED-∠PEO＝119°47′，即为从偏心圆高拱点到第三次冲时行星位置的距离。然而已经阐明，第二次冲时从偏心圆高拱点到行星位置为33°5′，因此土星的第二冲点与第三冲点之间应为86°42′［＝119°47′-33°5′］，这一数值也与观测相符。由观测可知，当时土星位于距取作零点的白羊宫第一星以东8′处。已经求得从土星到偏心圆低拱点的距离为60°13′［＝180°-119°47′］，因此低拱点大致位于60
°［≈60°13′＋8′］处，而高拱点的位置则刚好与此相对，即位于240
°处。
现在以点E为中心作地球的轨道圆RST。设直径SET平行于行星的平均行度线CD（取∠FDC＝∠DES），于是地球和我们的观测位置应位于直线PE上，譬如在点R。∠PES［＝∠EMD］或弧RS＝∠FDC与∠DEP之差＝行星的均匀行度与视行度之差＝5°31′［（∠CES＝∠DCE）＋∠PEC＝4°13′＋1°18′］。弧RT＝180°-5°31′＝174°29′，即为行星与轨道圆远地点T的距离＝太阳的平位置。这样我们就证明了，在公元1527年10月10日午夜后6
小时，土星距离偏心圆高拱点的近点角行度为125°18′，视差行度为174°29′，高拱点位于恒星天球上距白羊宫第一星240°21′处。
前已说明［Ⅴ，5］，在托勒密三次观测的最后一次，土星的视差行度为174°44′，土星偏心圆高拱点的位置距白羊宫起点为226°23′。因此显然，在两次观测［托勒密的最后一次观测与哥白尼的最后一次观测］之间，土星视差均匀运动共运转1344周减
°。从哈德良20年埃及历12月24日午前1小时到公元1527年10月10日6时的最后一次观测，共历时1392埃及年75日48日分。此外，如果我们想用土星视差运动表对这一时段求得行度，那么我们可以类似地得出视差运转为1343周加上359°45′。所以前面关于土星平均行度的叙述［Ⅴ，1］是正确的。
再者，在这段时间中，太阳的简单行度为82°30′。如果从82°30′中减去359°45′，余数82°45′即为土星的平均行度，这个值现已累积在了土星的第47次［恒星］旋转中，这与计算相符。与此同时，偏心圆高拱点的位置也在恒星天球上前移了13°58′［＝240°21′-226°23′］。托勒密认为拱点［与恒星］一样是固定的，但现在已经清楚，拱点每100年移动大约1°。
从基督纪元到哈德良20年埃及历12月24日午前1小时即托勒密进行观测的时刻，共历时135埃及年222日27日分。在这段时间内土星的视差行度为328°55′。从174°44′中减去这个值，余下的205°49′为太阳的平位置与土星的平位置之间的距离，即土星在公元元年元旦前午夜的视差行度。从第一个奥林匹克运动会期到这一时刻的775埃及年12
日中，土星的行度除了完整运转外还有70°55′。从205°49′中减去70°55′，余下的134°54′表示在1月1日正午奥林匹克运动会的开始。又过了451年247日，［土星的行度］除完整运转外还有13°7′。把它与134°54′相加，得到的和148°1′即为埃及历元旦正午亚历山大大帝纪元开始时的位置。对于恺撒纪元，在278年118
日内，土星的行度为247°20′。由此可以确定公元前45年元旦前午夜时［土星］的位置。
土星在黄经上的均匀行度和视行度如上所述。由地球的周年运动所引起的土星的另一种现象是我所谓的视差［Ⅴ，1］。正如地球的大小在与地月距离的对比之下能够引起视差，地球周年运转的轨道也能引起五颗行星的视差。但是由于轨道的尺寸，行星的视差要明显得多。然而除非已经知道行星的高度（它可以通过任何一次视差观测而得到），否则就无法确定这些视差。
我在公元1514年2月24日午夜后5小时对土星作了这样一次观测，这时土星看起来与天蝎额部的两颗星（即该星座的第二颗星和第三颗星）排成了一条直线，它们在恒星天球上有相同的黄经，即都是209°。所以由此可得土星的位置。从基督纪元开端到这一时刻共历时1514埃及年67月13日分，由计算可得太阳的平位置为315°41′，土星的视差近点角为116°31′，因此土星的平位置为199°10′，偏心圆高拱点的位置约为240
°。
根据前面的模型，设ABC为偏心圆，点D为圆心。在其直径BDC上，设点B为远地点，点C为近地点，点E为地球轨道的中心。连接AD与AE。以A为圆心、
DE为半径作小本轮。设小本轮上的点F为行星的位置，并设∠DAF＝∠ADB。经过地球轨道的中心E作HI，假定这条线与圆周ABC位于同一平面。轨道直径HI平行于AD，所以可以认为轨道的远地点为H，近地点为I。根据对视差近点角的计算，在轨道上取弧HL＝116°31′。连接FL和EL，设FKEM与轨道圆周的两边相交。根据假设，∠ADB＝41°10′＝∠DAF，补角∠ADE＝180°-∠ADB＝138°50′。如果取AD＝10000
p
，则DE＝854
p
。这些数据表明，在三角形ADE中，第三边AE＝10667
p
，∠DEA＝38°9′，∠EAD＝3°1′。因此整个∠EAF［＝∠EAD＋∠DAF］＝44°11′［＝3°1′＋41°10′］。于是在三角形FAE中，如果AE＝10667
p
，则边FA＝285
p
，边FKE＝10465
p
，∠AEF＝1°5′。因此显然，∠DAE＋∠AEF＝4°6′，此即为行星平位置与真位置之间的全部差值或行差。因此，如果地球的位置为K或M，那么土星的位置看起来将会位于距白羊座203°16′处，就好像是从中心E对它进行观测的一样。但如果地球位于L，则土星看起来是在209°处。差值5°44′［＝209°-203°16′］为∠KFL所表示的视差。但在地球的均匀运动中，弧HL＝116°31′［＝土星的视差近点角］，弧ML＝弧HL-行差HM＝112°25′［＝116°31′-4°6′］。半圆的其余弧LIK＝67°35′［＝180°-112°25′］。由此可得∠KEL＝67°35′。于是在三角形FEL中，各角均已知［∠EFL＝5°44′，∠FEL＝67°35′，∠ELF＝106°41′］，如果EF＝10465
p
，各边的比值也已知。若取AD＝BD＝10000
p
，则EL＝1090
p
。但如果遵循古人的做法取BD＝60
p
，则EL＝6
p
32′，这与托勒密的结果相差甚微。因此整个BDE＝10854
p
，直径的其余部分CE＝9146
p
［＝20000-10854］。但由于当小本轮位于点B时总要从行星高度中减去直径的
即285
p
，而位于点C时则要加上同一数量，所以如果取BD＝10000
p
，则土星距离中心E的最大距离为10569
p
［＝10854-285］，最小距离为9431
p
［＝9146＋285］。按照这样的比例，如果取地球的轨道圆半径＝1
p
，则土星远地点高度为9
p
42′，近地点高度为8
p
39′。利用这些数值，并且根据前面联系月亮的小视差所阐述的做法［Ⅳ，22，24］，土星的较大视差显然可以求得。当土星位于远地点时，其最大视差＝5
p
55′，位于近地点时，其最大视差＝6
p
39′，这两个数值彼此相差44′，这一情形出现在来自土星的两条直线与地球轨道相切的时候。通过这个例子，土星运动中的每一个别变化就找到了。我在后面［Ⅴ，33］要对五颗行星同时描述这些变化。
在解决了土星的问题之后，我还要把同样的做法和次序用于阐明木星的运动。首先，我要重复一下托勒密报告和分析过的三个位置［《天文学大成》，Ⅺ，1］。通过前面讲过的圆的转换，我将重建这些位置，使其与托勒密的位置相同或相差无几。
他所报告的第一次冲发生在哈德良17年埃及历11月1日之后的午夜前1小时，据托勒密称是在天蝎宫内23°11′［＝223°11′］，但减掉二分点岁差［＝6°38′］之后是在226°33′处；他所报告的第二次冲发生在哈德良21年埃及历2月13日之后的午夜前2小时的双鱼宫内7°54′，而在恒星天球上是331°16′［＝337°54′-6°38′］处；第三次冲发生在安敦尼元年3月20日之后的午夜后5小时，在恒星天球上是7°45′［＝14°23′-6°38′］。
因此，从第一次冲到第二次冲历时3埃及年106日23小时，行星的视行度为104°43′［＝331°16′-226°33′］。从第二次冲到第三次冲历时1年37日7小时，行星的视行度为36°29′［＝360°＋7°45′-331°16′］。在第一段时间内行星的平均行度为99°55′，在第二段时间内行星的平均行度为33°26′。托勒密发现偏心圆上从高拱点到第一冲点的弧长为77°15′，从第二冲点到低拱点的弧长为2°50′，从低拱点到第三冲点的弧长为30°36′。若取半径为60
p
，则整个偏心率为5
p
，但如果取半径为10000
p
，则偏心率为917
p
。所有这些值与观测结果都大致吻合。
现在，设ABC为一圆，从第一冲点到第二冲点的弧AB＝99°55′，弧BC＝33°26′。过圆心D作直径FDG，使得从高拱点F起，FA＝77°15′，FAB＝177°10′［＝180°-2°50′］，GC＝30°36′。设点E为地球轨道圆的中心，两中心之间的距离为917
p
的
，即DE＝687
p
＝托勒密偏心率。以917
p
的
即229
p
为半径，绕A、B、C三点分别作小本轮。连接AD、BD、CD、AE、BE和CE。在各小本轮中连接AK、BL和CM，使得∠DAK＝∠ADF，∠DBL＝∠FDB，∠DCM＝∠FDC。最后，用直线把K、L和M分别与E连接起来。
由于∠ADF已知［＝77°15′］，所以在三角形ADE中，其补角∠ADE＝102°45′；如果取AD＝10000 p ，则边DE＝687 p ，第三边AE＝10174 p ，∠EAD＝3°48′，余下的∠DEA＝73°27′，整个∠EAK＝81°3′［＝∠EAD＋（∠CAK＝∠ADF）＝3°48′＋77°15′］。因此在三角形AEK中两边已知：AK＝229 p 时，EA＝10174 p ，又因其夹角∠EAK＝81°3′，由此可得∠AEK＝1°17′。相减可得，余下的∠KED＝72°10′［＝∠DEA-∠AEK＝73°27′-1°17′］。
三角形BED的情况可作类似证明。BD与DE两边仍与前一三角形中的相应各边相等，但∠BDE＝2°50′［＝180°-（∠FDB＝177°10′）］，所以如果取DB＝10000 p ，则底边BE＝9314 p ，∠DBE＝12′。于是同样，在三角形ELB中，两边［BE、BL］已知，而整个∠EBL［＝（∠DBL＝∠FDB）＋∠DBE］＝177°22′［＝177°10′＋12′］，∠LEB＝4′。但∠FEL＝∠FDB［＝177°10′］-16′［＝12′＋4′］＝176°54′，∠KEL＝∠FEL-∠KED＝176°54′-72°10′＝104°44′，这与观测到的第一和第二端点之间的视行度角［＝104°43′］几乎完全相符。
第三个位置也类似，在三角形CDE中，CD和DE两边已知［＝10000；687］，且∠CDE＝30°36′，用同样方法可得底边EC＝9410 p ，∠DCE＝2°8′。于是在三角形ECM中，∠ECM＝147°44′，由此可得∠CEM＝39′。又因为外角∠DXE＝内角∠ECX＋相对内角∠CEX＝2°47′［＝2°8′＋39′］＝∠FDC-∠DEM［∠FDC＝180°-30°36′＝149°24′；∠DEM＝149°24′-2°47′＝146°37′］，因此∠GEM＝180°-∠DEM＝33°23′。整个∠LEM＝36°29′，即为第二冲点与第三冲点之间的距离，它也与观测结果相符。但（前已证明）位于低拱点以东33°23′的第三冲点位于［恒星天球上］7°45′处，所以由半圆的剩余部分可得高拱点位于恒星天球上154°22′［＝180°-（33°23′-7°45′）］处。
现在围绕点E作地球的周年轨道RST，其直径SET与直线DC平行。前已求得∠GDC＝∠GER＝30°36′，∠DXE＝∠RES＝弧RS＝2°47′，即行星与轨道平近地点之间的距离。由此可得，整个弧TSR＝182°47′，即为行星与轨道高拱点之间的距离。
这样我们就证明了，在安敦尼元年埃及历3月20日之后午夜后5小时木星的第三次冲时，其视差近点角为182°47′，其经度均匀位置为4°58′［＝7°45′-2°47′］，偏心圆高拱点位于154°22′。所有这些结果都与我关于地球运动以及运动均匀性的假说完全符合。
在这样对以前报告的木星的三个位置作出分析之后，我还要补充我观测得极为仔细的木星的三次冲。第一次冲发生于公元1520年4月30日之前的午夜过后11小时，在恒星天球上200°28′。第二次冲发生于公元1526年11月28日午夜后3小时，在恒星天球上48°34′。第三次冲发生于公元1529年2月1日午夜后19小时，在恒星天球上113°44′。从第一次冲到第二次冲历时6年212日40日分，在此期间木星的行度为208°6′［＝360°＋48°34′-200°28′］。从第二次冲到第三次冲历时2埃及年66日39日分，在此期间木星的视行度为65°10′［＝113°44′-48°34′］。木星在第一段时间内的均匀行度为199°40′，在第二段时间内的均匀行度为66°10′。
为了说明这一情况，作偏心圆ABC，假设行星在它上面作简单均匀的运动。设观测到的三个位置以字母次序排列为A、B和C，使得弧AB＝199°40′，弧BC＝66°10′，因此弧AC＝360°-（AB＋BC）＝94°10′。设点D为地球周年轨道的中心。连接AD、BD与CD。延长其中任一直线如DB至两圆弧的直线BDE。连接AC、AE和CE。
