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在上一卷中，我尽自己所能解释了地球绕日运动所引起的现象，并试图用同样的方式来确定所有行星的运动。首先摆在我面前的必然是月球的运动，因为主要是通过昼夜可见的月球，星体的位置才得以确定和验证。其次，在所有天体中，只有月球的运转（尽管非常不规则）直接与地心有关，月球与地球有着最密切的关系。因此，月球本身并不能表明地球在运动（也许周日旋转除外），正因如此，古人相信地球位于宇宙的中心，并且是一切旋转的中心。在阐释月球的运动时，我并不反对古人关于月球绕地球运转的观念，不过我将提出某些与前人相左但却更加可靠的观点，并用它们尽可能更有把握地确定月球的运动，以便更清楚地理解月球的奥秘。
月球的运动具有下列性质：它不是沿着黄道的中圆运行，而是沿着一个倾斜于中圆且与之彼此平分的自己的圆周运行，月球可以从这条交线进入两种纬度中的任何一种。这些现象很像太阳周年运行中的回归线，因为年之于太阳有如月之于月球。有些天文学家把交点的平均位置称为“食点”，另一些人则称之为“节点”。太阳和月球在这些点上出现的合与冲被称为“食”，日月食都出现在这些点上。除这些点外，这两个圆没有其他公共点，因为当月球走向其他位置时，其结果是太阳和月球的光线不会彼此遮挡。而当它们掠过时，并不会阻挡对方。
此外，这个倾斜的月球圆周连同它的四个基点一起围绕地心均匀运行，每天大约移动3′，19年运转一周。因此，我们看到月球总是沿自己的圆周在其平面上向东运动，只是有时运动较慢，有时运动较快。月球运行越慢，离地球就越远；运行越快，离地球就越近。由于距地球较近，月球的这一变化要比其他任何天体都更容易察觉。
古人认为这一现象是由一个本轮引起的。当月球沿本轮的上半部分运行时，其速度小于平均速度；而当月球沿本轮的下半部分运行时，其速度大于平均速度。然而前已证明［Ⅲ，15］，由本轮所取得的结果，借助于偏心圆也能得出。但古人之所以会选择本轮，是因为月球看起来显示出双重的不均匀性。当月球位于本轮的高低拱点时，看不出与均匀运动什么差别；而当它位于本轮与均轮的交点附近时，就与均匀运动有了很大差别。这种差别对于或盈或亏的半月来说要比满月大得多，而这种变化的出现是确定的和有规则的。因此，他们认为本轮行于其上的均轮并非与地球同心，而是有这样一个偏心本轮，月球按照如下规则在本轮上运动：当太阳与月球是在平均的冲与合时，本轮位于偏心圆的远地点；而当月球位于合与冲之间，与它们相距一个象限时，本轮位于偏心圆的近地点。于是，他们就设想出两种相等但方向相反的围绕地心的均匀运动，即本轮向东运动，偏心圆的中心及其两拱点向西运动，而太阳的平位置线总是介于它们之间。这样，本轮每个月在偏心圆上运转两次。
为了更直观地说明这些事情，设ABCD是与地球同心的偏斜的月球圆周，它被直径AEC和BED四等分。设点E为地心，日月的平均合点位于直线AC上，中心为点F的偏心圆的远地点和本轮MN的中心同时在同一位置。设偏心圆的远地点向西运动的距离等于本轮向东运动的距离。用与太阳的平合或对太阳的平冲来测量，它们都绕点E作相等的周月均匀运转。设太阳的平位置线AEC总是介于它们之间，月球从本轮的远地点向西运动。天文学家们认为这种安排是与现象相符的。本轮在半个月的时间里远离太阳移动了半周，但从偏心圆的远地点运转了一整周。结果，在这段时间的一半即大约半月的时候，本轮和偏心圆的远地点正好沿直径BD相对，同时偏心圆上的本轮位于近地点G，此处距地球较近，不均匀性的变化较大，因为在不同距离处看同样大小的物体，离得越近物体就显得越大。因此，当本轮位于点A时变化最小，位于点G时变化最大。本轮直径MN与线段AE之比最小，而与GE之比则要大于它与其余位置所有线段之比，这是因为在从地心向偏心圆所作的所有线段中，GE最短，而AE或与之等长的DE最长。
我们的前人认为这样一种圆周的组合可以与月球现象取得一致，但如果我们更认真地分析一下，就会发现这个假设并非完全适宜和妥当，我们可以用推理和感官来证明这一点。因为当我们的前人宣称本轮中心绕地心均匀运转的时候，也应当承认它在自己所描出的偏心圆上的运动是不均匀的。
比如说，假定∠AEB＝∠AED＝45°，使得∠BED＝90°。把本轮中心取在点G，连接GF。于是显然，∠GFD＞∠GEF，因为外角大于与之相对的内角。因此，在同一时间内描出来的两弧DAB和DG是不等的。既然弧DAB＝90°，则本轮中心同时扫出的弧DG＞90°。但是已经证明［Ⅳ，1结尾］，在半月时弧DAB＝弧DG＝180°，因此，本轮在它所描出的偏心圆上的运动是不均匀的。但如果是这样，我们该怎样对以下公理，即“天体的运动是均匀的，只不过看起来似乎是非均匀的罢了”做出回应呢？看起来均匀运行的本轮实际上是不均匀的，这难道不是正好与一个既定的原则和假设相抵触吗？但假定你说本轮绕地心均匀运转，并说这足以保证均匀性，那么这样一种在本轮之外的一个圆上不出现，而在本轮自身的偏心圆上却出现的均匀性是怎样一种均匀性呢？
我对月球在本轮上的均匀运动也感到困惑。我的前人决定把它解释成与地心无关，而用本轮中心量出的均匀运动理应与地心有关，即与直线EGM有关。而他们却把月球在本轮上的均匀运动与其他某一点联系起来了。地球位于该点与偏心圆中点之间，而直线IGH充当着月球在本轮上均匀运动的指示器。由于这种现象部分依赖于这种假设，所以这本身也足以证明这种运动是非均匀的。于是，月球在其自身的本轮上的运动也是非均匀的。如果我们想把视不均匀性建立在真不均匀性的基础上，我们推理的实质也就很清楚了。除了不给那些诋毁这门科学的人提供机会，我们还能做什么呢？
其次，经验和感官知觉本身都向我们表明，月球的视差与各圆的比值所给出的视差不一致。这种被称为“交换”的视差是由于地球的大小在月球附近不容忽视而产生的。从地心和地球表面到月球所引直线并不平行，而是在月球上相交成一个明显的角度，所以它们必然会导致月球视运动的差异。在那些从弯曲的地面上斜着观月的人看来，月球的位置与那些从地心或地球的天顶观月的人所看到的位置是不同的。因此这种视差随月地距离的不同而不同。天文学家们一致认为，如果取地球半径＝1，则最大距离为64
。根据我们前人的模型，最小距离应为33
p
33′，从而月球可以向我们靠近到大约一半距离处。根据由此得到的比值，最远和最近距离处的视差将彼此相差大约1:2。但我发现，那些出现于盈亏的半月（甚至当它处于本轮的近地点时）的视差，与日月食时出现的视差相差很小或没有什么差别，对此我将在适当的地方［Ⅳ，22］给出令人信服的说明。月球这个天体最能清楚地显示这一偏差，因为月球直径有时看来会大一倍，有时又会小一半。由于圆面积之比等于直径平方之比，所以如果假设月球的整个圆面发光，那么在方照即距地球最近时，月球看起来应为与太阳相冲时的4倍大。但由于此时月球有一半圆面发光，所以它仍应发出比在该处的满月多一倍的光。尽管与此相反的情况是显然的，如果有人不满足于通常的肉眼观测，而想用一架希帕克斯的屈光镜或其他仪器来测量月球的直径，那么他就会发现月球的直径变化只有无偏心圆的本轮所要求的那样大。因此，在通过月球的位置来研究恒星时，梅内劳斯和提摩恰里斯总是毫不犹豫地把月球直径取为通常呈现出来的
°。
因此情况很清楚，本轮看起来时大时小并非是因为偏心圆，而是与另一套圆周有关。设AB为一个本轮，我称其为第一本轮和大本轮。设点C为它的中心，点D为地心，从点D延长DC至本轮的高拱点A。以点A为圆心作另一个小本轮EF。设所有这些图形都位于月球的偏斜圆面上。设点C向东运动，点A向西运动。月球从EF上部的点F向东运动，并保持这样一种图像：当DC与太阳的平位置线重合时，月球总是位于点E，离中心点C最近，而在方照时却位于点F，距点C最远。
我要说明，月球现象与这个模型相符。由此可知，月球每个月在小本轮EF上运转两周，在此期间，C有一次回到太阳处。朔望时，月球看起来描出半径为CE的最小的圆；但在方照时，月球描出半径为CF的最大的圆；于是，随着月球绕中心C通过相似却不相等的弧段，月球的均匀行度与视行度之差在前面的位置上较小，在后面的位置上较大。第一本轮的中心C总是位于一个与地球同心的圆上，所以月球呈现的视差没有很大变化，而是只与本轮有关。由此便很容易解释，为什么月球的大小看起来几乎不发生变化。其他一切与月球运动有关的现象都将按照观测情况出现。
后面我将用自己的假说来证明这种一致性，尽管如果保持所需的比值，同样的现象也可用偏心圆来解释，一如太阳的情形［Ⅲ，15］。不过和前面一样［Ⅲ，13-14］，我仍将从均匀运动谈起，因为如果不讲均匀运动，非均匀运动也无法确定。因为存在着前面讲过的视差，这里产生的困难并不小，视差使得月球的位置不能通过星盘或其他类似仪器来测定。然而在这里，大自然的慷慨仁厚也照顾到了人类的愿望，因为通过月食来测定月球的位置要比通过仪器来测定更为可靠，而且不必怀疑有任何误差。当宇宙的其他部分明亮而且充满阳光时，黑夜显然只是地球的阴影，这个影子呈终止于一点的锥形。当月球与这个锥影相遇时，它就变暗了；而当它沉浸在阴影之中时，它无疑到达了与太阳相对的位置上。而由月球位于日地之间所引起的日食，却不能用来精确地测定月球的位置。因为尽管有时我们看到了太阳与月球的合，但相对于地心，由于存在着前面所说的视差，其实合已成过去或尚未发生。因此，在各个国家看来，同一次日食的食分和持续时间都不一样，其他细节也不类似。然而月食却不存在此种障碍，在各地看来它们都一样，因为阴影的轴线是沿着从地心到太阳的方向上的。所以月食最适于用最高精度的计算确定月球的运动。
在最早的天文学家中，力求通过数学知识来把这一主题流传后世的是雅典人默冬（Meton），他的盛年大约在第87个奥林匹克运动会期左右。他宣称19个太阳年包含235个月。于是这个长周期被称为“默冬章”，即19年周期（enneadekaeteris）。这个数字广为流传，它曾在雅典和其他著名城市的市场上公开展示，甚至到现在还被普遍接受，因为人们认为借助于它，月份的起点和终点就可以以一种严密的次序确定下来，并且太阳年的365
日也可以与月份相公度。由此得到的76年的卡利普斯周期中有19个闰日，该周期被称为“卡利普斯章”。然而希帕克斯通过认真的研究发现，每304年中就多出了一整天，只有把太阳年缩短
天，才能对卡利普斯章加以修正。于是有些天文学家把这个包含3760个月的长周期称为“希帕克斯章”。
