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描述了恒星的现象以后，接下来该讨论与周年运转有关的问题了。我首先要谈的是二分点的移动，它甚至使人们认为恒星也在运动。（正如我多次指出的［Ⅱ，1］，我总是记得由地球运动产生的圆和极点在天上以类似的形状和相同的方式出现，这些正是这里要讨论的议题。）［这些话是哥白尼在fol.71 r 边缘写下的，后来删掉了。］
我发现古代天文学家没有在从分点或至点量起的回归年或自然年与恒星年之间进行区分。因此他们会认为从南河三升起的地方量起的奥林匹克年与从一个至点量起的年是相等的（因为他们当时还没有发现二者之间的差别）。
但罗得岛的希帕克斯这个思维敏锐的人第一次注意到，这两种年是不等的。在对周年的长度进行更认真的测量时，他发现相对于恒星量出的年要比相对于分点或至点量出的年更长。因此，他认为恒星也在沿着黄道各宫运动，但慢得无法立即察觉［托勒密，《天文学大成》，Ⅲ，1］。然而随着时间的推移，这种运动到了现在已经变得非常明显了。由于这个缘故，目前黄道各宫与恒星的出没已经与古人的描述大相径庭了。我们发现，尽管黄道十二宫在开始的时候与原来的名称和位置相符，但现在它们已经移动很长一段距离了。
不仅如此，这种运动还被发现是不均匀的。为了说明这种不均匀性的原因，天文学家们已经提出了各种不同的解释。有些人认为，处于悬浮状态的宇宙在做着某种振动，就像我们发现的行星黄纬运动一样［Ⅵ，2］。这种振动在两边都有固定极限，先往一个方向前进到头，然后在某一时刻又会返回来，其偏离中心的程度不超过8°。但这一已经过时的理论不可能再成立，其主要原因是白羊座前额的第一星与春分点的距离现在已经明显超过了8°的3倍（其他恒星也是如此），而且许多个时代过去了，现在还丝毫没有返回的迹象。还有人认为恒星天球的确向前运动，但速度不均匀，然而却又给不出明确的运动模式。此外，大自然还有一件令人惊奇的事情，那就是现在的黄赤交角并不像托勒密以前那样大。这一点前面已经讲过了。
为了解释这些观测结果，有些人设想出了第九层天球，还有人设想了第十层：他们认为这些现象可以通过这些天球来说明，但他们的努力却以失败而告终。而现在，第十一层天球也即将问世，就好像这么多球仍然不够。借助于地球的运动，通过表明这些球与恒星天球毫无关联，我可以很容易地证明这些球都是多余的。正如我在第一卷［第十一章］已经说明的，这两种运转，即周年赤纬运转和地心的周年运转并非恰好相等，前者的周期要比后者稍短。因此，二分点和二至点似乎都向前运动。这并不是因为恒星天球向东移动了，而是因为赤道向西移动了；赤道对黄道面的倾斜与地轴的偏斜成正比。说赤道倾斜于黄道，这比说较大的黄道倾斜于较小的赤道更合适，因为黄道是在日地距离处由周年运转描出的圆，而赤道则是地球绕轴的周日运动描出的［Ⅰ，11］，黄道要比赤道大得多。于是，那些在二分点的交点和整个黄赤交角会随着时间的流逝而显得超前，而恒星则显得滞后。但以前的天文学家对这种运动的测量及其变化的解释一无所知，原因是没有预见到它慢得出奇，以致这一运转周期仍未测定出来。从人们首次发现它到现在，在这漫长的岁月中它还没有前进一个圆的
。尽管如此，我将借助于我所了解的整个观测史来阐明这件事情。
在卡利普斯（Callippus）所说的第一个76年周期中的第36年，即亚历山大大帝去世后的第30年，第一个关心恒星位置的人——亚历山大城的提摩恰里斯（Timocharis）报告所，室女所持谷穗［即角宿一］与夏至点的经度距离为
，黄纬为南纬2°；天蝎前额三颗星中最北的一颗亦即天蝎宫的第一星的黄纬为北纬
，它与秋分点的距离为32°。在同一周期的第48年，他又发现室女所持的谷穗与夏至点的经度距离为
，黄纬不变。但是在第三个卡利普斯周期的第50年，即亚历山大大帝去世后的第196年，希帕克斯测出狮子胸部的一颗名为轩辕十四的恒星位于夏至点之后
。接着，在图拉真（Trajan）皇帝在位的第一年，即基督诞生后第99年和亚历山大大帝去世后第422年，罗马几何学家梅内劳斯报告说，室女所持谷穗与夏至点之间的经度距离为
，而天蝎前额的星与秋分点之间的经度距离为
。继他们之后，在安敦尼·庇护在位的第二年［Ⅱ，14］，即亚历山大大帝去世后第462年，托勒密测得狮子座的轩辕十四与夏至点之间的经度距离为
，谷穗与秋分点之间的经度距离为
，天蝎前额的星与秋分点之间的经度距离为
，从前面的表可以看出黄纬毫无变化。我是完全按照那些天文学家的报告来回顾这些测量的。
然而，过了很长时间之后，直到亚历山大大帝去世后的第1202年，拉卡（Raqqa）的巴塔尼（al-Battani）才进行了下一次观测，我们对测量结果可以完全信任。在那一年，狮子座的轩辕十四看起来与夏至点之间的经度距离为44°5′，而天蝎额上的星与秋分点之间的经度距离为47°50′。这些恒星的纬度依旧保持不变，所以对此天文学家不再有任何怀疑了。
到了公元1525年，即根据罗马历置闰后的一年，亦即亚历山大大帝去世后的第1849个埃及年，我在普鲁士的弗龙堡（Frombork）对前面多次提及的谷穗作了观测。该星在子午圈上的最大高度约为27°，而我测得弗龙堡的纬度为54°19
′，所以谷穗从赤道算起的赤纬为8°40′。于是它的位置可确定如下：
通过黄极和赤极作子午圈ABCD。设它与赤道交于直径AEC，与黄道面交于直径BED。设黄道的北极为F，FEG为它的轴线。设点B为摩羯宫的起点，点D为巨蟹宫的起点。设该恒星的南纬弧BH＝2°。从点H作HL平行于BD。设HL截黄道轴于点L，截赤道于点K。再根据恒星的南赤纬取弧MA＝8°40′。从点M作MN平行于AC。MN将与平行于黄道的HIL交于点O。如果作直线OP垂直于MN和AC，则OP＝
弦2AM。但是，以FG、HL和MN为直径的圆都垂直于平面ABCD；根据欧几里得《几何原本》Ⅺ，19，它们的交线在点O和点I垂直于同一平面。因此，根据该书命题6，这些交线彼此平行。由于点I为以HL为直径的圆的圆心，所以OI等于直径为HL的圆上这样一个弧的两倍所对弦的一半，该弧相似于恒星与天秤座起点的经度距离，此弧即为我们所要求的量。
这段弧可以按以下方法求得。由于内错角∠AEB＝∠OKP，∠OPK＝90°，因此，OP:OK＝
弦2AB:BE＝
弦2AH:HIK，这是因为这些线段所围成的三角形与OPK相似。但是弧AB＝23°28
′，如果取BE＝100000，则
弦2AB＝39832。弧ABH＝25°28
′，
弦2ABH＝43010，赤纬弧MA＝8°40′，
弦2MA＝15069。因此，HIK＝107978，OK＝37831，相减可得，HO＝70147。但是，HOI＝
弦HGL，弧HGL＝176°，所以，如果取BE为100000，则HOI＝99939。因此，相减可得，OI＝HOI-HO＝29792。但是如果取HOI＝半径＝100000，则OI＝29810，与之相应的圆弧约为17°21′。此即室女的谷穗与天秤座起点之间的距离，恒星的位置可得。
在此之前10年的1515年，我测得其赤纬为8°36′，位于距天秤座起点17°14′处。而托勒密记录的赤纬却仅为
［《天文学大成》，Ⅶ，3］，因此它位于室女宫内26°40′处，这比早期的观测要精确一些。
于是，情况看起来足够清楚了，从提摩恰里斯到托勒密的整整432年间，二分点和二至点每100年进动1°，也就是说，如果进动量与时间之比固定不变，那么在此期间二分点和二至点进动了
。而在从希帕克斯到托勒密的266年间，狮子座的轩辕十四与夏至点之间的经度距离移动了
，除以时间也可得，二分点和二至点每100年进动1°。此外，从巴塔尼到梅内劳斯的782年间，天蝎前额上的第一星的经度变化了11°55′。由此可见，移动1°的时间似乎不是100年，而是66年。而从托勒密［到巴塔尼］的741年间，移动1°的时间只需65年。最后，如果把余下的645年与我所测得的9°11′的差值相比较，则移动1°的时间为71年。由此可见，在托勒密之前的400年里，二分点的岁差要小于从托勒密到巴塔尼期间的岁差，而这一时期的岁差也要大于从巴塔尼到现在的岁差。
此外，黄赤交角的运动也会发生变化。萨摩斯的阿里斯塔克求得黄赤交角为23°51′20″，托勒密的结果与此相同，巴塔尼的结果为23°36′，190年后西班牙人查尔卡里（Al-Zarkali）的结果为23°34′，230年后犹太人普罗法修斯（Prophatius）求得的结果大约小了2′。在我们这个时代，它被发现不大于23°28
′。因此也很清楚，从阿里斯塔克到托勒密的时期变化最小，从托勒密到巴塔尼的时期变化最大。
由上所述，情况似乎已经清楚，二分点与二至点不均匀地移动着。也许没有什么解释能比地轴和赤极有某种飘移运动更好了。根据地球运动的假说，得出这个结论似乎是顺理成章的，因为黄道显然永远不变（恒星的恒定黄纬可以证明这一点），而赤道却在飘移。正如我已经说过的［Ⅰ，11］，如果地轴的运动与地心运动简单而精确地相符，那么二分点与二至点的岁差就决不会出现。但这两种运动之间的差异是可变的，所以二至点和二分点必然会以一种不均匀的运动超前于恒星的位置。倾角运动也是如此，这种运动会不均匀地改变黄道倾角，尽管这一倾角本来更应当说成是赤道倾角。
由于这个缘故，既然球面上的两极和圆是相互关联和适应的，所以我们应当假定有两种完全由极点完成的振荡运动，就像摆动的天平一样。一种是使极点在交角附近上下起伏来改变圆的倾角，另一种则是通过沿两个方向的交叉运动使二分点与二至点的岁差有所增减。我把这些运动称为“天平动”，因为它们就像在两个端点之间沿同一路径来回摇摆的物体，在中间较快，而在两端最慢。我们以后会看到［Ⅵ，2］，行星的黄纬一般会出现这种运动。此外，这些运动的周期不同，因为二分点非均匀运动的两个周期等于黄赤交角的一个周期。然而每一种看起来不均匀的运动都需要假定一个平均量，从而对这种非均匀运动进行把握，所以这里也有必要假定平均极点、平赤道以及平均二分点和二至点。当地球的两极和赤道圈在固定的极限内转到这些平均位置的任何一边时，那些匀速运动看起来就不均匀了。这两种天平动结合起来，使地球的两极随时间描出的曲线就像是一顶扭曲的小王冠。
但这些单凭语言是很难讲清楚的，仅靠耳朵听也不会理解，还要用眼睛直观。于是，我们在一个球上作出黄道ABCD，设黄道的北极为点E，摩羯宫的起点为点A，巨蟹座的起点为点C，白羊宫的起点为点B，天秤宫的起点为点D。过A、C两点和极点E作圆AEC。设黄道北极与赤道北极之间的最大距离为EF，最小距离为EG，极点的平均位置为点I，绕点I作赤道BHD，它可称为平赤道，B和D可称为平均二分点。设赤极、二分点和赤道都被带着绕极点E不断均匀而缓慢地运动，我已经说过［Ⅲ，1］，这种运动与恒星天球上黄道各宫的次序相反。假定地球两极就像摇摆物体一样有两种相互作用的运动：第一种介于F与G之间，被称为“近点角的运动”（movement of anomaly），即倾角的非均匀运动；第二种运动东西交替进行，速度是第一种的两倍，我把它称为“二分点的非均匀运动”。这两种运动在地球的两极汇聚，以奇特的方式使极点发生偏转。
