第二节
极限及其运算

学习目标

1.了解极限的概念，知道函数极限的描述性定义，会求左右极限。

2.了解无穷小量的概念，了解无穷小量的运算性质及其与无穷大量的关系，以及无穷小量的比较等关系。

3.掌握极限的四则运算法则。

4.掌握两个重要极限。

5.掌握一些常用的求极限的方法。

十九世纪以前，人们用朴素的极限思想计算了圆的面积或某些不规则物体的体积等。十九世纪之后，柯西以物体运动为背景，结合几何直观，引入了极限概念。后来，维尔斯特拉斯给出了形式化的数学语言描述。极限概念的创立，是微积分严格化的关键，它奠定了微积分学的基础。

一、数列的极限

首先来研究一种特殊的函数，它是以正整数集 N ^* 为定义域的函数， x _n = f （ n ）， n ∈ N ^* ，称为 数列 ，记作｛ x _n ｝。

案例1.8 （循环数） 观察循环数列0.9，0.99，0.999，0.9999，…， ，…的变化趋势，可以看出，随着项数 n 的无限增大，此数列无限接近于1。

案例1.9 （弹球模型） 一只球从100m处掉下，每次弹回的高度为上次高度的 。这样下去，用球第1，2，…， n ，…次的高度来表示球的运动规律，则得数列100，100× ，100× ，…，100× ，…研究该数列的变化趋势，可以看出，随着次数 n 的无限增大，数列无限接近于0。

案例1.10 （圆面积的计算） 我国古代魏末晋初的杰出数学家刘徽（约225—295年）创造了“割圆术”，成功地推算出圆周率和圆的面积。

下面介绍一下“割圆术”求圆面积的作法和思路：

先作圆的内接正三边形，把它的面积记作 A ₁ ，再作内接正六边形，其面积记作 A ₂ ，再作内接正十二边形，其面积记作 A ₃ ，…，照此下去，把圆的内接正3×2 ^{n -1} （ n =1，2，…）边形的面积记作 A _n ，这样得到一数列：

A ₁ ， A ₂ ， A ₃ ，…， A _n ，…

当边数 n 无限增大时，正多边形的面积 A _n 就无限接近于圆的面积。

定义1.2 对于数列 ，如果当 n 无限增大时，数列的通项 无限地接近于某一确定的常数 a ，则称常数 a 是数列 的 极限 ，或称数列 收敛 于 a 。记为 。如果数列没有极限，就说数列是 发散 的。

对无限接近的刻画： x _n 无限接近于 a 等价于| x _n - a |无限接近于0。

数列极限的几何解释：一般地，若 ，可将常数 a 和数列的通项 在数轴上用它们的对应点表示出来，对 a 的任一个取定的邻域 U （ a ， ε ），当 n 无限增大时，数列的项 x _n 最终（从某项 x _N 以后的项）都要落到邻域内（如图1.16）。

【例1.6】利用数列极限的定义，讨论下列数列的极限。

（1）1， ， ， ， ，…， ，…

（2）2，4，8，…，2 ⁿ ，…

（3）1，-1，1，…，（-1） ^{n +1} ，…

解 （1）该数列的通项 ，通项 与2的距离 ，当项数 n 无限增大时， 无限逼近于零，即通项 无限逼近于2，因此 。

（2）当项数 n 无限增大时，该数列的通项 也无限增大，不可能逼近一个常数项，从而 不存在。

（3）在数列1，-1，1，…， ，…中，奇数项总是1，偶数项总是-1，因此通项 不可能逼近一个常数项，从而 不存在。

收敛数列的性质：

定理1.2（极限的唯一性） 收敛数列｛ x _n ｝不能收敛于两个不同的极限。

定理证明从略。

事实上，如果数列 有两个极限： ， ，且 a ≠ b ，则这时在数轴上看，当通项 变化到一定“时刻”后， 既要与点 a 无限接近，又要与另外一点 b 无限接近，这显然是不可能的，可见，数列的极限是唯一的。

