下载掌阅APP，畅读海量书库
立即打开
人们知道：按照目前通常的理解，麦克斯韦的电动力学在应用于运动物体时，会导致非对称性，此非对称性似乎不是该现象所固有的性质。以磁体和导体相互的电动力学作用为例，这里可观察到的现象只依赖导体和磁体的相对运动，然而通常的观点却严格地区分这两个物体中究竟是哪一个在运动。因为如果磁体在运动而导体静止，那么在磁体周围会产生一定能量的电场，从而在导体所处的地方会产生电流。但是如果磁体静止而导体在运动，那么在磁体周围就不会引起电场。然而，在导体中我们却发现了电动势，它本身没有对应的能量，却产生了电流，其路径和强度都与前一种情形下电力产生的电流相同（假设两种情形的相对运动相同）。
这类例子，连同企图发现地球相对于“光介质”运动的失败尝试一起，揭示出：电动力学现象和力学现象的所有性质都与绝对静止观格格不入。相反地，它们揭示出，正如已经由一阶小量所证明的，电动力学和光学的同一组规律，在使得力学方程成立的所有参考系中，都应该有效（注：之前的洛伦兹回忆录当时还不为作者所知）。我们将把这个猜想（其主旨今后就称为“相对性原理”）提升到基本原理的高度，同时引入另一个只是表面上似乎与前述原理不相协调的假设，即光在真空中总是以一定的速度c传播，而与发射物体的运动状态无关。这两个假设，足以用来得到一个基于麦克斯韦静止物体理论的、简单一致的运动物体的电动力学理论。引进“传光的以太”被证明是多余的，因为本文提出的观点不需要具有特殊性质的“绝对静止空间”，也不需要给电磁过程发生的真空点赋予一个速度向量。
本文提出的理论，像所有电动力学理论一样，是基于刚体运动学，因为任何这种理论的论断都离不开刚体（坐标系）、时钟、电磁过程之间的关系。对这种情况考虑得不周全正是目前的运动物体电动力学所遇到的困难之源。
取一个使牛顿力学方程成立的坐标系（注：即在一阶近似下）。为使我们的陈述更准确，也为在字面上把该坐标系与下面将要引入的其他坐标系区分开，我们称该坐标系为“静止系”。
如果一个质点相对于该坐标系静止，那么使用刚性度量标准和欧几里得几何方法可以相对于该坐标系定义它的位置，并且表达为笛卡儿坐标。
若希望描述质点的 运动 ，就把它的坐标值表示为时间的函数。这里必须小心地记住：这种数学表示没有物理含义，除非我们对于所谓的“时间”理解得非常清楚。必须认识到，所有涉及时间的判断都是关于 同时事件 的判断。例如，如果我说，“火车7点到达这里”，我是指类似下面的话：“我的手表的短针指向7与火车到达是同时事件。”（注：这里不讨论近似在同一个地方的两个事件的同时性概念中隐藏的不准确性，唯有抽象化才能排除这种不准确性。）
以“我的手表的短针位置”来替代“时间”，似乎就可以克服所有关于“时间”定义遇到的困难了。实际上，如果我们只想要给手表所处的位置定义时间的话，这个定义是令人满意的；但是当我们必须把发生在不同地点的时间序列中的事件联系起来的时候，或者等价地说，必须确定在远离手表的位置上发生事件的时间的时候，这个定义就不再令人满意了。
当然，以如下方式确定的时间值也可以让我们满意，即让观察者和手表一起处在坐标系的原点，当每一个待定时的事件发出的光信号穿过真空到达他时，确定相应的指针位置。但是这种协调有一个缺点，即从经验得知，它与持表或钟的观察者的位置有关。采用下面的思路，我们可以得到一种实际得多的定时方法。
若在空间点A有一个时钟，A点的观察者通过确定与事件同时发生的时钟指针的位置，就可以确定紧邻A点的事件的时间值。若在空间点B有另一个时钟，所有方面都与A点的时钟类似，则B点的观察者就可以确定紧邻B点的事件的时间值。但是若没有更多的假设的话，就时间来说，就无法比较A点的事件与B点的事件了。至此我们仅仅定义了“A时间”和“B时间”，还没有定义A和B的共同“时间”，因为后者根本不可能有定义，除非我们由 定义 确立光线从A到B所需的“时间”等于从B到A所需的“时间”。设一束光在“A时间”t A 从A出发射向B，设它在“B时间”t B 在B处反射回A，并且在“A时间”t' A 回到了A处。