首先设地球北极为点F，绕它所作的赤道将通过圆AFEC的两极点B和点D。但这个赤道会使黄赤交角增大一些，增大的量正比于弧FI。当地极从这个假想的起点F向位于I处的平均倾角移动时，介入的第二种运动不允许地极沿直线FI移动，而是使极点做圆周运动，设偏离的最远点为K。围绕该点的视赤道OQP与黄道的交点不是点B，而是点B后面的点O，二分点岁差的减小将与弧BO成正比。这两种同时进行的运动使极点转而运动到平均位置I处。视赤道与均匀赤道或平赤道完全重合。地极到达该点以后，又会向前运行，把视赤道与平赤道分开，并使二分点的岁差增加到另一端点L。地极到那里以后又会改变方向，它减去刚才二分点岁差所增加的量，直至到达点G为止。在这里它使黄赤交角在交点B达到最小，二分点和二至点的运动再次变得很慢，情况几乎与在点F一样。到了这时，二分点的非均匀运动完成了一个周期，因为它从平均位置先后到达两个端点。但黄赤交角的变化只经过了半个周期，从最大变为最小。随后地极将向后退到最远端点M，从那里反向后，又会回到平均位置I，然后又会向前运动到端点N，最终完成扭线FKILGMINF。因此很明显，在黄赤交角变化的一个周期中，地极向前两次到达端点，向后两次到达端点。
我将在后面阐述这一运动是如何与现象相符的。这时有人会问，既然我们当初说［Ⅰ，4］天体的运动是均匀的，或者说是由均匀的圆周运动复合而成的，那么怎样来理解这种天平动的均匀性呢？然而，这里的两种运动看上去都是两端点之间的运动，于是必然会引起运动的停顿。我的确愿意承认它们是成对出现的，但用下面的方法可以证明振荡运动是由均匀运动复合而成的。
设直线AB被C、D、E三点四等分。在同一平面绕点D作同心圆ADB和CDE，取点F为内圆上的任一点。以点F为中心、FD为半径作圆GHD交直线AB于点H。作直径DFG。我们要证明的是，当GHD和CFE两圆的成对运动共同作用时，可动点H将沿同一直线AB的两个方向前后滑动。如果点H在离开点F的相反方向上运动并且移到两倍远处，这种情况就会发生，这是因为∠CDF既是圆CFE的圆心角，又在GHD的圆周上，该角在两个相等的圆上截出两段弧：弧FC和两倍于弧FC的弧GH。假设在某一时刻直线ACD与DFG重合，此时位于点G的动点H也位于点A，点F位于点C。然而圆心F沿FC向右运动，点H沿GH弧向左移动了两倍于CF的距离，或者方向都相反，于是很容易理解，直线AB将为点H的轨迹，否则就会出现局部大于整体的情况。但长度等于AD的折线DFH使点H离开了最初的位置点A而移动了长度AH。此距离等于直径DFG超过弦DH的长度。就这样，点H将被带到圆心D，此时圆DHG与直线AB相切，GD与AB垂直。随后H将到达另一端点B，并由于同样原因再度从该点返回。
因此明显可见，直线运动是由像这样的两种共同作用的圆周运动复合而成的，振荡运动和不均匀运动是由均匀运动复合而成的。证毕。
由此还可得到，直线GH总是垂直于AB，这是因为直线DH和HG在一个半圆内张出直角。因此，GH＝
弦2AG，DH＝
弦2（90°-AG），因为圆AGB的直径是圆HGD的两倍。
由于这个缘故，有些人把圆的这种运动称为“沿圆的宽度的运动”，即沿直径的运动。但他们用圆来处理它的周期和均匀性，用弦长来表示它的大小。因此很容易证明，这种运动看起来是不均匀的，在圆心附近较快，而在圆周附近较慢。
设ABC为一个半圆，圆心为点D，直径为ADC。把半圆等分于点B。截取相等的弧AE和BF，从F、E两点作EG和FK垂直于ADC。由于2DK＝2弦BF，2EG＝2弦AE，所以DK＝EG。但根据欧几里得《几何原本》Ⅲ，7，AG＜GE，因此AG＜DK。但因弧AE＝弧BF，所以扫过GA和KD的时间是一样的，因此在靠近圆周的点A处的运动要慢于在圆心D附近的运动。
证明了这些以后，取点L为地球的中心，于是直线DL垂直于半圆面ABC。以点L为中心，过A、C两点作弧AMC。延长直线LDM。因此半圆ABC的极点在M，ADC是圆的交线。连接LA与LC，LK与LG。把LK与LG沿直线延长，与弧AMC交于点N和点O。∠LDK为直角，所以∠LKD为锐角，因此LK大于LD，而且在两个钝角三角形中，边LG大于边LK，边LA大于边LG。
因此，以点L为圆心，LK为半径所作的圆会超过LD，但会与LG和LA相交。设该圆为PKRS。因为三角形LDK＜扇形LPK，而三角形LGA＞扇形LRS，所以三角形LDK：扇形LPK＜三角形LGA：扇形LRS。于是，三角形LDK：三角形LGA＜扇形LPK：扇形LRS。根据欧几里得《几何原本》Ⅵ，1，三角形LDK：三角形LGA＝底边DK：底边AG。然而，扇形LPK：扇形LRS＝∠DLK:∠RLS＝弧MN：弧OA，因此，DK:GA＜MN:OA。但我已经证明了DK＞GA，于是，MN＞OA。因此，地极在沿近点角的等弧AE和BF移动时在相等时间内扫过了弧MN和弧OA。证毕。
可是黄赤交角的最大值与最小值之差是如此之小，还不到
，因此曲线AMC和直线ADC之间的区别微乎其微。所以如果我们只用直线ADC和半圆ABC进行运算，就不会有误差产生。对二分点有影响的地极的另一种运动也是如此，因为它还不到
，这一点我们将在下面阐明。
再次设ABCD为通过黄极与平赤道极点的圆，我们可以称其为“巨蟹宫的平均分至圈”。设黄道半圆为DEB，平赤道为AEC，它们交于点E，此处即为平均二分点。设赤极为点F，过该点作大圆FET，此即平均二分圈或均匀二分圈。为了证明的方便，我们把二分点的天平动与黄赤交角的天平动分开。在二分圈EF上截取弧FG，假设赤道的视极点G从平均极点F移动了这段距离。以点G为极，作视赤道的半圆ALKC交黄道于视分点L，它与平均分点之间的距离由弧LE量出，因为弧EK与弧FG相等。我们可以以点K为极作圆AGC，假定在天平动FG发生时，赤极并非保持在位于点G的“真”极点不动，而是在第二种天平动的影响下，沿着弧GO转向黄道的倾角。因此，尽管黄道BED保持固定不动，但真视赤道会根据极点O的移动而移动。类似地，视赤道的交点L的运动在平均分点E附近将较快，在两端点处最慢，这与前已说明的极点天平动大致相符［Ⅲ，3］。这一发现很有价值。
每一种看起来非均匀的圆周运动都占据四个有界区域：在一个区域看来运动很慢，在另一个区域看来运动很快，而在它们中间看来运动为中速。在加速终了而减速开始时，运动的平均速度改变方向，从平均速度增加到最高速度，然后又从高速度降到平均速度，然后在余下部分从平均速度变回到原来的低速度。由此可知，非均匀运动或近点角的位置在某一时刻出现在圆周的哪个部分。从这些性质还可以了解近点角的循环。
例如，在一个四等分的圆中，设A为运动最慢的位置，B为加速时的平均速度，C为加速终了而减速开始的速度，D为减速时的平均速度。前已说过［Ⅲ，2］，与其他时期相比，从提摩恰里斯到托勒密的这段时间里二分点进动的视行度是最慢的。在那段时间的中期，阿里斯蒂洛斯（Aristyllus）、希帕克斯、阿格里帕（Agrippa）和梅内劳斯都曾测得，二分点进动的视行度是规则而匀速的。这证明当时二分点的视行度是最慢的，在那段时间的中期，二分点的视行度开始加速，那时减速的停止与加速的开始相互抵消，使行度看起来是匀速的。因此，提摩恰里斯的观测应当落在圆的最后一部分DA内，而托勒密的观测应落在第一象限AB内。此外，在从托勒密到拉卡的巴塔尼这第二个时期，发现行度要比第三时期快一些，所以最高速度点C是在第二个时期出现的。近点角现在进入了圆的第三象限CD内。在从那时起一直到现在的第三时期中，近点角几乎完成了循环，正在返回它在提摩恰里斯时代的起点。如果我们把从提摩恰里斯到现在的1819年按照习惯分成360份，则根据比例，432年的弧为
，742年为146°51′，而其余的645年为127°39′。我通过一种简单的推测立即得出了这些结果。但我用更精确的计算重新检验了它们与观测结果的符合程度，发现在1819个埃及年中，近点角的行度已经超过了一周21°24′，一个周期只包含1717埃及年。通过这样的计算，我们可以发现第一段圆弧为90°35′，第二段为155°34′，而543年的第三段将包含余下的113°51′。
这样得到了结果之后，二分点进动的平均行度也就清楚了。它在同样的1717年里为23°57′，而在这段时期中，整个非均匀性恢复到了初始状态。而在1819年里，视行度约为25°1′。在提摩恰里斯之后的102年——1717年与1819年之差——里，视行度必定约为1°4′，因为当行度尚在减速时，它也许比每100年1°稍大一点。因此，如果从25°1′中减去1°4′，则余量就是我所说的1717埃及年中的平均均匀行度，该值等于非均匀的视行度23°57′。因此，二分点进动的整个均匀运转共需25816年，在此期间，近点角共完成了大约
圈。
这个计算结果也比二分点的非均匀进动慢一倍［Ⅲ，3］的黄赤交角行度相符。托勒密报告说，自萨摩斯的阿里斯塔克以来到他之前的400年间，23°51′20″的黄赤交角根本没有变化，这就表明当时的黄赤交角几乎稳定在最大极限附近，那时当然是二分点进动最慢的时候。目前又接近恢复变慢，然而轴线的倾角并非类似地正在转到最大，而是转到最小。我已经说过［Ⅲ，2］，巴塔尼求得此期间的倾角为23°35′；在他之后的190年，西班牙人查尔卡里求出为23°34′；而230年之后，犹太人普罗法修斯用同样方法求得的数值大约小了2′；最后，到了我们这个时代，我通过30年的反复观测求得它的值约为23°28
′，而像格奥尔格·普尔巴赫（George Peurbach）和约翰内斯·雷吉奥蒙塔努斯（Johannes Regiomontanus）这样距离我们最近的前人测定的结果与我的数值相差甚微。
[2]
又一桩很清楚的事实，在托勒密之后的900年里，黄赤交角的变化要比其他任何时期都大。
因此，既然我们已知岁差非均匀运动的周期为1717年，所以在此期间，黄赤交角变化了一半，其整个周期为3434年。如果用3434年来除360°，或是用1717年来除180°，则得到的商将是近点角的年行度6′17″24‴9″″。把这一数值分配给365天，得到日行度为1″2‴2″″。
类似地，如果把二分点进动的平均行度——曾经是23°57′——分配给1717年，则得年行度为50″12‴5″″；把它分配给365天，得到日行度为8‴15″″。