如果取四直角＝360°，则视运动角∠BDC＝65°10′。补角∠CDE＝180°-65°10′＝114°50′。但如果取圆周上的二直角＝360°，则∠CDE＝229°40′［＝2×114°50′］。截出弧BC的∠CED＝66°10′。因此在三角形CDE中，余下的∠DCE＝64°10′［＝360°-（229°40′＋66°10′）］。于是，三角形CDE的各角已知，所以各边也可求得：如果取三角形外接圆直径＝20000 p ，则CE＝18150 p ，ED＝10918 p 。
三角形ADE的情况也是类似。由于圆周在减去从第一次冲到第二次冲的距离［＝208°6′］后剩余的∠ADB＝151°54′，所以补角∠ADE＝中心角28°6′＝［180°-151°54′］，而在圆周上∠ADE＝56°12′［＝2×28°6′］。截出弧BCA［＝BC＋CA］的∠AED＝160°20′［＝66°10′＋94°10′］。［三角形ADE中］余下的［内接］∠EAD＝143°28′［＝360°-（56°12′＋160°20′）］。因此，如果取三角形ADE的外接圆直径＝20000 p ，则边AE＝9420 p ，边ED＝18992 p 。但如果ED＝10918 p ，用AE＝5415 p 的单位，则CE＝18150 p 。
于是在三角形EAC中，EA和EC两边再次已知［5415；18150］，它们截出弧AC的夹角∠AEC＝94°10′也已知，所以可以求得，截出弧AE的∠ACE＝30°40′。∠ACE＋弧AC＝124°50′［＝94°10′＋30°40′］，如果取偏心圆直径＝20000 p ，则CE＝17727 p 。根据前面的比例，用同样单位可得DE＝10665 p 。但整个弧BCAE＝191°［＝BC＋CA＋AE＝66°10′＋94°10′＋30°40′］。由此可得，圆周的其余部分弧EB［＝360°-（BCAE＝191°）］＝169°，此为整个BDE所对的弧。BD＝BDE-DE＝19908 p -10665 p ＝9243 p 。因此，由于BCAE为较大的弧段，偏心圆的中心F将在它之内。
作直径 GFDH。显然，由于矩形ED×DB＝矩形GD×DH，所以后者也可知。但是，矩形GD×DH＋（FD）
2
＝（FDH）
2
，即（FDH）
2
-GD×DH＝（FD）
2
，因此如果取FG＝10000
p
，则FD＝1193
p
。但如果取FG＝60
p
，则FD＝7
p
9′。设BE被点K等分，作与BE垂直的FKL。因为BDK＝
［BDE＝19908
p
］＝9954
p
，DB＝9243
p
，所以相减可得，DK＝BDK-DB＝711
p
。于是在直角三角形DFK中，各边已知［FD＝1193，DK＝711，（FK）
2
＝（FD）
2
-（DK）
2
］，∠DFK＝36°35′，与之相同的弧LH＝36°35′。但是弧LHB＝84
°＝
弧EB（弧EB＝169°）。相减可得，弧BH＝弧LHB-弧LH＝84
°-36°35′＝47°55′，此即第二冲点与近地点之间的距离。而弧BCG＝180°-47°55′＝132°5′，即为从远地点到第二冲点的距离。弧BCG［＝132°5′］-弧BC［＝66°10′］＝65°55′＝CG，即为从第三冲点到远地点的距离。94°10′［＝CA］-65°55′＝28°15′＝GA，即为从远地点到小本轮第一位置的距离。
上述结果与观测到的现象无疑很不相符，因为行星并不沿着前面提到的偏心圆运动。因此，这种建立在错误基础上的证明方法不能得出任何可靠的结果。证明其错误的诸多证据之一是，托勒密用它求得的土星的偏心率太大，而木星的偏心率又太小，可我用它求得的木星偏心率又太大。所以显然，如果对同一颗行星采用圆上的不同弧段，则所求结果不会以同一方式得出。倘若我不接受托勒密所报告的偏心圆半径为60 p 时的偏心率5 p 30′，那么就不可能对上述三个端点以及一切位置比较木星的均匀行度和视行度。若取半径为10000 p 时的偏心率917 p ［Ⅴ，10］，则从高拱点到第一冲点的弧长为45°2′［而不是28°15′］，从低拱点到第二冲点的弧长为64°42′［而不是47°55′］，从第三冲点到高拱点的弧长为49°8′［而不是65°55′］。
重绘前面的偏心本轮图，使之符合这里的情况。根据我的假设，圆心之间的整个距离［是916而不是1193］的
＝687
p
＝DE，如果取FD＝10000
p
，则小本轮获得了剩下的
＝229
p
。由于∠ADF＝45°2′，所以在三角形ADE中，AD和DE两边已知［10000
p
，687
p
］，其夹角∠ADE也已知［＝134°58′＝180°-（∠ADF＝45°2′）］，所以如果取AD＝10000
p
，则第三边AE＝10496
p
，∠DAE＝2°39′。由于假定∠DAK＝∠ADF［＝45°2′］，所以整个∠EAK＝47°41′［＝∠DAK＋∠DAE＝45°2′＋2°39′］。而在三角形AEK中，AK和AE两边也已知［229
p
；10496
p
］，由此可得，∠AEK＝57′。∠KED＝∠ADF［＝45°2′］-（∠AEK＋∠DAE［＝2°39′］）＝41°26′，即为第一次冲时的视行度角。
三角形BDE中也可表明类似结果。BD和DE两边已知［10000 p ，687 p ］，其夹角∠BDE＝64°42′，如果取BD＝10000 p ，则第三边BE＝9725 p ，∠DBE＝3°40′。因此在三角形BEL中，BE及BL两边也已知［9725 p ；229 p ］，夹角∠EBL＝118°58′［＝∠DBE＝3°40′＋∠DBL＝∠FDB＝180°-（∠BDG＝64°42′）＝115°18′］。∠BEL＝1°10′，所以∠DEL＝110°28′。但我们已经求得∠KED＝41°26′，因此整个∠KEL［＝∠KED＋∠DEL］＝151°54′［＝110°28′＋41°26′］。于是，360°-151°54′＝208°6′，即为第一次和第二次冲之间的视行度角，与［修正的］观测结果相符。
最后，对于第三个位置，在三角形CDE中，DC和DE两边可用同一方式给出［10000 p ，687 p ］。此外，由于∠FDC已知［＝49°8′＝第三次冲到高拱点的距离］，所以DC和DE的夹角∠CDE＝130°52′。如果取CD＝10000 p ，则第三边CE＝10463 p ，∠DCE＝2°51′。因此，整个∠ECM＝51°59′［＝2°51′＋49°8′＝∠DCE＋（∠DCM＝∠FDC）］。于是，在三角形ECM中，CM和CE两边［229 p ；10463 p ］及其夹角∠MCE［＝51°59′］已知。而∠MEC＝1°，前已求得∠MEC＋∠DCE［＝2°51′］＝∠FDC-∠DEM，其中∠FDC和∠DEM分别为均匀行度和视行度。因此在第三次冲时，∠DEM＝45°17′。但我们已经求得∠DEL＝110°28′，因此，∠LEM＝∠DEL-∠DEM＝65°10′，即为观测到的第二次冲与第三次冲之间的角度，这与观测结果［＝180°-（64°42′＋49°8′＝113°50′）＝66°10′］相符。但由于木星的第三次冲的位置看上去位于恒星天球上113°44′处，所以木星高拱点的位置大约在159°［113°44′＋45°17′＝159°1′］。
现在，绕点E作地球轨道RST，其直径RES平行于DC，那么显然，当木星发生第三次冲时，∠FDC＝49°8′＝∠DES，视差均匀运动的远地点位于R。但在地球已经走过180°加上弧ST之后，它与太阳相冲并与木星相合。而已知弧ST＝3°51′［在上图中，∠DCE＝2°51′＋∠MEC（∠MEC＝1°）］，所以弧ST＝3°51′＝∠SET。这些结果表明，在公元1529年2月1日午夜之后19小时，木星视差的均匀近点角为183°51′［弧RS＋弧ST＝180°＋3°51′］，木星的真行度为109°52′，现在偏心圆的远地点大约距白羊座的角159°。此即为我们所要求的结果。
我们在前面已经看到［Ⅴ，10］，在托勒密观测的三次冲的最后一次，就平均行度而言，木星在4°58′处，视差近点角为182°47′。于是在两次观测［托勒密的最后一次和哥白尼的最后一次］期间，木星的视差行度除整圈运转外显然还有1°5′［≈183°51′-182°47′］，它的自行约为104°54′［＝109°52′-4°58′］。从安敦尼元年埃及历3月20日之后的午夜后5小时到公元1529年2月1日之前的午夜后19小时，共历时1392埃及年99日37日分。根据上述计算，在此期间，视差行度除整圈运转外同样还有1°5′，同时地球在其均匀运动中赶上木星1267次。由于计算值与观测结果符合得相当好，可以认为计算是可靠的和得到确证的。此外，在这段时间内偏心圆的高低拱点明显向东移动了4
°［≈159°-154°22′］。把行度平均分配，结果约为每300年1°。
从托勒密三次观测中的最后一次，即安敦尼元年3月20日之后的午夜后5小时，追溯到基督纪元的开始，即136埃及年314日10日分为止，在这段时间里，视差的平均行度为84°31′。从182°47′［托勒密的第三次观测］中减去84°31′，得到98°16′，即为基督纪元开始时1月1日之前午夜时的值。追溯到第一个奥林匹克运动会期，即775埃及年12
日，则可算出在此期间，除整圈外的行度为70°58′。从98°16′［基督纪元］中减去70°58′，得到的余量27°18′即为奥林匹克运动会开始时的值。在此后的451年247日里，行度为110°52′。把它与第一个奥林匹克运动会期时的值相加，得到的和为138°10′，即为在埃及历元旦中午亚历山大纪元开始时的值。这个方法对其他历元也适用。
为了确定与木星有关的其他现象，即它的视差，我于公元1520年2月19日中午前6小时仔细观测了它的位置。我通过仪器看见木星位于天蝎前额第一颗亮星以西4°31′处。因为该恒星位于209°40′，所以木星显然位于恒星天球上205°9′处。从基督纪元开始到这次观测共历时1520均匀年62日15日分，由此可导出，太阳的平均行度为309°16′，［平均］视差近点角为111°15′，因此木星的平位置为198°1′［＝309°16′-111°15′］。在我们这个时代，偏心圆高拱点已被发现位于159°，所以木星偏心圆的近点角为39°1′［＝198°1′-159°］。
为了说明这种情况，以点D为中心，ADC为直径作偏心圆ABC。设远地点为点A，近地点为点C，地球周年轨道的中心E位于DC上。现在，设弧AB＝39°1′。以点B为中心，以BF＝
DE＝两个圆心之间的距离为半径作小本轮。设∠DBF＝∠ADB。连接直线BD、BE和FE。
在三角形BDE中两边已知：如果取BD＝10000
p
，则DE＝687
p
。而这两条边所夹的∠BDE＝140°59′＝［180°-（∠ADB＝39°1′）］。由此可得，底边BE＝10543
p
，∠DBE＝∠ADB-∠BED＝2°21′。因此，整个∠EBF＝41°22′［＝（∠DBE＝2°21′）＋（∠DBF＝∠ADB＝39°1′）］。于是在三角形EBF中，∠EBF以及该角的两夹边已知：如果取BD＝10000
p
，则EB＝10543
p
，BF＝
（DE＝两个圆心之间的距离）＝229
p
。由此可得，其余的边FE＝10373
p
，∠BEF＝50′。直线BD和FE相交于点X，所以∠DXE＝∠BDA-∠FED＝平均行度-真行度。∠DXE＝∠DBE＋∠BEF［＝2°21′＋50′］＝3°11′。现在，∠FED＝39°1′［＝∠ADB］-3°11′＝35°50′，即为偏心圆高拱点与行星的距离。但由于高拱点位于159°［Ⅴ，11］，所以159°＋35°50′＝194°50′，即为木星相对于中心E的真位置，但其视位置位于205°9′［Ⅴ，14］，所以差值＝10°19′属于视差。
现在，设RST为围绕中心E作的地球轨道，其直径RET平行于BD，点R为视差远地点。根据视差平近点角的测定［Ⅴ，14开头］，取弧RS＝111°15′。延长直线FEV至地球轨道两边。行星的真远地点将位于点Ⅴ，∠REV＝平远地点与真远地点之角度差＝∠DXE，由此可得整个弧VRS＝114°26′［＝RS＋RV＝111°15′＋3°11′］，∠FES＝180°-∠SEV［＝114°26′］＝65°34′。但由于视差角EFS＝10°19′，所以在三角形EFS中，其余的角FSE＝104°7′。因此三角形EFS各角已知，边长之比也可求得：FE:ES＝9698:1791。因此，如果取BD＝10000，则当FE＝10373 p 时，ES＝1916。然而托勒密的结果是，如果取偏心圆半径＝60 p ［《天文学大成》，Ⅺ，2］，则ES＝11 p 30′，这几乎与1916:10000具有同一比值。因此在这方面我似乎与他并没有什么不同。
于是，直径ADC：直径RET＝5 p 13′:1 p 。类似地，AD:ES＝AD:RE＝5 p 13′9″:1 p 。同样，DE＝21′29″，BF＝7′10″。因此，当木星位于远地点时，设地球轨道半径＝1 p ，则整个ADE-BF＝5 p 27′29″［＝5 p 13′9″＋21′29″-7′9″］；当木星位于近地点时，其余的EC＋BF［＝5 p 13′9″-21′29″＋7′9″］＝4 p 58′49″；而当木星位于远地点和近地点之间时，其值也可相应求得。由此可得，木星在远地点时的最大视差为10°35′，在近地点时为11°35′，这两个极值之间相差1°。这样，木星的均匀行度及其视行度就确定下来了。
