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在一篇三年前发表的论文
中，我已经试着回答了光的传播会不会受到引力的影响的问题。现在我要回到这一课题，因为我对这一课题上次的处理不满意；但是，甚至更重要的是因为我现在已经意识到，那种分析的最重要推论之一是可以受到试验的检验的。特别来说，现已看到，按照我现在即将提出的理论，在太阳附近经过的光线受到太阳引力场会偏转，于是出现在太阳附近的一个恒星就会显示和太阳的角距离的一个增量，其大小几乎为1s。
在进行分析的过程中，得到了更多的有关引力的结果。但是，既然全面论证的提出是很难追随的，我在下面将只提出几点完全初等的想法；在这些想法的基础上，人们对理论的假设和推理思路很容易摸到一些头绪。即使他们的理论基础是正确的，此处所导出的这些关系也是只在一级近似下成立的。
在一个均匀的重力场中（重力加速度为γ），设有一个静止坐标系K，其取向适当，使得重力场的力线是沿着负z轴方向的。在一个没有引力场的空间中，设有另一个以均匀加速度（其加速度为γ）沿着正z轴方向运动的坐标系K'。于是，为了避免不必要地把分析弄复杂，我们将暂时不考虑相对论，而按照常规的运动学来考虑这两个坐标系，并按照习见的力学来考虑发生于各系中的运动。
没有受到其他质点作用的质点，将按照下列方程而相对于K，同样也相对于K'来进行运动：
对加速系K'来说，这是伽利略原理的直接理论；但是对于静止在均匀力场中的系K来说，这却是由经验得来的，就是说，根据经验，一切物体在这样的场中都受到一个相同的常值加速度。这种一切物体在重力场中等同下落的经验，是自然观察所赋予我们的最普遍的经验之一；尽管如此，这条定律在我们物理世界图景的基础中却没能得到一个地位。
但是，如果我们假设系K和系K'在物理上是完全等价的，也就是说，如果我们假设系K同样可以被设想为出现在一个没有引力场的空间中，但这时必须把K看成均匀加速的，那么我们就能得到上述经验定律的一种很满意的诠释。有了这种观念，人们就不再能够谈论参照系的绝对加速度，正如在普通的相对论中不能谈论一个系的绝对速度那样。
有了这种观念，重力场中一切物体的等同下落就是不言而喻的了。
只要我们把自己限制在牛顿力学适用范围以内的纯力学过程方面，我们就能肯定地相信系K和系K'的等价性。然而，要使这种观念得到更深刻的重要性，系K和系K'必须对一切物理过程都是等价的，也就是说，相对于K的自然定律必须和相对于K'的自然定律相重合。如果接受这一假设，我们就得到一条具有很大启发意义的原理，如果它确实正确的话。因为，通过相对于均匀加速参照系而发生的过程的理论分析，我们就得到关于发生在均匀引力场中的过程进展情况的信息。
以下我将首先证明，从普通相对论的观点看来，我们的假说是有很大可能性的。
相对论已经证明，物体的惯性质量随着它的能量增加而增加；如果能量增量为E，则惯性质量的增量为E/c 2 ，此处c代表光速。但是，对应于惯性质量的增量，有没有引力质量的增量呢？如果没有，则一个物体将随其能含量的不同而在同一重力场中以不同的加速度下落。那样一来，相对论的一个很满意的结果，即质量守恒原理和能量守恒定律融为一体的结果就将不能成立，因为质量守恒定律的旧式表述确实将对惯性质量不再成立而对引力质量则仍能成立。
此事必须认为是很有可能的。另一方面，普通的相对论并没有给我们提供任何论据来判断一个物体的质量依赖它的能含量。但是我们却将证明，能量的质量是我们系K和系K'的等价性假说的一条必要推论。
设有两个物质体系S 1 和S 2 ，各自备有测量仪器，并位于z轴上相距为h处， [1] 使得S 2 中的引力势比S 1 中的引力势大γ·h。假设S 2 以辐射的形式向S 1 放出了某一能量E。设S 1 和S 2 中的能量是用两套仪器来测量的；当把这两套仪器带到坐标系中的同一位置z上并在那儿互相比较时，它们完全相同。关于这次能量输送过程，任何情况都无法 事先 肯定，因为我们并不知道引力场将如何影响辐射和S 1 及S 2 中的测量仪器。
但是，按照我们的K和K'的等价性假设，我们可以把位于一个均匀重力场中的系K换成以均匀加速度沿正z轴而运动的无重力场的系K'，而物质体系S 1 和S 2 就是刚性地束缚在它的z轴上的。