为了使这些行度更加清楚，在需要时便于查阅，我将根据年行度的连续等量增加列出它们的表或目录。如果和数超过60个单位，则相应的分数或度数就要进1。为方便起见，我把表扩充到60年，因为同一套数字在60年之后又会重新出现，只是度和分的名称变了，比如原来是秒的现在成了分，等等。通过这种简化形式的简表，我们仅用两个条目就能获得和推出3600年间任何时段的均匀行度。日数也是如此。
在对天体运动进行计算时，我将在各处使用埃及年。在各种历年中，只有埃及年是均等的。测量单位应与被测量量相协调，但对于罗马年、希腊年和波斯年来说，却并没有这种和谐，因为其置闰并不是按照同一种方式进行的，而是依照各民族的意愿自行制定的。然而埃及年有确定的365天，毫无含糊之处，它们构成了12个等长的月份。根据埃及人的说法，这些月份依次为：Thoth，Phaophi，Athyr，Chiach，Tybi，Mechyr，Phamenoth，Pharmuthi，Pachon，Pauni，Epiphi和Mesori，它们共包含六组60天和其余的5天闰日。因此，埃及年对于均匀行度的计算最为方便。通过日期的转换，其他任何年份都容易化归为埃及年。
阐明了平均行度以后，我现在要探讨二分点的均匀行度与视行度之间的最大差值，或者近点角的运动所绕小圆的直径。如果已知这些，就可以很容易地定出这些行度之间的其他差值了。正如前面已经指出的［Ⅲ，2］，从提摩恰里斯的首次观测到托勒密于安敦尼·庇护2年的观测，共历时432年。在此期间，平均行度为6°，视行度为4°20′，它们相差1°40′，二倍近点角的行度为90°35′。此外，我们已经看到［Ⅲ，6］，在这一时段的中期左右视运动达到最慢，此时视行度必定与平均行度相符，真二分点和平均二分点都必定位于大圆的相同交点上。因此，如果把行度和时间都分成相等的两半，则每一边的非均匀与均匀行度的差值将等于
。这些差值在每一边都在近点角圆弧的45°17
′之内。
确定了这些之后，设ABC为黄道的一段弧，DBE为平赤道，点B为视二分点（或白羊宫或天秤宫）的平均交点。过DBE的两极作BF。沿弧ABC截取弧BI＝弧BK＝1°10′，于是相加可得，弧IBK＝1°40′。再引两视赤道弧IG和HK与FB（延长到FBH）成直角。尽管IG和IK的极点通常都在圆BF之外，但我还是说“成直角”，这是因为从假说可以看出［Ⅲ，3］，倾角的行度混合了进来。但由于距离非常小，最大不超过一个直角的
［＝12′］，所以把这些角度当作直角，从感觉上是不会产生误差的。在三角形IBG中，∠IBG＝66°20′，这是因为平均黄赤交角即它的余角∠DBA＝23°40′。而∠BGI＝90°，∠BIG≈其内错角∠IBD，边IB＝70′，因此，平赤道与视赤道的极点之间的距离BG＝20′。类似地，在三角形BHK中，∠BHK＝∠IGB，∠HBK＝∠IBG，边BK＝边BI，BH＝BG＝20′。但所有这一切都与不超过黄道的1
°的非常小的量有关。对于这些量而言，直线几乎等于它们所对的圆弧，偏差几乎不超过1秒的60分之几。但我满足于分，因此如果我用直线来代替圆弧，也不会出错。因为GB:IB＝BH:BK，无论是极点的行度还是交点的行度，同样的比例都成立。
设ABC为黄道的一部分，点B为平均二分点。以点B为极点作半圆ADC交黄道于点A和点C。从黄道极点引DB平分半圆于点D。设点D为减速的终点和加速的起点。在象限AD中，截取弧DE＝45°17
′。过点E从黄极作EF，并设BF＝50′。我们要由此求得整个BFA。显然，2BF与两倍的弦DE相对。但是FB:AFB＝7107:10000＝50′:70′，因此，AB＝1°10′，即为我们所要求的二分点的平均行度与视行度之间的最大差值。这就是我们所要求的结果，该结果也可由极点的最大偏离28′得出。在赤道的交点，这28′对应于二分点非均匀运动（我称之为“二倍近点角”，而不是黄赤交角的其他“简单非均匀运动”）的70′。
由于弧AB＝70′，且弧AB与它所对的弦长无甚区别，所以平均行度与视行度之间的任何其他个别差值都不难求得。这些差值相减或相加可以确定出现的次序。希腊人把这些差值称为“行差”（prosthaphaereses），现代人则称之为“差”（equations）。我将采用更为适宜的希腊词。
如果弧ED＝3°，那么根据AB与弦BF之比可得行差弧BF＝4′；如果ED＝6°，则弧BF＝7′；如果ED＝9°，则弧BF＝11′，等等。我认为对最大值和最小值之差为24′［Ⅲ，5］的黄赤交角的移动也应这样计算。这24′每1717年经过近点角的一个半圆。在圆周的一个象限中，该差值的一半为12′。如果取黄赤交角为23°40′，则该近点角的小圆的极点将位于此处。正如我已经说过的，我将用几乎与前面相同的方法求出差值的其余部分，结果如附表所示。
通过这些论证，视运动可用各种不同方式复合出来。然而，最令人满意的办法是把个别行差分别考虑。这样会使行度的计算更容易理解，而且也更与前已论证的解释更为相符。于是我编了一个六十行的表，每增加3°排一行。这样编排不会占大量篇幅，也不会过于简略，其他类似情形我也将如法炮制。该表仅有四列，前两列为两个半圆的度数，我称它们为“公共数”，因为该数给出了黄赤交角，而该数的两倍给出了二分点行度的行差，加速一开始它就产生了。第三列为与每隔3°相应的二分点行差。应把位于春分点白羊宫额头第一星开始算起的平均行度加上或从中减去这些行差。负行差与较小半圆的近点角或第一列有关，而正行差则与第二列和第二个半圆有关。最后一列包含分数，称为“黄赤交角比例之间的差值”，最大可达60，因为我用60来代替最大与最小黄赤交角之差24′，其余交角差值也根据相同比例作出调整。因此，我把近点角的起点和终点都取为60。但是当超过部分达到22′（近点角为33°）时，我用55来代替22′；当黄赤交角差值等于20′，近点角为48°时，我取50′，余此类推。附表如下。
根据我的猜想和假设，非均匀行度的加速是在第一卡利普斯周期的第36年到安敦尼2年当中发生的，我把它当作近点角行度的开始。因此还需考察我的猜想是否正确以及是否与观测相符。
我们回忆一下提摩恰里斯、托勒密和拉卡的巴塔尼所观测的三颗星。显然，第一个时段（从提摩恰里斯到托勒密）共历时432埃及年，第二时段（从托勒密到巴塔尼）共历时742埃及年。第一时段中的均匀行度为6°，非均匀行度为4°20′，即从均匀行度中减去1°40′，而二倍近点角为90°35′。在第二时段内，均匀行度为10°21′，非均匀行度为11
°，即均匀行度加上1°9′，而二倍近点角为155°34′。
同以前一样，设ABC为黄道的一段弧，点B为平春分点。以点B为极点作小圆ADCE，设弧AB＝1°10′。设B朝A（即向前）作均匀运动，A为距可变分点最远的西边极限，C为距可变分点最远的东边极限。从黄极过点B作直线DBE，它与黄道共同把圆ADCE四等分，因为过彼此极点的两个圆相互正交。由于在半圆ADC上的运动向后，在半圆CEA上的运动向前。视分点运动减速运动的中点将位于D，因为与B的前进方向相反；而最大速度将出现在E，因为同一方向的运动相互增强。此外，在点D前后各取弧FD＝弧DG＝45°17
′。设F为近点角运动的第一终点，即提摩恰里斯观测的终点；G为第二终点，即托勒密观测的终点；P为第三终点，即巴塔尼观测的终点。过这些点和黄极作大圆FN、GM和OP，它们在小圈ADCE之内都很像直线。于是，如果取小圆ADCE＝360°，则弧FDG＝90°35′，这使平均行度减少MN的1°40′，而ABC＝2°20′。弧GCEP＝155°34′，这使平均行度增加MO的1°9′。因此相减可得，剩余部分弧PAF＝113°51′［＝360°-（90°35′＋155°34′）］，这使平均行度增加ON的31′［＝MN-MO＝1°40′-1°9′］，与此相似，AB＝70′。整个弧DGCEP＝200°51′＝45°17
′＋155°34′，而超出半圆部分EP＝20°51′。所以根据圆周弦长表，如果取AB＝1000，则直线BO＝356。但如果AB＝70′，则BO≈24′，BM＝50′。因此整个MBO＝74′，余量NO＝26′。但根据前面的结果，MBO＝1°9′，余量NO＝31′，于是NO有5′的亏缺，MO有5′的盈余。因此必须旋转圆周ADCE，直到两者平衡为止。如果取弧DG＝42
°，于是另一段弧DF＝48°5′，这时就会出现上述情况。用这种方法可以改正这两种误差，其他数据也是如此。从减速运动的极限点D开始，第一时段的非均匀行度将包含整个弧DGCEPAF＝311°55′，第二时段为弧DG＝42
°，第三时段为弧DGCEP＝198°4′。由前所述，AB＝70′，在第一时段中，正行差BN＝52′，在第二时段中，负行差MB＝47
′，在第三时段中，正行差BO≈21′，因此在第一时段中，整个弧MN＝1°40′，在第二时段中，整个弧MBO＝1°9′，它们都与观测精确相符。于是在第一时段中，近点角显然为155°57
′，第二时段为21°15′，第三时段为99°2′。证毕。
我将用同样方法证明我关于黄赤交角变化的讨论是正确的。根据托勒密的记载，在安敦尼·庇护2年，修正后的近点角为21
°，由此可得最大黄赤交角为23°51′20″。从那时起到现在我来进行观测，时间已经过去了1387年，可以算出在此期间的近点角为144°4′，而此时求出的黄赤交角约为23°28
′。
在此基础上重新绘出黄道弧ABC，由于它很短，也视之为直线。和前面一样，围绕极点B作近点角的小半圆。设点A为最大黄赤交角的极限，点C为最小黄赤交角的极限，我们所要求的正是它们之差。于是在小圆上取AE＝21°15′，弧ED＝AD-AE＝68°45′，可以算出整个弧EDF＝144°4′，弧DF＝EDF-DF＝75°19′。作EG和FK垂直于直径ABC。由于从托勒密时代至今的黄赤交角变化，可以把GK看成长度为22′56″的大圆弧。但由于与直线相似，所以如果取直径AC＝2000，则GB＝
弦2ED＝932，KB＝
弦2DF＝967。如果取AC＝2000，则GK＝1899。但如果取GK＝22′56″，则最大与最小黄赤交角之差AC≈24′。因此，从提摩恰里斯到托勒密之间的黄赤交角最大，为23°52′，而现在它正在接近其最小值23°28′。通过上述解释岁差时的同样方法［Ⅲ，8］，还可得出任何中间时期的黄赤交角。