依照定义，若下式成立，则这两个时钟同步：
t B -t A =t' A -t B 。
假设该同步性定义没有矛盾，对任意数目的点都可行，并且以下的关系普遍成立：
1）如果B点的时钟与A点的时钟同步，则A点的时钟与B点的时钟同步；
2）如果A点的时钟与B点的时钟同步，还与C点的时钟同步，则B点和C点的时钟也彼此同步。
于是，借助一下想象的物理实验，我们已经澄清了处于不同位置上的同步静止时钟是怎么回事，而且显然已经获得了“同时性”或“同步性”，以及“时间”的定义。事件的“时间”就是与事件同处一地的静止时钟在事件发生的同时给出的标示，该时钟与一个指定的静止时钟同步，而且确实是对于所有的时间测定都是同步的。
与经验相一致，我们进一步假定量
是一个普适常量——光在真空中的速度。
利用静止系中的静止时钟来定义时间，这是非常关键的。这样定义的适合于静止系的时间，我们称之为“静止系时间”。
以下的思考基于相对性原理和光速不变原理。我们定义如下两条原理：
1）不论相对于匀速平移运动的两个坐标系中的哪一个，物理系统的状态变化所遵循的定律都是一样的。
2）任何光线在“静止”坐标系中都以确定的速度c传播，不论发射光线的物体静止还是运动。因此
此处时间间隔遵循第1节的定义。
假设有一个静止的刚性杆，其长度l由同样静止的量杆测量出。想象刚性杆的轴线与静止坐标系的x轴重合，并且刚性杆开始以速度v、与x轴平行地、沿着x增加的方向匀速平移运动。现在研究运动杆的长度，设想其长度由下面两个操作确定：
（a）观察者与给定的量杆和待测杆一起运动，直接把量杆放在刚性杆上测量其长度，就好像它们3个都是静止的一样。
（b）利用静止系中设置的、按照第1节的方法同步化了的静止时钟，观察者测定，在一确定的时刻，待测杆的两端分别处于静止系的哪两个点。这两个点之间的距离由上面的量杆测出，此时测量是静态的，这个距离也可以称为“杆的长度”。
根据相对性原理，由操作（a）得出的长度——我们称之为“杆在运动系中的长度”——一定等于静止杆的长度l。
由操作（b）得出的长度，我们称之为“（运动）杆在静止系中的长度”，其值将在我们的两个基本原理的基础上得出，我们会发现它与l不同。
目前的运动学默认这两种操作得出的长度是完全相同的，换句话说，在时刻t运动刚体的几何属性完全可以由 同一 物体在一确定位置上 静止 时的几何属性代表。
我们进一步想象，在杆的两个端点A和B上放置了与静止系时钟同步的两个时钟，就是说在任何时刻，它们都指示了它们所在位置处的“静止系时间”。因此这两个时钟是“在静止系中同步的”。
我们进一步想象，每个时钟都伴随一个运动的观察者，这些观察者将第1节中建立的同步时钟的准则应用于这两个时钟。设一束光在时间
t
A
从点A出发，在时间t
B
于点B处被反射，于时间t'
A
返回A处。考虑到光速不变原理，我们有：
其中r AB 指运动杆在静止系中测量的长度。于是随着运动杆一起运动的观察者会发现这两个时钟不同步，而在静止系中的观察者会宣称它们是同步的。
所以我们看到，我们不能赋予同时性概念以 绝对的 含义。在一个坐标系中看来是同时的两个事件，从另一个与之相对运动的坐标系中看来，就不再是同时的了。
在“静止”空间中取两个坐标系，每个坐标系有3条刚性的直线，从一点出发，并且彼此垂直。假设这两个坐标系的X轴重合，而且Y轴和Z轴分别平行。每个坐标系都有一个刚性量杆和许多时钟，这两个量杆，以及同样所有的时钟，在各个方面都是一样的。