我们将从一个无加速参照系K 0 来评定这个从S 2 向S 1 通过辐射而输送能量的过程。在辐射能量E 2 已从S 2 向S 1 发出的那一时刻，K'相对于K 0 的速度将是零。过了一段时间h/c（一级近似值）以后，辐射将到达S 1 。但是在这一时刻，S 1 相对于K 0 的速度将是γ·h/c=v。因此，按照普通的相对论，到达S 1 的辐射将不是具有能量E 2 而是具有较大的能量E 1 ，而E 1 和E 2 在一级近似下由下列方程来联系： [2]
按照我们的假设，当相同的过程在未被加速但却加有一个引力场的系K中发生时，完全相同的关系式也将成立。在这一事例中，我们可以把γh换成S 2 中引力矢量的势Φ，如果S 1 的Φ的任意常量被取为零的话。于是我们就有
这一方程表示适用于所考虑过程的能量原理。到达S 1 的能量E 1 比从S 2 发出的能量E 2 （用相同的仪器来测量）多出了质量E 2 /c 2 在重力场中的势能。因此，为使能量原理能够满足，在能量E从S 2 被发出之前就必须给它指定上一个和（引力）质量E/c 2 相对应的重力势能。于是，我们的K和K'的等价性假设就消除了本节开头处提到的那个困难，那是普通的相对论留下来没有解决的。
这一结果的意义将通过下述循环过程的考虑而变得特别清楚：
1.能量E（在S 2 处量度）以辐射的形式从S 2 向S 1 发出，而按照我们刚刚得到的结果，在S 1 处将有一个能量E（1+γh/c 2 ）被吸收（在S 1 处量度）。
2.一个质量为M的物体W从S 2 下落到S 1 ，在此过程中一个功Mγh被释放。
3.当物体W在S 1 中时从S 1 向W输送能量E。这就会改变引力质量M从而它的新值将是M'。
4.W升回到S 2 ，这就需要加上一个功M'γh。
5.E从W送回到S 2 。
这一循环过程的唯一结果就是S 1 得到了一个能量增量E（γh/c 2 ）和一个能量
M'γh-Mγh
则以机械功的形式传给了体系。于是，按照能量原理，我们应有
或者写成
因此引力质量的增量就等于E/c 2 ，从而就等于由相对论求得的惯性质量的增量。
这一结果可以更直接地从系K和系K'的等价性推出；按照这种等价性，相对于K的引力质量守全地等于相对于K的惯性质量，从而能量必须有一个等于其惯性质量的引力质量。如果有一个质量M
0
挂在系K'中的一个弹簧秤上，则弹簧秤将由于M
0
的惯性而指示其表现重量M
0
γ。如果把能量E传送给M
0
，则弹簧将按照能量的惯性原理而指示
。按照我们的基本假设，如果实验在系K中，也就是在引力场中被重做，完全相同的情况也会出现。
如果在均匀加速参照系K'中从S 2 发向S 1 的辐射相对于位于S 2 处的时钟具有频率v 2 ，则当它到达S 1 时，相对于位于S 1 的构造全同的时钟将不再具有ν 2 而是具有一个较大的频率ν 1 ，而在一级近似下，就有
因为，如果我们再次引用K'在光的发射时刻相对于它没有速度的那个无加速参照系K 0 ，则当辐射到达S 1 时，S 1 相对于K 0 的速度将是γ（h/c），而我们由此就能借助于多普勒原理直接得出以上给出的关系式。
按照我们的系K和系K'的等价性假设，这一方程对处于静止并含有一个均匀重力场的坐标系K也成立，如果上述这种辐射输送发生在K中的话。于是，由此可见，在一个给定重力场中在S 2 发出的并在发射时刻具有频率ν 2 （和位于S 2 的一个时钟相比较）的一条光线，在到达S 1 时将具有一个不同的频率ν 1 ，如果这个频率是用一个位于S 1 的构造完全相同的时钟来测量的话。我们把γh用以S 1 为零点的S 2 的重力势Φ来代替，并且假设针对均匀引力场导出的我们的关系式对于其他构造的场也成立，我们就得到
这一结果（按照我们的推导在一级近似下成立）首先可以有下述的应用：设ν 0 是一个基元光源的频率，由一个位于同一地点的时钟U来测出。因此这个频率就和安置光源及时钟的地点无关。我们将设想，两者都安置在太阳的表面上（这也就是体系S 2 所在之处）。那里所发的光有一部分到达地球（S 1 ）；在这里，我们用一个和上述时钟构造完全相同的时钟U来测量来到的光的频率ν。按照式（2a），我们将有
式中Φ是太阳表面和地球之间的引力势差（的负值）。于是，按照我们的观念，太阳光的谱线和地上光源的对应谱线相比必然会稍稍移向红色一端，其相对频移达到
假如太阳光发生时所处的条件是确切已知的，这一频移就将可以用实验来检验。然而，既然另外的因素（压强、温度）会影响谱线密度中心线的位置，那就很难确定以上已经导出的引力势的影响是否真正存在。 [3]