定理1.3（收敛数列的有界性） 如果数列｛ x _n ｝收敛，那么数列｛ x _n ｝一定有界。

定理证明从略。

这就是说，数列有界是数列收敛的必要条件，而不是充分条件，即有界数列未必收敛，无界数列必发散，发散数列未必无界。

上述数列极限的两个性质对以下函数极限同样成立。

二、函数的极限

如果把数列极限中的函数 f （ n ）的定义域（ N ^* ）以及自变量的变化过程（ n →+∞）等特殊性撇开，我们就可以得到函数极限的一般概念。

1.x→∞时函数的极限

案例1.11 （水温的变化趋势） 将一盆80℃的热水放在一间室温恒为20℃的房间里，水的温度 T 将逐渐降低，随着时间 t 的推移，水温会越来越接近室温20℃。

案例1.12 （函数的变化趋势） 考察函数 y = 在 x →+∞和 x →-∞时的变化情况（如表1.3）：

可以从表中观察出：当 x →+∞时， f （ x ）= 与0无限接近；当 x →-∞时， f （ x ）= 也与0无限接近。

从上述两个问题中，我们看到：当自变量的绝对值逐渐增大时，相应的函数值接近于某一个常数。

定义1.3 若函数 f （ x ）当自变量 x 的绝对值无限增大时，函数 f （ x ）的值无限趋近于某个确定的常数 A ，则称常数 A 为 函数 f （ x ）当 x →∞时的极限 ，记作 或 f （ x ）→ A （ x →∞）。

注意： x →∞表示 x 既取正值且无限增大（记为 x →+∞），同时又取负值且绝对值无限增大（记为 x →-∞），故称为双边的。

有时 x 的变化趋向是单边的，即 x →+∞或 x →-∞。

定义1.4 设函数 f （ x ）在（ a ，+∞）内有定义，当 x 无限增大时，对应的函数值 f （ x ）无限趋近于某个确定的常数 A ，则称常数 A 为 函数 f （ x ） 当 x → +∞ 时的极限 ，记作

或 f （ x ）→ A （ x →+∞）。

类似地，可以给出 x →-∞时的极限的定义。

【例1.7】讨论 f （ x ）=arctan x 当 x →∞时的极限。

解 由图1.14（c）反正切函数的图像可知：

， 。

由于当 x →+∞和 x →-∞时， f （ x ）=arctan x 不是无限趋于同一个确定的常数，所以 不存在。

一般有结论：双边极限存在的充分必要条件是两个单边极限存在且相等，即

（记号“ ”表示等价）

2.x→x ₀ 时函数的极限

案例1.13 （人影长度） 考虑一个人沿直线走向路灯的正下方时其影子的长度。若目标总是灯的正下方那一点，灯与地面的垂直高度为 H 。由日常生活知识知道，当此人走向目标时，其影子长度 y 越来越短，当人越来越接近目标（即 x →0）其影子的长度 y 越来越短，逐渐趋于0（即 y →0）（如图1.17）。

这一案例中，自变量无限接近某一点（即 x →0）时，相应函数也无限地接近某一确定的值0（即 y →0）。

定义1.5 设函数 f （ x ）在点 的某个去心邻域内有定义，如果在自变量 的变化过程中，函数值 f （ x ）无限接近确定的常数 A ，则称 A 是 函数 f （ x ）当 时的极限 ，记作 或 。

说明：在定义中，“设函数 f （ x ）在点 的某个去心邻域内有定义”反映我们关心的是函数 f （ x ）在点 附近的变化趋势，而不是 f （ x ）在 这一孤立点的情况。 是否存在，与 f （ x ）在点 有没有定义或函数取什么数值都没有关系。

【例1.8】求 。

解 当 x →1时，（2 x -1）以1为极限，即 。

在这里，函数 f （ x ）=2 x -1在点 x =1处有定义，且当 x →1时， f （ x ）的极限值恰好是 f （ x ）在 x =1处的值，即 。

【例1.9】求 。

解 函数 f （ x ）= 的图像是“挖掉”点（2，4）的直线 y = x +2，如图1.19，当 x ≠2时， f （ x ）= x +2，则

极限 存在，但不等于 f （ x ）在点 x =2处的值（函数在 x =2处没有定义）。

3.单侧极限

案例1.14 （矩形波形曲线分析） 如图1.18，设周期为2π的矩形波在区间［-π，π）内的函数为

问函数 f （ x ）在 x =0处的极限是多少？

在函数极限的定义中， x 趋近于 x ₀ 的方式是任意的，此函数为分段函数，在 x =0的左右两侧，函数 f （ x ）的表达式不同，此时只能先对 x =0左右两侧分别进行讨论。