现在假设这两个坐标系之一（k）的原点以恒定的速度v沿着使另一个坐标系（K）的x坐标增加的方向运动，并且该速度也传给了坐标轴、相应的量杆以及时钟。那么在静止系K的任何时刻，运动系的轴都有一个相应的具体位置。又由于对称性，我们可以假设k的运动使得在时刻t（这里“t”总是指静止系的时间）运动系的轴平行于静止系的轴。
现在我们想象从静止系K中使用静止量杆度量空间，得到坐标x，y，z；同时从运动系k中使用与其一起运动的量杆度量空间，得到坐标ξ，η，ζ。进而，照第1节的方法，利用光信号，给所有放置了时钟的空间点确定静止系时间t；类似地，照第1节给出的方法，利用点之间的光信号，给运动系中所有放置了时钟的点确定运动系时间τ，这些时钟相对于该运动系静止。
对于完全定义了一个事件在静止系中的空间和时间的任何一组值x，y，z，t，相应地存在一组值ξ，η，ζ，τ它们确定该事件相对于参照系k的状态，现在的任务就是找到把这些数量联系起来的方程组。
首先，很清楚：该方程必定是 线性的 ，因为我们认为空间和时间是均匀的。
如果我们令x'=x-vt，那么显然在参照系k中静止的点就有一组值x'，y，z与时间无关。我们先把τ定义为x'，y，z和t的函数，为此我们得在方程中表达出τ，τ等于参照系k中静止时钟数据的总和，其中时钟已经按照第1节给出的规则同步化了。
在时刻τ 0 ，从参照系k的原点出发沿着X轴发射一束光，于时刻τ 1 到达x'并被反射，于时刻τ 2 回到坐标原点。我们必有1/2（τ 0 +τ 2 ）=τ 1 ，或者插入函数τ的自变量并应用静止系中光速不变原理得到：
因此，若x'取无穷小，则有
或
注意到：除了坐标原点，我们也可以取任何点作为光线的起点，因此上面刚得到的方程对于所有x'，y，z的值都成立。
类似的考虑应用于Y轴和Z轴，记住从静止系看，光线总是沿着这些轴传播，其速度为
，这样就有：
因为τ是 线性 函数，由这些方程可得：
其中a是目前尚未知的函数ϕ（v），为简要起见，假设在坐标系k的原点处，当t=0时τ=0。
借助于这些结果，可以很容易确定ξ，η，ζ的值，方法是：在方程中表示出，即使从运动系中测量，光（正如光速不变原理以及相对性原理所要求的那样）仍然以速度c传播。对于在时刻τ=0发射出沿着使ξ增加的方向行进的一束光，
但是若从静止系中测量，这束光相对于k的起点以速度c-v行进，所以
将该t值代入ξ的方程中，得到
我们采用类同的方法，考虑光线沿着另外两轴行进，发现
于是
用x'的值来替换它，我们得到：
τ=ϕ（v）β（t-vx/c 2 ），
ξ=ϕ（v）β（x-vt），
η=ϕ（v）y，
ξ=ϕ（v）z，
其中
而且ϕ是一个尚未知的v的函数。如果对运动系的起点和τ的零点没做任何假设，那么以上这些方程的右边都应该加一个常数。
现在我们必须证明：如果光线在静止系中以速度c传播（正如我们以前假设的），那么它在运动系中是否也是如此；因为我们还没有完全证明光速不变原理与相对性原理是相容的。
在时刻t=τ=0，此时两个坐标系有共同的坐标原点，假设有一个球面波从原点出发，在坐标系K中以速度c传播。假设该波刚刚到达点（x，y，z），则
x 2 +y 2 +z 2 =c 2 t 2 。
借助于我们的变换方程，经过简单计算，该等式被变换为：
ξ 2 +η 2 +ζ 2 =c 2 τ 2 。
因此，从运动系看来，所讨论的波恰恰是以速度c传播的球面波。这证明我们的两个基本原理是相容的。 [1]
在上面导出的变换方程中有一个未知的v的函数ϕ，现在我们来确定它。
为此我们引人第三个坐标系K'，它相对于坐标系k平行于X轴平移运动，使得坐标系k的原点以速度-v在X轴上运动。假设所有三个坐标原点在时刻t=0重合，并且当t=x=y=z=0时假设坐标系K'的时间t'为零。设坐标系K'中度量的坐标为x'，y'，z'，通过双重应用我们的变换方程得到
t'=ϕ（-v）β（-v）（τ+vξ/c 2 ）=ϕ（v）ϕ（-v）t，