初看起来，方程（2）和（2a）似乎断定了某种荒诞的事情。如果光从S 2 到S 1 的输送是连续的，每秒到达S 1 的周期数怎么可能和从S 2 发出的不同呢？然而答案是简单的。我们不能简单地把ν 2 和ν 1 看成频率（每秒的周期数），因为我们还没有在K中定义一种时间。ν 2 代表参照S 2 处的时钟U上的时间单位来定的周期数，而ν 1 则代表参照S 1 处的构造完全相同的时钟U上的时间单位来定的周期数。不存在任何东西迫使我们假设处于不同引力势的时钟U必须被认为走得一样快。相反地，我们肯定必须适当定义K中的时间，以便S 2 和S 1 之间的波峰数和波谷数不依赖时间的绝对值，因为所考虑的过程在本性上是定态的。假如我们没有满足这个条件，我们就会得出一种时间的定义，当应用了这种定义时，时间就会显式地出现在自然定律中，那当然是不自然的和挺别扭的。因此，S 2 中的和S 1 中的时钟就并不是正确地给出“时间”。如果我们在S 1 处用时钟U来量度时间，我们就必须在S 2 处用另一个时钟来量度时间，而当在同一个地方互相比较时，后一时钟比时钟U走得较慢，两者之比为1∶（1+Φ/c 2 ）。因为，当用这样一个时钟来测量时，以上所考虑的那条光线当在S 2 处发射时的频率就是
从而按照式（2a）就是等于同一光线在到达S 1 时的频率ν 1 的。
由此就得到一条对这一理论有着根本意义的推论。那就是，如果光速在加速的、无引力场的参照系K'的不同位置上被用构造完全相同的时钟U来量度，则所得的结果处处相同。按照我们的基本假设，同样的推论对系K也成立。但是，按照刚刚说过的条件，我们必须用构造不同的时钟来在引力势不同的各点上测量时间。为了在相对于坐标原点而言的引力势为Φ的一点上测量时间，我们必须使用一个时钟，当把它移到坐标原点上时，它比用来在坐标原点上测量时间的那个时钟要走得慢（1+Φ/c 2 ）倍。如果c 0 代表坐标原点上的光速，则引力势为Φ的一点上的光速c由下式给出：
通常用作普通相对论之基础的那种表述下的光速恒定性原理，在这一理论中是不成立的。
由以上已证明的引力场中的光速是位置的函数这一命题，人们很容易利用惠更斯原理推出，穿过一个重力场而传播的光线必然会受到偏转。因为，设ε是一个平面光波在时刻t的一个等相平面，而P 1 和P 2 是这个平面上相距单位距离的两个点。设P 1 和P 2 位于纸面上，纸面选得适当，以致当沿着该面的法线方向计算时，Φ的从而还有c的导数都为零。围绕点P 1 和P 1 以半径c 1 dt和c 2 dt作圆并画出这些圆的公切线，此处c 1 和c 2 分别代表P 1 和P 2 上的光速，这样就能得出时刻t+dt的对应等相面——或者说是该等相面和纸面的交线。于是，光线在光程cdt上的偏转角就是
如果我们当光线偏向n'增大的方向时把偏转角取为正值的话。
于是，光线在单位程长上的偏转角就是
或者，按照式（3），就是
最后，我们就得到光线在任意光程（s）上向n'方向的偏转角α的表达式
通过直接在均匀加速的系K'中考虑光线的传播并把结果换到系K中，然后再转换到任意构造的引力场的事例中，我们也能得到相同的结果。
按照方程（4），在一个天体附近经过的光线将受到一种趋向引力势减低方向的，从而也就是向着天体的方向上的偏转，其偏转角的量值是
式中k代表引力常量，M代表天体的质量，而Δ代表光线离开天体中心的距离。因此，在太阳附近经过的一条光线，将受到角度为4×10 -6 rad约0.83s的偏转。这就是由于光线的变曲而使一个星体离太阳中心的角距离似乎有所增大的那个量。既然在日全食中位于太阳附近那一部分天空中的各个恒星会变成可见的，那就有可能把理论的这一推论和经验进行比较。在木星的事例中，所应预期的角距离约为上述量值的1/100。非常希望的是天文学家们能够过问此处所提的问题，即使这里所提的这些想法显得不够可靠乃至有些太大胆。因为，除了任何理论以外，我们必须问问自己：引力场对光的传播的一种影响到底能不能用目前已有的仪器来加以探测。
布拉格，1911年6月
（戈革译）
[1] 和h相比，S 1 和S 2 被认为是无限小的。
[2] 爱因斯坦， Ann.der.Phys. 17（1905）：pp.913-914。
[3] L.F.Jewell（ Journ.de Phys .6[1897]）特别是Ch.Fabry和H.Boisson（ Compt.rend. 148[1909]：688-690）确实确证了细谱线向光谱红端的频率，其数量级和以上算出的相同，但是他们把它归因于吸收层中的压强的效应。