定义1.6 设函数 f （ x ）在点 的某个左（右）邻域内有定义，如果 x 从 的左（右）侧趋于 时， f （ x ）无限地接近确定的常数 A ，那么数 A 称为 函数 f （ x ）在点 处的左 （ 右 ） 极 限 ，记作 或 或 。

根据 x → x ₀ 时函数 f （ x ）的极限定义和左、右极限的定义，可以证明：函数 f （ x ）当 x → x ₀ 时极限存在的充要条件是 f （ x ）在点 x ₀ 处的左极限和右极限各自存在且相等，即

案例1.14中函数 f （ x ）在 x =0的左极限为0，右极限为 A ，且 A ≠0，所以函数 f （ x ）在 x =0处极限不存在。

利用函数极限的定义可以考察某个常数 A 是否为 f （ x ）在 x ₀ 处的极限，而不是用来求函数 f （ x ）在 x ₀ 处的极限的常用方法。但可以验证：基本初等函数在其各自的定义域内每点处的极限都存在，且等于该点处的函数值。

【例1.10】设函数 ，求函数在 x =0和 x =1处的极限。

解 因为

，所以 不存在。

因为

，所以 。

三、无穷小与无穷大

1.无穷小

案例1.15 （洗涤效果） 在用洗衣机清洗衣物时，清洗次数越多，衣物上残留的污渍就越少。当洗涤次数无限增大时，衣物上的污渍趋于零。

案例1.16 （单摆运动） 单摆离开铅直位置的偏度可以用角 θ 来度量，如图1.20所示。这个角可规定当偏到一方（如右方）时为正，而偏到另一方（如左方）为负。如果让单摆自己摆，则由于机械摩擦力和空气阻力，振幅就不断地减小。在这个过程中，角 θ 越来越小，趋向于零。

在对许多事物进行研究时，常遇到事物数量的变化趋势为零。

定义1.7 在自变量某一变化过程中，变量 X 的极限为零，则称 X 为自变量在此变化过程中的 无穷小量 （简称 无穷小 ），记作lim X =0，其中，lim可表示 n →∞； x → x ₀ ， x →∞等。

注意： 无穷小是个变量（函数），它在自变量某一变化过程中，其绝对值可以任意小，要多小就多小。零这个常数作为无穷小是特殊情形，因为如果 f （ x ）≡0，其绝对值可以任意小，或者说，常数零在自变量的任何一个变化过程中，极限总为零，因此零是可以作为无穷小的唯一的常数。

例如：因为 ，故函数 是 x →-∞时的无穷小。

又例如：因为 ，故函数 是 x →∞时的无穷小。

定理1.4（无穷小与函数极限的关系） 在自变量 x 的某一变化过程中，函数 f （ x ）具有极限 A 的充要条件是 f （ x ）= A + α ，其中 α 是自变量 x 在同一变化过程中的无穷小。

定理证明从略。

例如：因为 ，而 ，所以 。

无穷小的代数性质：

性质1.1 有限个无穷小之和仍是无穷小。

性质1.2 有界变量与无穷小之积仍是无穷小。

性质1.3 常数与无穷小之积是无穷小。

性质1.4 有限个无穷小之积仍是无穷小。

【例1.11】求极限 。

解 当 x →∞时，分子和分母的极限都不存在。若把 视为arctan x 与 的乘积，由于 是当 x →∞时的无穷小，而 是有界变量，因此根据有界变量与无穷小之积仍是无穷小可得： = =0。

2.无穷大

定义1.8 在自变量的某一变化过程中，变量 x 的绝对值| X |无限增大，就称 X 为自变量在此变化过程中的 无穷大量 （简称 无穷大 ），记为lim X =∞，其中，lim可表示 n →∞； x → x ₀ ， x →∞等。