x'=ϕ（-v）β（-v）（ξ+vτ）=ϕ（v）ϕ（-v）x，
y'=ϕ（-v）η=ϕ（v）ϕ（-v）y，
z'=ϕ（-v）ζ=ϕ（v）ϕ（-v）z。
因为x'，y'，z'和x，y，z之间的关系不含有时间t，所以坐标系K和K'彼此相对静止，显然从K到K'的变换必定是全等变换，于是
ϕ（v）ϕ（-v）=1。
现在来探究公式ϕ（v）的含义。我们把注意力放在坐标系k的Y轴上从ξ=0，η=0，ζ=0到ξ=0，η=l，ζ=0的部分。这部分Y轴是一节量杆，相对于坐标系K以速度v垂直于它的轴运动，其两端在K中的坐标为
和
x 2 =vt，y 2 =0，z 2 =0。
故此杆在K中测量的长度为l/ϕ（v），这告诉我们函数ϕ（v）的意义。因为对称性的缘故，很明显，在静止系中测量，垂直于轴运动的给定杆的长度必定只依赖速度，而不依赖运动的方向。因此，若交换v和-v，则运动杆在静止系中度量的长度不变，于是有l/ϕ（v）=l/ϕ（-v），或
ϕ（v）=ϕ（-v）。
由此关系式和前面找到的关系式得出ϕ（v）=1，所以前面建立的变换方程就变为：
τ=β（t-vx/c 2 ），
ξ=β（x-vt），
η=y，
ζ=z，
其中
想象一个半径为R的刚球
，相对于运动系k静止，其中心位于k的坐标原点。该球表面相对于坐标系K以速度v运动，其运动方程为：
ξ 2 +η 2 +ζ 2 =R 2 。
在时刻t=0以x，y，z表示的该表面方程为
因此，一个静止状态下形状为球形的刚体，在运动状态下——从静止系中看——形状为旋转椭球，它的轴的长度分别为：
因此，虽然运动似乎不改变球体（以及不论形状如何的所有刚体）的Y维和Z维，X维似乎以比例1:
缩短了，即v值越大，缩短得越多。当v=c时所有运动物体——从“静止”系看来——都萎缩成平面图形了。当速度大于光速时我们的讨论就变得无意义了。然而，从下面的讨论我们会发现，在我们的理论中，光速在物理上扮演着无穷大速度的角色。
显然，从匀速运动的坐标系看，同样的结论对于在“静止”系中静止的物体成立。
进一步，我们想象那些相对于静止系静止时能够标示时间t，而且相对于运动系静止时能够标示时间τ的时钟中的一个，它位于k的坐标原点，并且校准它使得它标示时间τ。那么从静止系看来，该时钟走得快慢如何？
在指示时钟位置的量x、t和τ之间，显然有x=vt以及
因此
由此可知，该时钟标示的时间（从静止系中看）每秒钟慢了
，或者——若忽略四阶和更高阶的项——慢了
。
由此得到以下独特的结果。如果在K中的点A和B处放有静止时钟，从静止系中看来是同步的；若在A处的时钟以速度v沿着直线AB向B运动，那么当它到达B时这两个时钟就不再同步了，从A移动到B的时钟要比留在B处的时钟慢
（不算四阶和更高阶的项），其中t是从A移动到B所花的时间。
很显然，如果时钟沿着任何折线从A运动到B时，该结果还成立，当A，B两点重合时仍然成立。
若承认对于折线成立的结论对于连续曲线也成立，则我们得到下面的结果：如果两个位于A点的同步时钟之一沿着闭合曲线以恒速运动并返回A处，旅程持续t秒，那么当运动的时钟返回A时，它会比留在原地静止的时钟慢
tv
2
/c
2
。由此我们得出结论：在其他条件相同的情况下，赤道处的平衡钟（不是摆钟，其在物理上是地球所属的系统。这种情况必须排除）必定比位于两极的完全相似的时钟走得慢一点点。
假设在沿着坐标系K的X轴以速度v运动坐标系k中，有一点按照如下方程运动
ξ=w ξ τ，η=ω η τ，ζ=0，
其中w ξ 和ω η 表示常数。
要求：该点相对于坐标系K运动。若借助于第3节中建立的变换方程，我们把量x、y，z，t引入该点的运动方程，得到：
所以根据我们的理论，速度的平行四边形法则仅仅近似地成立。我们设
a被看成是速度v和w之间的夹角。通过简单计算我们可得：
需要指出的是，在合成速度的表达式中，v与w是以对称方式出现的。若w的方向也是X轴的方向，我们就有：
