六、绝对误差 相对误差 测量的统计结果表达

综上分析可知，当仅考虑随机误差存在并且随机误差服从高斯分布时，我们用算术平均值 x 表示多次等精度测量的近真值，用置信区间和置信概率报道测量的统计结果（不计系差）的误差范围和可信程度.置信区间的表示可以用平均值的标准偏差 、平均值的算术平均偏差 或其他误差形式表达.当然不同的置信区间有不同的置信概率.

误差 δ 、标准误差 σ 、算术平均误差 η 都称为绝对误差，残差 d 、标准偏差 σ _x 、算术平均偏差 η _x 、平均值的标准差 、平均值的算术平均偏差 都称为绝对偏差.由于真值实际上是未知的，因此，应用中通常把偏差说成是误差.相对误差是绝对误差与真值的比值，相对偏差则是绝对偏差与近真值的比值.

同样，通常把相对偏差说成相对误差.相对误差常用百分数表示，能比较直观地报道测量的精度.

比如，某一物理量的一组测量结果的绝对误差是0.05 m，另一物理量的一组测量结果的绝对误差是1 m.显然后者的绝对误差大，但不一定是后者的测量精度低，这要看相对误差情况.比如前者是测量篮球直径的误差，后者是测量地球直径的误差，显然后者精度远远大于前者.因此，相对误差也是测量结果所要报道的一个内容.

这样，我们报道测量的统计结果时（指不计系统误差，并且测量数据的误差分布符合统计规律.本课程我们只要求掌握高斯分布），必须包含的相关信息是：近真值、绝对误差、测量次数、置信概率和相对误差，表达形式为

式中，Δ x 为绝对偏差， E _x 为相对偏差， x ₀ 为公认值， P 、 n 分别为置信概率和测量次数.采用不同的绝对偏差报道形式，测量的统计结果表示的方法不一样.

1.用测量列平均值的标准偏差 作为绝对误差报道测量结果的表达形式：

意义：真值落在 的概率为68.3％.

注：这种结果表达形式最通用，而且置信概率 P ＝0.683可以省略.亦即，如果结果表达式中没注明置信概率，则其绝对误差是用平均值的标准偏差表示的，其中

2.用测量列平均值的算术平均偏差 作为绝对误差报道测量结果的表达形式：

意义：真值落在 的概率为57.5％.

注：从置信概率 P ＝0.575，可知结果表达式中的绝对误差是用平均值的算术平均偏差表示的，其中 ＝ ＝ .

3.用测量列的标准偏差 σ _x 作为绝对误差报道测量结果的表达形式：

意义：对物理量测量了 n 次，得到 n 个数据有68.3％落在 范围内.

注：结果表达式报道有测量次数，再结合置信概率 P ＝0.683，便知道结果表达式中的绝对误差是指测量列的标准偏差，其中 .

4.用测量列的算术平均偏差 η _x 作为绝对误差报道测量结果的表达形式：

意义：对物理量测量了 n 次，得到 n 个数据有57.5％落在 范围.

注：结果表达式报道有测量次数，再结合置信概率 P ＝0.575，知道结果表达式中的绝对误差是指测量列的算术平均偏差，其中 .

除了以上四种测量的统计结果表达形式外，还有其他多种，比如用极限误差表示置信区间，则置信概率就应该写为 P ＝0.997.

不管用哪种形式报道测量的统计结果，都是设想随机误差分布服从高斯分布.因此，以上多种测量的统计结果表达形式，本质上是一致的.

目前第一种报道方式比较普及，即 用平均值的标准偏差表示绝对误差 ，亦即用平均值的标准偏差表达置信区间，这样，置信概率 P ＝0.683（68.3％）可以省去.

例 0－1 不计系统误差，对一物理量实现多次等精度测量，应用格罗布斯准则（见第6页）剔除粗差，并报道测量的（统计）结果.测量长度 L 的原始数据如表0－2.

解 近真值：

标准偏差：

［注：为了应用格罗布斯准则剔除粗差，需计算 和 （见第6页）］

n ＝10， G _n ＝2.18， － G _n · σ _L ＝97.833 cm， ＋ G _n · σ _L ＝98.823 cm.

可见，第7次测量数据98.97 cm超出（97.833 cm，98.823 cm）范围，应当剔除.剔除后再计算（注意，此时， n ＝9）得到：

因此，该组测量的（统计）结果为

或省去置信概率，则 WzB4n8iaxHgjwuGJnoXXsidN2sY3DmKS9NYNLmEu9zJ6xy1veyI9ph3Xv3iEgX+N