在以这种方式解释了所有这些问题之后，我还要测定春分点行度的位置，有些科学家把这些位置称为“历元”（epochs），对于任一时刻都可以用它们进行计算。托勒密把这种计算的绝对起点确定为巴比伦的纳波纳萨尔（Nabonassar）开始统治的时候［《天文学大成》，Ⅲ，7］。由于名字的相似性所产生的误导，大多数学者都把他当成了尼布甲尼撒（Nebuchadnezzar）。而细查年表并且根据托勒密的计算，尼布甲尼撒的年代要晚得多。历史学家们认为，在纳波纳萨尔之后继位的是迦勒底国王夏尔曼涅瑟（Shalmaneser）。但我们还是采用人们更熟悉的时间为好，我认为从第一个奥林匹克运动会期算起是合适的，这个时间在纳波纳萨尔之前28年。根据森索里努斯（Censorinus）和其他公认权威的记载，那届运动会从夏至日开始举行，希腊人看到天狼星在那一天升起，奥林匹克运动会被庆祝。根据推算天体行度所必需的更为精确的年代计算，从第一个奥林匹克运动会期希腊历1月（Hecatombaeon）第一天中午起到纳波纳萨尔统治时期埃及历元旦的中午为止，共历时27年247天。从那时起到亚历山大大帝去世历时424埃及年。从亚历山大大帝去世到尤利乌斯·恺撒（Julius Caesar）所开创的恺撒元年1月1日前的午夜，共历时278埃及年118
日。作为大祭司长，恺撒担任第三任执政官时确立了这一年，他的同僚是马库斯·埃密利乌斯·李必达（Marcus Aemilius Lepidus）。根据恺撒的命令，以后的年份都被称为“尤利乌斯年”。从恺撒第四次出任执政官到屋大维（Octavian）即奥古斯都（Augustus）的1月1日，共历时罗马历18年。尽管是在1月17日，根据努马蒂乌斯·普朗库斯（Numatius Plancus）的建议，尤利乌斯·恺撒的儿子被元老院和其他公民授予奥古斯都皇帝的尊号。此时奥古斯都担任第七任行政官，他的同僚是马库斯·维普萨尼乌斯·阿格里帕（Marcus Vipsanius Agrippa）。由于在此之前两年，埃及人在安东尼（Antony）和克莱奥帕特拉（Cleopatra）去世后归罗马人统治，所以埃及人算得的［从恺撒担任第四任执政官到奥古斯都］1月1日或罗马历的8月30日正午的时长为15年246
天。因此，从奥古斯都到基督纪年（也是从1月份起始），共历时罗马历27年或埃及历29年130
天。从那时起到安敦尼2年（托勒密在这一年把他观测的恒星位置编成了表），共历时138罗马年55天。埃及历的结果还要加上34天。从第一个奥林匹克运动会期到这个时候，共历时913年101天。在此期间，二分点的均匀岁差为12°44′，近点角为95°44′。但是现在已经知道［托勒密，《天文学大成》，Ⅲ，7］，在安敦尼2年，春分点位于白羊座头部第一星前面6°40′。因为那时二倍近点角为42
°［Ⅲ，9］，均匀行度与视行度之间的负差值为48′。当这一差值被恢复到视行度6°40′时，春分点的平位置可定为7°28′。如果把它加上一个圆的360°并从和数中减去12°44′，则在开始于雅典历1月第一天正午的第一个奥林匹克运动会期时，春分点的平位置位于354°44′，也就是说，它落后于白羊座第一星5°16′［＝360°-354°44′］。类似地，如果从近点角21°15′中减去95°45′，则余下的285°30′即为同一个奥林匹克运动会期开始时的近点角位置。再把各个时期的行度加起来（当和数超过360°时将其扣除），我们可以算得下列位置或历元：亚历山大大帝时期的均匀行度为1°2′，近点角为332°52′；恺撒大帝时期的均匀行度为4°55′，近点角为2°2′；基督纪元的均匀行度位置为5°32′，近点角为6°45′；我们也可用同样方法求得其他时间起点的行度的历元。
因此，每当我们希望获得春分点位置时，如果从给定起点到已知时间的各年份不等长，比如我们通常使用的罗马历，那么就应把它换算成等长年或埃及年。根据我已讲过的理由［Ⅲ，6结尾处］，我在计算均匀行度时将只使用埃及年。
如果年数超过60，则要将它划分成60年一轮的周期；当我们通过这样的60年周期查二分点行度表时，可以把行度项下的第一列视作多余而不顾；从第二列即度数列开始，如果其中有任何数值，则可以读出60°数以及其余度数和分数的60倍。然后再次查表，对于去掉60年整个周期之后剩余的年数，我们可以取成组的60再加上从第一列起所载的度数和分数。对于日数和60日的周期，也可采用同样方法，因为我们想根据日数分数表给它们加上均匀行度。不过在进行这一运算时，日子的分数甚至整个日数都可以忽略不计，因为它们运动很慢，周日行度只有若干秒或若干毫秒。于是，如果把所有各项连同其历元分别相加（如果超过360°，就不计每一组的6个60°），就可以得到给定时刻春分点的平位置、它超前于白羊宫第一星的距离或者这颗星落后于春分点的距离。
我们也可用同样方法求得近点角。由近点角可求出行差表［Ⅲ，8之后］最后一列所载的比例分数，这些值我们先暂时不用。然后，用二倍近点角可由同一表中的第三列求出行差，即真行度与平均行度相差的度数和分数。如果二倍近点角小于半圆，则应从平均行度中减去行差。但如果二倍近点角行度大于180°即半圆，则应把行差与平均行度相加。这样得到的和或差将包含春分点的真岁差和视岁差，或者当时白羊宫的第一星与春分点的距离。但如果要求的是其他某颗恒星的位置，则要加上星表中这颗星的黄经值。
举例往往可以使操作变得更加清楚。假设我们需要求出公元1525年4月16日春分点的真位置、黄赤交角以及它与室女宫谷穗之间的距离。从基督纪元开始到现在共历时1524罗马年106天，在此期间共有381个闰日，即1年零16天；而以等长年计算，则应为1525年122天，即25个60年周期加25年，以及两个60日周期加2天。在平均行度表［Ⅲ，6末尾］中，25个60年周期对应于20°55′2″，25年对应20′55″，2个60日周期对应16″，剩下的2天对应几毫秒。所有这些值与等于5°32′的历元［Ⅲ，11结尾］加在一起等于26°48′，即为春分点的平均岁差。
类似地，在25个60年周期中，近点角的行度为2个60°加37°15′3″，在25年中为2°37′15″，在2个60日周期中为2′4″，在2天中为2″。把这些数值与等于6°45′的历元［Ⅲ，11结尾］加在一起，得到的和为2个60°加上46°40′，此即为近点角。我将把行差表［Ⅲ，8结尾］的最后一列中与该近点角数值相对应的比例分数保留下来，以确定黄赤交角的大小，在这一例子中，它仅为1′。对应于二倍近点角5个60°加上33°20′，我求得行差为32′。因为该二倍近点角的值大于半圆，所以这一行差为正行差。把它与平均行度相加，就得到春分点的真岁差和视岁差为27°21′。最后，把这个数值与170°（室女宫的谷穗与白羊宫第一星的距离）相加，就得到室女宫谷穗位于春分点以东的天秤宫内17°21′。在我观测时它大致就在这个位置［Ⅲ，2已报告过］。
黄赤交角和赤纬都遵循以下规则，即当比例分数达到60时，应把赤纬表［Ⅲ，3结尾］所载的增加量（我指的是最大与最小黄赤交角之差）与赤纬度数相加。但在本例中，一个比例分数仅给黄赤交角增加了24″。因此，表中所载黄道分度的赤纬始终保持不变，因为目前的黄赤交角正在接近最小，而在其他某些时候赤纬会发生比较明显的变化。
例如，如果近点角为99°（比如基督纪元后的第880个埃及年就是如此），与之相应的比例分数是25。但是最大与最小黄赤交角之差为24′，且60′:24′＝25′:10′，把这个10′与28′相加，得到当时的黄赤交角为23°38′。如果我还想知道黄道上任一分度，比如距春分点33°的金牛宫内3°的赤纬，我在黄道分度赤纬表［Ⅲ，3结尾］中查得为12°32′，差值为12′。但是60′:25′＝12′:5′，把这5′加到赤纬度数32′中，就对黄道的33°得到总和为12°37′。对黄赤交角所使用的方法也可应用于赤经（除非我们更倾向于球面三角形的比例），只是每次都应从赤经中减去与黄赤交角相加的量，以使结果更精确地符合它们的年代。
同样，二分点和二至点的岁差（我已说过［Ⅲ，3开始］，这是地轴倾斜的结果）也可由地心的周年运动（这可在太阳的运行中表现出来）来说明。我现在就来讨论这个问题。如果用二分点或二至点来推算，周年的长度必然在变化，因为这些基点都在不均匀地移动。这些现象是彼此相关的。
因此，我们必须区分“季节年”与“恒星年”并对其进行定义。我把一年四季称为“自然年”或“季节年”，而把回返某一恒星的年称为“恒星年”。“自然年”又称“回归年”，古人的观测已经清楚地表明它是非均匀的。卡利普斯、萨摩斯的阿里斯塔克以及叙拉古的阿基米德（Archimedes）根据雅典的做法取夏至为一年的开始，测得一年包括365
天。但托勒密认识到，测定至点是困难而没有把握的，他并不过分相信他们的观测结果，而是信赖了希帕克斯，因为后者留下了在罗得岛进行的不仅对太阳至点而且对分点的大量观测记录，并且宣称
天其实缺了一点。后来托勒密以如下方式定出它的值为
天［《天文学大成》，Ⅲ，1］。
他采用希帕克斯于亚历山大大帝去世后第177年的埃及历第三个闰日（之后是第四个闰日）的午夜在亚历山大城非常精确地观测到的秋分点，然后又把它与他自己于安敦尼3年即亚历山大大帝去世后的第463年埃及历3月9日日出后约1小时在亚历山大城观测的另一个秋分点进行比较。于是这次观测与希帕克斯的观测之间共历时285埃及年70天
小时；如果1回归年比365天多出整整
天，那么就应当是71天6小时。所以285年中少了1天的
，从而300年中应去掉1天。
托勒密还从春分点导出了类似结果。他回想起希帕克斯于亚历山大大帝去世之后的第178年埃及历6月27日日出时所报告的那一春分点，他本人则于亚历山大大帝去世之后的第463年埃及历9月7日午后1小时多一点观测了春分点。根据同样的方法，他得出285年也少了1天的
。借助于这些结果，托勒密定出1回归年包含365天14分48秒。
后来巴塔尼于亚历山大大帝去世后的第1206年埃及历9月7日夜间约
小时，即8日黎明前
小时在叙利亚的拉卡同样细心观测了秋分点，并把他自己的观测结果与托勒密于安敦尼3年日出后1小时在位于拉卡以西10°的亚历山大城进行的观测加以对比。他把托勒密的观测结果化归到自己在拉卡的经度，发现在该处托勒密的秋分应当在日出后
小时发生。因此，在743［1206-463］个等长年中多出了178天
小时，而不是由
天积累出的总数
天。由于少了7天
小时
，所以
天应减少1天的
。于是他从
天中减去7天
小时的
［即13分36秒］，得出1自然年包含365天5小时46分24秒［＋13
m
36
s
＝6
h
］。
我于公元1515年9月14日即亚历山大大帝去世后的第1840年埃及历2月6日日出后
小时在弗龙堡［亦称“吉诺波利斯”（Gynoplis）］也观测了秋分点。由于拉卡位于我所在地点以东约25°，这相当于
小时。因此，在我和巴塔尼观测秋分点之间共历时633埃及年153天