由此方程得出：两个小于c的速度的合成速度总是小于c。因为如果假设v=c-k，w=c-λ，其中k和λ是小于c的正数，那么
进一步可得，光速与小于光速的速度合成，结果仍为光速c。对于这种情况，我们有：
当v与w方向相同时，遵照第3节，通过合成两个变换，我们也许已经得到了V的公式。如果除了第3节涉及的坐标系K与k以外，我们再引入另一个平行于k运动的坐标系k'，它的起点在X轴上以速度w运动，那么我们就得到联系量x，y，z，t和k'的相应量的一组方程，它与第3节建立的方程的差别仅仅在于出现“v”的地方都替换为
由此可以看出，这样的平行变换必然地形成一个群。
我们已经导出了对应于两大原理的运动学理论所必需的定律，现在继续前进，将它们应用于电动力学。
设真空的麦克斯韦-赫兹方程对静止坐标系K成立，我们有：
其中（X，Y，Z）表示电力矢量，（L，M，N）表示磁力矢量。
如果把电磁过程参照于第3节引入的、以速度v运动的坐标系，将那里建立的变换应用于这些方程，就得到以下方程：
其中
现在相对性原理要求，如果真空的麦克斯韦-赫兹方程在坐标系K中成立，那么它在坐标系k中也成立；这就是说，分别由电性物质和磁性物质上的有质动力效应定义的运动坐标系k中的电力和磁力矢量——（X'，Y'，Z'）和（L'，M'，N'）满足以下方程：
很明显，为坐标系k建立的这两组方程表达的一定是同一个意思，因为两组方程都等价于坐标系K的麦克斯韦-赫兹方程。进一步，除了矢量符号不同以外，这两组方程是一样的，所以方程组中对应位置上的函数必定是一样的，只是相差一个因子ψ（v），该因子对一组方程中的所有函数是共同的，与ξ，η，ζ和τ无关，而依赖v。于是到关系式：
如果我们首先求解这组方程，其次将这组方程应用于由速度-v刻画的逆变换（从k到K），得到上面这组方程的互反方程，那么考虑到这样得到的两组方程一定是相同的，就有ψ（v）ψ（-v）=1。进而，因为对称性的原因
。ψ（v）=ψ（-v），所以
ψ（v）=1，
我们的方程具有形式
关于这些方程的解释，我们做下面的评论：设一个点电荷在静止坐标系K中测量有电量“1”，即当它在静止系中不动时，它对距离1cm处的等量电荷的作用力为1dyne。由相对性原理，该电荷在运动系中测量的电荷值也是“1”。如果该电荷相对于静止系不动，那么由定义，矢量（X，Y，Z）等于作用于其上的力。如果该电荷相对于运动系静止（至少在相关的时刻），那么在运动系中测量作用于其上的力就等于（X'，Y'，Z'）。因此上面方程组中的头3个等式可以用以下两种方式加以说明：
1）当单位点电荷在电磁场中运动时，除了电力以外，还有“电动势”作用于它。若忽略v/c的平方和高次方所乘的项，这个电动势等于电荷速度与磁力的矢量积，除以光速。（老的表达方式）
2）当单位点电荷在电磁场中运动时，它受的力等于在电荷处存在的电力，我们通过把电磁场变换为相对于电荷静止的坐标系而求得该电力值。（新的表达方式）
对于“磁动势”也是一样。我们看到，电动势在所建立的理论中仅仅起到辅助概念的作用，只有在电磁力的存在依赖坐标系的运动状态时才需要引入它。
进一步，引言中所提到的、在我们考虑由磁体和导体的相对运动而产生的电流时所引起的非对称性，现在显然不存在了。而且，关于电动力的电动势（单极机器）的“位置”问题现在也没有意义了。
在坐标系K中，远离坐标原点的地方，设有一个电动波源，在包含坐标原点的部分空间中，可以以足够的近似度表示为以下方程：
X=X 0 sinΦ，L=L 0 sinΦ，
Y=Y 0 sinΦ，M=M 0 sinΦ，
Z=Z 0 sinΦ，N=N 0 sinΦ，
其中
（X 0 ，Y 0 ，Z 0 ）和（L 0 ，M 0 ，N 0 ）是定义波列振幅的矢量，l，m，n是波法线的方向余弦。我们希望知道，在运动坐标系k中静止的观察者看来，这些波的组成是什么。