我现在要用火星在古代的三次冲来分析它的运转，并将再次把地球在古代的运动与行星的冲联系起来。在托勒密报告的三次冲中［《天文学大成》，Ⅹ，7］，第一次发生于哈德良15年埃及历5月26日之后的午夜后1个均匀小时。根据托勒密的说法，火星当时位于双子宫内21°处，相对恒星天球位于74°20′［双子宫21°＝81°0′（-6°40′）＝74°20′］；他记录到第二次冲发生在哈德良19年埃及历8月6日之后的午夜前3小时，当时行星位于狮子宫内28°50′，相对恒星天球位于142°10′［狮子宫28°50′＝148°50′（-6°40′）＝142°10′］；第三次冲发生在安敦尼2年埃及历11月12日之后的午夜前2均匀小时，当时行星位于人马宫内2°34′处，相对恒星天球位于235°54′［人马宫2°34′＝242°34′（-6°40′）＝235°54′］。
因此，从第一次冲到第二次冲历时4埃及年69日加20小时＝50日分，除整圈运转外，行星的视行度为67°50′［＝142°10′-74°20′］。从第二次到第三次冲历时4年96日1小时，行星的视行度为93°44′［＝235°54′-142°10′］。在第一时段中，除整圈运转外，平均行度为81°44′；在第二时段中为95°28′。如果取偏心圆半径为60 p ，托勒密发现［《天文学大成》，Ⅹ，7］两个中心间的全部距离为12 p ；如果取半径为10000 p ，则相应距离为2000 p 。从第一冲点到高拱点的平均行度为41°33′，从高拱点到第二冲点的平均行度为40°11′，从第三冲点到低拱点的平均行度为44°21′。
然而根据我的均匀运动假设，偏心圆与地球轨道的中心之间的距离＝1500
p
＝［托勒密偏心率＝2000
p
的］
，而其余的
＝500为小本轮的半径。现在，以点D为中心作偏心圆ABC，FDG为通过两个拱点的直径，点E为周年运转轨道圆的中心。设A、B、C分别为三个冲点的位置，并设弧AF＝41°33′，弧FB＝40°11′，弧CG＝44°21′。分别绕A、B和C各点以DE的
为半径作小本轮。连接AD、BD、CD、AE、BE和CE。在这些小本轮中作AL、BM和CN，使得∠DAL＝∠ADF，∠DBM＝∠BDF，∠DCN＝∠CDF。
由于在三角形ADE中，因为∠FDA已知［＝41°33′］，所以∠ADE＝138°27′。此外，两边已知：如果取AD＝10000
p
，则DE＝1500
p
。由此可知，其余的边AE＝11172
p
，∠DAE＝5°7′。于是整个∠EAL［＝∠DAE＋∠DAL＝5°7′＋41°33′］＝46°41′。在三角形EAL中，∠EAL［＝46°40′］和两边也已知：如果取AD＝10000
p
，则AE＝11172
p
，AL＝500
p
。而且∠AEL＝1°56′，∠AEL＋∠DAE＝7°3′，即为∠ADF与∠LED之间的差值，∠DEL＝34
°。
类似地，对于第二次冲：在三角形BDE中，∠BDE＝139°49′［＝180°-（FDB＝40°11′），如果取BD＝10000
p
，则边DE＝1500
p
。因此，边BE＝11188
p
，∠BED＝35°13′，∠DBE［＝180°-（139°49′＋35°13′）］＝4°58′。因此，已知边BE［＝11188］和BM［＝500］所夹的∠EBM［＝∠DBE＋（∠DBM＝∠BDF）＝4°58′＋40°11′］＝45°9′，由此可得∠BEM＝1°53′，余下的∠DEM［＝∠BED-∠BEM＝35°13′-1°53′］＝33°20′。因此整个∠MEL［＝∠DEM＋∠DEL＝33°20′＋34
°］＝67°50′，即为从第一次冲到第二次冲时行星的视行度，这个值与观测结果［＝67°50′］相符。
同样，对于第三次冲，三角形CDE的两边CD［＝10000 p ］和DE［＝1500 p ］已知，它们的夹角∠CDE［＝弧CG］＝44°21′。因此，如果取CD＝10000 p 或DE＝1500 p ，则底边CE＝8988 p ，∠CED＝128°57′，其余的∠DCE＝6°42′［＝180°-（44°21′＋128°57′）］。在三角形CEN中，整个∠ECN［＝（∠DCN＝∠CDF＝180°-44°21′＝135°39′）＋（∠DCE＝6°42′）］＝142°21′，它的夹边为已知的EC［＝8988 p ］和CN［＝500 p ］，因此∠CEN＝1°52′。于是在第三次冲时剩余的∠NED［＝∠CED-∠CEN＝128°57′-1°52′］＝127°5′。但是已经求得∠DEM＝33°20′。因此∠MEN［＝∠NED-∠DEM＝127°5′-33°20′］＝93°45′，即为第二次冲与第三次冲之间的视行度角。此计算结果也与观测结果［93°44′］符合得很好。前面已经说过，当这最后一次观测冲日发生时，火星看起来位于235°54′，它与偏心圆远地点相距127°5′［＝NEF］，因此火星偏心圆的远地点当时位于恒星天球上108°49′［＝235°54′-127°5′］处。
现在，绕中心点E作地球的周年轨道RST，其直径RET平行于DC，点R为视差远地点，点T为近地点。行星沿EX看起来位于黄经235°54′处。我已经表明，均匀行度与视行度之差＝∠DXE［＝∠DCE＋∠CEN＝6°42′＋1°52′，见前图］＝8°34′。因此，平均行度＝244
°［≈235°54′＋8°34′＝244°28′］。但∠DXE＝圆心角∠SET＝8°34′，因此弧RS＝弧RT-弧ST＝180°-8°34′＝171°26′，即为行星的平均视差行度。不仅如此，我还用地球运动的假设证明了，在安敦尼2年埃及历11月12日午后10均匀小时，火星沿黄经的平均行度为244
°，视差近点角为171°26′。
我把托勒密对火星的三次观测与我比较仔细地做的另外三次观测再次进行了对比。第一次发生在公元1512年6月5日午夜1小时，当时火星位于235°33′，它与同恒星天球的起点即白羊宫第一星相距55°33′的太阳正好相冲。第二次发生在公元1518年12月12日午后8小时，当时火星位于63°2′。第三次发生在公元1523年2月22日午前7小时，当时火星位于133°20′。因此，从第一次观测到第二次观测历时6埃及年191日45日分，从第二次观测到第三次观测历时4年72日23日分。在第一时段中，视行度为187°29′［＝63°2′＋360°-235°33′］，均匀行度为168°7′；而在第二时段中，视行度为70°18′［＝133°20′-63°2′］，均匀行度为83°。
现在重作火星的偏心圆，只是弧AB＝168°7′，弧BC＝83°。凭借我在土星和木星的情形中所使用的方法（在此略过那些浩繁、复杂、枯燥的计算），我最终发现火星的远地点位于弧BC上。它显然不可能在弧AB上，因为在那里视行度比平均行度大19°22′［＝187°29′-168°7′］。远地点也不可能在弧CA上，因为尽管在该处视行度102°13′［＝360°-（187°29′＋70°18′）］比平均行度108°53′［＝360°-（168°7′＋83°＝251°7′）］小一些，但在CA之前的弧BC上，平均行度＝83°超过视行度［＝70°18′］的量［12°42′］要比在弧CA上［此处平均行度108°53′-视行度102°13′＝6°40′］大一些。但前已说明［Ⅴ，4］，在偏心圆上，较小和缩减的［视］行度发生在远地点附近。因此，远地点将被正确地视为位于弧BC上。
设远地点为点F，FDG为圆的直径。地球轨道的中心E以及偏心圆的中心D都位于这条直径上。由此我求得弧FCA＝125°59′，弧BF＝66°25′，弧FC＝16°36′，如果取半径＝10000 p ，则两中心之间的距离DE＝1460 p ，用同样单位表示，小本轮半径＝500 p 。这些数值表明，视行度与均匀行度相互一致，并与观测结果完全符合。
根据以上所述作出图形。在三角形ADE中，AD和DE两边已知［10000 p ，1460 p ］，从火星的第一冲点到近地点的∠ADE＝54°31′［＝弧AG＝180°-（FCA＝125°59′）］。因此，∠DAE＝7°24′，其余的角∠AED＝118°5′［＝180°-（∠ADE＋∠DAE＝54°31′＋7°24′）］，第三边AE＝9229 p 。但根据假设，∠DAL＝∠FDA。因此，整个∠EAL［＝∠DAE＋∠DAL＝7°24′＋125°59′］＝132°53′。于是在三角形EAL中，EA与AL两边［9229 p ，500 p ］以及它们所夹的∠A［＝132°53′］也已知，因此其余的∠AEL＝2°12′，剩余∠LED＝115°53′［＝∠AED-∠AEL＝118°5′-2°12′］。
类似地，对于第二次冲，由于三角形BDE的两边DB和DE已知［10000 p ，1460 p ］，它们的夹角∠BDE［＝弧BG＝180°-（弧BF＝66°25′）］＝113°35′，所以根据平面三角定理可得，∠DBE＝7°11′，其余的∠DEB＝59°14′［＝180°-（113°35′＋7°11′）］，如果取DB＝10000 p ，BM＝500 p ，则底边BE＝10668 p ，整个∠EBM［＝∠DBE＋（∠DBM＝弧BF）＝7°11′＋66°25′］＝73°36′。
在三角形EBM中也是如此，它的已知角［∠EBM＝73°36′］的两夹边已知［BE＝10668，BM＝500］，可以得到∠BEM＝2°36′。相减可得，∠DEM＝∠DEB［＝59°14′］-∠BEM＝56°38′。于是，从近地点到第二冲点的外角∠MEG＝180°-∠DEM［＝56°38′］＝123°22′。但我们已经求得∠LED＝115°53′，其补角∠LEG＝64°7′。如果取四直角＝360°，则∠LEG＋∠GEM［＝123°22′］＝187°29′。这与从第一冲点到第二冲点的视距离［＝187°29′］相符。
第三次冲的情况也可用同样方法作类似分析。我们已经求得∠DCE＝2°6′，如果取CD＝10000 p ，则边EC＝11407 p 。因此，整个∠ECN［＝∠DCE＋（∠DCN＝∠FDC）＝2°6′＋16°36′］＝18°42′。在三角形ECN中，CE、CN两边已知［11407 p ，500 p ］，所以∠CEN＝50′，∠CEN＋∠DCE＝2°56′，即为视行度角DEN小于均匀行度角FDC［＝弧FC＝16°36′］的量。因此，∠DEN＝13°40′。这些值［∠DEN＋∠DEM＝13°40′＋56°38′＝70°18′］再次与观测到的第二次冲与第三次冲之间的视行度［＝70°18′］精确相符。
正如我所说［近Ⅴ，16开头处］，在第三次冲时火星出现在距白羊座头部133°20′处，并已经求得∠FEN≈13°40′，因此往后计算可得，最后一次观测时偏心圆远地点的位置显然在恒星天球上119°40′［＝133°20′-13°40′］处。在安敦尼时代，托勒密发现远地点位于108°50′处［《天文学大成》，Ⅹ，7：巨蟹宫25°30′＝115°30′-6°40′］。因此，从那时起到现在，它已经向东移动了10°50′［＝119°40′-108°50′］。此外，如果取偏心圆半径为10000 p ，我还求得两圆心间的距离小了40 p ［1460 p 与1500 p 相比］。这并不是因为托勒密或我出了差错，而是正如已经清楚证明的，地球轨道圆的中心接近了火星轨道的中心，而太阳此时却静止不动。这些结论彼此高度一致，下面将会看得更清楚［Ⅴ，19］。
现在，围绕中心点E作地球的周年轨道［RST］，由于运转相等，所以其直径SER平行于CD。设点R为相对于行星的均匀远地点，点S为近地点。地球位于点T。延长行星的视线ET，与CD交于点X。我已经说过［近Ⅴ，16开头处］，在最后一个位置，行星看起来在ETX上，其经度为133°20′。此外，我们已经求得，均匀行度角∠XDF超过视行度角∠XED的差值角∠DXE［＝上图中∠CEN＋∠DCE］＝2°56′，但∠SET＝内错角∠DXE＝视差行差，∠STR［＝180°］-2°56′＝177°4′，即为从均匀运动的远地点R算起的均匀视差近点角。于是我们在这里再次确定，在公元1523年2月22日午前7均匀小时，火星的黄经平均行度为136°16′［＝2°56′＋（133°20′＝视位置）］，其均匀视差近点角为177°4′［＝180°-2°56′］，偏心圆的高拱点位于119°40′。证毕。
前已说明［Ⅴ，15］，在托勒密三次观测中的最后一次，火星的［黄经］平均行度为244
°，视差近点角为171°26′。因此，在［托勒密的最后一次观测与哥白尼的最后一次观测之间的］这段时间中，火星的行度除整圈运转外还有5°38′［＋171°26′＝177°4′］。从安敦尼2年埃及历11月12日午后9小时（相对于克拉科夫经度为午夜前3均匀小时）到公元1523年2月22日午前7小时，共历时1384埃及年251日19日分。根据上面的计算，在这段时间中，视差近点角除648整圈外还有5°38′。预期的太阳均匀行度为257
°，从257
°减去视差行度5°38′，得到的251°52′即为火星的黄经平均行度。所有这些结果都与刚才的结果相符得较好。
从基督纪元开始到安敦尼2年埃及历11月12日午夜前3小时，共历时138埃及年180日52日分，在此期间，视差行度为293°4′。把293°4′从托勒密的最后一次观测［Ⅴ，15结尾］的171°26′（另加一整圈）［171°26′＋360°＝531°26′］中减去，则对公元元年元旦午夜求得余量238°22′［＝531°26′-293°4′］。从第一个奥林匹克运动会期到这一时刻共历时775埃及年12