如果同时也研究近点角和黄纬的周期，上面这些计算的描述就过于简单和粗略了。为此，希帕克斯做了进一步研究［《天文学大成》，Ⅳ，2-3］。他把自己非常精确的月食观测记录与巴比伦人流传下来的记录进行对比，定出了月份与近点角循环同时完成的周期为345埃及年82天1小时，在此期间共有4267个月和4573次近点角循环。把这些月份转换成日数，得到126007日1小时，再除以月份数，得到1月＝29日31′50″8‴9″″20‴″。根据这一结果还可求得任何时刻的行度。把一个月内运转的360°除以一个月的天数，就得到月球离开太阳的日行度为12°11′26″41‴20″″18‴″。把它乘以365，便得到年行度为12周加上129°37′21″28‴29″″。此外，由于4267月与4573次近点角循环的两个数字有公约数17，所以化为最小项以后的比值为251:269。根据《几何原本》，Ⅴ，15，我们可以得出月球行度与近点角行度之比。把月球行度乘以269，再把乘积除以251，得到的商即为近点的年行度，它的值为13周加88°43′8″40‴20″″。因此，日行度为13°3′53″56‴29″″。
而黄纬的循环却是另一种节奏，因为它与近点角回归的精确时间不相符。只有当前后两次月食在一切方面都相似和相等（例如在同一边的两个阴影区相等），我指的是食分与食延时间均相等，我们才能说月球又回到了原来的纬度。这出现在月球与高低拱点的距离相等的时候，因为这时月球被认为在相等时间内穿过了相等的阴影。根据希帕克斯的计算，这种情况每5458个月发生一次，这段时间对应着5923次黄纬循环。和其他行度一样，通过这一比值也可定出以年和日量出的确切的黄纬行度。把月球离开太阳的行度乘以5923个月，再把乘积除以5458，便可得到月球的年黄纬行度为13周加148°42′46″49‴3″″，日行度为13°13′45″39‴40″″。希帕克斯用这种方法算出了月球的均匀行度，而在他之前尚没有人得到过更为准确的结果。然而后来，人们发现这些结果并非完全准确。托勒密求得的远离太阳的平均行度与希帕克斯相同，但近点角的年行度却比希帕克斯的少了1″11‴39″″，黄纬年行度则多了53‴41″″。又过了很长时间，我也发现希帕克斯的平均年行度少了1″2‴49″″，近点角行度只少了24‴49″″，黄纬行度则多了1″1‴42″″。因此，月球与地球的年平均行度相差129°37′22″32‴40″″，近点角行度相差88°43′9″5‴9″″，而黄纬行度相差148°42′45″17‴21″″。
我已经就自己目前所能掌握的程度定出了月球的均匀行度。现在我将通过本轮来探讨关于不均匀性的理论，首先是与太阳发生合与冲时的不均匀性。古代天文学家凭借令人惊讶的技巧通过三次一组的月食对这种不均匀性进行了研究。我也将遵循他们为我们开辟的这一道路，采用托勒密做过认真观测的三次月食，并把它们与另外三次观测同样认真的月食进行比较，以检验上述均匀行度是否正确。在研究它们时，我将效仿古人的做法，把太阳和月球远离春分点位置的平均行度取作均匀的，因为别说是在这么短的时间里，就是在10年里，二分点的不均匀岁差所引起的不规则性也是察觉不到的。
托勒密［《天文学大成》，Ⅳ，6］所取的第一次月食发生在哈德良17年埃及历10月20日结束之后，即公元133年5月6日或5月7日的前一天。这次月食为全食，它的食甚出现在亚历山大城的午夜之前
均匀小时。但是在弗龙堡或克拉科夫，它应在5月7日前的午夜前的1
小时。太阳当时位于金牛宫内13
°，然而根据平均行度应位于金牛宫内12°21′。
托勒密所说的第二次月食发生在哈德良19年埃及历4月2日结束之后，即公元134年10月20日。阴影区从北面开始扩展到月球直径的
。在亚历山大城，食甚出现在午夜前1均匀小时，而在克拉科夫则为午夜前2小时。当时太阳位于天秤宫内25
°，但根据平均行度应位于天秤宫内26°43′。
第三次月食发生在哈德良20年埃及历8月19日结束之后，即公元136年3月6日结束后。阴影区又一次从北边开始扩展到月球直径的一半处。在亚历山大城的食甚出现在3月7日午夜后4均匀小时，而在克拉科夫则为午夜后3小时。当时太阳位于双鱼宫内14°5′，但根据平均行度应位于双鱼宫内11°44′。
在第一次与第二次月食之间的那段时间，月球移动的距离与太阳的视运动移动的距离是相等的（不算整圈），即161°55′；在第二次与第三次月食之间为138°55′。根据视行度计算，第一段时间为1年166日23
均匀小时，但修正后的时间为23
小时；第二段时间为1年137日5小时，但修正后的时间为5
小时。在第一段时间中，太阳和月球的联合均匀行度（不算整圈）为169°37′，月球的近点角行度为110°21′；类似地，在第二段时间中，太阳与月球的联合均匀行度（不算整圈）为137°34′，月球的近点角行度为81°36′。于是显然，在第一段时间中，本轮的110°21′从月球平均行度中减去了7°42′；而在第二段时间中，本轮的81°36′给月球的平均行度加上了1°21′。
有了这些以后，作月球的本轮ABC。在它上面设第一次月食出现在点A，第二次出现在点B，最后一次出现在点C。和前面一样，假设月球也是在本轮上部向西运行，并设弧AB＝110°21′，正如我已说过的，它从月球在黄道上的平均行度减去7°42′。设弧BC＝81°36′，它给月球在黄道上的平均行度加上1°21′。圆周的其余部分弧CA＝168°3′［＝360°-（110°21′＋81°36′）］，它使行差的余量6°21′增大［1°21′＋6°21′＝7°42′］。本轮的高拱点不在弧BC和弧CA上，因为它们是附加的，而且都小于半圆。因此它应在AB上。
设点D为地心，本轮绕它均匀运转。从点D向月食点引直线DA、DB和DC。连接BC、BE和CE。如果取两直角＝180°，则弧AB在黄道上所对的∠ADB＝7°42′，但如果取两直角＝360°，则∠ADB＝15°24′［＝2×7°42′］。用类似的度数，三角形BDE的外角AEB＝110°21′，所以∠EBD＝94°57′［＝110°21′-15°24′］。然而当三角形各角已知时，其各边也可求得。取三角形外接圆的直径＝200000，则DE＝147396，BE＝26798。此外，如果取两直角＝180°，则因弧AEC＝6°21′，所以∠EDC＝6°21′，然而如果取两直角＝360°，则∠EDC＝12°42′。以这样的度数表示，∠AEC＝191°57′［＝110°21′＋81°36′］。∠ECD＝∠AEC-∠CDE＝179°15′［＝191°57′-12°42′］。因此，如果取外接圆直径＝200000，则DE＝199996，CE＝22120。但是如果取DE＝147396，BE＝26798，则CE＝16302。由于在三角形BEC中，边BE已知，边EC已知，∠E＝81°36′＝弧BC，于是根据平面三角定理可得，第三边BC＝17960。如果取本轮直径＝200000，则弧BC＝81°36′，弦BC＝130684。对于已知比例的其他直线，ED＝1072684，CE＝118637，弧CE＝72°46′10″。但是根据图形，弧CEA＝168°3′，因此相减可得，弧EA＝95°16′50″［＝168°3′-72°46′10″］，弦EA＝147786。于是以相同单位表示，整个直线AED＝1220470［＝147786＋1072684］。但因弧段EA小于半圆，本轮中心将不在它上面，而在其余弧段ABCE上。
设点K为本轮中心，过两个拱点作DMKL。设点L为高拱点，点M为低拱点。根据《几何原本》，Ⅲ，36，AD×DE＝LD×DM。但点K为圆的直径LM的中点，DM为延长的直线，所以LD×DM＋（KM） 2 ＝（DK） 2 。于是，如果取KL＝100000，则DK＝1148556。如果取DKL＝100000，则本轮的半径LK＝8706。
完成这些步骤之后，再作KNO垂直于AD。因为KD、DE和EA相互之间的比值都是用LK＝100000的单位表示的，并且NE＝
（AE［＝147786］）＝73893，所以整个直线DEN＝1146577［＝DE＋EN＝1072684＋73893］。但是在三角形DKN中，边DK已知，边ND已知，∠N＝90°，所以圆心角∠NKD＝86°38
′＝弧MEO。于是，半圆的其余弧段弧LAO＝93°21
′［＝180°-86°38
′］。而弧OA＝
弧AOE＝47°38
′，所以，当第一次月食发生时，月球的近点角，即它与本轮高拱点的距离弧LA＝弧LAO-弧OA＝93°21
′-47°38
′＝45°43′。但整个弧AB＝110°21′，因此，相减可得第二次月食发生时的近点角弧LB＝64°38′［＝110°21′-45°43′］。相加可得，第三次月食发生时，弧LBC＝146°14′［＝64°38′＋81°36′］。如果取四直角＝360°，则∠DKN＝86°38′，∠KDN＝90°-∠DKN＝3°22′。此即为第一次月食发生时由近点角所增加的行差。由于∠ADB＝7°42′，所以相减可得，第二次月食发生时弧LB从月球均匀行度中减去的量弧LDB＝4°20′。因为∠BDC＝1°21′，所以相减可得，第三次月食发生时弧LBC所减去的行差角CDM＝2°59′。因此，当第一次月食发生时，月球的平位置（即中心点K）位于天蝎宫内9°53′［＝13°15′-3°22′］，因为它的视位置是在天蝎宫内13°15′。这正好与太阳在金牛宫里的位置相对。同样，当第二次月食发生时，月球的平位置位于白羊宫内29
°［＝天秤宫25
°＋180°＋4°20′］，第三次月食发生时位于室女宫内17°4′［＝双鱼宫14°5′＋180°＋2°59′］。当第一次月食发生时，月球与太阳的均匀距离为177°33′，第二次为182°47′，最后一次为185°20′。以上就是托勒密的步骤［《天文学大成》，Ⅳ，6］。
让我们仿效他的例子，研究我同样认真观测的第二组三次月食。第一次发生在公元1511年10月6日结束时。月球在午夜前1
均匀小时开始被掩食，在午夜后2
小时完全复圆，于是食甚出现在10月7日前的午夜后
小时。这是一次月全食，当时太阳位于天秤宫内22°25′，但根据均匀行度应位于天秤宫内24°13′。
我于公元1522年9月5日结束时观测到了第二次月食。这也是一次全食，它开始于午夜前
均匀小时，食甚出现在9月6日之前的午夜后1
小时。当时太阳位于室女宫内22
°，但根据均匀行度应位于室女宫内23°59′。
我于公元1523年8月25日结束时观测到了第三次月食。这也是一次全食，它开始于午夜后2
小时，食甚出现在8月26日之前的午夜后4
小时。当时太阳位于室女宫内11°21′，但根据平均行度应位于室女宫内13°2′。
从第一次到第二次月食，太阳和月球的真位置移动的距离显然为329°47′，而从第二次到第三次月食则为349°9′。从第一次到第二次月食的时间为10均匀年337日，根据视时间再加
小时，而根据修正的均匀时则为
小时。从第二次到第三次月食的时间为354日3小时5分，而根据均匀时则为3小时9分。在第一段时间中，太阳和月球的联合平均行度（不算整圈）为334°47′，月球近点角行度为250°36′，从均匀行度中大约减去了5°［＝334°47′-329°47′］。在第二段时间中，太阳和月球的联合平均行度为346°10′，月球近点角行度为306°43′，需要给平均行度加上2°59′［＋346°10′＝349°9′］。