注意： 这里lim x =∞只是沿用了极限符号，并不意味着变量 X 存在极限，无穷大（∞）不是数，不可与绝对值很大的数混为一谈。无穷大是指绝对值可以任意变大的变量。

例如：因为 ，故函数 为当 x →0时的无穷大。

又例如：因为 ，故函数 y =tan x 为当 时的无穷大。

3.无穷小与无穷大的关系

定理1.5 在自变量的同一变化过程中：

（1）如果 X 为无穷大，则 为无穷小；

（2）如果 X ≠0且 X 为无穷小，则 为无穷大。

定理证明从略。

据此定理，关于无穷大的问题都可转化为无穷小来讨论。

四、极限的运算

1.极限的四则运算法则

案例1.17 用列表法或图形法讨论较复杂的函数的极限，不仅工作量大，而且还不一定准确，如求 ，表1.4列出了函数 在 x =0处附近取值时的函数值。

我们可能会估计 ，但这个结果是错误的。因此，我们需要研究函数极限的运算法则。以下在同一式子中考虑自变量的同一变化过程，其主要定理如下：

定理1.6 如果lim f （ x ）= A ，lim g （ x ）= B ，那么

（1）lim［ f （ x ）± g （ x ）］=lim f （ x ）±lim g （ x ）= A ± B ；

（2）lim［ f （ x ）· g （ x ）］=lim f （ x ）·lim g （ x ）= A · B ；

（3） 。

定理证明从略。

推论1 常数可以提到极限号前，即lim［ Cf （ x ）］= C lim f （ x ）

推论2 若lim f （ x ）= A ，且 n 为正整数，则lim［ f （ x ）］ ⁿ =［lim f （ x ）］ ⁿ = A ⁿ 。

【例1.12】求 。

解 运用定理及其推论可得：

【例1.13】求 。

分析：所给函数的特点是：当 x →3时，分子、分母的极限都为零，但它们都有趋向0的公因子 x -3；当 x →3时，可约去 x -3这个为零的公因子。

解

【例1.14】求 。

分析：所给函数的特点是：当 x →1时，分子的极限不为零，分母的极限为零，因此不能直接运用商的极限运算法则。对于这类题目应先计算其倒数的极限，再运用无穷大与无穷小的关系得出结果。

解 ，根据无穷大与无穷小的关系得

【例1.15】求 。

解 所给函数的特点是：当 x →∞时，分子和分母都趋于无穷大，因此不能直接运用商的极限运算法则。对于这类题目先用 x ³ 去除分子及分母，然后求极限：

【例1.16】求 。

解 先用 x ³ 去除分子及分母，然后求极限：

【例1.17】求 。

解 因为 ，所以

上述三个函数，当自变量趋于无穷大时，其分子、分母都趋于无穷大，这类极限称为“ ”型极限，对于它们不能直接运用商的运算法则，而应采用分子分母同除自变量 x 的最高次的方法求极限。

一般，当 a _n ≠0， b _n ≠0， m 和 n 为非负整数时，有

此结果可作为公式使用，但要注意只适用于 x →+∞， x →-∞和 x →∞的情形。

【例1.18】求 。

分析：此例也称“∞-∞”型极限，一般处理的方法为通分，再运用前面介绍过的求极限的方法计算。

解

2.复合函数的极限法则

定理1.7 设函数 y = f （ u ）与 满足以下两个条件：

（1） ；

（2）当 时， ，且 ，

则

定理证明从略。

若 f （ u ）是基本初等函数， a 又是 f （ u ）的定义域内的点，则 ，即 （在第三节有了连续函数的概念后，此式只要 f （ u ）在 a 点连续即成立）。