日。在此期间，视差行度为254°1′。同样，把254°1′从238°22′（另加一整圈）［238°22′＋360°＝598°22′］中减去，则对第一个奥林匹克运动会期求得余量344°21′。类似地，对其他纪元分离出行度，我们可以求得亚历山大纪元的起点为120°39′，恺撒纪元的起点为211°25′。
此外，我还观测到火星掩了被称为“氏宿一”的天秤座中第一颗亮星，我是在公元1512年元旦作这次观测的。那天早晨，在中午之前6个均匀小时，我看到火星距该恒星
°，但是在冬至日出的方向［即东北方］，这表明就经度而言火星在该恒星以东
°，就纬度而言在该恒星以北
°。已知该恒星的位置为距白羊宫第一星191°20′，纬度为北纬40′，所以火星显然位于191°28′［≈191°20′＋
°］，北纬51′［≈40′＋
°］。由计算可得，当时的视差近点角为98°28′，太阳的平位置为262°，火星的平位置为163°32′，偏心圆近点角为43°52′。
由此，作偏心圆ABC，其中心为点D，直径为ADC，点A为远地点，点C为近地点，如果取AD＝10000 p ，则偏心率DE＝1460 p 。已知弧AB＝43°52′，以点B为中心，取AD为10000 p 时半径BF为500 p 作小本轮，使∠DBF＝∠ADB。连接BD、BE和FE。此外，绕中心E作地球的大圆RST。在与BD平行的直径RET上，取点R为行星视差的［均匀］远地点，点T为行星均匀行度的近地点。设地球位于点S，弧RS为均匀视差近点角，其计算值为98°28′。把直线FE延长为FEV，交BD于点X，交地球轨道的凸圆周于视差的真远地点V。
三角形BDE的两边已知：如果取BD＝10000 p ，则DE＝1460 p ，它们的夹角为∠BDE。而∠ADB＝43°52′，所以∠BDE＝180°-43°52′＝136°8′。由此可以求得，底边BE＝11097 p ，∠DBE＝5°13′。但根据假设，∠DBF＝∠ADB，相加可得，两已知边EB和BF［11097 p ，500 p ］的整个夹角∠EBF＝49°5′［＝∠DBE＋∠DBF＝5°13′＋43°52′］。因此，在三角形BEF中，我们有∠BEF＝2°，如果取DB＝10000 p ，则其余的边FE＝10776 p 。于是，∠DXE＝7°13′＝∠XBE＋∠XEB＝两相对内角之和［＝5°13′＋2°］。∠DXE为负行差，即∠ADB超过XED的量［＝36°39′＝43°52′-7°13′］，或者火星平位置超过其真位置的量。现在我们已经计算出火星的平位置为163°32′，因此真位置位于偏西156°19′［＋7°13′＝163°32′］处。但在那些在点S附近进行观测的观测者看来，火星出现在191°28′处。因此它的视差或位移为偏东35°9′［＝191°28′-156°19′］。于是显然，∠EFS＝35°9′。因RT平行于BD，所以∠DXE＝∠REV，类似地，弧RV＝7°13′。于是整个弧VRS［＝RV＋RS＝7°13′＋98°28′］＝105°41′，即为归一化的视差近点角。由此可得三角形FES的外角∠VES［＝105°41′］。于是，如果取两直角＝180°，则可求得相对内角∠FSE＝70°32′［＝∠VES-∠EFS＝105°41′-35°9′］。
但三角形的各角已知，其各边比值也可求得。因此，如果取三角形外接圆的直径＝10000
p
，则FE＝9428
p
，ES＝5757
p
。于是，如果取BD＝10000
p
，已知EF＝10776
p
，则ES≈6580
p
，这与托勒密得到的结果［《天文学大成》，Ⅹ，8；39
°:60］同样相差甚微，与之几乎相等［39
°:60＝6583
°:10000
p
］。以同样单位来表示，ADE＝11460
p
［＝AD＋DE＝10000＋1460］，余量EC＝8540
p
［ADEC＝20000
p
］。在偏心圆的低拱点，小本轮要加上500
p
，而在高拱点A则要减去500
p
，于是在高拱点的余数为10960
p
［＝11460-500］，在低拱点的和为9040
p
［＝8540＋500］。因此，如果取地球轨道半径为1
p
，则火星在远地点的最大距离为1
p
39′57″，最小距离为1
p
22′26″，平均距离为1
p
31′11″［1
p
39′57″-1
p
22′26″＝17′31″；17′31″÷2≈8′45″；8′45″＋1
p
22′26″≈1
p
39′57″-8′45″］。于是对于火星，其行度的大小和距离也已经通过地球的运动并通过可靠的计算加以解释了。
在解释了环绕地球的三颗外行星——土星、木星与火星——的运动之后，现在要讨论被地球所环绕的那些行星。首先是金星，只要不缺乏在某些位置的必要观测结果，金星的运动就比水星更容易和更清楚地说明。因为如果求得它在晨昏时与太阳平位置的最大距角相等，我们就可以肯定，金星偏心圆的高、低拱点正好在太阳这两个位置之间。这些拱点可以通过以下事实区分开，即当成对出现的［最大］距角较小时，它们在远地点附近发生；而在相对的拱点附近，成对的距角较大。最后，在［拱点之间的］所有其他位置，我们由距角的相对大小可以完全确定地求出金星球体与高低拱点的距离以及金星的偏心率。这些主题托勒密都已经非常清楚地研究了［《天文学大成》，Ⅹ，1-4］，因此不必再对它们逐一进行重复，除非可以用我关于地球运动的假说并由托勒密的观测对其进行解释。
他所采用的第一项观测是由亚历山大城的天文学家［士麦那（Smyrna）的？］西翁（Theon）于哈德良16年埃及历8月21日之后的夜间第一小时，即公元132年3月8日黄昏做出的。托勒密说［《天文学大成》，Ⅹ，1］，当时金星呈现出的最大黄昏距角与太阳的平位置相距47
°，而可以算出太阳的平位置在恒星天球上337°41′处。托勒密把这次观测与他在安敦尼4年1月12日破晓即公元140年7月30日的黎明所作的另一次观测相比较，指出当时金星的最大清晨距角＝47°15′＝以前与太阳平位置的距离，该平位置在恒星天球上119°处，而以前为337°41′。于是显然，这两个平位置之间的中点为彼此相对的两个拱点，其位置分别为48
°和228
°［337°41′-119°＝218°41′；218°41′÷2≈109°20′；109°20′＋119°＝228°20′；228°20′-180°＝48°20′］。当把二分点岁差6
°加到这两个值上之后，根据托勒密的说法［《天文学大成》，Ⅹ，1］，两个拱点分别位于金牛宫内25°［＝55°＝48
°＋6
°］以及天蝎宫内25°［＝235°＝228
°＋6
°］处。金星的高、低拱点在这两个位置上必然完全相对。
不仅如此，为了更有力地证实这一结果，他采用了西翁于哈德良12年3月20日破晓，即公元127年10月12日清晨所作的另一次观测结果。当时金星呈现出的最大距角与太阳的平位置191°13′相距47°32′。除此之外，托勒密还补充了他本人于哈德良21年即公元136年埃及历6月9日或罗马历12月25日下一夜的第一小时所作的一次观测，当时金星呈现出的黄昏距角与太阳的平位置265°再次相距47°32′。但在上一次西翁所作的观测中，太阳的平位置为191°13′。这些位置的中点［265°-191°13′＝73°47′；73°47′÷2≈36°53′；36°53′＋191°13′＝228°6′；228°6′-180°＝48°6′］又一次≈48°20′，228°20′，远地点和近地点必定位于这里。从二分点量起，这些点分别位于金牛宫内25°和天蝎宫内25°处。托勒密通过另外两次观测来区分它们，如下所述［《天文学大成》，Ⅹ，2］。
第一次是西翁于哈德良13年11月3日，即公元129年5月21日破晓时的观测。当时他测得金星的最大清晨距角为44°48′，而太阳的平均行度为48
°，金星出现在恒星天球上4°［≈48°50′-44°48′］处。托勒密本人于哈德良21年埃及历5月2日或罗马历公元136年11月18日之后夜晚第一小时作了另一次观测，次日夜晚1小时，太阳的平均行度为228°54′，金星距离它的黄昏最大距角为47°16′，行星本身出现在276
°［＝228°54′＋47°16′］处。通过这些观测，两个拱点就彼此区分开了，即高拱点位于48
°，金星在这里的最大距角较小；低拱点位于228
°，金星在这里的最大距角较大。证毕。
由此也能求得地球与金星的轨道直径之比。以点C为中心作地球轨道AB。过两个拱点作直径ACB，在ACB上取点D为相对圆AB为偏心的金星轨道的中心。设点A为远日点的位置。当地球位于远日点时，金星轨道的中心距离地球最远。AB为太阳的平均行度线——点A为48
°，点B为金星的近日点，在228
°。作直线AE和BF与金星轨道切于点E和点F。连接DE和DF。
由于圆心角DAE所对的弧＝44
°［＝西翁第三次观测中的最大距角，见Ⅴ，20］，∠AED＝90°，所以三角形DAE的各角已知，于是它的各边也可求得：如果取AD＝10000
p
，则DE＝
弦2DAE＝7046
p
。同样，在直角三角形BDF中，∠DBF＝47°16′，如果取BD＝10000
p
，则弦DF＝7346
p
。因此，如果取DF＝DE＝7046
p
，则BD＝9582
p
。于是整个ACB＝19582
p
［＝BD＋AD＝9582
p
＋10000
p
］，AC＝
ACB＝9791
p
，相减可得，CD［＝BC（＝AC）-BD］＝209
p
。因此，如果取AC＝1
p
，则DE＝43
′，CD≈1
′。如果取AC＝10000
p
，则DE＝DF＝7193
p
，CD≈208
p
。证毕。
然而正如托勒密的两次观测所特别证明的［《天文学大成》，Ⅹ，3］，金星围绕点D并非作简单的均匀运动。他所作的第一次观测是在哈德良18年埃及历8月2日，即罗马历公元134年2月18日。当时太阳的平均行度为318
°，清晨出现在黄道275
°处的金星已经达到了距角的最外极限＝43°35′［＋275°15′＝318°50′］。托勒密的第二次观测是在安敦尼3年埃及历8月4日，即罗马历公元140年2月19日清晨。当时太阳的平位置也是318
°，金星在其黄昏的最大距角与之相距48
°，出现在黄经7
°［＝48°20′＋318°50′-360°］。
知道了这些之后，在同一地球轨道上取地球所在位置点G，使弧AG为圆的一个象限。太阳因其平均运动而在两次观测时看来各在直径两端，太阳位于金星偏心圆远地点以西的距离即为AG［48
°＋360°-90°＝318°20′≈318
°］。连接GC，作DK平行于GC。作GE和GF与金星轨道相切。连接DE、DF和DG。
第一次观测时的清晨距角∠EGC＝43°35′，第二次观测时的黄昏距角∠CGF＝48
°，整个∠EGF＝∠EGC＋∠CGF＝911
°。因此，∠DGF＝
∠EGF＝45°57
′。相减可得，∠CGD［＝∠CGF-∠DGF＝48
°-45°57
′＝2°22
′］≈2°23′。但∠DCG＝90°，因此直角三角形CGD中的各角已知，各边之比也可知，所以如果取CG＝10000
p
，则CD＝416
p
。我们已经求得，两圆心距离为208
p
［Ⅴ，21］。现在它正好增大了一倍。于是，如果CD被点M等分，类似地，整个这一进退变化为DM＝208
p
。如果DM又被点N等分，则该点为此行度的中点和归一化点。于是，和三颗外行星的情况一样，金星的运动也是由两种均匀运动组合而成的，无论是通过那些情况下的偏心本轮［Ⅴ，4］，还是如前所述的任何其他方式。
然而，这颗行星在其运动的样式和度量上与其他行星有所不同。依我之见，通过一个偏心圆可以更容易和方便地说明这一点。以点N为中心，DN为半径作一个小圆，金星的圆心在其上按照下面规则运转和移动。每当地球落在偏心圆高、低拱点所在的直径ACB上时，行星轨道圆的中心将总是距离地球轨道中心C最近，即位于点M；而当地球落在中拱点比如点G时，行星轨道圆的中心将到达点D，与地球轨道中心C的距离达到最大。由此可以推出，当地球沿其轨道运行一周时，行星轨道圆的中心已经绕中心点N沿着与地球运动相同的方向即往东旋转了两周。根据金星的这一假设，其均匀行度和视行度与所有情况下的观测结果都符合，这一点很快就会予以说明。到此为止，我们已经证明的有关金星的所有结果都与现代数值符合，只是偏心率减小了大约
，以前它是416
p
［《天文学大成》，Ⅹ，3；2
p
:60
p
＝416
］，但多次观测表明它现在是350［
p
416×
＝347］。
从这些观测中，我采用了两个以最高精度观测的位置［《天文学大成》，Ⅹ，4］。 [3]
一次观测是提摩恰里斯于托勒密·费拉德尔弗斯（Ptolemy Philadelphus）13年，即亚历山大去世后52年埃及历12月18日清晨进行的。在这次观测中，据说金星当时被看到掩食了室女左翼四颗恒星中最偏西的一颗。在对此星座的描述中，该星为第六颗星，其经度为151
°，纬度为北纬1
°，星等为3。这样金星的位置就显然可得了［＝151
°］，太阳的平位置也可算出是194°23′。
当时的情况如图所示，点A位于48°20′处，弧AE＝146°3′［＝194°23′-48°20′］，弧BE＝［从半圆中减去AE＝180°-146°3′的］余量＝33°57′，∠CEG＝42°53′［＝194°23′-151
°］，即为行星与太阳平位置之间的角距离。如果取CE＝10000
p
，则线段CD＝312
p
［＝208
p
＋104
p
］，∠BCE［＝弧BE］＝33°57′。因此在三角形CDE中，其余的∠CED＝1°1′［和∠CDE＝145°2′］，第三边DE＝9743