现在设ABC为本轮，点A为在第一次月食食甚时月球的位置，点B为第二次的位置，点C为第三次的位置。假设本轮从点C运行到点B，又从点B运行到点A，即上面向西，下面向东，且弧ACB＝250°36′。正如我已经说过的，它在第一段时间中从月球的平均行度中减去了5°；而弧BAC＝306°43′，它给月球的平均行度加上了2°59′；因此，剩下的弧AC＝197°19′，它减去了剩余的2°1′。由于弧AC大于半圆并且是减去的，所以它必然包含高拱点。因为这不可能在弧BA或CBA上，它们每一个都小于半圆并且是增加的，而最慢的运动出现在远地点附近。
在与它相对的地方取点D为地心。连接AD、DB、DEC、AB、AE和EB。因为在三角形DBE中，截出弧CB的外角∠CEB＝53°17′，弧CB＝360°-弧BAC，在中心，∠BDE＝2°59′，但在圆周上，∠BDE＝5°58′。因此剩下的∠EBD＝47°19′［＝53°17′-5°58′］。因此，如果取三角形外接圆的半径＝10000，则边BE＝1042，边DE＝8024。类似地，截出弧AC的∠AEC＝197°19′，在中心，∠ADC＝2°1′，但在圆周上，∠ADC＝4°2′。因此，如果取两直角＝360°，则相减可得，三角形ADE中剩余的∠DAE＝193°17′。于是各边也可知。如果取三角形ADE的外接圆半径＝10000，则AE＝702，DE＝19865。然而，如果取DE＝8024，EB＝1042，则AE＝283。
于是在三角形ABE中，边AE已知，边EB已知，而且如果取两直角＝360°，已知∠AEB＝250°36′，于是根据平面三角形定理，如果取EB＝1042，则AB＝1227。这样，我们就求出了AB、EB和ED这三条线段的比值。它们可以用本轮半径＝10000的单位表示出来：弦AB＝16323，ED＝106751，弦EB＝13853。于是弧EB＝87°41′，弧EBC＝弧EB＋弧BC［＝53°17′］＝140°58′。弦CE＝18851，相加可得，CED＝125602［＝ED＋CE＝106751＋18851］。
考虑本轮中心。因为EAC大于半圆，所以本轮中心必然落在该弧上。设点F为中心，点I为低拱点，点G为高拱点，过这两个拱点作直线DIFG。于是显然，CD×DE＝GD×DI。但是，GD×DI＋（FI） 2 ＝（DF） 2 。所以，如果取FG＝10000，则DIF＝116226。因此，如果取DF＝100000，则FG＝8604。这与自托勒密以来在我之前的大多数天文学家报告的结果相符。
从中心点F作FL垂直于EC，并把它延长为直线FLM，且等分CE于点L。由于线段ED＝106751，
CE＝LE＝9426，所以如果取FG＝10000，DF＝116226，则DEL＝116177。于是在三角形DFL中，边DF已知，边DL已知，∠DFL＝88°21′，相减可得，∠FDL＝1°39′。类似地，弧IEM＝88°21′，弧MC＝
弧EBC＝70°29′。因此相加可得，弧IMC＝158°50′［＝88°21′＋70°29′］，半圆的剩余部分弧GC＝180°-弧IMC＝21°10′。
此即第三次月食发生时月球与本轮远地点之间的距离，或近点角的位置。在第二次月食发生时，弧GCB＝74°27′［＝GC＋CB＝21°10′＋53°17′］；在第一次月食发生时，弧GBA＝183°51′［＝GB＋BA＝74°27′＋109°24′（＝360°-250°36′）］。在第三次月食发生时，中心角∠IDE＝1°39′，此为负行差。在第二次月食发生时，∠IDB＝4°38′，它也是一个负行差，因为∠IDB＝∠GDC＋∠CDB＝1°39′＋2°59′。因此，∠ADI＝∠ADB-∠IDB＝5°-4°38′＝22′，它在第一次月食发生时加到均匀行度中去。于是当第一次月食发生时，月球均匀行度的位置位于白羊宫内22°3′，但其视位置在22°25′；而太阳当时位于与之相对的天秤宫内相同度数。用这种方法还可以求得，当第二次月食发生时，月球的平位置位于双鱼宫内26°50′，第三次月食发生时位于双鱼宫内13°。与地球的年行度相分离的月球的平均行度分别是：第一次月食为177°51′，第二次月食为182°51′，第三次月食为179°58′。
通过这些有关月食的内容，我们可以检验前面关于月球均匀行度的论述是否正确。在第一组月食中，当第二次月食发生时，月球与太阳的距离为182°47′，近点角为64°38′。在第二组月食中，当第二次月食发生时，月球离开太阳的行度为182°51′，近点角为74°27′。于是明显可知，在此期间共历时17166个月加大约4分，近点角行度（不算整圈）为9°49′［=74°27′-64°38′］。从哈德良19年埃及历4月2日午夜前2小时到公元1522年9月5日午夜后1
小时，共历时1388个埃及年302日加上视时间3
小时＝均匀时3小时34分。在此期间，除17165个均匀月的完整旋转以外，希帕克斯和托勒密都认为还应有359°38′。不过希帕克斯认为近点角为9°39′，托勒密认为是9°11′。因此，希帕克斯和托勒密都认为月球行度少了26′［＝360°4′-359°38′］，而托勒密那里的近点角少了38′［＝9°49′-9°11′］，希帕克斯那里的近点角行度少了10′［＝9°49′-9°39′］。在这些差值补上之后，结果与前面的计算结果相符。
和前面［Ⅲ，23］一样，这里我将对奥林匹克运动会纪元、亚历山大纪元、恺撒纪元、基督纪元以及其他任何我们所需的纪元的开端确定月球黄经和近点角的位置。让我们考虑三次古代月食中的第二次。它于哈德良19年埃及历4月2日午夜前1均匀小时在亚历山大城发生，而对于克拉科夫经度圈上的我们来说则为2小时。我发现从基督纪元开始到这一时刻，共历时133埃及年325日再加约数22小时，精确数为21小时37分。根据我的计算，在此期间月球的行度为332°49′，近点角行度为217°32′。把这两个数分别从月食发生时对应的数中减去，便可得到在基督纪元开始时1月1日前的午夜，对月球与太阳的平距离来说余数为209°58′，对近点角来说为207°7′。
从第一个奥林匹克运动会期到这个基督纪元开始，共历时193个奥林匹克运动会期2年194
日即775埃及年12日加上
日，但精确时间为12小时11分。类似地，从亚历山大大帝去世到基督诞生，共历时323埃及年130日外加视时间
日，但精确时间为12小时16分。从恺撒到基督历时45埃及年12日，其均匀时与视时的计算结果是相符的。
与这些时间间隔对应的行度可以按照各自的类别从基督诞生时的位置减去。我们求得在第一个奥林匹克运动会期1月1日正午，月球与太阳的均匀距离为39°48′，近点角为46°20′。在亚历山大纪元1月1日正午，月球与太阳的距离为310°44′，近点角为85°41′。在尤里乌斯·恺撒纪元1月1日前的午夜，月球与太阳的距离为350°39′，近点角为17°58′。所有这些数值都已化归为克拉科夫经度圈，因为我的观测地——位于维斯图拉（Vistula）河口的吉诺波里斯（Gynopolis）（通常被称为弗龙堡）——处在这条经度圈上。这是我从这两个地方可以同时观测到日月食了解到的。马其顿的底耳哈琴（Dyrrhachium）——古代称为埃皮达努斯（Epidamnus）——也位于这条经度圈上。
关于月球的均匀行度及其第一种不均匀性，我们前面已经作了解释。现在我要研究第一本轮与第二本轮之比以及它们与地心之间的距离。正如我已说过的，月球的平均行度与视行度之间的最大差值出现在高低拱点之间，即在平均方照处，此时盈月或亏月皆为半月。古人［托勒密，《天文学大成》，Ⅴ，3］也报告说，此差值达到了7
°。他们测定了半月最接近本轮平距离的时刻，通过前面所讨论的计算很容易得知，这出现在由地心所引的切线附近。因为此时月球与出没处大约相距黄道的90°，所以就避免了视差可能导致的黄经行度误差。这时过地平圈天顶的圆与黄道正交，不会引起黄经变化，但变化完全发生在黄纬上。因此他们借助于星盘测定了月球与太阳的距离。进行比较之后，他们发现月球偏离平均行度的变化为我所说的7
°，而不是5°。
现在作本轮AB，其中心为点C。设地心为点D，从点D作直线DBCA。设点A为本轮的远地点，点B为近地点。作DE与本轮相切，连接CE。由于最大行差出现在切线处，这里为7°40′，所以∠BDE＝7°40′，圆AB的切点处的∠CED＝90°。因此，如果取半径CD＝10000，则CE＝1334。但在满月时，这个距离要小得多，CE≈861。把CE分开，设CF＝860。点F绕同一中心描出新月和满月所在的圆。于是相减可得，第二本轮的直径FE＝474［＝1334-860］。设FE被中点G平分。于是相加可得，第二本轮中心所描出的圆的半径CFG＝CF＋FG＝1097。因此，如果取CD＝10000，则CG:GE＝1097:237。
上述论证使我们理解了月球如何在其第一本轮上不均匀地运动，以及它的最大差值出现在月亮为新月、凸月和半月的时候。再次设AB为第二本轮中心的平均运动所描出的第一本轮，点C为中心，点A为高拱点，点B为低拱点。在圆周上任取一点E，连接CE。设CE:EF＝1097:237。以EF为半径，绕中心点E作第二本轮。在两边作与之相切的直线CL与CM。设小本轮从A向E即在第一本轮的上半部分向西运动，月球从F向L也是向西运动。沿AE的运动是均匀的，第二本轮通过FL的运动显然给均匀行度加上了弧段FL，而当它通过MF时从均匀行度中减去这一段。但由于在三角形CEL中，∠L＝90°，如果取CE＝1097，则EL＝237，因此，如果取CE＝10000，则EL＝2160。由于三角形ECL与ECM相似且相等，所以由表可得，EL＝
弦2ECL，∠ECL＝∠MCF＝12°28′。此即月球在其运动中偏离第一本轮高拱点的最大差值，它出现在月球平均行度偏离地球平均行度线两侧38°46′的时候。因此显然，最大行差发生在日月之间的平距离为38°46′，且月球位于平冲任一边同样距离处时。
处理了这些主题之后，我现在想通过图形来说明，如何能由月球的那些给定的均匀行度推导出月球的视行度来。以希帕克斯的一次观测为例，看看我的理论能否为经验所证实［托勒密，《天文学大成》，Ⅴ，5］。
希帕克斯于亚历山大大帝去世后的第197年埃及历10月17日白天9
小时在罗得岛用一个星盘观测太阳和月球，测出月球位于太阳以东48
°。由于他认为当时太阳位于巨蟹宫内10
°，所以月球位于狮子宫内29°。当时天蝎宫29°正在升起，罗得岛上方的室女宫10°正位于中天，此处北天极的高度为36°［托勒密，《天文学大成》，Ⅱ，2］。由此可见，当时位于黄道上并且距地平圈约90°的月球在黄经上没有视差，或者至少小到无法察觉。这次观测是在17日午后3
小时——在罗得岛对应着4均匀小时——进行的。由于罗得岛与我们之间的距离要比亚历山大城近
小时，所以在克拉科夫应为午后3
均匀小时。自从亚历山大大帝去世，时间已经过去了196年286日加上3
简单小时，但约为3
