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由于测量误差的存在，任何测量都具有确定的精确度。因此，一个物理量的测量或运算结果的位数都不应无限制地写下去。如利用分度值为1 mm的米尺测量一个物体的长度，以毫米为单位，测量结果的十分位是估读的，因而有一定的误差，已很不可靠，将十分位以后的数字写出来也意义不大。那么，在一般情况下测量值能准确到哪一位？从哪一位开始有误差？在数据处理的计算中应该用几位数字表示运算结果才比较合理？怎样才能做到既不损害又不夸大实际测量的精确度？这些就是有效数字所要研究的课题，下面就这些问题作简要介绍。
正确有效地表示测量结果或运算结果的数字称为有效数字。有效数字由若干位准确（可靠）数字和1位欠准（可疑）数字组成。
例如，用米尺测量一块木板的长度，待测木板的一端与米尺零点对齐，另一端则处在76～77 mm之间，如图2-6-1所示。以毫米为单位，读数为76.6 mm，其中读数的准确数字为76 mm；超过76 mm的部分而需要估读，可以估计到米尺最小一格的十分之一，约0.6格。小数点后的6是估计数字，是欠准确的，但却在一定程度上反映了客观实际，表明木板的长度可能是76.5～76.7 mm的一个值。由于观测者在分辨能力上的差异，可疑位的估读允许有±0.1格的误差。如果用最小刻度为1 cm的尺来测量，以厘米为单位，可靠位只能到7 cm，超过7 cm的部分就需要估读，读数大约为7.6 cm或7.7 cm。
图2-6-1 用米尺测量木板的长度
有效数字的个数称为有效数字的位数，上述测量结果76.6 mm为3位有效数字，而另一测量结果7.6 cm和7.7 cm均为2位有效数字。可见，有效数字的多少，表明了测量所能达到的准确程度，与测量工具的选择有关，选择不同的仪器测量相同的物理量，有效数字位数是不同的。在测量或运算中，有效数字的位数按如下方法确定：
确定被测量中有效数字的规则：
（1）所有的非0数字都有效：1.234 g有4个有效数字；1.2 g有2个有效数字。
（2）非零数字之间的零是有效的：1002 kg有4个有效数字；3.07 mL有3个有效数字。
（3）第一个非零数字左边的零不有效，这些零仅仅表示小数点的位置：0.001℃只有1个有效数字；0.012 g有2个有效数字。
（4）一个数的小数点右边的零是有效的：0.023 mL有2个有效数字；0.200有3个有效数字。
（5）当一个数字以非小数点右边的零结尾时，这些零不一定是有效的：190 m可能有2或3个有效数字，5060 g可能有3或4个有效数字。
最后一条规则的潜在歧义可以通过使用标准指数或科学符号来避免。例如，根据是否需要3或4个重要的数字，我们可以将5060这样写：
可以看出，有效数字在单位转换时，位数应保持不变。
用测量结果表达式来报道测量结果，既给出了最佳值，又给出了不确定度，能使人们对测量值所处的范围有一个比较清楚地认识。有些场合，对被测量值不要求计算不确定度，这时，通过测量结果的有效数字位数也能大致判断不确定度的量级。一般来说，有效数字的尾数是有误差的，误差项一般只取1位，最多不能超过2位。本书约定，今后在进行有效数字运算时，所有参与运算的有效数字，其最末位具有误差，运算结果也要取到有误差的那一位为止。至于如何确定误差在哪一位，理论上应按不确定度的传播律来计算。在实际运算中为了简便与快捷，可根据有效数字运算规则来取位，或合理采用某些技巧来取位，所得到的结果与理论上的结果都比较接近。
（1）测量仪器或仪表给出仪器的最大允许误差 Δ 仪 时，应读到仪器误差所在的那一位；
（2）测量仪器的读数装置带有标尺时，应在标尺的两刻度线间估读一位数字，因为仪器的误差往往是分度值的十分之几；
（3）有游标的器具，不估读；
（4）数字式仪器读数一般取仪器所显示的位数，不估读。
虽然（3）、（4）两种情况没有直接进行估读，但其读数的最后一位仍然是欠准数字。比如有游标的器具，是通过判断游标上的刻线和主尺上的刻线是否对齐而读数的。实际读数时，只能判断出某根线“最”对齐，但并不是真正的对齐，因此读数最后一位仍然是欠准的。
运算结果的末位数的数位应与参与运算的各有效数字中末位数的数位最高者相同。
例如，100＋23.643＝123.643，结果应该四舍五入为124（3个有效数字）。最后一位公数是最右边的一位，是个位。
运算结果的有效数字位数应与参与运算的各分量中有效数字位数最少者相同。
例如，3.0×12.60＝37.800，结果应该四舍五入为38（2个有效数字）。因为3.0有2个有效数字，而12.60有4个有效数字，所以结果是2个有效数字。
函数运算保留有效数字的一般规则是：将自变量有效数字的最后一位变化一个单位，分别计算变化前后的函数值；从左向右比较两次函数值，结果保留到两函数值第一位不同的那一位。实际计算时，可以采用下述简化方案。
（1）对数函数
有效数字的对数，其小数点后的位数与真数的位数相同。
例如 y ＝ln x ，式中 x ＝888，经计算器运算ln888＝6.78891。因为真数 x 是3位有效数字，所以 y 的小数点后取3位，即ln888＝6.789。
（2）指数函数
指数函数运算后的有效数字的位数可与指数的小数点后的位数相同（包括紧接小数点后的零）。
例如 y ＝10 x ， x ＝2.08，经计算器运算10 2.08 ＝120.2264，因为2.08小数字点后只有2位，所以 y 也只有2位有效数字，即10 2.08 ＝1.2×10 2 。
（3）三角函数
三角函数的取位由角度的有效数字而定。一般用分光计测量角度时，应读到1分。此时，应取4位有效数字。
有效数字在乘方或开方时，若乘方或开方的次数不太高，其结果的有效数字位数与原底数的有效数字位数相同。
例如 A ＝4.25，求 y ＝ A 2 ＝？计算器运算得4.25 2 ＝18.0625，原底数4.25为3位有效数字，所以最后取 A 2 ＝18.1，结果为3位有效数字。
在运算过程中，我们还可有碰到一种特定的数，称为正确数。例如，将半径化为直径 d ＝2 r 时的倍数2，它不是由测量得出的；实验测量次数 n ，它总是正整数，没有可疑部分。有效数字的运算规则不适用于这些正确数，在计算时只需由测量值的有效数字的多少来决定运算结果的有效数字，正确数对运算结果的有效数字倍数没有影响。
在运算过程中，我们还可能碰到一些常数，如π、 g 和e之类，一般我们取这些常数与测量的有效数字的位数相同。例如：圆周长 l ＝2π r ，当 r ＝2.356 mm时，此时π至少应取为3.142。实际运算时多用计算器或电子表格软件，将计算结果按有效数字运算规则及修约规则保留到合适有效数字位数，而不是算出结果的位数越多越好！
有效数字的位数多少取决于测量仪器，而不是运算过程。因此，选择测量仪器时，应使其所给出的位数不少于应有的有效位数，否则将使测量结果精度降低。