p
。但∠CDF＝2×∠BCE［＝33°57′］＝67°54′，∠BDF＝180°-∠CDF［＝67°54′］＝112°6′。三角形CDE的一个外角∠BDE［＝∠CED＋（∠DCE＝∠BCE）］＝34°58′。因此，整个角∠EDF［＝∠BDE＋∠BDF＝34°58′＋112°6′］＝147°4′。如果取DE＝9743
p
，则已知DF＝104
p
。此外在三角形DEF中，∠DEF＝20′，整个∠CEF［=∠CED＋∠DEF=1°1′＋20′］＝1°21′，边EF＝9831
p
。但我们已经表明，整个∠CEG＝42°53′，因此，∠FEG［＝∠CEG（＝42°53′）-∠CEF（＝1°21′）］＝41°32′。如果取EF＝9831
p
，则金星轨道的半径FG＝7193
p
。因此在三角形EFG中，∠FEG和各边之比均已知，所以其余两角也可求得，∠EFG＝72°5′，弧KLG＝180°＋∠EFG＝252°5′，即为从金星轨道高拱点量起的弧。这样我们又一次定出，在托勒密·费拉德尔弗斯13年12月18日清晨，金星的视差近点角为252°5′。
我自己在公元1529年3月12日午后第8小时之初日没后1小时对金星的第二个位置进行了观测。我看见金星开始被月亮两角之间的阴暗部分所掩食，这次掩星延续到该小时之末或稍迟一些，直到行星被观察到从月球的另一面在两角之间弯曲部分的中点向西闪现出来为止。因此在该小时的一半处左右，显然有一个月亮与金星的中心会合，我在弗龙堡曾目睹过这一景象。金星的黄昏距角仍在继续增大，尚未达到与其轨道相切的程度。从基督纪元开始算起，共历时1529埃及年87日再加视时间7
小时或均匀时间7小时34分。太阳以其简单行度的平位置为332°11′，二分点岁差为27°24′，月亮离开太阳的均匀行度为33°57′，均匀近点角为205°1′，黄纬行度为71°59′。由此算得月亮的真位置为10°，但相对于分点为金牛宫内7°24′，北纬1°13′。由于天秤宫内15°正在升起，月亮的黄经视差为48′，黄纬视差为32′，所以月亮的视位置位于金牛宫内6°36′［=7°24′-48′］。但它在恒星天球上的经度为9°12′［＝10°-48′］，纬度为北41′［=1°13′-32′］。金星在黄昏时的视位置与太阳的平位置相距37°1′［332°11′＋37°1′＝369°12′＝9°12′］，地球与金星高拱点的距离为偏西76°9［＋332°11′＝408°20′-360°＝48°20′］。
现在根据前面结构的模型重新绘图，只不过弧EA或∠ECA＝76°9′，∠CDF＝2×∠ECA＝152°18′。如果取CE＝10000
p
，则如今的偏心率CD＝246
p
，DF＝104
p
。因此在三角形CDE中，两已知边［CD＝246
p
，CE＝10000
p
］所夹的角DCE［＝180°-∠ECA＝76°9′］＝103°51′。由此可得，∠CED＝1°15′，第三边DE＝10056
p
，其余的∠CDE＝74°54′［＝180°-（∠DCE＋∠CED=103°51′+1°15′）］。但是∠CDF＝2×∠ACE［＝76°9′］＝152°18′，∠EDF＝∠CDF［＝152°18′］-∠CDE［＝74°54′］＝77°24′。所以在三角形DEF中，两边已知，如果取DE＝10056
p
，则DF＝104
p
，它们的夹角为已知∠EDF［＝77°24′］。∠DEF也已知＝35′，其余的边EF＝10034
p
，所以整个∠CEF［＝∠CED＋∠DEF＝1°15′＋35′］＝1°50′。进而，整个∠CEG＝37°1′，即为行星与太阳平位置之间的视距离。∠FEG＝∠CEG-∠CEF［＝37°1′-1°50′］＝35°11′。同样，在三角形EFG中，∠E也已知［＝35°11′］，两边已知：如果取FG＝7193
p
，则EF＝10034
p
。所以其他两角也可确定：∠EGF＝53
°，∠EFG＝91°19′，即为行星与其轨道的真近地点之间的距离。
但由于直径KFL平行于CE，点K为［行星］均匀运动的远地点，点L为近地点。且∠EFL＝∠CEF［＝1°50′］，所以∠LFG＝弧LG＝∠EFG-∠EFL＝89°29′，弧KG＝180°-弧LG［＝89°29′］＝90°31′，即为从轨道均匀运动的高拱点量起的行星视差近点角。这就是对于我这次观测的时刻所求的量。
然而在提摩恰里斯的观测中，相应的值为252°5′，因而在此期间，行度除1115整圈外还有198°26′26′［＝（90°31′＋360°＝450°31′）-252°5′］。从托勒密·费拉德尔弗斯13年12月18日破晓到公元1529年3月12日午后7
小时，共历时1800埃及年236日加上大约40日分。因此，如果把1115圈加上198°26′的行度乘以365日，并把乘积除以1800年236日40日分，我们将得到3×60°加上45°1′45″3‴40″″的年行度。再把这个年行度平均分配给365日，就得到36′59″28‴的日行度。前面的表［Ⅴ，1结尾］正是以此为根据编制的。
[4]
从第一个奥林匹克运动会期到托勒密·费拉德尔弗斯13年12月18日破晓，共历时503埃及年228日40日分。可以算出在此期间的行度为290°39′。把这一数值从252°5′中减去，再加上360°［612°5′-290°39′］，得到的余量321°26′即为第一个奥林匹克运动会期开始时的运动位置。从这一位置，其余的位置可以通过计算经常提到的行度和时间而得到：亚历山大纪元为81°52′，恺撒纪元为70°26′，基督纪元为126°45′。
我已经说明了金星是如何与地球的运动相关联的，以及各个圆之比低于什么值时它的均匀运动被掩藏起来。现在还剩下水星，尽管它的运行比金星或前面讨论的任何其他行星都更复杂，但它无疑也将服从同样的基本假设。古代观测者的经验已经表明，水星与太阳的最大距角在天秤宫最小，而在对面的白羊宫最大距角较大（这是应当的）。但水星最大距角的最大值并不出现在这个位置，而是出现在白羊宫某一侧的某些其他位置，即双子宫和宝瓶宫中，根据托勒密的结论［《天文学大成》，Ⅸ，8］，在安敦尼时代情况尤其如此。其他行星都没有这种移动。
古代天文学家认为产生这个现象的原因是地球不动，而水星沿着由一个偏心圆所载的大本轮运动。他们意识到，单纯一个简单的偏心圆不可能解释这些现象（即使他们让偏心圆不是围绕它自己的中心，而是围绕另一个中心旋转）。他们还不得不承认，携带本轮的同一偏心圆还沿着另一个小圆运动，就像他们对月亮的偏心圆所承认的情况一样［Ⅳ，1］。这样便有了三个中心：第一个属于携带本轮的偏心圆，第二个属于小圆，第三个属于晚近的天文学家所说的“偏心均速圆”（equant）。古人忽略了前两个中心，而只让本轮围绕偏心均速圆的中心均匀运转。这种做法与本轮运动的真正中心、它的相对距离以及之前另外两个圆的中心有严重冲突。古人确信，这颗行星的现象只能用托勒密在《天文学大成》［Ⅳ，6］中详细阐述的模式来解释。
但为了使这最后一颗行星也能不再受到其贬低者的冒犯和伪装，并使其均匀运动与地球运动的关系能够和前述其他行星一样得到揭示，我将在它的偏心圆上也指定一个偏心圆，而不是古代所承认的本轮。但与金星的模式［Ⅴ，22］不同，尽管确有一个小本轮在外偏心圆上运动，但行星并非沿着小本轮的圆周运转，而是沿着它的直径作起伏运动：我们在前面讨论二分点岁差时［Ⅲ，4］已经阐明，这种沿一条直线的运动可由均匀的圆周运动复合而成。这并不足为奇，因为普罗克洛斯在其关于《欧几里得〈几何原本〉评注》中也曾宣称，一条直线也可由多重运动复合而成。水星的现象可根据所有这些手段加以论证。但为了把这些假设说得更清楚，设AB为中心在点C、直径为ACB的地球的大圆。在ACB上，以B、C两点之间的点D为圆心，以
CD为半径作小圆EF，使点F距点C最远，点E距点C最近。绕中心点F作水星的外偏心圆HI。然后以高拱点I为圆心，增作行星所在的小本轮KL。设偏心圆HI起着偏心圆上本轮的作用。
这样作图之后，所有点将依次落在直线AHCEDFKILB上。与此同时，设行星位于点K，它与点F的距离为最短，点F为携带小本轮的圆的圆心。取点K为水星运转的起点。设地球每运转一周，圆心F就沿同一方向即向东运转两周，行星在KL上也以同样的速度运行，但沿直径相对于圆HI的中心作起伏运动。
由此可知，每当地球位于点A或点B时，水星外偏心圆的中心就在与点C相距最远的点F；而当地球位于A与B的中点并与它们相距一个象限时，水星外偏心圆的中心就位于与点C相距最近的点E。根据这个次序所得出的图像与金星相反［Ⅴ，22］。此外，由于这个规则，当地球跨过直径AB时，穿过小本轮直径KL的水星距离携带小本轮的轨道圆的中心最近，即水星位于K；而当地球位于AB的中点时，行星将到达携带小本轮的轨道圆的中心最远的位置L。这样一来就出现了双重运转，一个是外偏心圆的中心在小圆EF圆周上的运动，另一个是行星沿直径LK的运转，它们彼此相等，并与地球的周年运动周期成比例。
而与此同时，设小本轮或直线FI围绕圆HI自行，其中心作均匀运动，相对恒星天球大约88天独立运转一周。但这种超过了地球运动的所谓“视差运动”使小本轮在116日内赶上地球，这可以由平均行度表［Ⅴ，1结尾］更精确地得出。因此，水星的自行并不总是描出同一圆周，而是根据与其均轮中心距离的不同，描出尺寸相差极大的圆周：在点K最小，在点L最大，在点I附近则居中，这种变化与月亮的小本轮的情况［Ⅳ，3］几乎相同。但月亮是在圆周上运行，而水星则是在直径上作由均匀运动叠加而成的往返运动。我已经在前面讨论二分点岁差时解释了这是怎么发生的［Ⅲ，4］。不过后面讨论黄纬时［Ⅵ，2］，我还要就这一主题补充一些内容。上述假设足以说明水星的一切现象，回顾托勒密等人的观测就可以清楚地看出这一点。
托勒密对水星的第一次观测是在安敦尼元年11月20日日没之后，当时水星位于与太阳平位置的黄昏距角为最大处［《天文学大成》，Ⅸ，7］。这是在克拉科夫时间公元138年188日42
日分，因此根据我的计算，太阳的平位置为63°50′，而托勒密说用仪器观察该行星是在巨蟹宫内7°［＝97°］处。但在减去了春分点岁差（当时为6°40′）之后，水星的位置显然位于恒星天球上从白羊宫起点量起的90°20′［＝97°-6°40′］，它与平太阳的最大距角为26
°［＝90°20′-63°50′］。
第二次观测是在安敦尼4年7月19日黎明，即基督纪元开始后的140年67日加上约12日分，此时平太阳在303°19′处。通过仪器看到水星在摩羯宫内13
°［＝283
°］处，但在恒星天球上从白羊宫量起约为276°49′［≈283
°-6°40′。］因此，它的最大清晨距角为26
°［＝303°19′-276°49′］。由于它在太阳平位置的距角边界的两边是相等的，所以水星的两个拱点必然位于这两个位置即276°49′与90°20′的中间，亦即为3°34′和与之沿直径相对的183°34′［276°49′-90°20′＝186°29′；186°29′÷2≈93°15′；276°49′-93°15′＝183°34′；183°34′-180°＝3°34′］，水星高、低拱点必然位于这里。
和金星一样［Ⅴ，20］，这些拱点可由两次观测区分开来。托勒密的第一次观测是在哈德良19年3月15日破晓时进行的［《天文学大成》，Ⅸ，8］，当时太阳的平位置为182°38′。水星距离太阳的最大清晨距角为19°3′，这是因为水星的视位置为163°35′［＋19°3′＝182°38′］。第二次观测同样是在哈德良19年即公元135年的埃及历9月19日黄昏时，他通过仪器发现水星位于恒星天球上27°43′处，而按照平均行度，太阳位于4°28′。于是又一次［和金星一样，Ⅴ，20］，行星的最大黄昏距角为23°15′（大于此前的［清晨距角＝19°3′］）。于是情况已经很清楚，当时水星的远地点只可能位于183
°［≈183°34′］附近，而不在别处。证毕。
利用这些观测结果，我们可以同时证明圆心之间的距离以及各轨道圆的大小。设AB为通过水星的高拱点A和低拱点B的直线，同时也是中心为点C的［地球］大圆的直径。以点D为中心作行星的轨道。然后作直线AE和BF与轨道相切。连接DE和DF。
由于在两次观测中的第一次看到最大清晨距角为19°3′，所以∠CAE＝19°3′。但在第二次观测中，最大黄昏距角为23
°。所以在两个直角三角形AED与BFD中，各角已知，各边之比也可求得。如果取AD＝100000
p
，则轨道半径ED＝32639
p
。而如果取BD＝100000
p
，则FD＝39474
p
。但由于FD＝ED，如果取AD＝100000
p
，则轨道半径FD＝32639
p
。相减可得，DB＝AB-AD＝82685
p
。因此，AC＝
［AD＋DB＝100000
p
＋82685
p
＝182685
p
］＝91342
p
，CD＝AD-AC＝100000
p
-91342
p
＝8658
p
，即为地球轨道与水星轨道两圆心之间的距离。如果取AC＝1
p
或60′，则水星的轨道半径为21′26″，CD＝5′41″，如果取AC＝100000
p
，则DF＝35733
p
，CD＝9479
p
。证毕。
但这些长度并非到处都相同，而与平均拱点附近的值非常不同。西翁和托勒密［《天文学大成》，Ⅸ，9］在这些位置观测并记录下来的晨昏距角就说明了这一点。西翁于哈德良14年12月18日日没后，即基督诞生后129年216日45日分观测到了水星的最大黄昏距角，当时太阳的平位置为93
°，即在水星平拱点［≈