相等小时。这时太阳按照其平均行度到达了巨蟹宫内12°3′，而按照其视行度到达了巨蟹宫内10°40′，因此月球实际上位于狮子宫内28°37′。根据我的计算，月球周月运转的均匀行度为45°5′，远离高拱点的近点角为333°。
根据这个例子，以点C为中心作第一本轮AB。设ACB为它的直径，把ACB延长为直线ABD至地心。在本轮上，设弧ABE＝333°。连接CE，并在点F把它分开，使得EC＝1097，EF＝237。以点E为中心，EF为半径，作本轮上的小本轮FG。设月球位于点G，弧FG＝90°10′，它等于离开太阳的均匀行度45°5′的两倍。连接CG、EG和DG。于是在三角形CEG中，两边已知：CE＝1097，EG＝EF＝237，∠GEC＝90°10′。因此，根据我们已经讲过的平面三角形定理，边CG＝1123，∠ECG＝12°11′。由此还可得出弧EI以及近点角的正行差，相加可得，弧ABEI＝345°11′［ABE＋EI＝333°＋12°11′］。相减可得，∠GCA＝14°49′［＝360°-345°11′］，此即月球与本轮AB的高拱点之间的真距离；∠BCG＝165°11′［＝180°-14°49′］，于是在三角形GDC中，也有两边已知。如果取CD＝10000，则GC＝1123，∠GCD＝165°11′。由此可求得∠CDG＝1°29′以及与月球平均行度相加的行差。于是月球与太阳平均行度的真距离为46°34′［＝45°5′＋1°29′］，月球的视位置位于狮子宫内28°37′处，与太阳的真位置相距47°57′，这比希帕克斯的观测结果少了9′［＝48°6′-47°57′］。
然而，不要因此而猜想不是他的研究出了错，就是我的研究出了错。虽然有非常小的差异，但我将表明无论他还是我都没有犯错，真实的情况就是如此。我们应当记得，月球运转的圆周是倾斜的，于是我们会承认，月球在黄道上，特别是在黄纬南北两限和黄道交点的中点附近，会产生某种黄经的不均匀性。这种情况非常类似于我在讨论自然日的非均匀性时［Ⅲ，26］所讲的黄赤交角。如果我们把上述关系赋予月球的轨道圆（托勒密认为它倾斜于黄道［托勒密，《天文学大成》，Ⅴ，5］），就会发现在那些位置上，这些关系在黄道上引起了7′的黄经差，它的两倍是14′。这一差值作为增加量或减少量类似地发生。当太阳和月球相距一个象限，黄纬南北两限位于日月的中点时，在黄道上截出的弧将比月球轨道上的一个象限大14′；相反地，在交点是中点的另一个象限，通过黄极的圆截出的弧将比一个象限少相同数量的弧段。目前的情况就是如此。由于月球当时是在黄纬南限与黄道升交点（现代人称之为“天龙之头”）之间的中点附近，而太阳已经通过另一个降交点（现代人称之为“天龙之尾”），因此，如果月球在其倾斜轨道圆上的距离47°57′相对黄道至少增加了7′，尽管接近沉没的太阳也引起某种相减的视差，这是不奇怪的。我将在解释视差时［Ⅳ，16］对这些问题作进一步讨论。希帕克斯用仪器测出的日月两发光体之间的距离48°6′与我的计算结果符合得相当好，可以说是完全一致。
我相信，从这个例子可以一般地理解计算月球运动的方法。在三角形CEG中，GE和CE两边总是不变的。根据总在变化的已知∠GEC，可以求得剩下的边GC和用来使近点角归一化的∠ECG。其次，当在三角形CDG中，DC和CG两边以及∠DCE的值已经确定时，我们可以用同样程序求得在地心所成的∠D，即均匀行度与真行度之差。
为了使这些数值便于查找，我编了一张六列的行差表。前两列是均轮的公共数。第三列是小本轮每月两次运转所产生的行差，它改变了第一近点角的均匀性。第四列先暂时空着，以后再填进数值。第五列是当太阳与月球平合冲时较大的第一本轮的行差，其最大值为4°56′。倒数第二列是半月时出现的行差超过第四列中行差的值，其最大值为2°44′［＝7°40′-4°56′］。为了确定其他的超出量，比例分数已经根据如下比例算出来了，即相对于小本轮与从地心所引直线的切点处出现的任何其他超出量，取最大超出值2°44′为60′。于是在这个例子中［Ⅳ，10］，如果取CD＝10000，则CG＝1123。这使小本轮切点处的最大行差成为6°29′，它超出了第一本轮的最大行差1°33′［＋4°56′＝6°29′］。而2°44′:1°33′＝60′:34′，于是我们就得到了在小本轮半圆处出现的超出量与给定的90°10′弧所对应的超出量之比。因此，我将在表中与90°相对的地方写上34′。用这样的方法即可就同一圆中任一弧段求得比例分数，我把它们写在空着的第四列中。最后，我在最后一列加上南北黄纬度数，这将在后面讨论［Ⅳ，13-14］。为了方便易用，我把它们排成这种顺序。
由上所述，月球视行度的计算方法就很清楚了，兹叙述如下。首先要把我们求月球位置所提出的时间化为均匀时。同太阳的情形［Ⅲ，25］一样，利用均匀时，我们可以从基督纪元或任何其他历元导出月球黄经、近点角以及黄纬的平均行度，这一点我很快就会解释［Ⅳ，13］。我们将确定每种行度在已知时刻的位置。然后，在表中查出月球的均匀距角即它与太阳距离的两倍，并且在第三列中查出相应行差以及伴随的比例分数。如果我们开始所用数值载于第一列或者说小于180°，则应把行差与月球近点角相加；如果该数大于180°或者说在第二列，则应将行差从近点角中减去。这样，我们就得到了月球的归一化近点角及其与第一本轮高拱点之间的真距离。用此距离值再次查表，从第五列得出与之相应的行差，从第六列中得到超出量，即第二小本轮给第一本轮增加的超出量。由求得的分数与60分之比算出的比例部分总是与该行差相加。如果归一化近点角小于180°或半圆，则应将如此求得的和从黄经或黄纬的平均行度中减去；如果归一化近点角大于180°，则应将它加上。我们用这种方法可以求得月球与太阳平位置之间的真距离，以及月球黄纬的归一化行度。因此，无论是从白羊宫第一星通过太阳的简单行度计算，还是从受岁差影响的春分点通过太阳的复合行度计算，月球的真距离都可以确定。最后，利用表中第七列即最后一列所载的归一化黄纬行度，我们就得到了月球偏离黄道的黄纬度数。当黄纬行度可在表的第一部分找到，即当它小于90°或大于270°时，该黄纬为北纬；否则即为南纬。因此，月球会从北面下降至180°，再从南限上升，直至走完圆周上的其余度数。于是，就像地球绕太阳运行一样，月球的视运动在许多方面也是与绕地心运行有关的。
我现在还应当解释月球的黄纬行度。由于受到更多情况的限制，这种行度更难发现。正如我以前讲过的［Ⅳ，4］，假定两次月食在一切方面都相似和相等，亦即黑暗区域占据着北边或南边的相同位置，月球位于同一个升交点或降交点附近，它与地球或与高拱点的距离是相等的。如果这两次月食如此相符，则月球必定已经在其真运动中走完了完整的黄纬圈。地影是圆锥形的，如果一个直立圆锥被一个平行于底面的平面切开，截面将为圆形。该平面离底面越远，截出的圆就越小；离得越近，截出的圆就越大；距离相等，截出的圆也相等。因此，月球在与地球相等距离处穿过相等的阴影圆周，于是就会向我们呈现出相等的月面。结果，当月球在同一边与阴影中心距离相等处呈现出相等部分时，我们就可以判定月球黄纬是相等的。由此必然得出，月球已经返回了原来的纬度位置，尤其是两个位置相符时，月球与同一黄道交点的距离那时也相等。月球或地球的靠近或远离会改变阴影的整个大小，不过这种改变小到基本察觉不到。因此，就像前面所讲的太阳的情况［Ⅲ，20］，两次月食之间的时间间隔越长，我们就越能准确地定出月球的黄纬行度。但与这些方面都符合的两次食是很罕见的（我至今也没遇到过一次）。
不过我知道，还有另一种方法可以做到这一点。假定其他条件不变，月球在相反的两边和相对的交点附近被掩食，那么这将表明在第二次食发生时，月球已经到达了一个与前一次正好相对的位置，而且除整圈外还多走了半圈。这似乎可以满足我们的研究需要。于是，我找到了两次几乎正好有这些关系的月食。
据克劳迪乌斯·托勒密记载［《天文学大成》，Ⅵ，5］，第一次月食发生在托勒密·费洛米特（Ptolemy Philometer）7年即亚历山大大帝去世后第150年的埃及历7月27日后和28日前的夜晚。用亚历山大城夜晚季节时来表示，月食从第8小时初开始，到第10小时末结束。这次月食发生在降交点附近，食分最大时月球直径有
从北面被掩住。因为当时太阳位于金牛宫内6°，所以托勒密说食甚出现在午夜后2季节时即2
均匀时，而在克拉科夫应为午夜后均匀时1
小时。
我于公元1509年6月2日在同一条克拉科夫经度圈上观测到了第二次月食，当时太阳位于双子宫内21°处。食甚出现在午后11
均匀时，月球直径约有
从南面被掩住。月食出现在升交点附近。
因此，从亚历山大纪元开始到第一次月食，共历时149埃及年206日，在亚历山大城再加14
小时，而在克拉科夫根据地方时为13
小时，均匀时为13
小时。根据我的计算，当时近点角的均匀位置163°33′与托勒密的结果［＝163°40′］几乎完全相符，行差为1°23′，月球的真位置比其均匀位置少了这个数值。从同样已经确定的亚历山大纪元到第二次月食，共历时1832埃及年295日，再加上视时间11小时45分＝均匀时11小时55分。因此，月球的均匀行度为182°18′，近点角位置为159°55′，归一化之后为161°13′，均匀行度小于视行度的行差为1°44′。
因此，月地距离在两次月食发生时是相等的，太阳都位于远地点附近，但掩食区域有一个食分之差。我以后将会说明［Ⅳ，18］，月球直径通常约为
°。一个食分＝直径的
＝2
′，这在交点附近的月球倾斜圆周上大约对应着
°。月球在第二次食时离开升交点的距离要比第一次食时离开降交点的距离远
°。因此，如果不算整圈，则月球的真黄纬行度显然为179
°。但是在两次月食之间，月球的近点角给均匀行度增加了21′（这也是两行差之差［1°44′-1°23′］），所以除整圈外，月球的均匀黄纬行度为179°51′［＝179°30′＋21′］。两次月食之间时隔1683年88日再加视时间22小时25分，均匀时间与此相同。在此期间，共完成了22577次完整的均匀运转加上179°51′，这与我刚才提到的值相符。
为了也对前面采用的历元确定这个行度的位置，我在这里也采用两次月食。和前面一样［Ⅳ，13］，它们既不出现在同一交点，也不出现在恰好相对的区域，而是出现在北面或南面的相同区域（如我所说，其他一切条件均满足）。按照托勒密所采取的步骤［《天文学大成》，Ⅳ，9］，我们用这些月食可以不出差错地达到目的。
至于第一次月食，我在研究月球的其他行度时已经采用过［Ⅳ，5］，那就是我已经说过的托勒密于哈德良19年埃及历4月2日末3日前的午夜之前1均匀小时在亚历山大城所观测到的月食，而在克拉科夫则应为午夜前2小时。食甚出现时，月球在北面食掉了直径的
＝10食分，太阳则位于天秤宫内25°10′处，月球近点角的位置为64°38′，其负行差为4°21′。月食发生在降交点附近。
第二次月食是我在罗马认真观测的。它发生于公元1500年11月6日午夜后两小时，而在东面5°的克拉科夫则是在午夜后2