小时，而不是633埃及年158天6小时。由于亚历山大城与我这里的时间大约相差1小时，所以如果换算到同一地点，则从托勒密在亚历山大城所进行的那次观测到我的这次观测共历时1376埃及年332天
小时。因此，从巴塔尼的时代到现在的633年少了4天
小时，或者说每128年少1天；而从托勒密以来的1376年大约少了12天，即每115年少1天。这两个例子都说明年份是不等长的。
我还于公元1516年3月11日前的午夜后
小时观测了春分点。从托勒密的春分点（亚历山大城的经度已与我这里作了比较）到那时，共历时1376埃及年332天
小时，于是显然，春分点与秋分点之间的时间间隔也并非等长。因此，这样所得到的太阳年就远非等长了。
至于秋分点的情况，正如我已经指出的，通过与年的平均分布相比较，从托勒密到现在，
天少1天的
，这一短缺与巴塔尼的秋分点相差半天；而从巴塔尼到我的观测，
天应当少1天的
，这与托勒密的结果不符，计算结果比他所观测到的分点超前了一天多，而比希帕克斯的结果超前了两天多。类似地，从托勒密到巴塔尼这段时期，计算结果比希帕克斯的分点超前了两天。
因此，从恒星天球可以更精确地测出太阳年的长度，这是萨比特·伊本·库拉（Thabit ibn Qurra）首先发现的，其长度为365天15分23秒（约为6小时9分12秒）。他的论证也许是根据以下事实，即当二分点和二至点重现较慢时，年似乎要比它们重现较快时长一些，而且符合确定的比值。除非相对恒星天球有一个均匀的长度，否则这种情况不可能发生。因此在这方面我们不必理会托勒密，他认为用太阳返回某一恒星来测量太阳的周年均匀行度是荒唐而古怪的，这与用木星或土星进行此项测量一样都是不妥的［《天文学大成》，Ⅲ，1］。于是就可以解释，为什么在托勒密之前回归年长一些，而在他之后缩短了一些，而且减小的程度也在变化。
但是在恒星年的情况下也可能产生一种变化，不过它很有限，远比我刚才解释的变化小得多。它出现的原因是地心绕太阳的同一运动由于另一种双重的变化而显得不均匀。第一种变化是简单的，以一年为周期；第二种变化可以引起第一种变化的不均等，它不能立即察觉，而是需要很长时间才能发现。因此等长年的计算既非易事，又难以理解。假设有人想仅凭与某颗位置已知的恒星的距离求出等长年——这可以利用一个星盘并以月亮为中介做到，我在谈到狮子座的轩辕十四时已经解释过这种方法［Ⅱ，14］——那么就不可能完全避免变化，除非当时太阳由于地球的运动而没有行差，或者在两个基点都有相似且相等的行差。但如果不出现这种情况，如果基点的非均匀性有某种变化，那么在相等时间内必定不会出现均匀的运转。而如果在两个基点把整个变化都成比例地相减或相加，那么这样做就不会出现什么变化。
此外，了解变化需要预先知道平均行度。我们对此的熟悉程度就像阿基米德对化圆为方的熟悉程度一样。但是为了最终解决这个棘手的问题，我发现视不均匀性共有四种原因。第一种是我已经解释过的二分点岁差的不均匀性［Ⅲ，3］；第二种是太阳看起来每年通过黄道上不等的弧；它还受制于第三种原因所引起的变化，我称这种原因为“第二种不均匀性”；第四种原因使地心的高低拱点发生移动，我们将在后面予以说明［Ⅲ，20］。在这四种原因中，托勒密［《天文学大成》，Ⅲ，4］只知道第二种。此原因本身并不足以引起年的不均匀性，而只有与其他原因一起才能做到这一点。然而，为了表明太阳的均匀行度与视行度之间的差别，似乎没有必要对年的长度作绝对精确的测量，而只要把一年取为365
天就够了。在此期间，第一种偏差的运行可以完成，因为当取的数量较小时，一个整圆所缺的那一点就完全消失了。但为了使顺序合理、便于理解，我现在先来阐述地心周年运转的均匀运动，然后我将基于所需的证明［Ⅲ，15］对均匀运动与视运动加以区分，对均匀运动进行补充。
我已经发现，一个均匀年的长度只比萨比特·伊本·库拉的值［Ⅲ，13］长
日秒，所以它是365天15日分24日秒10毫日秒，即6均匀小时9分40秒，其准确的均匀性显然与恒星天球有关。因此，如果把一个圆周的360°乘上365天，并把所得的积除以365天15日分
日秒，我们就得到了一个埃及年中的行度为5×60°＋59°44′49″7‴4″″，60年的行度（除去整圆后）为5×60°＋44°49′7″4‴。如果用365天去除年行度，则得日行度为59′8″11‴22″″。如果把这个值加上二分点的平均和均匀岁差［Ⅲ，6］，就可得到一个回归年中的均匀年行度为5×60°＋59°45′39″19‴9″″，日行度为59′8″19‴37″″。因此，我们可以习惯地把太阳的前一行度称为“简单均匀的行度”，后一行度称为“复合均匀的行度”。像二分点岁差那样［Ⅲ，6结尾］，我把它们也制成了表。赋予其后的是太阳近点角的均匀行度，我将在后面进行讨论［Ⅲ，18］。
然而，为了更好地确定太阳视运动的不均匀性，我现在要更清楚地表明，如果太阳位于宇宙的中心，地球以它为中心旋转，而且如我已经说过的那样［Ⅰ，5，10］，日地距离与庞大的恒星天球相比是微乎其微的，那么相对于恒星天球上任一点或任一颗恒星，太阳的视运动都是均匀的。
设AB为黄道位置上宇宙的大圆，点C为它的中心，太阳就坐落于此。与日地距离CD相比，宇宙极为广大。以CD为半径，在同一黄道面内作地心周年运转的圆CDE。我要证明的是，相对于圆AB上的任意一点或恒星来说，太阳的运动看起来都是均匀的。设该点为A，即从地球上看见太阳的位置。设地球在D，作ACD。设地球沿任一弧DE运动，从地球运动的终点E引AE和BE，所以从点E看去，太阳位于点B。由于AC要比CD或CE大得多，所以AE也将远大于CE。设点F为AC上任一点，连接EF。由于从底边的两端点C和E向点A所引的两条直线都落在了三角形EFC以外，所以根据欧几里得《几何原本》Ⅰ，21的逆定理，∠FAE＜∠EFC。两条无限延长的直线最后形成的夹角∠CAE小到无法察觉，∠CAE＝∠BCA-∠AEC。由于这一差值非常小，所以∠BCA和∠AEC几乎相等。AC和AE两线似乎平行，于是相对于恒星天球上任一点来说，太阳似乎在均匀地运动，就好像它在围绕中心E运转。证毕。
然而，太阳的运动可以证明为非均匀的，因为地心在周年运转中并非正好围绕太阳中心运动。这当然可以用两种方法来解释：或者通过一个偏心圆即中心不是太阳中心的圆来说明，或者通过一个同心圆上的本轮来说明。
[4]
利用偏心圆可作如下解释。设ABCD为黄道面上的一个偏心圆，它的中心点E与太阳或宇宙的中心点F之间的距离不可忽略不计。设偏心圆ABCD的直径AEFD过这两个中心。点A为远心点（拉丁文称之为“高拱点”），即距离宇宙中心最远的位置，D为近心点，即距离宇宙中心最近的地方。于是，当地球沿其轨道圆ABCD围绕地心E均匀运转时，正如我已经说过的，从点F看去，它的运动是不均匀的。设弧AB＝弧CD，作直线BE、CE、BF和CF。∠AEB＝∠CED，因为∠AEB和∠CED围绕中心E截出相等的弧。然而∠CFD是一个外角，外角∠CFD＞内角∠CED。而∠AEB＝∠CED，因此，∠CFD＞∠AEB。但是，外角∠AEB＞内角∠AFB，因此∠CFD＞∠AFB。但因弧AB＝弧CD，所以∠CFD和∠AFB是在相等时间内形成的。因此，该运动从点E看去是均匀的，从点F看去将是非均匀的。
同样结果还可用更简单的方法得出。因为弧AB距离点F比弧CD更远，根据欧几里得《几何原本》Ⅲ，7，与弧AB相截的直线AF和BF要比CF和DF长一些。在光学中已经证明，同样大小的物体看起来近大远小。因此，关于偏心圆的那些命题成立。
如果地球静止于F，而太阳在圆周ABC上运动，则证明完全相同。托勒密和其他作者都如此论述。
同样结果也可用同心圆上的本轮得出。设同心圆ABCD的中心亦即太阳所在的宇宙中心位于点E。设点A为同一平面上的本轮FG的中心。过两个中心作直线CEAF。设点F为本轮的远心点，点I为近心点。于是在A处的运动看起来是均匀的，而本轮FG上的运动看起来是不均匀的。如果A沿B的方向即黄道各宫的方向运动，地心从远心点F沿相反方向运动，那么在近心点I看来，点E的运动将显得快一些，因为A和I是在相同方向上运动；而在远心点F看来，点E的运动将显得慢一些，因为它是由两种反方向运动之差形成的。当地球位于点G时，它会超过均匀运动；而当位于点K时，它会落后于均匀运动。在这两种情况下，差额分别为弧AG或AK，太阳的运动由此看起来是不均匀的。
然而通过本轮可以实现的，通过偏心圆也可同样实现。当行星在本轮上运转时，它在同一平面描出与同心圆相等的偏心圆。偏心圆中心与同心圆中心之间的距离等于本轮半径。而这种情况可用三种方法实现。
如果同心圆上的本轮和本轮上的行星所作的旋转相等，但方向相反，那么行星的运动将描出一个远心点与近心点的位置不变的固定的偏心圆。设ABC为一同心圆，点D为宇宙中心，直径为ADC。假定当本轮位于点A时，行星位于本轮的远心点G，其半径落在直线DAG上。取同心圆弧AB，以点B为中心、AG为半径作本轮EF。连接BD和BE。取弧EF与弧AB相似，但方向相反。设行星或地球位于点F，连接BF。在直线AD上取DK＝BF。由于∠EBF＝∠BDA，因此BF与DK既平行又相等，因为根据《几何原本》Ⅰ，33，与平行且相等的直线相连接的直线也平行且相等。由于DK＝AG，AK为其共同的附加线段，所以GAK＝AKD，GAK＝KF。于是以K为中心，KAG为半径所作的圆将通过点F。由于AB与EF的复合运动，点F描出一个与同心圆相等的同样固定的偏心圆。因为当本轮的运转与同心圆相等时，这样描出的偏心圆的拱点必然保持不变的位置。（因为∠EBF＝∠BDK，BF总是平行于AD［这句话后来被删掉］。）
但是如果本轮的中心和圆周所作的运转不等，则行星的运动所表现出的就不再是一个固定的偏心圆，而是一个中心与拱点沿着与黄道各宫相反或相同方向移动（视行星运动与其本轮中心的相对快慢而定）的偏心圆。如果∠EBF＞∠BDA，设∠BDM＝∠EBF。同样可以表明，如果在直线DM上取DL与BF相等，则以点L为中心，以等于AD的LMN为半径所作的圆将通过行星所在的点F。因此，行星的复合运动显然描出偏心圆上的弧NF，而与此同时，偏心圆的远心点从点G开始沿着与黄道各宫相反的方向沿弧GN运动。与此相反，如果行星在本轮上的运动比本轮中心的运动慢，则偏心轮中心将随本轮中心沿着黄道各宫方向运动。例如，如果∠EBF＝∠BDM＜∠BDA，那么就会出现上述情况。
由此可知，同样的视不均匀性既可用一个同心圆上的本轮，也可用一个与同心圆相等的偏心圆得出。只要同心圆与偏心圆的中心之间的距离等于本轮半径，它们之间就没有差别。