（183°34′-3°34′）＝90°＋3°34′］附近。而通过仪器看到的水星是在狮子宫第一星以东3
°处。因此它的位置为119
°［≈3°50′＋115°50′］，而最大黄昏距角则是26
°［＝119
°-93
°］。据托勒密所说，他于安敦尼2年12月21日破晓，即公元138年219日12日分观测到了另一个最大距角，太阳的平位置为93°39′。他求得水星的最大清晨距角为20
°，因为他看见水星位于恒星天球上73
°［73°24′＋20°15′＝93°39′］处。
重作ACDB为通过水星两拱点的［地球］大圆直径。过点C作太阳的平均行度线CE垂直［于直径］。在C、D两点之间取点F。绕点F作水星轨道，直线EH和EG与之相切。连接FG、FH和EF。
我们需要再次找到点F以及半径FG与AC之比。已知∠CEG＝26
°，∠CEH＝20
°，所以整个∠HEG［＝∠CEH＋∠CEG＝20°15′＋26°15′］＝46
°。∠HEF＝
［∠HEG＝46
°］＝23
°。∠CEF［＝∠HEF-∠CEH＝23
°-20
°］＝3°。因此在直角三角形CEF中，如果取CE＝AC＝10000
p
，已知CF＝524
p
，则FE＝10014
p
。当地球位于该行星的高低拱点时，我们已经求得［Ⅴ，27前面部分］CD＝948
p
。因此，DF＝水星轨道的中心所描出的小圆直径＝［CD＝948
p
超过CF＝524
p
的量］＝424
p
，半径IF＝212
p
［＝直径DF的
］。因此，整个CFI＝［CF＋FI＝524
p
＋212
p
］≈736
p
。
类似地，由于在三角形HEF中，∠H＝90°，∠HEF＝23
°，因此，如果取EF＝10000
p
，则FH＝3947
p
。但如果取CE＝10000
p
，EF＝10014
p
，则FH＝3953
p
。而我们前面已经求得FH［Ⅴ，27开始，那里使用的字母为DF］＝3573
p
。设FK＝3573
p
，于是相减可得，HK［＝这个FH-FK＝3953
p
-3573
p
］＝380
p
，即为行星与行星轨道中心F之间距离的最大变化，当行星运行到高低拱点之间的平拱点时达到这个值。由于这个距离及其变化，行星围绕轨道中心F描出各不相等的圆，这些圆依赖于各不相同的距离：最小距离为3573
p
［＝FK］，最大距离为3953
p
［＝FH］，它们的平均值为3763
p
［380
p
÷2＝190
p
；190
p
＋3573
p
；3953
p
-190
p
］。证毕。
因此，水星在一个六边形的边与一个外接圆的交点附近的距角要大于在近地点的距角，就不足为奇了。这些在距离近地点60°的距角甚至超过了我［在Ⅴ，27结尾］已经求得的距角。因此古人认为，地球每运转一周，水星轨道要有两次最接近地球。
作∠BCE＝60°。由于假定地球E每运转一周，F就运转两周，所以∠BIF＝120°。连接EF和EI。如果取EC＝10000
p
，我们［在Ⅴ，27］已经求得CI＝736
p
，∠ECI＝60°。因此，在三角形ECI中，其余的边EI＝9655
p
，∠CEI≈3°47′。而∠CEI＝∠ACE-∠CIE，已知∠ACE＝120°［＝∠BEC（＝60°）的补角］，因此∠CIE＝116°13′［＝∠ACE-∠CIE＝120°-3°47′］。但∠FIB＝120°＝2×∠ECI［＝60°］［与∠FIB＝120°］合成一个半圆的∠CIF＝60°，∠EIF［＝∠CIE-∠CIF＝116°13′-60°］＝56°13′。但我们［在Ⅴ，27］已经求得，如果取EI＝9655
p
［Ⅴ，28前面］，则IF＝212
p
。这两边夹出已知∠EIF［＝56°13′］。由此可得，∠FEI＝1°4′，相减可得，∠CEF［＝∠CEI-∠FEI＝3°47′-1°4′＝2°43′，即为行星轨道的中心与太阳平位置的差。［三角形EFI中］其余的边EF＝9540
p
。
现在，绕中心F作水星轨道GH。从点E作EG和EH与轨道相切。连接FG和FH。我们必须首先确定这种情况下半径FG或FH的大小。方法如下：如果取AC＝10000
p
，作一个直径KL＝380
p
［＝最大变化；Ⅴ，27］的小圆。假定直线FG或FH上的行星沿直径或与之相当的直线靠近或远离圆心F，就像我们前面谈论的二分点岁差的情况［Ⅲ，4］一样。根据假设，∠BCE截出60°的弧段，设弧KM＝120°，作MN垂直于KL。由于MN＝
弦2ML＝
弦2KM，所以由欧几里得《几何原本》ⅩⅢ，12和Ⅴ，15可得，MN所截的LN＝直径的
＝95
p
［＝
×380
p
］。因此，KN＝直径的其余
＝285
p
。KN与行星的最小距离［＝3573
p
；Ⅴ，27］相加即为我们所要求的距离，即如果取AC＝10000
p
，已知EF＝9540
p
［Ⅴ，28前面］，则FG＝FH＝3858
p
［＝3573
p
＋285
p
］。于是在直角三角形FEG或FEH中，［EF与FG或FH］两边已知，所以∠FEG或∠FEH也可求得。如果取EF＝10000
p
，则FG或FH＝4044
p
，其所张的角＝23°52
′，所以整个∠GEH［＝∠FEG＋∠FEH＝2×23°52
′］＝47°45′。但在低拱点看到的只有46
°，而在平拱点也是同样的46
°［Ⅴ，27前面］。因此，此处的距角比这两种情况都大1°14′［≈47°45′-46°30′］。这并不是因为行星轨道比在近地点时更靠近地球，而是因为行星在这里描出了一个比在近地点更大的圆。所有这些结果都与过去和现在的观测相符，它们都由均匀运动所产生。
在更早的观测中［《天文学大成》，Ⅸ，10］有一次水星出现的记录，即托勒密·费拉德尔弗斯21年埃及历1月19日破晓时，水星出现在穿过天蝎前额第一和第二颗星的直线偏东两个月亮直径和第一星偏北一个月亮直径处。现在已知第一颗星位于黄经209°40′，北纬1
°，第二颗星位于黄经209°，南纬1
°
°＝1
°。由此可得，水星位于经度210°40′［＝209°40′＋（2×
°）］，北纬约为1
°［＝1
°＋
°］。那时距亚历山大大帝之死已经有59年17日45日分，根据我的计算，太阳的平位置为228°8′，行星的清晨距角为17°28′。且在此后四天中，距角仍在增加。因此行星肯定尚未达到其最大清晨距角或轨道的切点，而是仍然沿着距地球较近的低弧段运行。由于高拱点位于183°20′［Ⅴ，26］，所以它与太阳平位置的距离为44°48′［＝228°8′-183°20′］。
和前面一样［Ⅴ，27］，设ACB为大圆直径。绕大圆中心C作太阳的平均行度线CE，使得∠ACE＝44°48′。以点I为中心，作携带着偏心圆中心F的小圆。根据假设，取∠BIF＝2×∠ACE［＝2×44°48′］＝89°36′。连接EF和EI。
于是在三角形ECI中，两边已知：如果取CE＝10000
p
，则CI＝736
p
［Ⅴ，27］。这两边夹出已知∠ECI＝180°-∠ACE［＝44°48′］＝135°12′，边EI＝10534
p
，∠CEI＝∠ACE-∠EIC＝2°49′。因此，∠CIE＝41°59′［＝44°48′-2°49′］。但∠CIF＝180°-∠BIF［＝89°36′］＝90°24′，所以整个∠EIF［＝∠CIF＋∠EIC＝90°24′＋41°59′］＝132°23′。
∠EIF是三角形EFI的两已知边EI和IF的夹角，如果取AC＝10000
p
，则边EI＝10534
p
，边IF＝211
p
，因此∠FEI＝50′，其余的边EF＝10678
p
。相减可得，∠CEF［＝∠CEI-∠FEI＝2°49′-50′］＝1°59′。
现在作小圆LM。如果取AC＝10000 p ，设直径LM＝380 p 。根据假设，设弧LN＝89°36′。作弦LN，设NR垂直于LM。于是（LN） 2 ＝LM×LR。如果取直径LM＝380 p ，则LR≈189 p 。线段LR量出行星从其轨道中心F到EC扫出∠ACE时的距离。因此，把这段长度［189 p ］与3573 p ＝最小距离［Ⅴ，27］相加，其和为3762 p 。
因此，以点F为圆心，半径为3762 p 作一个圆。作直线EG与［水星轨道的］凸圆周交于点G，并使行星距离太阳平位置的视距∠CEG＝17°28′［＝228°8′-210°40′］。连接FG，作FK平行于CE。现在，∠FEG＝∠CEG-∠CEF＝15°29′［＝17°28′-1°59′］，于是在三角形EFG中，两边已知：EF＝10678 p ，FG＝3762 p ，∠FEG＝15°29′。因此，∠EFG＝33°46′。由于∠EFK＝∠CEF，∠KFG＝∠EFG-∠EFK＝31°47′［＝33°46′-1°59′］＝弧KG，即为行星与其轨道平均近地点K的距离。弧KG［＝31°47′］＋180°＝211°47′，即为这次观测中视差近点角的平均行度。证毕。
这种分析水星运动的方法是古人传下来的，但他们得益于尼罗河流域较为晴朗的天空。据说那里不像维斯图拉（Vistula）河那样冒出滚滚浓雾。我们居住的地域条件较差，大自然没有赋予我们那种有利条件。此地空气常常不太宁静，加之天球倾角很大，所以我们更少能看见水星，即使它与太阳的距角达到最大也是如此。当水星在白羊宫或双鱼宫升起以及在室女宫及天秤宫沉没时，它都不会被我们看见。事实上，在晨昏时分，它不会出现在巨蟹宫或双子宫的任何位置，而且除非太阳已经退入狮子宫，它从不在夜晚出现。因此，研究这颗行星的运行使我们走了许多弯路，耗费了大量精力。
因此，我从在纽伦堡所作的认真观测中借用了三个位置。第一个位置是雷吉奥蒙塔努斯的学生贝恩哈特·瓦尔特（Bernhard Walther）于公元1491年9月9日午夜后5个均匀小时测定的。他用环形星盘指向毕宿五进行观测，看见水星位于室女宫内13
°［＝163
°］，北纬1°50′处。当时该行星刚开始晨没，而在这之前的几日里，它在清晨出现的次数逐渐减少。因此，从基督纪元开始到那时，共历时1491埃及年258日12
日分。太阳的平位置为149°48′，但从春分点算起为室女宫内26°47′［＝176°47′］，于是水星的距角大约为13
°［176°47′-163°50′＝13°17′］。
第二个位置是约翰·勋纳（Johann Schöner）于公元1504年1月9日午夜后6
小时测定的，当时天蝎座内10°正位于纽伦堡上空的中天位置。他看到行星当时位于摩羯宫内3
°，北纬0°45′处。由此可以算出从春分点量起的太阳平位置位于摩羯宫内27°7′［＝297°7′］，而清晨时水星位于该处以西23°47′处。
第三个位置也是约翰·勋纳于同年即1504年3月18日测定的。他发现水星当时位于白羊宫内26°55′，北纬约3°处，当时巨蟹宫内25°正通过纽伦堡的中天。他用星盘于午后12
小时指向同一颗星即毕宿五。当时太阳相对于春分点的平位置位于白羊宫内5°39′，而黄昏时水星与太阳的距角为21°17′［≈26°55′-5°39′］。
从第一次到第二次位置观测，共历时12埃及年125日3日分45日秒。在此期间，太阳的简单行度为120°14′，而水星的视差近点角为316°1′。从第二次到第三次位置观测，共历时69日31日分45日秒，太阳简单平均行度为68°32′，而水星的平均视差近点角为216°。
我希望根据这三次观测来分析目前水星的运动。我认为必须承认，各个圆的比例从托勒密时代到现在仍然有效，因为对于其他行星，早期研究者在这方面并未误入歧途。如果除这些观测以外，我们还有偏心圆拱点的位置，那么对于这颗行星的视运动也不再缺少什么东西了。我取高拱点的位置为211
°，即天蝎宫内18
°，因为我无法取更小的值而不影响观测。这样，我们就得到了偏心圆的近点角，即太阳的平位置与远地点之间的距离：第一次测定时为298°15′，第二次测定时为58°29′，第三次测定时为127°1′。
现在根据以前的模型作图，只是要取第一次观测时太阳的平均行度线在远地点以西的距离∠ACE＝61°45′［＝360°-298°15′］。设由此得出的一切都与假设相符。如果取AC＝10000
p
，已知IC［Ⅴ，29］＝736
p
，在三角形ECI中，已知∠ECI［＝180°-（∠ACE＝61°45′）＝118°15′］，所以∠CEI＝3°35′，如果取EC＝10000
p
，则边IE＝10369
p
，IF＝211
p
［Ⅴ，29］。
于是在三角形EFI中，两边的比值也已知［IE:IF＝10369
p
:211
p
］。根据所绘图形，∠BIF＝123
°＝2×∠ACE［＝61°45′］，∠CIF＝180°-BIF［＝123
°］＝56
°。因此整个∠EIF［（∠CIF＋∠EIC）＝56
°＋（∠EIC＝∠ACE-∠CEI＝61°45′-3°35′＝58°10′）］＝114°40′。由此可知，∠IEF＝1°5′，边EF＝10371
p
。于是∠CEF＝2
°［＝∠CEI-∠IEF＝3°35′-1°5′］。
然而，为了确定进退运动可使中心为F的轨道圆与远地点或近地点的距离增加多少，我们作一个小圆，它被直径LM和NR在圆心点O四等分。设∠POL＝2×∠ACE［＝61°45′］＝123
°。由点P作PS垂直于LM。因此，根据已知比例，OP:OS＝LO:OS＝10000
p
:5519
p
＝190:150。因此，如果取AC＝10000
p
，则LS＝295
p
，即为行星距中心F更远的限度。由于最小距离为3573
p
［Ⅴ，27］，LS＋3573
p
＝3868
p
，即为现在的值。以3868
p
为半径，点F为圆心作圆HG。连接EG，延长EF为直线EFH。我们已经求得∠CEF＝2