小时。太阳当时位于天蝎宫内23°16′处，也是月球在北面被食掉了10食分。因此，从亚历山大大帝去世到那时，共历时1824埃及年84日再加视时间14小时20分，而均匀时为14小时16分。月球的平均行度为174°14′，月球近点角为294°44′，归一化后为291°35′。正行差为4°28′。
因此显然，这两次月食发生时，月球与高拱点的距离几乎相等。太阳都位于其中拱点附近，阴影的大小相等，均为10食分。这些事实表明，月球的纬度为南纬，并且黄纬相等，所以月球与交点的距离相等，只是第二次月食时交点为升交点，第一次为降交点。两次月食之间时隔1366埃及年358日再加视时间4小时20分，而均匀时为4小时24分。在此期间，黄纬的平均行度为159°55′。
设ABCD为月球的倾斜圆周，直径AB为它与黄道的交线。设点C为北限，点D为南限；点A为降交点，点B为升交点。在南面区域取两段相等的弧AF与BE，第一次食发生在点F，第二次食发生在点E。设FK为第一次食时的负行差，EL为第二次食时的正行差。由于弧KL＝159°55′，弧FK＝4°20′，弧EL＝4°28′，所以弧FKLE＝弧FK＋弧KL＋弧LE＝168°43′，半圆的其余部分＝11°17′。弧AF＝弧BE＝
（11°18′）＝5°39′，即为月球与交点A、B之间的真距离。因此，弧AFK＝9°59′［＝4°20′＋5°39′］。于是显然，黄纬平位置与北限之间的距离CAFK＝99°59′［＝90°′＋9°59′］。从亚历山大大帝去世到托勒密进行这次观测，共历时457埃及年91日再加视时间10小时，而均匀时为9小时54分。在此期间，平均黄纬行度为50°59′。把50°59′从99°59′中减去，得到49°。这就是亚历山大纪元开始时的埃及历1月1日正午在克拉科夫经度圈上的位置。
于是对于其他任何纪元，可以根据时间差求出从北限算起的月球黄纬行度的位置。从第一个奥林匹克运动会期到亚历山大大帝去世，共历时451埃及年247日，为使时间归一化，需要从中减去7分钟。在此期间，黄纬行度＝136°57′。从第一个奥林匹克运动会期到恺撒纪元共历时730埃及年12小时，为使时间归一化，需要加上10分钟。在此期间，均匀行度为206°53′。从那时起到基督纪元历时45年12日，把136°57′从49°中减去，再加上一整圆的360°，得到的272°3′即为第一个奥林匹克运动会期第一年1月1日正午的位置。给272°3′加上206°53′，得到的和118°56′即为尤里乌斯纪元1月1日前午夜的位置。最后，给118°56′加上10°49′，得到的和129°45′即为基督纪元1月1日前的午夜的位置。
如果取圆周等于360°，则月球的最大黄纬（对应于月球的轨道圆即白道与黄道的交角）为5°。同托勒密一样，由于月球视差的影响，命运没有赐予我机会进行这种观测。在北极高度等于30°58′的亚历山大城，他等待着月球距天顶最近，即月球位于巨蟹宫的起点和北限的时刻，他能够通过计算预测出来［《天文学大成》，Ⅴ，12］。借助于一种被称为“视差仪”的专门用来测定月球视差的仪器，他当时发现月球与天顶的最小距离仅为2
°。即使在这个距离处会受到任何视差的影响，它对如此短的距离来说也必定非常小。于是，从30°58′中减去2
°，余数为28°50
′，它比最大的黄赤交角（当时为23°51′20″）大了约5°。最后，直到现在此月球黄纬被发现仍与其他细节相符。
这种视差观测仪由三把标尺构成。其中两把长度相等，至少有4腕尺，第三把标尺稍长一些。后者与前两者之一分别通过轴钉或栓与剩下那把尺子的两端相连。钉孔或栓孔制得非常精细，使得尺子即使可以在同一平面内移动，也不会在连接处摇晃。从接口中心作一条贯穿整个长尺的线段，使这条线段尽可能精确地等于两接口之间的距离。把该线段分成1000等份（如果可能，还可以分得更多），并以同样单位把其余部分也等分，直至得到半径为1000单位的圆的内接正方形的边长即1414单位。标尺的其余部分是多余的，可以截去。在另一标尺上，也从接口中心作一条长度等于1000单位或两接口中心距离的线段。和屈光镜一样，这把标尺的一边应装有让视线通过的目镜。应把目镜调节到使视线在通过目镜时不会偏离沿标尺已经作好的直线，而是一直保持等距；还应确保当这条线向长尺移动时，它的断点可以触到刻度线。这样，三根标尺就形成了一个底边为刻度线的等腰三角形。这样便竖起了一根已经刻度和打磨得很好的牢固的标杆。用枢轴把有两个接口的标尺固定在这根标杆上，仪器可以像门一样绕枢轴旋转，但是通过接口中心的直线总是对应着标尺的铅垂线并且指向天顶，就像地平圈的轴线一样。如果你想得到某颗星与天顶之间的距离，便可沿着通过目镜的直线观测这颗星。把带有分度线的标尺放在下面，就可以知道视线与地平圈轴线之间的夹角所对的长度有多少个单位（取圆周直径为20000）。然后查圆周弦长表便可得出恒星与天顶之间大圆的弧长。
正如我已经说过的［Ⅳ，15］，托勒密用这个仪器测出月球的最大黄纬为5°。接着，他转而观测月球视差，并说［《天文学大成》，Ⅴ，13］他在亚历山大城发现月球视差为1°7′，太阳位于天秤宫内5°28′处，月球与太阳的平距离为78°13′，均匀近点角为262°20′，黄纬行度为354°40′，正行差为7°26′，因此，月球位于摩羯宫中3°9′处，归一化的黄纬行度为2°6′，月球的北黄纬为4°59′，赤纬为23°49′，亚历山大城的纬度为30°58′。他说，通过仪器测得月球位于子午圈附近距天顶约50°55′的位置，即比计算所需的值多了1°7′。然后，他又根据古人的偏心本轮月球理论，求得当时月球与地心的距离为39
p
45′（取地球半径为1
p
），并且论证了由圆周比值所能导出的结果。例如，地月之间的最大距离（他们认为出现于本轮远地点处的新月和满月）为64
p
再加10′（＝1
p
的
），最小距离（出现于本轮近地点处的半月方照）为33
p
33′。他还求得出现在距天顶90°处的视差：最小值＝53′34″，最大值＝1°43′。（从他由此推出的结果，对此可以有更完整的了解。）
然而正如我已多次发现的，对于现在考虑这一问题的人来说，情况显然已经非常不同了。不过，我还是要对两次观测进行考察，它们再次表明我关于月球的假设比他们的更为精确，因为我的假设与现象符合得更好，而且不会留下任何疑问。
公元1522年9月27日午后5
均匀小时，在弗龙堡日没时分，我通过视差仪发现子午圈上的月球中心与天顶之间的距离为82°50′。从基督纪元开始到那时，共历时1522埃及年284日再加视时间17
小时，而均匀时为17小时24分。由此可以算出太阳的视位置为天秤宫内13°29′处，月球与太阳的均匀距离为87°6′，均匀近点角为357°39′，真近点角为358°40′，正行差为7′，于是月球的真位置为摩羯宫内12°32′处。从北限算起的平均黄纬行度为197°1′，真黄纬行度为197°8′［＝197°1′＋7′］，月球的南黄纬为4°47′，赤纬为27°41′，我的观测地的纬度为54°19′。把54°19′与月球赤纬相加，可得月球与天顶的真距离为82°［＝54°19′＋27°41′］。因此，视天顶距82°50′中多出的50′为视差，而按照托勒密的学说，该视差应该等于1°17′。
我还于公元1524年8月7日午后6小时在同一地点进行了另一次观测。我用同一架仪器测得月球距离天顶81°55′。从基督纪元开始到那时，共历时1524埃及年234日再加视时间18小时，均匀时也是18小时。可以算出太阳当时位于狮子宫内24°14′处，月球与太阳的平均距离为97°5′，均匀近点角为242°10′，修正近点角为239°40′，平均行度大约增加了7°。于是，月球的真位置为人马宫内9°39′处，平均黄纬行度为193°19′，真黄纬行度为200°17′，月球的南黄纬为4°41′，南赤纬为26°36′。把26°36′与观测地的纬度54°19′相加，便得到月球与地平圈极点之间的距离为80°55′［＝26°36′＋54°19′］，然而实际看到的却是81°55′，因此多余的1°来自月球视差。而按照托勒密和我的前人们的理论，月球视差应为1°38′，才能与他们的理论所要求的结果相符。
由上所述，月地距离的大小就显然可得了。没有这个距离，就无法求出视差的确定值，因为这两个量彼此相关。月地距离可以测定如下。
设AB为地球的一个大圆，点C为它的中心。绕点C作另一圆DE，地球的圆要比这个圆大很多。设点D为地平圈的极点，月球中心位于点E，于是它与天顶的距离DE已知。在第一次观测中［Ⅳ，16］，∠DAE＝82°50′，根据计算，∠ACE＝82°，因此，∠ACE＝∠DAE-∠ACE＝50′，即为视差的大小。于是三角形ACE的各角已知，因而各边可知。因为∠CAE已知［97°10′＝180°-82°50′］，如果取三角形AEC的外接圆直径＝100000，则边CE＝99219。AC＝1454≈
8CE。如果取地球半径AC＝1
p
，则CE≈68。这就是第一次观测时月球距地心的距离。
在第二次观测中［Ⅳ，16］，视行度角DAE＝81°55′，计算可得，∠ACE＝80°55′，相减可得，∠AEC＝60′。因此，如果取三角形的外接圆直径＝100000，则边EC＝99027，边AC＝1891。所以，如果取地球半径AC＝1，则CE＝56 p 42′，即为月球与地心之间的距离。
现在设ABC为月球的较大本轮，其中心为点D。取点E为地心，从它引直线EBDA，使得远地点为点A，近地点为点B。根据［Ⅳ，16］的第二次观测中计算出的月球均匀近点角，量出弧ABC＝242°10′。以点C为中心，作第二本轮FGK，在它上面取弧FGK＝194°10′，它等于月球与太阳之间距离的两倍［＝2×97°5′］。连接DK，它使近点角减少2°27′，于是，归一化的近点角KDB＝59°43′。整个角CDB＝62°10′［＝59°43′＋2°27′］，为超出一个半圆的部分［因为ABC＝242°10′＝62°10′＋180°］。角BEK＝7°，因此，在三角形KDE中各角均已知，其度数按照两直角＝180°给出。如果取三角形KDE的外接圆直径＝100000，则各边长度也可知：DE＝91856，EK＝86354。但是如果取DE＝100000，则KE＝94010。前已证明，DF＝8600，DFG＝13340，所以由前面已经给出的比值，如果取地球半径＝1
p
，则
。于是用同样单位可得，
，
，DFG＝
；如果连成一条直线，则
，此即半月的最大高度。此外，
，此即半月与地球的最小距离。于是满月和新月的高度整个EDF在最大时＝65
p
［60
p
18′＋5°11′≈65°30′］；在最小时，
。有一些人，尤其是那些由于居住地的缘故而只能对月球视差一知半解的人，认为新月和满月与地球之间的最大距离竟达
［Ⅳ，16］，我们不必对此感到惊奇。当月球靠近地平圈时（此时视差显然接近完整值），我可以更完整地了解月球视差。但我发现，由月球靠近地平圈所引起的视差变化不曾超过1′。
