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数学无处不在。有了数学语言，我们才可以处理数字、图形、过程和支配宇宙的规则。它为我们提供了一条理解身边事物的途径，让我们得以为各种现象建立模型，预测它们。早期人类社会在尝试追踪太阳、月亮和行星的运动，营造建筑、计算牲畜和发展贸易的过程中开始了数学探究。在古代中国、美索不达米亚、古埃及、古希腊和古代印度，随着人们发现了数字生成的图形的美丽和神奇，数学思想逐渐发展起来。
数学是一项全球事业，一种国际语言。今天，它构成了所有生活领域的基础。
贸易和商业建立在数字基础上。对社会所有方面都不可或缺的计算机靠数字运行。我们每天接触的信息中，许多都与数学有关。没有对数字和数学的基本理解，确定时间、规划日程甚至照菜谱做菜都不可能。但这还不是全部。如果你不理解与数学有关的信息，你可能会受骗、受误导，或者干脆错过机会。
人们既可出于高尚的目的，也可出于卑鄙的企图利用数学。数字可以用于说明、解释和澄清，但也可用于撒谎、迷惑和混淆。看清事物本质的能力非常有用。
计算机使一些之前不可能实现的计算成为可能，让数学变得更加容易。你会在下文阅读到这样的例子。例如，圆周率（符号为π，规定圆的周长与直径间数学关系的常数）现在可以用计算机算到数百万位。同样借助计算机，我们现在可以找到数百万个质数（又叫素数，只能被1和其自身整除的整数）。但在某些方面，计算机可以使数学在逻辑上不那么严谨。
因为海量数据的处理现已成为可能，我们可以从经验数据（即可以直接观察到的数据）提取比以往更为可靠的信息。这意味着我们的结论可以——显然是安全地——更多建立在对事物的观察而非研究的基础上。例如，我们可以检查无数的天气数据，再根据既往现象来做出预报。要做到这一点，我们不需要对天气系统的任何理解，只需假设（不管其原因为何）同样的情况在未来将以某种概率发生，那么根据之前观察到的情况来推测未来情况的做法就是有效的。它也许很有用，但这不是真正的科学或数学。
本书讲到的数学大部分可归入“应用数学”标题下。应用数学被用于解决现实世界的问题，它适用于实践场景，如一笔贷款的利息是多少，或如何度量时间、测量一条线。而许多职业数学家还在专心致志地研究另一种数学，那就是“纯”数学。人们研究它是为了探索逻辑会将我们引向何方，为了数学本身而理解数学，而不管它到底有没有实际用途。
对数据和知识的处理有两种截然不同的方法，数学观点的提出也是如此。一种从思考和逻辑出发，另一种从观察出发。
先思考： 演绎是通过逻辑而使用特定命题来得出关于个案的预测的推理过程。举个例子，从所有孩子都有（或有过）父母的命题，及索菲是一个孩子的事实出发，我们可以推出索菲因此肯定有（或有过）父母。只要两个前提得到证明并且逻辑正确，预测就是准确的。
先观察： 归纳是从特殊推导出一般的过程。如果我们观察了大量天鹅，并且发现它们全是白色的，我们也许可以由此推导出（人们曾经这样做过）所有天鹅都是白色的。但这并不严密——它只意味着我们还没见过一只不是白色的天鹅。
数学家并不总是对的，不管他们是从归纳法还是演绎法出发。不过整体而言，演绎更为可靠，并且自古希腊数学家欧几里得（Euclid）开创这种推理以来，它在纯数学上一直被奉为圭臬。
我们的祖先认为太阳围绕地球转动，而不是地球围着太阳转。如果太阳真的围绕地球转动，它的运动看起来是什么样子呢？答案是：看起来跟太阳围绕地球完全一样。
古希腊天文学家克罗狄斯·托勒密（Claudius Ptole my）建立的宇宙模型解释了太阳、月亮和行星划过天空的表面运动。这是一种归纳法：托勒密研究了经验证据（他自己的观察），建立了一个与之符合的模型。
1845—1846年，数学家奥本·勒维威耶（Urbain Le Verrier）和约翰·柯西·亚当斯（John Couch Adams）分别独立预测了海王星的存在和位置。他们是在看到邻近的天王星轨道的摄动（扰动）后，用数学方法计算出来的。海王星于1846年被发现并得到确认。
随着对行星运动更准确的测量成为可能，中世纪和文艺复兴时期的天文学家对托勒密以地球为中心的宇宙模型的数学计算做出日益复杂的细微调整，以使它符合他们的观察。随着为解释每一个新观测而增加的内容的逐渐累积，整个系统变成了可怕的一团乱麻（见下图）。
直到1543年，波兰天文学家及数学家尼古拉·哥白尼（Nicolaus Copernicus）将太阳置于太阳系中心，推翻了托勒密的模型，数学才开始发挥作用。但即使是他的计算也并非完全准确。后来，英国科学家艾萨克·牛顿（Isaac Newton）改进了哥白尼的思想，对行星运动给出一个数学上协调一致的解释。他的解释无须大量修改来维持其效力。对一些行星的观测证实了他的行星运动定律，而他在世时这些行星尚未被发现。甚至在一些行星被发现前，这些定律就准确预测了其存在。但这个模型还不完美；用现在的数学模型，我们还不能确切地解释带外行星的运动。在太空和数学方面，还有许多未知等待我们去发现。
我们早就认识到了我们经验到的世界与数学和逻辑模型建立的世界的不协调。
希腊哲学家芝诺（Zeno of Elea）用逻辑证明运动是不可能的。他的“飞矢不动悖论”声称，在任一时刻，一支箭都处于一个固定位置。我们可以在箭离开弓与到达目标之间的所有位置上拍摄数百万张快照，并且发现在任一无穷短的瞬间，它是不动的。那么，它什么时候动呢？
另一个例子是阿喀琉斯和乌龟悖论。希腊英雄阿喀琉斯善跑，如果他和乌龟赛跑，让乌龟先跑，那么他永远追不上乌龟。在阿喀琉斯跑完乌龟先跑的路程的这段时间里，乌龟已经又跑到前面去了。这种情况一直发生下去。随着阿喀琉斯越跑越近，乌龟跑开的距离也越来越短，但阿喀琉斯永远也追不上乌龟。
这个悖论之所以成立，是因为它把连续的时间和距离看成一连串极小的时刻和位置。它在逻辑上自洽，但不符合我们经验到的现实。