因此要确定天界实际存在的是哪种情形并非易事。托勒密认为偏心圆模型是适宜的。在他看来［《天文学大成》，Ⅲ，4］，不均匀性是简单的，拱点的位置固定不变，太阳的情况就是如此，但他却对以双重或多重不均匀性运行的月球和五颗行星采用了偏心本轮。而且容易说明，对于偏心圆模型来说，均匀行度与视行度之差在行星位于高低拱点之间时达到最大，而对于本轮模型来说，它在行星与均轮相接触时达到最大。这是托勒密所阐明的［《天文学大成》，Ⅲ，3］。
偏心圆的情况可证明如下：设偏心圆ABCD的中心为点E，AEC是过太阳（位于不在中心的点F）的直径。过点F作直线BFD垂直于直径AEC。连接BE和ED。设A为远日点，C为近日点，B和D为它们之间的视中点。显然，三角形BEF的外角代表均匀运动，内角∠EFB代表视运动，它们之差为∠EBF。我要证明的是，顶点位于圆周、EF为其底边的角不可能大于∠B或∠D。在点B两边各取一点G和H。连接GD、GE、GF以及HE、HF、HD。由于FG比DF距离中心更近，线段FG＞线段DF，所以∠GDF＞∠DGF。但因为与底边DG有夹角的两边EG和ED相等，∠EDG＝∠EGD，因此∠EDF＝∠EBF＞∠EGF。同样可以证明，线段DF＞线段FH，∠FHD＞∠FDH。但由于EH＝ED，∠EHD＝∠EDH，因此相减可得，∠EDF＝∠EBF＞∠EHF。由此可见，以EF为底边所成的角不可能大于在B、D两点所成的角。所以均匀运动与视运动之差在远日点与近日点之间的视中点达到最大。
以上一般论证不仅适用于太阳现象，而且也适用于其他天体的不均匀性。现在我将讨论日地现象。就此论题而言，我首先来谈托勒密及其他古代学者传授给我们的知识，然后再谈更近的时期从经验学到的东西。
托勒密发现，从春分到夏至为94
日，从夏至到秋分为92
日［《天文学大成》，Ⅲ，4］。由时间长度可知，第一时段的平均和均匀行度为93°9′，第二时段为91°11′。设ABCD为这样划分的一年的圆周，点E为它的中心。设弧AB＝93°9′表示第一时段，弧BC＝91°11′表示第二时段。设春分点从点A观测，夏至点从点B观测，秋分点从点C观测，冬至点从点D观测。连接AC与BD，这两条直线在太阳所在的点F相互正交。由于弧ABC＞180°，弧AB＞弧BC，所以托勒密认为［《天文学大成》，Ⅲ，4］，圆心E位于直线BF与FA之间，远日点位于春分点与夏至点之间。过中心E作平行于AFC的IEG交BFD于点L，作平行于BFD的HEK交AF于点M。由此形成矩形LEMF，其对角线FE可延长为直线FEN，它标明了地球与太阳的最大距离以及远日点的位置N。因为弧ABC＝184°20′［＝93°9′＋91°11′］，弧AH＝
弧ABC＝92°10′，弧HB＝弧AGB-弧AH＝59′［＝93°9′-92°10′］，弧AG＝弧AH-弧HG＝92°10′-90°＝2°10′。如果取半径＝10000，则LF＝
弦2AG＝378。但是EL＝
弦2BH＝172，因此三角形ELF的两边已知，如果取半径NE＝10000，则边
。但是EF:EL＝NE:
弦2NH，因此，弧NH＝24
°，这即是∠NEH，视行度∠LFE＝∠NEH。这就是在托勒密之前高拱点超过夏至点的距离。
但是，弧IK＝90°，弧IC＝弧AG［＝2°10′］，弧DK＝弧HB［＝59′］，因此，弧CD＝弧IK-（弧IC＋弧DK）＝86°51′，弧DA＝弧CDA［＝175°40′＝360°-184°20′］-弧CD＝88°49′。但是86°51′对应着88
天，88°49′对应着90
天＝3小时。在这些时段内，可以看到太阳由于地球的均匀运动而由秋分点移到冬至点，并且在一年中余下的时间里由冬至点返回春分点。
托勒密证明了［《天文学大成》，Ⅲ，4］他所求得的这些结果与他之前的希帕克斯并无差异。因此他认为，高拱点后来仍会留在夏至点前24
°处不动，而偏心率（我说过为半径的
）则将永远保持不变。现已发现，这两个数值都发生了明显改变。
根据巴塔尼的记录，从春分到夏至为93天35日分，从春分到秋分为186天37日分。他用这些数值并根据托勒密的方法推出的偏心率不大于346单位（半径取为10000）。西班牙人查尔卡里求得的偏心率与他相同，但远日点是在至点前12°10′，而巴塔尼则认为是在同一至点前7°43′。由此可以推断，地心的运动还有另一种不均匀性，我们现代的观测也证实了这一点。
在我致力于这些课题研究的十几年间，尤其是在公元1515年，我求得从春分点到秋分点共有186天5
日分。为了避免在确定二至点时出差错（有些人怀疑我的前人在这方面犯过错误），我在此项研究中还补充考虑了太阳的其他几个位置。这些位置与二分点一样都不难测定，比如金牛宫、室女宫、狮子宫、天蝎宫和宝瓶宫的中点。由此我求得从秋分点到天蝎宫中点为45天16日分，从秋分点到春分点为178天53
日分。
第一时段中的均匀行度为44°37′，第二时段为176°19′。以这些资料为基础，重新绘制圆ABCD，设点A为春分时太阳的视位置，点B为观测到秋分的点，点C为天蝎宫的中点。连接AB与CD，它们相交于太阳中心F。作弦AC。由于弧CB＝44°37′，如果取两直角＝360°，则∠BAC＝44°37′。如果取四直角＝360°，则视行度∠BFC＝45°；但若取两直角＝360°，则∠BFC＝90°。于是截出弧AD的剩余∠ACD［＝∠BFC-∠BAC］为45°23′［＝90°-44°37′］。但是弧ACB＝176°19′，弧AC＝弧ACB-弧BC＝131°42′［＝176°19′-44°37′］，弧CAD＝弧AC＋弧AD［＝45°23′］＝177°5
′。因此，由于弧ACB［＝176°19′］＜180°，弧CAD＜180°，所以圆心显然位于圆周的其余部分BD之内。设圆心为E，过F引直径LEFG。设点L为远日点，点G为近日点。作EK垂直于CFD。如果取直径＝200000，则由表可查出已知弧所对的弦AC＝182494，CFD＝199934。于是三角形ACF的各角都可知。根据平面三角形的定理一［Ⅰ，13］，各边之比可得：取AC＝182494，则CF＝97697。因此，FD［CFD-CF＝199934-97697＝101967］超过CDF的一半［＝199934÷2或99967］的部分为FK＝2000［＝101967-99967］。由于180°-弧CAD［≈177°6′］＝2°54′，EK＝
弦2°54′＝2534，所以在三角形EFK中，两直角边FK和KE都已知，三角形的各边角均可知：如果取EL＝10000，则EF＝323；如果取四直角＝360°，则∠EFK＝51
°。因此，相加可得，∠AFL［＝∠EFK＋（∠AFD＝∠BFC＝45°）］＝96
°［＝51
°＋45°］，补角∠BFL［＝180°-∠AFL］＝83
°。但如果取EL＝60
p
，则EF≈1
p
56′。此即太阳与圆心之间过去的距离，现在它已变为还不到
，而对托勒密来说似乎是
。此外，远日点那时是在夏至点之前24
°，现在是在夏至点之后6
°。
既然我们已经发现太阳的非均匀运动有若干种变化，我想首先应当说明的是最为人所知的周年变化。为此目的，重新绘制圆ABC，其中心为E，直径为AEC，远日点为点A，近日点为点C，太阳位于点D。前已证明［Ⅲ，15］，均匀行度与视行度的最大差值出现在两拱点之间的视中点。为此，作BD垂直于AEC交圆周于点B。连接BE。于是在直角三角形BDE中两边已知，即圆的半径BE以及太阳与圆心的距离DE。因此三角形的各角均可知，其中∠DBE为均匀行度∠BEA与视行度角即直角∠EDB之差。
然而当DE发生增减变化时，三角形的整个形状会随之发生改变。在托勒密以前，∠B＝2°23′，在巴塔尼和查尔卡里的时代，∠B＝1°59′，而目前∠B＝1°51′。托勒密测出［《天文学大成》，Ⅲ，4］，∠AEB截出的弧AB＝92°23′，弧BC＝87°37′；巴塔尼测出弧AB＝91°59′，弧BC＝88°1′；而目前弧AB＝91°51′，弧BC＝88°9′。
有了这些事实，其余的变化也就显然可得了。在第二幅图中任取一弧AB，使∠AEB、∠BED以及两边BE和ED已知。通过平面三角形的定理，行差角∠EBD以及均匀行度与视行度之差均可得。由于前已提到的ED边的变化，这些差值也必定会变化。
以上解释了太阳的周年不均匀性，但这种解释不是基于前已说明的简单变化，而是基于一种在长时间内发现的与简单变化混合的变化。我将在后面［Ⅲ，20］对这两种变化做出区分。同时，地心的平均和均匀行度可以用更精确的数值定出。它与非均匀变化区分得越好，延续的时间就越长。这项研究如下。
我采用了希帕克斯于第三卡利普斯周期的第32年——前已提到［Ⅲ，13］，这是在亚历山大大帝去世后的第177年——第五个闰日的第三个午夜在亚历山大城观测到的秋分点。但因亚历山大城的经度大约位于克拉科夫（Krakow）以东，经度差约1小时，所以那时克拉科夫的时间约为午夜前1小时。因此，根据上面的计算，秋分点在恒星天球上的位置距白羊宫起点176°10′，这就是太阳的视位置，它与高拱点相距114
°［＝24°30′＋90°］。为了描绘这一情况，绕中心点D作地心所描出的圆ABC，设ADC为直径，太阳位于直径上的点E，远日点为点A，近日点为点C。设点B太阳在秋分时所在的位置。连接BD与BE。由于太阳与远日点的视距离∠DEB＝144
°，如果取BD＝10000，则边DE＝414。因此，根据平面三角形的定理四［Ⅱ，E］，三角形BDE的各边角均可求得。∠DBE＝∠BDA-∠BED＝2°10′。而∠BED＝114°30′，所以∠BDA＝116°40′［114°30′＋2°10′］。太阳在恒星天球上的平均或均匀位置与白羊宫起点的距离为178°20′［176°10′＋2°10′］。
我把我于公元1515年9月14日即亚历山大大帝去世后第1840年埃及历2月6日日出后半小时在与克拉科夫位于同一条子午线上的弗龙堡观测到的秋分点［Ⅲ，13］与这次观测进行对比。根据计算和观测，当时秋分点位于恒星天球上的152°45′处，它与高拱点的距离为83°20′，这与前面的论证相符［Ⅲ，16结尾］。取两直角＝180°，设∠BEA＝83°20′，且三角形BDE的两边已知：BD＝10000，DE＝323。根据平面三角形的定理四［Ⅱ，E］，∠DBE≈1°50′。如果三角形BDE有一外接圆，取两直角＝360°，则∠BED＝166°40′。如果取直径＝20000，则弦BD＝19864。因为BD:DE已知，所以弦DE≈640。DE在圆周上所张的角∠DBE＝3°40′，但中心角为1°50′［＝3°40′÷2］。这就是当时均匀行度与视行度之间的行差。把这个值与∠BED＝83°20′相加，即得∠BDA和弧AB＝85°10′［＝83°20′＋1°50′］，这是从远日点算起的均匀行度距离。因此太阳在恒星天球上的平位置为154°35′［＝152°45′＋1°50′］。两次观测之间共历时1662埃及年37天18日分45日秒。除1660次完整旋转以外，平均和均匀行度约为336°15′，这与我在均匀行度表中［Ⅲ，14后面］所确定的数值相符。