既然月球和地影的视直径也随着月地距离的变化而变化，因此，对这些问题的讨论也很重要。诚然，用希帕克斯的屈光镜可以正确地测定太阳与月球的直径，但天文学家们认为，利用月球与其高低拱点等距的几次特殊的月食，可以更加精确地测出月球的直径。特别是，如果当时太阳也处于相似的位置，从而月球两次穿过的影圈相等（除非被掩食区域占据着不等的区域），则情况就尤其如此。显然，当把阴影与月球宽度相互比较时，其差异显示了月球直径在绕地心的圆周上所对的弧有多大。知道了这个数值，就可以求出阴影半径了。用一个例子可以说得更清楚。
假设在较早的一次月食的食甚时，月球直径有
被掩食，此时月球的宽度为47′54″；而在第二次月食时，月球直径的
被掩食，月球的宽度为29′37″。这两次阴影区域之差为月球直径的
，宽度差为18′17″［47′54″-29′37″］。而
对应着月球直径所对的角31′20″，所以在第一次月食的食甚时，月球中心位于阴影区之外约
月球直径或7′50″［＝31′20″÷4］的宽度处。如果把7′50″从整个宽度47′54″中减去，得到的余数40′4″［＝47′54″-7′50″］即为地影半径。类似地，在第二次月食时，阴影区比月球宽度多出了10′27″［≈31′20″÷3］月球直径的
。把29′37″与10′27″相加，得到的和仍为地影半径40′4″。托勒密认为，当太阳与月球在距地球最远处相合或相冲时，月球直径为31
′（他说用希帕克斯的屈光镜所求得太阳直径与此相等，但地影直径为1°21′20″）。他认为这两个直径之比等于13:5＝2
:1［《天文学大成》，Ⅴ，14］。
太阳也显示出一定的视差。由于它非常小，所以不容易发觉，除非日月与地球的距离、它们的直径以及月球通过处地影的直径和轴线相互有关联。因此，这些量在论证中可以相互推得。我先来考察托勒密关于这些量的结论以及他的论证步骤［《天文学大成》，Ⅴ，15］，我将从中选择看起来完全正确的部分。
他一成不变地把太阳的视直径取为31
′，并设它等于位于远地点的满月和新月的直径。如果取地球半径＝1
p
，则他说这时的月地距离为
。于是他用以下方法求出其他数量。
设ABC为以点D为中心的太阳球体上的一个圆。设EFG为以点K为中心的地球上的一个圆，它与太阳的距离最远。设AG和CE为与两个圆都相切的直线，它们的延长线交于地影的端点S。过太阳与地球的中心作直线DKS，引AK和KC。连接AC和GE，由于距离遥远，它们与直径几乎没有什么差别。当满月和新月时，根据远地点处月球与地球之间的距离，在DKS上取相等的弧段LK和KM：托勒密认为，如果取EK＝1
p
，则远地点处的月地距离为
。设QMR为同样条件下月球通过处地影的直径，NLO为与DK垂直的月球直径，把它延长为LOP。
第一个问题是要求出DK:KE。如果取四直角＝360°，则∠NKO＝31
′，∠LKO＝
∠NKO＝15
′。∠L＝90°，所以在各角已知的三角形LKO中，KL:LO可知。如果取LK＝64
p
10′或KE＝1
p
，则LO＝17′33″。因为LO:MR＝5:13，MR＝45′38″。LOP和MR平行于KE，且间距相等，所以LOP＋MR＝2KE。OP＝2KE［＝2
p
］-（MR＋LO）［45′38″＋17′33″＝1
p
3′11″］＝56′49″。根据《几何原本》，Ⅵ，2，EC:PC＝KC:OC＝KD:LD＝KE:OP＝60′:56′49″。类似地，如果取DLK＝1
p
，则LD＝56′49″。于是相减可得，KL＝3′11″［＝1
p
-56′49″］。但如果取KL＝64
p
10′和FK＝1
p
，则KD＝1210
p
。由于已经知道，MR＝45′38″，所以KE:MR［60′:45′38″］可得，KMS:MS可得。在整个KMS中，KM＝14′22″［＝60′-45′38″］。或者如果取KM＝64
p
10′，则KMS＝268
p
。以上就是托勒密的做法。
但在托勒密之后，其他天文学家发现这些结果并非与现象十分相符，他们还就此报道了其他一些发现。不过他们承认，满月和新月与地球的最大距离为64
p
10′，太阳在远地点的视直径为31
′。他们也同意托勒密所说的，在月球通过处地影直径与月球直径之比为13:5。但他们否认当时月球的视直径大于29
′。因此，他们把地影直径取为1°16
′左右。他们认为，由此可知远地点处的日地距离为1146
p
，地影轴长为254
p
（地球半径＝1
p
）。他们把这些数值的发现归功于拉卡的科学家巴塔尼，尽管这些数值无论如何也无法协调起来。
为了进行调整和修正，我取远地点处的太阳视直径为31′40″（因为它现在应比托勒密之前大一些），高拱点处的满月或新月的视直径为30′，月球通过处地影的直径为80
′。现在了解到，它们之间的比值略大于5:13，即150:403［≈5:13
］。只要月地距离不小于62个地球半径，远地点处的太阳就不可能被月球全部掩住。采用这些数值时，它们似乎不仅彼此之间联系了起来，而且与其他现象以及观测到的日月食相符。于是，根据以上论证，如果取地球半径KE＝1
p
，则LO＝17′8″。因此，MR＝46′1″［≈17′8″×2.7］，OP＝56′51″［＝2
p
-（17′8″＋46′1″）］。若取LK＝65
p
，则DLK＝1179
p
，即为太阳位于远地点时与地球的距离；KMS＝265
p
，即为地影的轴长。
于是也可得出，KL:KD＝1:18，LO:DC＝1:18。而如果取KE＝1
p
，则18×LO≈5
p
27′。或者，由于各边的比值相等，所以SK:KE＝265:1＝SKD:DC＝1444
p
:5
p
27′，此即太阳直径与地球直径之比。而球体体积之比等于其直径的立方之比，而（5
p
27′）
3
＝161
，所以太阳是地球的161
倍。
此外，如果取KE＝1
p
，月球半径＝17′9″，所以地球直径：月球直径＝7:2＝3
:1［这是3.498:1的近似值］。取这个比值的立方，便可知地球是月球的42
倍。因此，太阳是月球的6937倍。
由于同样大小的物体看起来近大远小，所以和视差一样，日、月和地影都随着与地球距离的改变而改变。由前所述，对任何距离都容易测出所有这些变化。首先是太阳。我已经说明［Ⅲ，21］，如果取周年运转轨道圆的半径＝10000
p
，则地球与太阳的最大距离为10322
p
，而在直径的另一部分，地球与太阳的最小距离为9678
p
［＝10322-322］。因此，如果取高拱点＝1179地球直径［Ⅲ，19］，则低拱点为1105
p
，平拱点为1142
p
。而1000000÷1179＝848，在直角三角形中，848
p
所对的最小角＝2′55″，即为出现在地平圈附近的最大视差角。类似地，因为最小距离为1105
p
，而1000000÷1105＝905
p
，所张角3′7″即为在低拱点的最大视差。但我已经说过［Ⅳ，20］，太阳直径＝5
地球直径，它在高拱点所张角为31′48″。因为1179:5
＝2000000:9245＝圆的直径：31′48″所对边长，因此在最短距离（＝1105地球直径）处，太阳的视直径为33′54″。它们之间相差2′6″［33′54″-31′48″］，而视差之间仅仅相差12″［3′7″-2′55″］。由于这两个值很小，凭借感官很难察觉1′或2′，而对于弧秒来说就更是如此，所以托勒密［《天文学大成》，Ⅴ，17］认为这两个值都可以忽略不计。因此，如果我们把太阳的最大视差处处都取作3′，似乎不会出现明显误差。但我将从太阳的平均距离，或者像某些天文学家那样从太阳的小时视行度（他们认为它与太阳直径之比等于5:66＝1:13
）求出太阳的平均视直径，因为太阳的小时视行度与其距离近似成正比。
作为距离最近的行星，月球的视直径和视差显然有更大的变化。当月球为新月和满月时，它与地球之间的最大距离为65
地球半径，根据前面的论证［Ⅳ，17］，最小距离为
；半月的最大距离为
地球半径，最小距离为
地球半径。于是，用地球的半径除以月球在四个极限位置处的距离，便得到月球出没时的视差：月球最远时，对半月为50′18″，对新月和满月为52′24″；月球最近时，对满月或新月为62′21″，对半月为65′45″。
这样，月球的视直径就可以定出来了。前已说明［Ⅳ，20］，地球直径：月球直径＝7:2，于是地球半径：月球直径＝7:4，视差与月球视直径之比也等于这个值，因为在同一次月球经天时，夹出较大视差角的直线与夹出视直径的直线完全没有区别。而角度与它们所对的弦近似成正比，它们之间的差别感觉不到。由此明显可知，在上述视差的第一极限处，月球的视直径为28
′；在第二极限处约为30′；在第三极限处为35′38″；在最后一个极限处为37′34″。根据托勒密和其他人的理论，最后一个值应当近似为1°，而且一半表面发光的月亮投射到地球上的光应当与满月一样多。
我也曾说过［Ⅳ，19］，地影直径：月球直径＝430:150。因此，当太阳在远地点时，对于满月和新月来说，地影的最小直径为80′36″，最大直径为95′44″，所以最大差异＝15′8″［＝95′44″-80′36″］。甚至当月球通过相同位置时，地影也会由于日地距离的不同而发生以下变化。
和前图一样，再次过日心和地心作直线DKS以及切线CES。连接DC和KE。正如已经阐明的，当DK＝1179地球半径，KM＝62地球半径时，地影半径MR＝地球半径KE的46
′，连接KR，则∠MKR＝地影视角＝42′32″，而地影轴长KMS＝265地球半径。
但是当地球最接近太阳时，DK＝1105地球半径，我们可以按照如下方法计算在同一月球通过处的地影：作EZ平行于DK，则CZ:ZE＝EK:KS。但是，CZ＝4
地球半径，ZE＝1105地球半径。因为KZ是平行四边形，ZE与余量DZ［＝CD-CZ＝5
-4
］各等于DK与KE［＝1］，于是
地球半径。但KM＝62地球半径，因此余量
地球半径［＝248
p
19′-62
p
］。但由于SM:MR＝SK:KE，所以MR＝地球半径的45
′，地球视角半径MKR＝41′35″。
由于这个原因，如果取KE＝1
p
，那么在同一月球通过处，由太阳接近或远离地球所引起的地影直径的最大变化为
′。如果取四直角＝360°，那么它看起来为57″。此外，在第一种情况下［46′1″］，地影直径：月球直径＞13:5；而在第二种情况下［45′1″］，地影直径：月球直径＜13:5。可以认为13:5是平均值，所以如果我们在各处都采用同一数值，从而减轻工作量和沿袭古人的观点，产生的误差是可以忽略的。
现在再来确定太阳和月球的每一个视差就有把握了。过地平圈的极点重作地球轨道圆上的弧段AB，点C为地心。在同一平面上，设DE为月球的轨道圆［白道］，FG为太阳的轨道圆，CDF为过地平圈极点的直线，作直线CEG通过太阳与月球的真位置。连接视线AG和AE。
于是，太阳的视差由∠AGC量出，月球视差由∠AEC量出。太阳和月球的视差之差为∠AGC与∠AEC之差即∠GAE。现在把∠ACG取作与那些角进行比较的角，比如设∠ACG＝30°。根据平面三角形定理，如果取AC＝1