应用第6节建立的电磁力变换方程，以及第3节建立的坐标和时间变换方程，我们直接得到：
其中
由ω'的方程可知，如果观察者相对于无限远处的频率为ν的光源以速度v运动，而且使得“光源—观察者”的连线以观察者的速度，即观察者相对于与光源相对静止的坐标系的速度，形成角度ϕ，那么观察者所看到的光频率ν'由下式给出：
这是任意速度的多普勒原理。当ϕ=0时，方程取明晰的形式
我们看到，与传统观点不同，当v=-c时，ν'=∞。
如果把运动系中的波法线（光线的前进方向）与“光源—观察者”的连线之间的夹角记为ϕ'，那么l'的方程具有如下形式：
这个等式表达了光行差定律的最一般形式。若ϕ=1/2π，则方程简化为：
cosϕ'=-v/c。
我们还必须找到波在运动系中的振幅。如果把在静止系和运动系中测量的电力和磁力的振幅分别记为A和A'，我们得到：
当ϕ=0时方程简化为：
从这些结果知道，对于一个以速度c逼近光源的观察者而言，该光源的光强必定显得无穷大。
既然A 2 /8π等于单位体积的光能，那么根据相对性原理，我们必须把A' 2 /8π看作是光在运动系中的能量。于是不论是在K中还是在k中测量，只要光束的体积相同，A' 2 /A 2 就是给定的光束在“在运动中测量的”和“在静止中测量的”能量值之比。但这不是实际情况。设l，m，n是静止系中光的波法方向余弦，则没有能量穿越以光速行进的球面：
（x-lct） 2 +（y-mct） 2 +（z-nct） 2 =R 2 。
因此可以说该表面永久地包住了这一光束。我们来探究，从参考系k看来，该表面包住的能量值是多少，即该光束相对于参考系k的能量值。
这个球面——从运动系看来——是椭球面，其在时刻τ=0时的方程为
（βξ-lβξv/c） 2 +（η-mβξv/c） 2 +（ζ-nβξv/c） 2 =R 2 。
如果球体的体积为S，而该椭球体的体积为S'，经过简单计算得
于是，若该表面所包住的光能量在静止系中测量的值为E，在运动系中测量的值为E'，则有
该公式在ϕ=0时简化为
值得注意的是，光束的能量和频率按照同一定律随着观察者的运动状态变化。
现在设坐标平面ξ=0是个完美反射面，第7节讨论的平面波在其上被反射。我们探求光对反射面施加的压力，以及反射后光的方向、频率和强度。
设一束入射光由量A，cosϕ，ν定义（相对于参照系K）。从参照系k看来，对应的量为
对于反射光，其过程相对于坐标系k，我们得到：
最后，对于反射光，变换回静止系K，我们得到：
单位时间内单位面积的镜面上入射的能量值（在静止系中测量）显然为A 2 （ccosϕ-v）/（8π），单位时间内离开单位表面的能量值为A‴ 2 （-ccosϕ‴+v）/（8π）。根据能量原理，两式之差就是光压在单位时间内做的功。如果认为这个功等于乘积Pv，其中P是光压，那么
与实验结果和其他理论相一致，我们得到以下的一次近似等式
所有运动物体的光学问题都能够由这里采用的方法解决。关键是要把受运动物体影响的光的电磁力变换到相对于物体静止的坐标系。采用这种办法，所有运动物体的光学问题就归结为一系列静止物体的光学问题。
从以下方程出发：
其中
表示4π倍电流密度，（u x ，u y ，u z ）表示电荷的速度矢量。如果我们想象电荷始终如一地伴随着刚性小物体（离子，电子），那么这些方程就是洛伦兹电动力学和运动物体光学的电磁基础。
设这些方程在参照系K中成立，借助于第3节和第6节建立的变换方程，把它们变换到坐标系k、我们就得到方程：
其中
而且
由于从速度叠加定理（第5节）可知，矢量（u ξ ，u η ，u ζ ）恰恰是参照系k中测量的电荷速度，由此我们在运动学原理的基础上证明了，运动物体的洛伦兹电动力学理论的电动力学基础与相对性原理是一致的。