从亚历山大大帝去世到希帕克斯的观测，共历时176年362日27
分，通过计算可以得到在此期间的平均行度为312°43′。把这一数值从希帕克斯所测出的178°20′［Ⅲ，18］中减去，再补上圆周的360°，得到的225°37′［360°＋178°20′＝538°20′-312°43′＝225°37′］即为克拉科夫子午线和我的观测地弗龙堡在亚历山大大帝去世之初的埃及历1月1日正午所处的位置。从那时起到尤利乌斯·恺撒的罗马纪元的278年118
日中，去掉整周旋转后的平均行度为46°27′。把这一数值加到亚历山大大帝时的位置，得到的272°4′［＝225°37′＋46°27′］即为1月1日前的午夜（罗马人习惯于把这时算作年和日的开始）对恺撒时代求得的位置。又过了45年12天，即亚历山大大帝去世后323年130
日278
y
118
d
＋45
y
12
d
，基督纪元的位置为272°31′。因为基督诞生于第194个奥林匹克运动会期的第3年［193×4＝772＋3］，所以从第一个奥林匹克运动会期的起点到基督诞生年1月1日前的午夜，共历时775年12
日。由此还可以定出第一个奥林匹克运动会期时的位置在96°16′，这是在1月的第一天中午，现在与这一天相当的日子是罗马历7月1日。这样便把简单太阳行度的历元与恒星天球关联起来了，而且通过使用二分点岁差还可以得出复合行度的位置。在奥林匹克运动会之初，与简单位置相应的复合行度的位置为90°59′［＝96°16′-5°16′］；在亚历山大时期之初为226°38′［＝225°37′＋1°2′］；在恺撒时期之初为276°59′［＝272°4′＋4°55′］；在基督纪元之初为278°2′［＝272°31′＋5°32′］。正如我已说过的，所有这些位置均已化归为克拉科夫的子午线。
现在还有一个更严重的问题与太阳拱点的飘移有关。尽管托勒密认为拱点是固定的，但其他人却根据恒星也在运动的学说，认为它也随着恒星天球运动。查尔卡里认为这种运动是不均匀的，有时甚至会发生逆行。他的根据是，正如前已提到的［Ⅲ，16］，巴塔尼发现远日点位于至点前7°43′处（因为在托勒密之后的740年里它大约前进了17°［≈24°30′-7°43′］），过了193年，到了查尔卡里的时代，它大约后退了4
°［≈12°10′-7°43′］。因此他相信，还存在着周年轨道圆的中心沿一个小圆所作的另外一种运动，这种运动使得远地点前后摆动，轨道中心与宇宙中心的距离也在不断变化。
查尔卡里的这一想法很不错，但并没有因此而得到承认，因为它与其他发现并不相符。让我们考虑那种运动的各个阶段：在托勒密之前的一段时间里，它停止不动；在740年左右的时间里，它前进了17°；然后在200年里它又退行了4°或5°；从那时起直到现在，它一直向前运动，从未发生过逆行，也没有出现若干留点。当运动方向发生反转时，留点必定出现在运动轨道的两个边界处。既然逆行和留点都没有，这说明它不可能是规则的圆周运动。因此许多专家认为，那些天文学家［即巴塔尼和查尔卡里］的观测有误。但这两位天文学家都认真细致，技艺娴熟，因此很难确定应当遵循哪种说法。
我承认，测定太阳的远地点是最困难的，因为对于这个位置，我们是由小到几乎无法察觉的量去推算很大的量。在近地点和远地点附近，1°仅能引起2′左右的行差，而在中间距离处，1′就可以引起5°或6°的行差变化。如果失之毫厘，则谬以千里。所以，即使把远地点取在巨蟹宫内6
°处［Ⅲ，16］，测时仪器也是不能令我满意的，除非我的结果也能被日月食所证实。因为潜藏在仪器中的任何误差都可以由日月食显示出来。因此，从运动的一般结构可以推断，运动很可能是顺行但不均匀的。因为从希帕克斯到托勒密之间的那个停留间隔之后，远地点直到现在一直在连续而有规则地向前运动，除了在巴塔尼与查尔卡里之间运动出了错（一般认为如此），其余似乎都符合。类似地，太阳的行差也没有停止减小。它似乎遵循同样的圆周模式，两种非均匀性都与黄赤交角的第一种简单近点角变化或类似的不规则性相一致。
为了把这一点说得更清楚，在黄道面上作以点C为中心的圆AB，设其直径为ACB，ACB上的点D为太阳所在的宇宙中心。以点C为中心，作一个不包含太阳的小圆EF。设地球周年运转的中心沿这个小圆缓慢前行。因为小圆EF与直线AD一同缓慢前行，而周年运转的中心沿圆EF缓慢顺行，所以周年轨道圆的中心与太阳的距离时而为最大的DE，时而为最小的DF。它在E处较慢，在F处较快。在小圆的中间弧段，周年轨道的中心使两中心的距离时增时减，并使高拱点交替超前或落后于直线ACD上的拱点或远日点（它可充当平远日点）。取弧EG，以点G为中心作一个与AB相等的圆，则高拱点将位于直线DGK上，根据《几何原本》Ⅲ，8，DG将比DE短。这些关系可以通过上述偏心圆的一个偏心圆来说明，也可以用本轮的本轮来说明。
设圆AB与宇宙和太阳同心，ACB为高拱点所在的直径。以点A为中心作本轮DE，以点D为中心作地球所在的小本轮FG。这些图形都位于同一黄道面上。设第一本轮是顺行的，周期大约为一年，第二本轮D也是如此，只不过是逆行。设两个本轮相对于直线AC的运转次数相等，并且地心在逆行离开F时使D的运动有所增加。因此，当地球位于点F时，它将使太阳的远地点最远；当位于点G时，太阳远地点最近；而当位于小本轮FG的中间弧段时，它将使远地点朝着平远地点顺行或逆行，加速或减速，更远或更近。于是运动看起来将是不均匀的，一如我前面用本轮和偏心圆所证明的情况。
取圆弧AI。以点I为中心重新绘制本轮上的本轮。连接CI，沿直线CIK延长。由于转动数相等，∠KID＝∠ACI，因此，正如我在前面已经证明的［Ⅲ，15］，点D将围绕点L描出一个偏心率CL＝DI、半径等于同心圆AB的偏心圆；点F将描出一个偏心率CLM＝IDF的偏心圆；点G也将描出一个偏心率IG＝CN的偏心圆。如果在这段时间内，地心在它自己的本轮即第二本轮上已经走过了任意一段弧FO，则点O将描出这样一个偏心圆，它的中心不在直线AC上，而是在一条与DO平行的直线例如LP上。如果连接OI与CP，则OI＝CP，但OI＜IF，CP＜CM。根据《几何原本》Ⅰ，8，∠DIO＝∠LCP，所以，位于直线CP上的太阳的远地点看起来要超前于点A。
由此也很清楚，用偏心本轮得到的是同样结果。在前面的图形中，小本轮D绕着中心点L描出偏心圆。设地心在前述条件下（即略微超过周年运转）通过弧FO。它将围绕中心点P描出另一个偏心于第一个偏心圆的偏心圆，此后还会出现相同现象。由于种种方法都导向同样的结果，我无法轻易肯定哪一种是真实的，除非计算结果与现象永远相符，迫使我们相信它是其中一种。
我们已经看到［Ⅲ，20］，除黄赤交角或其类似量的第一种简单近点角变化之外，还有第二种不均匀性。因此，只要前人的观测误差不会造成影响，我就可以准确地求出它的变化。通过计算，我得出公元1515年的近点角约为165°39′，其起点大约在公元前64年，从那时到现在共历时1580年。我发现，近点角起始时偏心率达到最大，为417（取半径＝10000）。而我们这时的偏心率为323。
设直线AB上的点B为宇宙的中心即太阳。设AB为最大偏心率，BD为最小偏心率。以AD为直径作一个小圆，在它之上取弧AC＝165°39′，它表示第一种简单近点角。在近点角的起点A已经求得AB＝417，而现在BC＝323，于是在三角形ABC中，边AB与边BC均已知。因为CD是半圆余下的弧，弧CD＝14°21′，所以∠CAD也已知。因此，根据我已讲过的平面三角形的定理，余下的边AC以及远日点的平均行度与非均匀行度之差即∠ABC也可知。由于线段AC所对的弧已知，所以圆ACD的直径AD也可求得。如果取三角形外接圆的直径＝200000，则由∠CAD＝14°21′，得到CB＝2486。因为BC:AB已知，AB＝3225，AB所对的角∠ACB＝341°26′，因此如果取两直角＝360°，则剩下的角为∠CBD＝4°13′［＝360°-（341°26′＋14°21′＝355°47′）］，这是AC＝735所对的角。因此，如果AB＝417，则AC≈95。由于AC所对的弧已知，它与直径AD的比值可知。因此，如果ADB＝417，则AD＝96，剩余部分DB［＝ADB-AD＝417-96］＝321，即为最小偏心率。∠CBD在圆周上所成的角为4°13′，在圆心所成的角为2°6
′，它是从AB绕中心B的均匀行度所应减去的行差。
现在作直线BE与圆周相切于点E。以点F为中心，连接EF。于是在直角三角形BEF中，边EF＝48＝
×96＝直径AD，BDF＝369［FD＝48＋321＝DB］，如果取半径FB＝10000，则EF＝1300。EF＝
弦2EBF。如果取四直角＝360°，则∠EBF＝7°28′，此即均匀行度F与视行度E之间的最大行差。
于是其余个别差值就可以求得了。设∠AFE＝6°。我们有这样一个三角形，它的边EF、边FB以及∠EFB均已知，因此行差角EBF＝41′。但如果∠AFE＝12°，则行差＝1°23′；如果∠AFE＝18°，则行差＝2°3′；用同样的方法可以其余类推。这在前面论述周年行差时［Ⅲ，17］已经讲过了。
根据埃及人的记载，最大偏心率与近点角起点相吻合的时间是在第178个奥林匹克运动会期的第3年，即亚历山大大帝去世后的第259年［公元前64年；Ⅲ，21］，所以当时远地点的真位置和平位置都在双子宫内5
°处，即距春分点65
°处。由于真春分点岁差——它与当时的平岁差相符——为4°38′，所以从65
°减去4°38′，得到的余量60°52′即为从白羊宫起点量起的远地点位置。然而，在第573个奥林匹克运动会期的第2年即公元1515年，发现远地点位置位于巨蟹宫内6
°处，而算得的春分点岁差为27
°。从96°40′减去27
°得到69°25′。当时的第一近点角为165°39′，行差即真位置超前于平位置的量等于2°7′≈2°6
′；Ⅲ，21，因此太阳远地点的平位置为71°32′［＝69°25′＋2°7′］。因此，在1580个均匀埃及年中，远地点的平均和均匀行度为10°41′［≈71°32′-60°52′］。用年份去除这个数，就得到年均为24″20‴14″″。