p
，线段CG＝1142
p
，则显然可得∠AGC＝1
′，即为太阳的真高度与视高度之差。而当∠ACG＝60°时，∠AGC＝2′36″。对于∠ACG的其他数值，太阳视差也可类似地得出。
但是对月球来说，我们用它的四个极限位置。当月地距离最大时，取CA＝1
p
，则我已说过［Ⅳ，22］CE＝68
p
21′，如果取四直角＝360°，则∠DCE或弧DE＝30°。于是在三角形ACE中，AC与CE两边以及∠ACE已知。由此可以求得，视差∠AEC＝25′28″。当CE＝65
p
时，∠AEC＝26′36″。类似地，在第三极限处，当CE＝55
p
8′时，视差∠AEC＝31′42″。最后，在月球与地球的最小距离处，当CE＝52
p
17′时，∠AEC＝33′27″。进而，如果弧DE＝60°，则同样次序的视差可以排列如下：对于第一个极限位置，视差＝43′55″，对于第二个极限位置，视差＝45′51″，对于第三个极限位置，视差＝54
′，对于第四个极限位置，视差＝57
′。
我将按照附表的顺序列入所有这些数值。为方便起见，我将像其他表那样把它排成三十行，间距为6°。这些度数可以理解为从天顶算起的弧（其最大值为90°）的两倍。我把表排成了九列。第一列和第二列是圆周的公共数。我把太阳视差排在第三列，然后是月球视差［第四列至第九列］，第四列是最小视差（当半月在远地点时出现）小于下一列中视差（在满月和新月时出现）的量。第六列是在近地点的满月和新月所产生的视差。第七列是当月球离我们最近时半月的视差超过在它们附近的视差的量。最后两列是用来计算四个极限位置之间视差的比例分数。我还将解释这些分数，首先是远地点附近的视差，然后是落在前两个极限位置［月亮分别位于方照和朔望的远地点］之间的视差。解释如下。
设圆AB为月球的第一本轮，点C为它的中心。取点D为地球的中心，作直线DBCA。以远地点A为中心作第二本轮EFG。设弧EG＝60°，连接AG与CG。由前所述［Ⅳ，17］，如果取地球半径＝1
p
，则线段CE＝5
p
11′，线段DC＝60
p
18′，线段EF＝2
p
51′，所以在三角形ACG中，边GA＝1
p
25′，边AC＝6
p
36′，GA和AC两边所夹的角∠CAG已知。因此，根据平面三角形定理，第三边CG＝6
p
7′。于是，如果排成一条直线，则DCG＝DCL＝66
p
25′［＝60
p
18′＋6
p
7′］。然而DCE＝65
p
［＝60
p
18′＋5
p
11′］，于是相减可得，超出量DCL-DCE＝EL≈55
′［≈66
p
25′-65
p
30′］。根据这个已经得到的比值，当DCE＝60
p
时，EF＝2
p
37′，EL＝46′。因此，如果EF＝60′，则超出量EL≈18′。我将把这个数值列在表中与第一列的60°相对的第八列。
对于近地点B，我也将做类似的论证。以点B为中心作第二本轮MNO，并取∠MBN＝60°。和前面一样，三角形BCN的各边角也可得。类似地，如果取地球半径＝1
p
，则超出量MP≈55
′，DBM＝55
p
8′。如果DBM＝60
p
，则MBO＝3
p
7′，超出量MP＝55′。而3
p
7′:55′＝60:18，于是我们就得到了与前面远地点的情形相同的结果，尽管两者之间有几秒的差值。对其他情况我也将这样做，并把得到的结果写进表中第八列。但如果我们用的不是这些值，而是行差表［Ⅳ，11结尾］中所列的比例分数，也不会出任何差错，因为它们几乎是相同的，彼此之间相差极小。
剩下要考虑的是在中间极限位置，即第二与第三极限位置之间的比例分数。设圆AB为满月和新月描出的第一本轮，其中心为点C。取点D为地球的中心，作直线DBCA。从远地点A取一段弧，比如设弧AE＝60°。连接DE与CE。于是三角形DCE有两边已知：CD＝60
p
19′，CE＝5
p
11′。∠DCE为内角，且∠DCE＝180°-∠ACE，根据三角形定理，DE＝63
p
4′。而DBA＝65
p
，DBA-ED＝2
p
27′［≈65
p
30′-63
p
4′］。但［2×CE＝］AB＝10
p
22′，10
p
22′:2
p
26′＝60′:14′。它们被列入表中与60°相对的第九列。以此为例，我完成了余下的工作并制成了下表。我还要补充一个日、月和地影半径表，以便它们能够尽可能地被使用。
我还要简要解释一下用表来计算日月视差的方法。从表中查出与太阳的天顶距或月球的两倍天顶距相应的视差（对于太阳只需查一个值，而对月球则须对四个极限位置分别查出）。此外，对于月球行度或与太阳距离的两倍，从比例分数的第一列即表中第八列查出比例分数。有了这些比例分数，我们就可以就第一个和最后一个极限位置获得超出量（用60的比例部分来表示）。从下一个视差［即在第二极限位置的视差］中减去第一个60的比例部分，并把第二个与倒数第二个极限位置的视差相加，就可以得出化归为远地点和近地点的两个月球视差，小本轮使这些视差增大或减小。然后从表中最后一列查出与月球近点角相应的比例分数，用它们可以对刚才求出的视差之差求出比例部分。把这个60的比例部分与第一个化归的视差（即在远地点的视差）相加，所得结果即为对应于给定地点和时间的月球视差。下面是一个例子。
设月球的天顶距为54°，平均行度为15°，归一化的近点角行度为100°。我希望用表求出月球视差。把月球的天顶距度数加倍，得到108°，表中与此相对应的第二极限位置超过第二极限位置的量为1′48″，在第二极限位置的视差为42′50″，在第三极限位置的视差为50′59″，第四极限位置超过第三极限位置的量为2′46″。逐一记下这些数值。把月球的行度加倍，得到30°。表中第一列与此相对应的比例分数为5′。而对于5′，第二极限位置比第一极限位置超出量的60分的比例部分为9″［1′48″×
＝9″］。把9″从第二极限位置的视差42′50″中减去，得到42′41″。类似地，对于第二个超出量＝2′46″，比例部分为14″［2′46″×
=14″］。把14″与在第三极限位置的视差50′59″相加，得到51′13″。这些视差之间相差8′32″［＝51′13″-42′41″］。然后，对于归一化近点角的度数［100］，在最后一列查得比例分数为34。由此求得差值8′32″的比例部分为4′50″［＝8′32″×
］。把4′50″与第一个修正视差［42′41″］相加，得到的和为47′31″。此即所求的在地平经圈上的月球视差。
然而，任何其他月球视差都与满月和新月的视差相差很少，所以我们只要处处都取中间极限位置间的数值就足够了。它们对于日月食的预测特别重要。其余的则不值得做如此广泛的考察，这样的研究也许会被认为不是为了实用，而是为了满足好奇心。
视差很容易被分成黄经视差和黄纬视差，日月之间的距离可以用相交的黄道与地平经圈上的弧和角来度量。因为当地平经圈与黄道正交时，它显然不会产生黄经视差，而是全都转到了黄纬上，因为地平经圈完全是一个纬度圈。而另一方面，当黄道与地平圈正交并与地平经圈相合时，如果月球黄纬为零，那么它只有黄经视差。但如果它的黄纬不为零，则它在黄纬上也有一定的视差。于是，设圆ABC为与地平圈正交的黄道，点A为地平圈的极点。于是圆ABC与黄纬为零的月球的地平经圈相同。设点B为月球的位置，它的整个视差BC都是黄经视差。
但假定月球黄纬不为零。过黄极作圆DBE，并取DB或BE为月球的黄纬。显然，AD或AE两边都不等于AB。∠D和∠E都不是直角，因为DA与AE两圆都不过DBE的极点。视差与黄纬有关，月球距天顶越近，这种关系也就越明显。设三角形ADE的底边DE不变，则AD与AE两边越短，它们与底边所成的锐角就越小；月球距天顶越远，这两个角就越像直角。
现在设ABC为黄道，DBE为与之斜交的月球的地平经圈。设月球的黄纬为零，比如当它位于与黄道的交点时就是如此。设点B为与黄道的交点，BE为在地平经圈上的视差。在通过ABC两极的圆上作弧EF。于是在三角形BEF中，∠EBF已知（前已证明），∠F＝90°，边BE也可知。根据球面三角形的定理，其余两边也可求得，即黄经BF以及与视差BE相应的黄纬FE。由于BE、EF和FB都很短，所以与直线相差极小。因此如果把这个直角三角形当成直线三角形，计算将会容易许多，而我们也不会出什么差错。
当月球黄经不为零时，计算要更为困难。重作黄道ABC，它与过地平圈两极的圆DB斜交。设点B为月球在经度上的位置，FB为北黄纬，BE为南黄纬。从天顶点D向月球作地平经圈DEK和DFC，其上有视差EK和FG。月球的黄经和黄纬真位置在E、F两点，而视位置将在K、G两点。从点K和点G作弧KM和弧LG垂直于黄道ABC。由于月球的黄经、黄纬以及所在区域的纬度均已知，所以在三角形DEB中，DB和BE两边以及黄道与地平经圈的交角ABD均可知。而∠DBE＝∠ABD＋直角∠ABE，所以剩下的边DE和∠DEB都可求得。
类似地，在三角形DBF中，由于DB与BF两边以及与∠ABD组成一个直角的∠DBF均已知，所以DF和∠DFB也可求得。因此，DE、DF两弧上的视差EK和FG可以由表得出，月球的真天顶距DE或DF以及视天顶距DEK或DFG也可用类似方法求得。
但是在三角形EBN（DE与黄道相交于点N）中，∠NEB已知，∠NBE为直角，于是底边BE已知，所以剩下的角BNE以及余下的两边BN和NE均可求得。类似地，在三角形NKM中，由于∠M、∠N以及整条边KEN已知，所以底边KM即月球的视南纬可以求得，它超过EB的量为黄纬视差。剩下的边NBM可知。从NBM中减去NB，得到的余量BM即为黄经视差。
类似地，在北面的三角形BFC中，边BF与∠BFC已知，∠B为直角，所以剩下的BLC、FGC两边以及剩下的∠C均可知。从FGC中减去FG，可得三角形GLC中余下的边GC以及∠LCG，而∠CLG为直角，所以剩下的GL、LC两边可知。BC减去LC的余量即黄经视差BL也可求得。视黄纬GL亦可知，其视差为真黄纬BF超出GL的量。
然而正如你所看到的，这种对很小的量进行的计算用功甚多而收效甚微。如果我们用∠ABD来代替∠DCB，用∠DBF来代替∠DEB，并且像前面那样忽略月球黄纬，而用平均弧DB来代替弧DE和弧EF，那么结果已经足够精确了。特别是在北半球地区，这样做不会导致任何明显误差；但是在很靠南的地区，当B接近天顶，月球黄纬为最大值5°，月球距离地球最近时，会产生大约6′的差值。但在食时，月球与太阳相合，月球黄纬不超过1
°，差值仅可能有1
′。由此显然可知，在黄道的东象限，黄经视差应与月球的真位置相加；而在另一象限，则应从月球真位置中减去黄经视差，才能得到月球的视黄经。我们还可以通过黄纬视差求出月球的视黄纬。如果真黄纬与视差位于黄道同侧，就把它们相加；如果位于黄道的相反两侧，就从较大量中减去较小量，余量即为与较大量位于同一侧的视黄纬。