进一步，我还可以简短地评论一下，下面的重要定律可以很容易地从上面建立的方程中推导出来：如果一个带电物体在空间中任意运动，而且在与它一起运动的坐标系看来其电荷不变，那么在“静止”坐标系K看来，其电荷也保持不变。
假定电磁场中有一个运动的带电粒子（以下称为“电子”），其运动规律假设如下：
如果在给定时刻电子处于静止状态，那么在下一个时刻发生的电子的运动，只要运动得很慢，就遵循以下方程
其中x、y，z表示电子的坐标，m表示电子的质量。
然后，设在给定时刻电子的速度是v，我们现在来探究在紧随的后来时刻里电子的运动规律。
不失讨论的一般性，可以假设，在我们开始关注它的那一刻，电子处在坐标原点，以速度v沿着坐标系K的X轴运动。那么很清楚，在给定时刻（t=0），电子与沿着X轴以速度v平行移动的坐标系相对静止。
由以上假设，连同相对性原理一起，显然可知，在接下来的紧随的时间里（对于很小的值t），从坐标系k看来，电子的运动满足方程
其中符号ξ，η，ζ，τ，X'，Y'，Z'是相对于坐标系k的值。若进一步规定当t=x=y=z=0时τ=ξ=η=ζ=0，则第3节和第6节的变换方程成立，于是有
ξ=β（x-vt），η=y，ξ=z，τ=β（t-vx/c 2 ）
X'=X，Y'=β（Y-vN/c），Z'=β（Z+vM/c）。
借助于这些等式，我们把上面的运动方程从坐标系k变换到坐标系K，得到：
采用通常的观点，我们现在来探求运动电子的“纵质量”和“横质量”。我们把方程组（A）的形式写为
首先注意到，εX'，εY'，εZ'是作用在电子上的有质动力的分量，而且从与电子同一速度一起运动的坐标系中看来的确如此。（这个力是可以测量的，例如利用一个在上述坐标系中静止的弹簧秤。）现在如果就把这个力称为“作用在电子上的力”
，并且保留方程——质量×加速度=力——而且如果我们还决定在静止坐标系K中测量加速度，那么从上述方程可以导出：
力和加速度的定义不同，得到的质量值自然也不同。这告诉我们，在比较不同的电子运动理论时，我们必须非常小心。
注意到，这些关于质量的结果对于可称量的质点也是成立的，因为可称量的质点可以通过加电荷而变成电子（按照我们对这个词的定义）， 不论多么小 。
现在我们来确定电子的动能。如果电子从静止在坐标系K的原点起步，在静电力X的作用下，沿着X轴开始运动，那么显然从静电场带走的能量值为
。随着电子的缓慢加速，结果它可能不会发出任何辐射能，那么静电场损失的能量必定等于电子的动能W。记住在我们所讨论的整个运动过程中，方程组（A）的第一个方程有效，于是有
所以当v=c时，W变成无穷大。大于光速的速度——根据前面的结果——是不可能存在的。
根据上面的讨论，该动能表达式必定也适用于可称量的质量。
现在我们来列举从方程组（A）导出的、实验可验证的电子的运动性质：
1）从方程组（A）的第二个方程可知，当Y=Nv/c时，电力Y和磁力N对运动速度为v的电子具有同样强的偏转作用。所以根据我们的理论，从磁偏转力Am与电偏转力Ae之比，就可以算出电子的速度，不论速度是多少，方法是运用下面的定律
这个关系式可以由实验验证，因为电子的速度可以直接测量，例如利用快速振动的电磁场。
2）由电子动能的推导过程可知，在穿过的势差P和电子所获得的速度v之间必定有关系
3）当垂直于电子的速度存在一个磁力N（作为唯一的偏转力）时，我们来计算电子轨迹的曲率半径。从方程组（A）的第二个方程可得
或者
根据此处发展的理论，这三个关系式完全表达了电子运动所必须遵循的规律。
最后，我想说的是，在研究本文的问题过程中，我得到了朋友兼同事贝索（M.Besso）的热心帮助，我很感激他的几个有价值的建议。
（黄雄译）
[1] 基于变换方程应从关系式x 2 +y 2 +z 2 =c 2 t 2 导出第二个关系式ξ 2 +η 2 +ζ=c 2 τ 2 ，从这个条件可以更容易地直接导出洛伦兹变换方程。