°，根据观测，∠GEC＝13
°，即为瓦尔特观测到的行星与平太阳之间的清晨角距。因此，整个∠FEG［＝∠GEC＋∠CEF＝13°15′＋2°30′］＝15
°。但是在三角形EFG中，EF:FG＝10371
p
:3868
p
，∠E也已知［＝15°45′］。所以∠EGF＝49°8′，外角∠GFH［＝∠EGF＋∠GEF＝49°8′＋15°45′］＝64°53′。360°-∠GFH＝295°7′，即为真视差近点角。而295°7′＋∠CEF［＝2°30′］＝297°37′，即为平均和均匀视差近点角，这就是我们所要求的结果。297°37′＋316°1′［＝第一次与第二次观测之间的视差近点角］＝253°38′［＝297°37′＋316°1′＝613°38′-360°］，即为第二次观测的均匀视差近点角。我将证明这个值是正确的并且与观测相符。
取∠ACE＝58°29′作为第二次观测时的偏心圆近点角。于是在三角形CEI中同样两边已知：如果取EC＝10000
p
，则IC＝736
p
［之前和之后为736
p
］，∠ECI［即∠ACE＝58°29′的补角］＝121°31′。因此，第三边EI＝10404
p
，∠CEI＝3°28′。类似地，在三角形EIF中，∠EIF＝118°3′，如果取IE＝10404
p
，则边IF＝211
p
，边EF＝10505
p
，∠IEF＝61′，于是相减可得，∠FEC［＝∠CEI-∠IEF＝3°28′-1°1′］＝2°27′，即为偏心圆的正行差。把∠FEC与平均视差行度相加，就得到真视差行度为256°5′［＝2°27′＋253°38′］。
现在，我们在引起进退运动的小本轮上取弧LP或∠LOP＝2×∠ACE［＝58°29′］＝116°58′。于是，在直角三角形OPS中，已知OP:OS＝10000 p :455 p ，如果取OP或LO＝190 p ，则OS＝86 p 。整个LOS［＝LO＋OS＝190 p ＋86 p ］＝276 p 。把LOS与最小距离3573 p ［Ⅴ，27］相加得到3849 p 。
以3849 p 为半径，绕中心F作圆HG，使视差的远地点为点H。设行星与点H之间的距离为向西延伸103°55′的弧HG，它是一次完整运转与经过修正的视差行度［＝平均行度＋正行差＝真行度］＝256°5［＋103°55′＝360°］之差。因此，∠EFG＝180°-∠HFG［＝103°55′］＝76°5′。于是在三角形EFG中，再次两边已知：如果取EF＝10505 p ，则FG＝3849 p 。因此∠FEG＝21°19′，∠CEG＝∠FEG＋∠CEF［＝2°27′］＝23°46′，即为大圆中心C与行星G之间的距离。它与观测到的距角［＝23°47′］相差极小。
如果我们取∠ACE＝127°1′，或者∠BCE＝180°-127°1′＝52°59′，则可以第三次进一步证实这种符合。我们再次有一个两边已知的三角形［CEI］：如果取EC＝10000
p
，则CI＝736
p
。这两边所夹的∠ECI＝52°59′。由此可知，∠CEI＝3°31′，边IE＝9575
p
。根据构造，已知∠EIF＝49°28′，∠EIF的两边也可知：如果取EI＝9575
p
，则FI＝211
p
。因此在三角形EIF中，其余的边EF＝9440
p
，∠IEF＝59′，∠FEC＝∠IEC［＝3°31′］-59′＝2°32′，即为偏心圆近点角的负行差。我曾把第二时段的［平均视差近点角］216°与［第二次观测时的均匀视差近点角］相加，测出平均视差近点角为［＝216°＋253°38′＝469°38′-360°＝］109°38′，于是可求得真视差近点角为112°10′［＝2°32′＋109°38′］。
现在在小本轮上取∠LOP＝2×∠ECI［＝52°59′］＝105°58′。此处同样根据PO:OS的比值，可得OS＝52 p ，所以整个LOS＝242 p ［＝LO＋OS＝190 p ＋52 p ］。现在最小距离为3573 p ，所以修正的距离为3573 p ＋242 p ＝3815 p 。以3815 p 为半径，点F为圆心作圆，圆上的视差高拱点为点H，点H位于延长的直线EFH上。取真视差近点角为弧HG＝112°10′，连接GF。于是补角∠GFE＝180°-112°10′＝67°50′。此角的夹边已知：若EF＝9440 p ，则GF＝3815 p 。因此，∠FEG＝23°50′。∠CEF为行差［＝2°32′］，∠CEG＝∠FEG-∠CEF＝21°18′，即为昏星G与大圆中心C之间的视距离。这与观测得到的距离［＝21°17′］几乎相等。
因此，这三个与观测相符的位置无疑证实了我的假设，即偏心圆高拱点目前位于恒星天球上211
°处，并且由此得出的推论也是正确的，即在第一个位置的均匀视差近点角为297°37′，第二个位置的均匀视差近点角为253°38′，第三个位置的均匀视差近点角为109°38′。这就是我们所要求的结果。
在那次于托勒密·费拉德尔弗斯21年埃及历1月19日破晓所进行的古代观测中，在托勒密看来，偏心圆高拱点的位置位于恒星天球上183°20′处，而平均视差近点角为211°47′［Ⅴ，29］。最近一次观测与古代那次观测之间共历时1768埃及年200日33日分，在此期间，偏心圆的高拱点在恒星天球上移动了28°10′［＝211°30′-183°20′］，除5570整圈外视差行度为257°51′［＋211°47′＝469°38′；469°38′＋360°＝第三次观测的109°38′］。因为20年中大约完成63个周期，所以在［20×88＝］1760年中共完成［88×63＝］5544周期，在其余的8年200日中可以完成26个周期［20:8
≈63:26］。因此，在1768年200日33日分中可以完成5570［5544＋26］个周期外加257°51′，这就是第一次古代观测与我们观测的位置之差。这个差值也与我的表中［Ⅴ，1结尾］所列的数值相符。如果把这一时段与偏心圆远地点的移动量28°10′相比，则只要它是均匀的，可知每63年［1768
y
:28
＝63
y
］中偏心圆远地点的行度为1°。
从基督纪元开始到最近的一次观测，共历时1504埃及年87日48日分。在此期间，如果不计整圈，则水星近点角的视差行度为63°14′。如果把这个值从［第三次现代观测的近点角］109°38′中减去，则余下的46°24′即为基督纪元开始时水星视差近点角的位置。从那时回溯到第一次奥林匹克运动会的起点，共历时775埃及年12
日。在此期间，如果不计整圈，计算值为95°3′。如果把95°3′（再借用一整圈）从基督纪元的起点减去，则余下的311°21′［46°24′＋360°＝406°24′-95°3′］即为第一个奥林匹克运动会期时的位置。此外，对从这一时刻到亚历山大大帝去世的451年247日进行计算，可求得当时的位置为213°3′。
在结束对水星的讨论之前，我决定考察另一种用来产生和解释进退运动的同样合理的方法。设圆GHKP在中心点F被四等分。以点F为圆心作小同心圆LM。以点L为圆心，等于FG或FH的LFO为半径作另一圆OR。假定这一整套圆周的组合与其交线GFR和HFP一起围绕中心点F远离行星偏心圆远地点每天向东移动约2°7′，即行星的视差行度超过地球黄道行度的量。设行星在其自身的圆OR上离开点G的视差行度大致等于地球的行度。还假设在这同一周年运转中，携带行星的圆OR的中心沿着比以前假定的大一倍的直径LFM来回作前面所说的［Ⅴ，25］天平动。
作出这些安排之后，根据地球的平均行度把地球置于行星偏心圆远地点的对面。设携带行星的圆的中心在点L，行星本身在点O。由于此时行星距点F最近，所以在整个［构形］运动时，行星会描出最小的圆，其半径为FO。此后，当地球位于中拱点附近时，到达距点F最远的点H的行星将沿着以点F为中心的圆描出最大弧。这时均轮OR与圆GH重合，因为它们的中心在F会合。当地球从这个位置沿着行星偏心圆近地点的方向行进，圆OR的中心向着另一极限M［振荡］时，圆本身升到GK之上，而位于点R的行星会再次到达距离点F最近的位置，走过起初指定给它的路径。三种相等的运转在这里重合，即地球回到水星偏心圆的远地点，圆心沿直径LM的天平动，以及行星从FG到同一条线的巡回。正如我所说［Ⅴ，32前面］，与这些运转唯一的偏离是交点G、H、K、P远离偏心圆拱点的运动［≈每天2°7′］。
因此，大自然赋予了这颗行星以奇妙的变化，这种变化被一种永恒的、精确的、不变的秩序所证实。不过这里应当指出，这颗行星并不是没有经度偏离地通过GH与KP两象限的中间区域。只要两个中心有变化，就必然会产生行差。但中心的非永久性却设置了障碍。例如，假定中心在点L时，行星从点O开始运行。当它运行到点H附近时，由偏心率FL所量出的偏离会达到最大。但是由假设可知，当行星远离点O时，它使两中心间的距离FL所产生的偏离开始出现和增加。然而当中心接近其在F的平均位置时，预期的偏离会越来越小，并且在中间交点H和P附近完全消失，而我们本来预期在这些地方的偏离会达到最大。然而（正如我所承认的），甚至当偏离变小时，行星被遮掩在太阳光之中，于是当行星于晨昏出没时，它沿着圆周根本无法被察觉。我不愿忽视这个模型，它与前述模型同样合理，而且非常适用于对黄纬变化的研究［Ⅵ，2］。
前面已经论证了水星以及其他行星的均匀行度和视行度，并用计算加以阐述。通过这些例子，对其他任何位置如何计算这两种行度之差就很清楚了。然而为简便起见，我对每颗行星都列出了专门的表，按照通常的做法，每张表有六列、三十行，行与行之间相距3°。前两列为偏心圆近点角以及视差的公共数，第三列是在各轨道圆的均匀行度与非均匀行度之间出现的偏心圆的集合差值——我指的是总差值。第四列是按六十分位算出的比例分数，根据与地球距离的不同，视差按照比例分数增减。第五列是行差本身，即出现在行星偏心圆高拱点处相对于大圆的视差。最后的第六列是出现在偏心圆低拱点处的视差超过高拱点视差的量。各表如下。
续表
续表
续表
续表
续表
我们将根据我所列的这些表，毫无困难地计算这五颗行星的黄经位置，因为对它们几乎可以运用相同的计算程序。不过在这方面，三颗外行星与金星和水星有所不同。
因此，我先来说土星、木星和火星，其计算如下。用前述方法［Ⅲ，14；Ⅴ，1］，对任一给定时刻求出平均行度，即太阳的简单行度和行星的视差行度。然后从太阳的简单位置减去行星偏心圆高拱点的位置。再从余量中减去视差行度。最后得到的余量即为行星偏心圆的近点角。从表中前两列的某一列的公共数中找到这个数。对着这个数，我们从表的第三列取偏心差的归一化，并从下一列查出比例分数。如果我们查表所用的数在第一列，则把这一修正值与视差行度相加，并将它从偏心圆近点角中减去。反之，如果［初始的］数在第二列，则从视差近点角中减去它，并把它与偏心圆近点角相加。这样得到的和或差即为视差和偏心圆的归一化近点角，而比例分数则用于其他目的，我们很快就会对此作出说明。
然后，我们从前面［两列］的公共数中找到这个归一化的视差近点角，并在第五列中找出与之相应的视差行差，并从最后一列查出它的超出量。我们按照比例分数取此超出量的比例部分，并且总是把这个比例部分与行差相加，其和即为行星的真视差。如果归一化视差近点角小于半圆，则应从归一化视差近点角中减去行星的真视差；如果归一化视差近点角大于半圆，则应把归一化视差近点角与行星的真视差相加。这样我们即可求得行星从太阳的平位置向西的真距离和视距离。从太阳［的位置］减去这个距离，余量则为所要求的行星在恒星天球上的位置。最后，如果把二分点的岁差与行星位置相加，即可求得行星与春分点之间的距离。
对于金星和水星，我们用高拱点与太阳平位置的距离来代替偏心圆的近点角。正如前面已经解释的，我们借助于这个近点角把视差行度和偏心圆近点角归一化。但如果偏心圆的行差和归一化视差在同一方向上或为同一类型，则要从太阳平位置中同时加上或减去它们。但如果它们为不同类型，则要从较大量中减去较小量。根据我前面对较大量的相加或相减性质所作的说明，用余量进行运算，所得的结果即为所要求的行星的视位置。
如何理解行星的留、回和逆行以及这些现象出现的位置、时刻和范围，这与解释行星的经度运动显然有某种联系。天文学家们，尤其是佩尔加的阿波罗尼奥斯，对这些主题做过不少讨论［托勒密，《天文学大成》，Ⅻ，1］。但他们认为行星运动时似乎只有一种非均匀性，即相对于太阳出现的非均匀性，我把这种非均匀性称为由地球的大圆运动所产生的视差。
假定地球的大圆与行星的圆同心，所有行星都在各自的圆上以不等的速度同向运行，也就是向东运行。又假设像金星和水星位于地球大圆内的行星，在其自身轨道上的运动比地球的运动更快。从地球作一直线与行星轨道相交，并把轨道内的线段二等分。使这一半线段与从我们的观测点［即地球］到被截轨道的下凸弧的距离之比，等于地球运动与该行星速度之比。这样一来，如此作出的线段与行星圆近地弧的交点便将行星的逆行与顺行分开了。于是，当行星位于该处时，它看起来静止不动。
对于其余三颗运动比地球慢的外行星，情况与此类似。过我们的眼睛作一条直线与地球的大圆相交，使该圆内的一半线段与从行星到位于大圆较近凸弧上的我们眼睛的距离之比，等于行星运动与地球速度之比。在我们的眼睛看来，行星在此时此地停止不动。
但是，如果在上述［内］圆里的这一半线段与剩下的外面一段之比超过了地球速度与金星或水星速度之比，或是超过了三颗外行星中任何一颗的运动与地球速度之比，则行星将继续向东前进。另一方面，如果第一个比值小于第二个比值，则行星将向西逆行。