我们可以通过许多其他的观测（如下例）来证实，前面［Ⅳ，22，24-26］所讲的月球视差与现象是相符的。我于公元1497年3月9日日没之后在博洛尼亚（Bologna）做了一次观测。当时月球正要掩食毕星团中的亮星［毕宿五］（罗马人称为“帕利里修姆”［Palilicium］）。稍后，我看到这颗星与月轮的暗边相接触，并且在夜晚第五小时［＝午后11点钟］结束时，星光在月球两角之间消失。它靠近了南面的角月球宽度或直径的
左右。可以算出，它在双子宫内2°36′，南纬5
°。于是显然，月球中心看起来位于恒星以西半个月球直径处，它的视位置为黄经2°36′［在双子宫内＝2°52′-
（32′）］，黄纬约5°6′。因此，从基督纪元开始到那时，共历时1497埃及年76日，在博洛尼亚再加23小时，而在偏东近乎8°的克拉科夫则要加23小时36分，均匀时则要加4分，因为太阳位于双鱼宫内28
°处。于是，月球与太阳的均匀距离为74°，月球的归一化近点角为111°10′，月球的真位置位于双子宫内3°24′，南纬4°35′，黄纬真行度为203°41′。此外，在博洛尼亚，天蝎宫内26°当时正以57
°的角度升起，月球距天顶84°，地平经圈与黄道的交角约为29°，月球的黄经视差为1°51′，黄纬视差为30′。这些结果与观测符合得相当好，所以任何人都不必怀疑我的假设以及由之所得结论的正确性。
由前面关于日月运行的论述，可以建立研究它们的合与冲的方法。对于我们认为冲或合即将发生的任何时刻，需要查出月球的均匀行度。如果我们发现均匀行度已经完成了一整圈，那么就有一次合；如果为半圈，那么月球在冲时为满月。但由于这样的精度很少能够遇到，所以我们只好测定日月之间的距离。把这个距离除以月球的周日行度，便可根据行度是有余还是不足，得到自上次朔望以来或到下次朔望之间的时间。然后对这个时间查出行度与位置，并由此计算真的新月和满月。后面我将会说明［Ⅳ，30］，如何把有食发生的合与其他合区分开来。确定了这些以后，便可把它们推广到其他任何月份，并通过十二月份表对若干年连续进行。该表载有分部时刻、日月近点角的均匀行度以及月球黄纬的均匀行度，其中每一个值都与前面得到的个别均匀值有联系。但是我将把太阳近点角归一化形式的值记录下来，以便能够立即得到它的值。由于它在起点即高拱点处运动缓慢，所以在一年甚至几年内都察觉不出它的不均匀性。
在像上面那样求得这些天体的平合或平冲的时间以及它们的行度之后，为了求出它们的真朔望点，还需要知道它们彼此在东面或西面的真距离。如果在平合或平冲时，真月球在太阳西面，则将来显然会出现一次真朔望；而如果太阳在月球西面，则我们所求的真朔望已经出现过了。这一结果可以从两天体的行差看出来，如果没有行差，或者行差相等且性质相同（即都是正的或负的），则真合或真冲显然与平均朔望在同一时刻出现；而如果行差同号且不等，则它们的差指示出两天体之间的距离，以及具有正行差或负行差的天体在另一天体的西边还是东边。但是当行差反号时，具有负行差的天体更偏西，这是因为行差之和给出了天体之间的距离。我将确定月球在多少个完整小时内可以通过这段距离（对每一度距离取2小时）。
这样一来，如果两天体之间距离约为6°，则可以认为这个度数对应着12小时。然后在这个时间间隔内求出月球与太阳的真距离。这是容易做到的，因为我们已知月球每2小时的平均行度为1°1′，而在满月与新月附近，月球近点角每小时的真行度约为50′。在6小时内，均匀行度为3°3′［＝3×1°1′］，近点角真行度为5°［＝6×50′］。用这些数，可以由月球行差表［Ⅳ，11后］查出行差之间的差值。如果近点角在圆周的下半部分，则将差值与平均行度相加；如果在上半部分，则将差值减去。由此得到的和或差即为月球在给定时间内的真行度。如果这个行度等于前面的距离，它就已经足够精确了。否则应把这一距离与估计的小时数相乘，并除以该行度，或者把距离除以每小时的真行度，这样得到的商即为以小时和分钟计的平均合冲与真合冲的真时间差。如果月球位于太阳以西（或者正好与太阳相对），则把这个时间差与平均合或冲的时间相加；如果月球位于太阳以东，则应减去这一差值。如此便得到了真合或真冲的时刻。
不过我必须承认，太阳的不均匀性也会引起一定数量的增减。但这个量完全可以忽略，因为在整个时间段中，甚至在朔望期间两天体的距离达到最大（超过了7°）时，它也不到1′。这种确定朔望月的方法更为可靠。由于月球的行度并不固定，甚至每小时都在变化，所以那些纯粹依靠月球每小时行度（被称为“小时盈余”）进行计算的人有时会出错，于是不得不重复计算。因此，为了求出真合或真冲的时刻，应当确定黄纬真行度以得出月球黄纬，还要确定太阳与春分点的真距离，即太阳在与月球位置所在的黄道宫或与之直径相对的黄道宫中的距离。
由此可以求得相对于克拉科夫经度圈的平均时或均匀时，我们根据前述方法把它化为视时。但如果要对克拉科夫以外的地方测定这些现象，则应考虑那里的经度，并对经度的每一度取4分钟，对每一分取4秒钟。如果那里偏东，则把这些时间与克拉科夫时间相加；如果偏西，则减去这些时间。得到的和或差即为日月真合或真冲的时刻。
对于月球来说，在朔望时是否出现食是容易确定的，因为如果月球黄纬小于月球直径与地影直径之和的一半，就会出现食；反之则不出现。
然而对于太阳来说，情况却使人困惑，因为它涉及太阳和月球的视差，一般会使视合区别于真合。因此，我们研究真合时太阳与月球的黄经差。类似地，我们在真合前一小时于黄道东面象限内，或者在真合后一小时于黄道西面象限内，测定月球与太阳的视黄经距离，以便求出月球在一小时内看起来远离了太阳多少。用这一小时的行度去除经度差，便可得到真合与视合的时间差。在黄道东部，从真合时间中减去这个时间差，或者在黄道西部加上这个时间差（因为在东部视合早于真合，而在西部视合晚于真合），得到的结果即为所求的视合时间。在减去太阳视差以后，计算此时月球与太阳视黄纬距离，或者视合时日心与月心之间的距离。如果这一纬度大于日月直径之和的一半，则不会有日食出现；如果这一纬度小于日月直径之和的一半，则会有日食发生。由此可知，如果在真合时月球没有黄经视差，则真合与视合一致。从东边或西边量起，这次合出现在黄道上大约90°处。
了解到一次日食或月食即将发生之后，我们也很容易知道食分有多大。对于太阳来说，可以取视合时日月之间的视黄纬差。如果把这一纬度从日月直径之和的一半中减去，得到的差即为沿直径测量的太阳被掩食部分。如果把它乘以12，并把乘积除以太阳直径，则得到太阳的食分数。但是如果日月之间没有纬度差，则太阳将出现全食，或者被月球掩食到最大程度。
对于月食，我们可以用近似相同的方法来处理，只是用的不再是视黄纬而是简单黄纬。把该黄纬从月球直径与地影直径之和的一半中减去，如果月球黄纬不比这两个直径之和的一半小一个月球直径，则得到的差值为月球的被食部分；如果月球黄纬比这个和的一半小一个月球直径，则发生的是全食。此外，黄纬越小，月球滞留在地影中的时间就越长。当黄纬为零时，滞留时间达到最大。我相信这一点对于思考这个问题的人来说是显然的。就像我们在解释太阳时一样，对于月偏食来说，把被食部分乘以12，并把乘积除以月球直径，我们就得到了食分数。
接下来要看看一次食会延续多久。在这方面应当注意的是，我把太阳、月球和地影之间的圆弧都当成了直线来处理，因为它们都小到几乎与直线没有什么差别。
于是设点A为太阳或地影的中心，直线BC为月球所经过的路径。设点B为初亏即月球刚与太阳或地影接触时月球的中心，点C为复圆时的月心。连接AB与AC，作AD垂直于BC。于是当月心位于点D时，它显然是食中点。AD是从A向BC所引线段中最短的。由于AB＝AC，所以BD＝DC。日食发生时，AB或AC都等于日月直径之和的一半；而月食发生时，它们都等于月球与地影直径之和的一半。AD为食甚时月球的真黄纬或视黄纬。（AB） 2 -（AD） 2 ＝（BD） 2 ，因此BD的长度可得。把这个长度除以月食发生时月球的真小时行度，或除以日食发生时月球的视小时行度，我们就得到了食延时间长度的一半。
但月球经常会在地影中间滞留。我已说过［Ⅳ，31］，这种情况出现在月球与地影直径之和的一半超过月球黄纬的量大于月球直径的时候。于是，取点E为月球开始完全进入地影时（即月球从内部接触地影圆周时）的月球中心，点F为月球开始从地影中显现时（即月球从内部第二次接触地影圆周时）的月球中心。连接AE和AF。和前面一样，ED与DF显然为滞留在地影中的时间的一半。由于AD为已知的月球黄纬，AE或AF为地影半径超过月球半径的量，因此可以定出ED或DF。再次把它们中的任何一个除以月球的真小时行度，我们就得到了所要求的滞留在地影中的延续时间之半。
然而应当注意，月球在白道上运行时，它在黄道上截出的黄经弧段并非绝对等于（由通过黄极的圆量出的）白道上的弧段。不过这个差值非常小，在接近日月食的最远极限，即距黄道交点最远的12°处，这两个圆上的弧长彼此相差不到2′＝
小时。因此，我经常用其中的一个来代替另一个，就好像它们是完全一样的。类似地，虽然月球黄纬总在增加或减少，但我对食的极限点和中点也用同一个月球黄纬。由于月球黄纬的增减变化，掩始区与掩终区并非绝对相等，但它们的差异极小，因此花时间更精确地研究它们似乎徒劳无益。通过以上方式，食的时间、食延和食分都已经根据直径求得了。
但许多天文学家认为，掩食区域不应根据直径来确定，而应根据表面来确定，因为被食的不是直线而是表面。因此，设ABCD为太阳或地影的圆周，点E为其中心。设AFCG为月球圆周，点I为中心。设这两个圆交于A、C两点。过两圆心作直线BEIF。连接AE、EC、AI和IC。作AKC垂直于BF。我们希望由此可以定出被食表面ADCG的大小，或偏食时被食部分占太阳或月球整个表面的十二分之几。
由上所述，两圆半径AE和AI均已知，两圆心的距离或月球黄纬EI也已知，所以三角形AEI的各边均可求得，根据前面的证明，它的各角也可求得。∠EIC与∠AEI相似且相等。因此，如果取周长＝360°，则弧ADC与AGC的度数可以求得。根据叙拉古的阿基米德在其《圆的度量》（Measurement of the Circle）中的说法，周长：直径＜
:1，但周长：直径＞
:1。托勒密在这两个值之间取了3
p
8′30″:1
p
。根据这一比值，弧AGC与ADC也可用两直径AE和AI的单位表出。EA与AD以及IA与AG所包含的面积，分别等于扇形AEC和AIC。
而在等腰三角形AEC与AIC中，公共底边AKC和两条垂线EK、KI已知，因此，AK×KE为三角形AEC的面积，AK×KI为三角形ACI的面积。将两个三角形从其扇形中减去［扇形EADC-三角形AEC，扇形AGCI-三角形ACI］，得到的余量AGC和ACD为两个圆的弓形，这两部分之和为所求的整个ADCG。此外，日食发生时由BE与BAD或月食发生时由FI与FAG所定出的整个圆面积也可求得，于是被食区域ADCG占据了太阳或月球整个圆面的十二分之几也就很清楚了。
以上关于月球的讨论对于目前来说已经足够了，其他天文学家对此作了更详尽的讨论。我现在要赶紧讨论其他五颗行星的运行，这便是以下两卷的主题。
《天球运行论》第四卷终