如果从以前的简单周年行度359°44′49″7‴4″″［Ⅲ，14］中减去上面的数24″20‴14″″，得到的359°44′24″46‴50″″就是周年均匀近点角行度。再把359°44′24″46‴50″″平均分配给365天，就得到日均为59′8″7‴22″″，这与前面表中［Ⅲ，14结尾］所载的值相符。于是可以得出从第一个奥林匹克运动会期开始的各种历元的位置。前已说过，在第573个奥林匹克运动会期第2年9月14日日出后半小时的平太阳远地点位于71°32′，由此可得当时的平太阳距离为83°3′［71°32′＋83°3′＝154°35′；Ⅲ，18］。从第一个奥林匹克运动会期到现在，时间已经过去了2290埃及年281日46日分。在此期间，近点角行度——不算整圈——为42°49′。从83°3′中减去42°49′，得到的40°14′即为第一个奥林匹克运动会期时近点角的位置。根据与前面一样的方法，我们还可求得在亚历山大大帝时的位置为166°38′，恺撒时为211°11′，基督时为211°19′。
为了使前面论述的太阳均匀行度与视行度的变化更便于使用，我将为它们制一个共有60行和6列的表格。前两列为周年近点角在两个半圆——即从0°到180°的上升半圆和从360°到180°的下降半圆——的度数，与前面讨论二分点行差的做法一样［Ⅲ，8结尾］，这里也以3°为间距列出。第三列为太阳远地点行度或近点角变化的度数与分数。该变化最大约为7
°，也是每隔3°有一个变化值。第四列为最大为60的比例分数。当周年近点角行差大于由太阳与宇宙中心的最小距离所产生的行差时，比例分数应与第六列所载周年近点角行差的增加值一起计算。因为这些行差的最大增加值为32′，其六十分之一为32″，利用前已阐明的方法［Ⅲ，21］，我将从偏心率导出增加值的大小，并根据这些值每隔3°给出60分之几的数。第五列是根据太阳与宇宙中心的最小距离所求得的个别行差的周年变化和第一种变化。最后，第六列为偏心率最大时这些行差的增加值。表格如下：
续表1
续表2
应该怎样用上面的表计算任一给定时刻太阳的视位置，我想现在已经很清楚了。正如我已经解释的［Ⅲ，12］，我们先与第一种简单近点角一起查出当时春分点的真位置或其岁差，然后通过均匀行度表［Ⅲ，14结尾］找出地心的平均简单行度（或称其为太阳行度）以及周年近点角。把这些数值加上它们已经确定的历元［Ⅲ，23］。从上表第一列或第二列中可以查出第一种简单近点角的值或临近数值，从第三列中可以查出周年近点角的相应行差。查出列在旁边的比例分数。如果周年近点角的原始值小于半圆或出现在第一列中，则把行差与周年近点角相加，否则就从中减去行差。由此得到的差或和即为经过修正的太阳近点角。由此便可得出第五列所载的周年轨道的行差以及相伴随的增加值。把这一增加值与业已查出的比例分数结合起来，可得到一值。把这个值与轨道行差相加，便可得到修正行差。如果周年近点角可在第一列中查到或者小于半圆，就应把修正行差从太阳平位置中减去；反之，如果周年近点角大于半圆或出现在第二列中，则应把修正行差与太阳平位置相加。如此得到的差或和给出从白羊座起始处量起的太阳真位置。最后，如果与这个太阳真位置相加，则春分点的真岁差将立即给出太阳在黄道各宫和黄道弧上相对于分点的位置。
但如果你想采用另一种方法得出这一结果，那么可以用均匀复合行度来代替简单行度。进行以上所有操作，只是要用春分点岁差的行差而不是岁差本身，加或减视情况而定。这样，通过地球运动而对视太阳所进行的计算与古代和现代的记录相符，将来的运动大概已经被预见到。
然而我也并非不知道，如果有人认为周年运转的中心静止于宇宙的中心，而太阳的运动却与我关于偏心圆中心所论证的［Ⅲ，20］两种运动相似且相等，那么无论是数值还是证明，所有现象都将与前面一样。因为除了位置，尤其是与太阳有关的现象，没有什么会发生变化。于是地心绕宇宙中心的运动将是规则的和简单的（其余两种运动都被归于太阳）。因此，当我开始时含糊地说，宇宙的中心位于太阳［Ⅰ，9，10］或太阳附近［Ⅰ，10］时，这些位置当中到底哪一个是宇宙的中心仍然是有疑问的。不过在讨论五颗行星时［Ⅴ，4］，我将进一步讨论这个问题。在那里我将尽我所能对此做出回答，并认为如果我把可靠的、值得信赖的计算应用于视太阳，这就足够了。
关于太阳，还应讨论自然日的变化。自然日是包含24个相等小时的周期，直到现在，我们仍然常用它对天体运动进行普遍和精确的度量。然而不同民族对它有不同的定义：巴比伦人和古希伯来人把一自然日定义为两次日出之间的时间，雅典人定义为两次日没之间的时间，罗马人定义为从午夜到午夜，埃及人则定义为从正午到正午。
在此期间，除地球本身旋转一次所需时间外，显然还应加上它对太阳视运动周年运转的时间。但这段附加时间是可变的，这首先是因为太阳的视行度在变，其次是因为自然日与地球绕赤极的旋转有关，而周年运转沿黄道进行。因此，不能用这段视时间对运动进行普遍而精确的度量，因为自然日与自然日在任何细节上都不一致。因此便需要从中挑选出某种平均和均匀的日子，用它来精确地测定均匀行度。
由于在一整年中地球绕两极共作365次自转，此外，由于太阳的视运动使日子加长，所以还须增加大约一次完整的自转，因此自然日要比均匀日长出这一附加自转周的
。于是，我们应当定义出均匀日，并把它与非均匀的视日区分开来。我把赤道的一次完整自转加上在此期间太阳看起来均匀运动的部分称为“均匀日”，而把赤道转一周的360°加上与太阳视运动一起在地平圈或子午圈上升起的部分称为“非均匀视日”。虽然这些日之间的差别小到无法立即察觉，但若干天后它就很明显了。
这种现象有两种原因，即太阳视运动的非均匀性以及倾斜黄道的非均匀升起。第一种原因是由太阳的非均匀视行度造成的，前面已经阐明［Ⅲ，16-17］。托勒密认为［《天文学大成》，Ⅲ，9］，在两个平拱点之间，对于中点为高拱点的半圆来说，度数比黄道少了4
时度，而在包含低拱点的另一个半圆上，度数却比黄道多出了同一数目。因此一个半圆比另一个半圆总共超出9
时度。
但是对于与出没有关的第二种原因，各包含一个至点的两个半圆之间有着极大的差异。这是最短日与最长日之间的差异，它的变化很大，每一地区都不一样。而从中午或午夜量出的差值在任何地方都在四个极限点以内。从金牛宫16°处到狮子宫14°处，黄道的88°共越过子午圈的约93时度；从狮子宫14°到天蝎宫16°，黄道的92°共越过子午圈的87时度，所以后者少了5时度［92°-87°］，前者多了5时度［93°-88°］。于是第一时段的日子比第二时段超出了10时度＝
小时。另一半圆的情况与此相似，只是两个完全相对的极限点反了过来。
现在天文学家们决定取正午或午夜而不是日出或日没来作为自然日的起点，这是因为与地平圈有关的非均匀性较为复杂，它可长达数小时，而且各地的情况不一样，它会根据地球的倾角复杂地变化。而与子午圈有关的非均匀性则是到处都一样，所以较为简单。
因此，由前述原因即太阳视运动的不均匀性以及黄道不均匀地通过子午圈所引起的总的差值，在托勒密以前达到8
时度［《天文学大成》，Ⅲ，9］；现在减少是从宝瓶宫20°左右扩展到天蝎宫10°，增加是从天蝎宫10°扩展到宝瓶宫20°，差值已经缩小为7°48′时度。由于近地点和偏心率也是随时间变化的，所以这些现象也将随时间变化。
最后，如果把二分点岁差的最大变化也考虑在内，则自然日的整个变化可以在几年内超过10时度。直到现在，自然日非均匀性的第三种原因仍然隐而未现，因为相对于平均和均匀分点而不是并非完全均匀的二分点（这一点已经足够清楚了）来说，赤道的旋转已经被发现是均匀的，所以有时较长的日会比较短的日超出10时分的两倍即1
小时。由于太阳的周年视行度以及恒星相当缓慢的行度，这些现象也许可以忽视而不致产生明显的误差，然而由于月球的快速运动（可以引起太阳行度的
的误差），它们决不能被完全忽略。
根据以下把所有变化联系起来的方法，可以比较均匀时和视非均匀时。对于任一段给定时间来说，对该时段的两个极限点——即起点和终点——来说，可以根据我所说的太阳复合均匀行度求出太阳相对于平春分点的平位移，以及相对于真春分点的真视位移。测定在正午或午夜赤经走过了多少时度，或者定出第一真位置与第二真位置的赤经之间有多少时度。如果它们等于两平位置之间的度数，则已知的视时间等于平时间；如果时度较大，就把多余量与已知时间相加；如果较小，就从视时间中减去差值。由这样得到的和或差出发，并取1时度等于1小时的4分钟或1日分的10秒［10 ds ］，我们就可以得到归化为均匀时的时间。而如果均匀时已知，你想求得与之相应的视时间是多少，则可遵循相反程序。
对于第一个奥林匹克运动会期，我们求得在雅典历1月1日正午，太阳与平春分点的平均距离为90°59′［Ⅲ，19］，而与视分点的平均距离位于巨蟹宫内0°36′。从基督纪元以来，太阳的平均行度位于摩羯宫内8°2′［＝278°2′；Ⅲ，19］，真行度位于摩羯宫内8°48′。因此，在正球上从巨蟹宫0°36′到摩羯宫8°48′共升起了178时度54′，这超过了平位置之间的距离1时度51′＝7分钟。对其余部分程序相同，由此可以非常精确地考察月球的运动，我将在下一卷对此进行讨论。
[1] 在原稿fol.75 r ，第四章原来结尾处有下面一段话，后来被哥白尼删掉了：
有些人称此为“沿圆周宽度的运动”，即沿直径的运动。但稍后我将表明［Ⅲ，5］，它们的周期和大小都可以由圆的周长导出。此外，这里应当顺便指出，如果圆HG和圆CF不等，其他所有条件保持不变，则它们描出的将不是一条直线，而是一条圆锥或圆柱截线，数学家称之为“椭圆”。不过这些问题我将在别处讨论。
[2] 此段的早期草稿为：
1460年，格奥尔格·普尔巴赫报告说，倾角为23°，这与前面提到的天文学家们的结果相符，只需加上28′；1491年，多米尼科·马利亚·达·诺瓦拉（Domenico Maria da Novara）报告说，整度数加上的分数大于29′；根据约翰内斯·雷吉奥蒙塔努斯（Johannes Regiomontanus）的说法，为23°28
′。（哥白尼本来在正文中引用了普尔巴赫和诺瓦拉的结果，随后在页边空白处加上了对雷吉奥蒙塔努斯的评论。后来他删掉了普尔巴赫—诺瓦拉一段，但忘了删掉雷吉奥蒙塔努斯一段。）
[3] 早期草稿：哥白尼起初用下面这段话作为Ⅲ，7的开始，但后来删掉了。
既然我已经尽可能解释了二分点岁差的均匀行度和平均行度，我必须追问它与视行度之间的最大差值有多大。通过这个最大差值，我很容易求得个别差值。二倍近点角的运动（即从提摩恰里斯到托勒密的432年中二分点的非均匀运动）显然为90°35′［Ⅲ，6］。但岁差的平均行度为6°，视行度为4°20′，二者之间的差值为1°40′。我已经确定慢行度的最后阶段和加速的开始是在这一时段的中期。因此在这一时段，平均行度应与视行度相一致，视分点与平均分点相一致。于是在那个界限的两边，各有一半的相等距离，我指的是45°17
′。类似可得视分点与平均分点的差值为50′。
[4] 此段的删节本为：
然而，其非均匀性可以用两种方式来解释。或者是地心的圆周轨道并非与太阳同心，或者是宇宙……