为了证明上述论断，阿波罗尼奥斯还引用了一条辅助定理。虽然它符合地球静止的假说，但也与我基于地球运动而提出的原理是相容的，所以我也将使用它。我可以用下述方式来说明它：假定在一个三角形中，将长边分成两段，使其中一段不小于它的邻边，则该段与剩下一段之比将会大于被分割一边的两角之比的倒数［剩下一段的角；临边的角］。在三角形ABC中，设长边为BC。在边BC上取CD不小于AC，则我说CD:BD＞∠ABC:∠BCA。
其证明如下。作平行四边形ADCE。延长BA和CE，使之相交于点F。以点A为中心，AE为半径作圆。因AE［＝CD］不小于AC，所以这个圆将通过或超过点C。现在设这个圆通过点C，并设它为GEC。由于三角形AEF＞扇形AEG，但三角形AEC＜扇形AEC，所以三角形AEF：三角形AEC＞扇形AEG：扇形AEC。但是三角形AEF：三角形AEC＝底边FE：底边EC，所以FE:EC＞∠FAE:∠EAC。但因∠FAE＝∠ABC，且∠EAC＝∠BCA，所以FE:EC＝CD:DB。因此CD:DB＞∠ABC:∠ACB。而且，如果假定CD不等于AC，但取AE＞CD，则［第一个］比值显然会大得多。
现在设以点D为中心的ABC为金星或水星的圆。设地球E在该圆外面绕同一中心D运转。从我们在点E的观察处作直线ECDA通过该圆中心。设点A是离地球最远的点，点C是离地球最近的点。假设DC与CE之比大于观测者的运动与行星速度之比。因此可以找到一条直线EFB，使
BF:FE＝观测者的运动：行星速度。当EFB远离中心D时，它将沿FB不断缩短而沿EF不断伸长，直至所需条件出现为止。我要说，当行星位于点F时，它看起来将静止不动。无论我们在F任一边所取的弧多么短，我们将发现它在远地点方向上是顺行的，而在近地点方向是逆行的。
首先，取弧FG朝着远地点延伸。延长EGK。连接BG、DG和DF。在三角形BGE中，由于长边BE上的线段BF大于BG，所以BF:EF＞∠FEG:∠GBF。
因此
BF:FE＞∠FEG:2×∠GBF＝∠GDF。但是
BF:FE＝地球运动：行星运动，因此∠FEG:∠GDF＜地球速度：行星速度。因此，设有一∠FEL:∠FDG＝地球运动：行星运动，则∠FEL＞∠FEG。于是，当行星在此圆的弧GF上运动时，可以认为我们的视线扫过了直线EF与EL之间的一段相反的距离。显然，当弧GF将行星从F送到G时，即在我们看来它向西扫过较小角度FEG时，地球在同一时间内的运行将使行星看上去向东后退，通过了较大的∠FEL。结果，行星还是退行了角度GEL，并且似乎是前进了，而不是保持静止不动。
与此相反的命题显然可以用同样的方法加以证明。在同一图上，假设取
GK:GE＝地球运动：行星速度。设弧GF从直线EK向近地点延伸。连接KF，形成三角形KEF。在这个三角形中，GE＞EF，KG:GE＜∠FEG:∠FKG，于是也有
KG:GE＜∠FEG:2×∠FKG＝∠GDF。这个关系与上面所述相反。用同样的方法可以证明∠GDF:∠FEG＜行星速度：视线速度。于是，当这些比值随着∠GDF变大而变得相等时，行星向西的运行将会大于向前运动要求的量。
这些考虑也清楚地说明，如果我们假设弧FC＝弧CM，则第二次留应出现在点M。作直线EMN。和
BF:FE一样，
MN:ME也等于地球速度：行星速度。因此F与M两点都为留点，以它们为端点的整个弧FCM为逆行弧，圆的剩余部分则为顺行弧。还可以得出，无论在什么距离处，DC:CE都不超过地球速度：行星速度，不可能作另外一条直线，使它的比等于地球速度：行星速度，于是在我们看来行星既不会静止也不会逆行。在三角形DGE中，如果假定DC不小于EG，则∠CEG:∠CDG＜DC:CE。但DC:CE并不超过地球速度：行星速度，因此∠CEG:∠CDG＜地球速度：行星速度。这种情况发生时，行星将向东运动，在行星轨道上找不到任何使行星看起来会逆行的弧段。以上讨论适用于［地球］大圆之内的金星和水星。
对于另外三颗外行星，可采用同样的图形（只是符号改变）以同一方法加以证明。设ABC为地球的大圆和我们观测点的轨道。把行星置于点E，它在其自身轨道上的运动要比我们的观测点在大圆上的运动慢。至于其他，所有方面都可以与前面一样进行论证。
现在，如果携带行星的圆与地球的大圆同心，那么前面所论证的结论很容易得到证实（因为行星速度与观测点速度之比始终保持不变）。然而，这些圆是偏心的，这就是视运动不均匀的原因。因此，我们必须处处假定速度变化各不相同的归一化行度，而不是简单的均匀行度，并将它们用于我们的证明中，除非行星恰好处于其中间经度附近，似乎只有在其轨道上的这些地方，行星才能按照平均行度运行。
我将以火星为例来证明这些命题，这也将阐明其他行星的逆行。设地球的大圆为ABC，我们的观测点就在此大圆上。把行星置于点E，从点E通过大圆中心作直线ECDA，并作直线EFB以及与之垂直的DG。
BF＝GF。GF:EF＝行星的瞬时速度：观测点的速度，而观测点的速度大于行星速度。
我们的任务是求出逆行弧段的一半即FC，或者ABF［180°-FC］，从而得知行星留时与点A的最大［角］距离，以及∠FEC的值，由此可以预测这一行星现象的时间和位置。设行星位于偏心圆的中拱点附近，在这里，观测到的行星黄经行度和近点角行度与均匀行度相差甚微。
对于火星来说，当它的平均行度＝1 p 8′7″＝直线GF时，它的视差行度即我们视线的运动为：行星的平均行度＝1 p ＝直线EF。因此整个EB＝3 p 16′14″［＝2×1 p 8′7″（＝2 p 16′14″）＋1 p ］，类似地，矩形BE×EF＝3 p 16′14″。但我已经表明［Ⅴ，19］，如果取DE＝10000 p ，则半径DA＝6580 p 。
然而，若取DE＝60 p ，则以此单位来表示，AD＝39 p 29′。［DE＋AD＝60 p ＋39 p 29′＝］整个AE:EC＝99 p 29′:20 p 31′［＝60 p -39 p 29′＝DE-DC］。而矩形AE×EC＝BE×EF＝2041 p 4′，因此，2041 p 4′÷3 p 16′14″［＝以前BE×EF的值］＝624 p 4′，如果取DE等于60 p ，则它的边［＝平方根］＝24 p 58′52″＝EF。然而，如果取DE＝10000 p ，则EF＝4163 p ，其中DF＝6580 p 。
由于三角形DEF的各边均已知，我们得到行星的逆行角DEF＝27°15′，视差近点角CDF＝16°50′。在第一次留时，行星出现在直线EF上，冲时则在直线EC上。如果行星完全没有东移，则弧CF＝16°50′将构成在∠AEF中求得的逆行27°15′。然而，根据已经确定的行星速度与观测点速度之比，与16°50′的视差近点角相应的行星黄经约为19°6′39″。而27°15′-19°6′39″≈8°8′，即为从第二个留点到冲点的距离，约为36
日。在这段时间中，行星走过的经度为19°6′39″，因此整个16°16′［＝2×8°8′］的逆行是在73天内完成的。
以上分析是对偏心圆的中间经度进行的。
对于其他位置，步骤是类似的，但正如我已经指出的那样［近Ⅴ，36开始处］，运用的始终是由这些位置确定的行星瞬时速度。
因此，只要我们把观测点置于行星的位置，把行星置于观测点的位置，则同样的分析方法不仅适用于金星和水星，也适用于土星、木星和火星。自然，在由地球所围住的这些轨道上发生的情况正好与包围地球的那些轨道上发生的情况相反。因此可以认为前面所说已能满足需要，我不必在这里一遍遍地老调重弹了。
然而，由于行星的行度随视线而变化，所以关于留会产生不小的困难和不确定性。阿波罗尼奥斯的那个假设［Ⅴ，35］并没有使我们摆脱困境。因此，我不知道单纯相对于最近的位置来研究留是否会好一些。类似地，我们可以由行星与太阳平均运动线的接触来寻求行星的冲，或者由行星已知的行度量来求任何行星的合。我将把这个问题留给读者，直到他的研究令自己感到满意为止。
《天球运行论》第五卷终
[1] Ⅴ，1开始处的较早版本：
行星以不同方式沿黄经和黄纬运行，其变化是不均匀的，在其均匀运行的两边都可以观测到。因此阐明行星的平均和均匀运行是值得的，以确定其非均匀变化。然而，要想确定均匀运行，就必须知道运转周期。由运转周期可以推断，一种非均匀性已经回到了与之前状态相似的状态。我在前面对太阳和月球正是这样做的［Ⅲ，13；Ⅳ，3］。
[2] 原稿中此处删去的段落：
以这种方式结合起来的两个天体的运动显示出了相互关联，它们包含了地球（你也可以说是太阳）的简单运动，因为在整本书中，首先要记住，以通常方式就太阳运动所说的一切都要理解为指地球。
[3] 此段至结尾段间内容的较早版本：
一次是托勒密于安敦尼2年5月29日破晓前所作的观测。在月亮与天蝎前额最北面［三颗星中］第一颗亮星之间的直线上，托勒密看见金星与月球的距离是与该恒星距离的1
倍。已知该恒星的位置为［黄经］209°40′和北纬1
°。为了确定金星的位置，弄清楚观测到的月亮位置是值得的。
从基督诞生到这次观测的时刻，共历时138埃及年18日，在亚历山大城为午夜后4
小时，而在克拉科夫则为地方时3
h或均匀时3
h
41
m
＝9
dm
23
ds
。太阳以其平均均匀行度当时在255
°，以其视行度在人马宫内23°［＝263°］处。因此，月亮与太阳的均匀距离为319°18′，其平均近点角为87°37′，距其北限的平均黄纬近点角为12°19′。由此可以计算出月球的真位置为209°4′和北纬4°58′。加上当时的两分点岁差6°41′，月亮位于天蝎宫内5°45′［＝215°45′＝209°4′＋6°41′］。用仪器可以测出，在亚历山大城室女宫内2°位于中天，而天蝎宫内25°正在升起。因此根据我的计算，月球的黄经视差为51′，黄纬视差为16′。于是在亚历山大城观测到并且修正的月亮位置为209°55′［＝209°4′＋51′］和北纬4°42′［＝4°58′-16′］。由此可以确定金星的位置为209°46′和北纬2°40′。
现在设地球轨道为AB，其中心在点C，直径ACB过两拱点。设从点A看去金星位于其远地点＝48
°，而点B为相对的点＝228
°。取AC＝10000
p
，在直径上取距离CD＝312
p
。以点D为圆心，半径DF＝
CD即104作一个小圆。
既然太阳的平位置＝255
°，所以地球与金星低拱点的距离为27°10′［＋228
°＝255
°］。因此设弧BE＝27°10′。连接EC、ED和DF，使∠CDF＝2×∠BCE。然后以点F为中心描出金星的轨道。直线EF与直径AB相交于点O，延长EF与金星的凹面圆周相交于点L。向该圆周引FK平行于CE。设行星位于点G。连接GE与GF。
这些准备工作完成后，我们的任务是求出弧KG＝行星与其轨道平均远地点K的距离以及∠CEO。在三角形CDE中，∠DCE＝27°10′，而如果取CE＝10000 p ，则边CD＝312 p 。于是其余的边DE＝9724 p ，而∠CED＝50′。相似地，在三角形DEF中，两边已知：如果DF＝104 p 和CE＝10000 p ，则DE＝9724 p 。ED与DF两边所夹的角［∠EDF］已知。已知∠CDF＝54°20′［＝2×（∠BCE＝27°10′）］，∠FDB＝半圆［减去（∠CDF＝54°20′）］的余量＝125°40′。因此整个∠FDE＝153°40′。于是采用同样单位，边EF＝9817 p ，∠DEF=16′。
整个∠CEF［＝∠DEF＋∠CED＝16′＋50′］＝1°6′，即为平均行度与绕中心F的视行度之差，即∠BCE与∠EOB之差。因此可得∠BOE＝28°16′［＝27°10′＋1°6′］，这是我们的第一项任务。
其次，∠CEG＝45°44′＝行星与太阳平位置的距离［＝255
°-209°46′］。于是整个∠FEG［＝∠CEG＋∠FEC＝45°44′＋1°6′］＝46°50′。但如果取AC=10000
p
，已知EF＝9817
p
，而且以上述单位来表示已知FG＝1193
p
，因此在三角形EFG中，可知EF和FG两边之比［9817:7193］和∠FEG［＝46°50′］。∠EFG＝84°19′也可知。由此可得外角∠LFG＝131°6′＝弧LKG＝行星与其轨道的视远地点的距离。但已经表明，∠KFL＝∠CEF＝平拱点与真拱点之差＝1°6′。行星至平拱点的距离弧KG＝131°6′-1°6′＝130°。圆的其余部分＝230°＝从点K量起的均匀近点角。于是对于安敦尼2年（＝公元138年）12月16日午夜后3小时45分，我们得到在克拉科夫的金星均匀近点角＝230°，即为我们所求的量。
[4] Ⅴ，23结束段的较早版本：
然而，在托勒密的前一次观测中，这个值为230°。因此在此期间，除整圈外还有220°31′［＝（90°31′＋360°＝450°31′）-230°］。从安敦尼2年5月20日克拉科夫时间午前8
小时到公元1529年3月12日午后7
小时，共历时1391埃及年69日39日分23日秒。同样可以算出，在此期间除整圈外还有220°31′。根据［Ⅴ，1结尾的］平均行度表，整圈数为859，因此它是正确的。与此同时，偏心圆两拱点的位置保持不变，仍在48
°和228°20′。
[5] 较早版本：
金星平近点角的位置
于是很容易确定金星视差近点角的位置。从基督诞生到托勒密的观测共历时138埃及年18日9
日分。与这段时间相对应的行度为105°25′。把这个值从托勒密的观测结果230°中减去，余数124°35′［＝230°-105°25′］为［公元1年］元旦前午夜时的金星近点角。于是，根据经常重复的行度与时间的计算，可求得其余的位置对第一个奥林匹克运动会期为318°9′，对亚历山大大帝为79°14′，对恺撒为70°48′。