【例1.19】求 。

解 是由 与 复合而成的。

因为 =6，所以 。

【例1.20】求 。

分析：根据复合函数的极限运算法则知，分子和分母均为零，因此，需先将分母有理化，约去关于 x 的公因子，再运用前面介绍过的求极限的方法计算。

解

五、两个重要极限

对这两个重要极限我们不作证明，仅用列表法来给出函数的变化趋势。

1.第一个重要极限： 。

通过列表法（见表1.5）可以看出当 x →0时，函数 。

【例1.21】求 。

解

【例1.22】求 。

解

【例1.23】求 。

解 = = = = = 。

2.第二个重要极限： （或 ）。

通过列表法（见表1.6）可以看出当 x →∞时，函数

【例1.24】求

解 令 t =- x ，则 x →∞时， t →∞。于是

或

【例1.25】求 。

解

【例1.26】求 。

解 令 u =e ^x -1，则 x =ln（1+ u ），当 x →0时 u →0，所以

【例1.27】设某人以本金 A ₀ 元进行一项投资，投资的年利率为 r 。

如果以年为单位计算复利（即每年计息一次，并把利息加入下年的本金，重复计息），则 t 年后，资金总额将变为 A ₀ （1+ r ） ^t （元）；

如以月为单位计算复利（即每月计息一次，并把利息加入下月的本金，重复计息），则 t 年后，资金总额将变为 （元）；

以此类推，如以天为单位计算复利，则 t 年后，资金总额将变为 （元）；

一般地，若以 年为单位计算复利，则 t 年后，资金总额将变为 （元）。

现在让 n →∞，即每时每刻计算复利（称为 连续复利 ），则 t 年后资金总额将变为： = = （元）。

六、无穷小的比较

根据无穷小的代数性质，我们知道，在同一过程中的两个无穷小的和差及乘积仍为无穷小，但它们的商却不一定是无穷小。

例如：当 x →0时，3 x 、 x ² 、sin x 都是无穷小，而

上述不同情况的出现，是因为不同的无穷小趋向于零的快慢程度的差异所致，就上面例子来说，在 x →0的过程中， x ² →0比3 x →0要快些，反过来3 x →0比 x ² →0要慢些，而sin x →0与3 x →0则快慢相仿。

为了比较在同一变化过程中两个无穷小趋于零的快慢，我们引进 无穷小的阶 的概念。

定义1.9 设 α = α （ x ）， β = β （ x ）都是自变量同一变化过程中的无穷小，则

（1）如果lim = c （ c ≠0），则称 β 与 α 是 同阶无穷小 。特别地，如果lim =1，则称 β 与 α 是 等价无穷小 ，记作 β ～ α 或 α ～ β 。

（2）如果lim =0，则称 β 是 α 的 高阶无穷小 ，记作 β = o （ α ）。

（3）如果lim =∞，则称 β 是 α 的 低阶无穷小 。

例如，因为

所以当 x →0时，1-cos x 与 是同阶无穷小，或者说1-cos x 与 是等阶无穷小，即 （因为 ）。

等价无穷小的替换原理 ：设 α ， β ， ， 是自变量在同一变化过程中的无穷小，若 ， 且lim 存在，则lim 也存在，且lim =lim 。

证明 。

这个性质表明：求两个无穷小之比的极限时，分子及分母都可用等价无穷小来代替，这往往可使计算简化。

【例1.28】求 。

解 因为当 x →0时，tan2 x ～2 x ，sin5 x ～5 x ，故

【例1.29】求 。

解 因为当 x →0时，tan x ～ x ， x ³ - x ² +2 x ～2 x ，故

【例1.30】求 。

解因为当 x →0时， ，tan x ～ x ，从而 ，所以

注意： ，因为tan x -sin x 与 x - x 不等价。无穷小的替换，必须是两个无穷小之比或无穷小为极限式中的乘积，而且代换后的极限存在，才可以使用。加减项的无穷小不能用等价无穷小代换。

常见的等价无穷小有（当 x →0时）： ； ； ； 。

【例1.31】求 。

解 因为当 x →0时， ， ，所以

习题 1.2

1.观察如下数列｛ x _n ｝一般项 x _n 的变化趋势，写出它们的极限。

（1） ；

（2） ；

（3） ；

（4） ；

（5） x _n = n （-1） ⁿ ；

（6） 。

2.设函数 利用函数极限存在的充要条件判断 是否存在？

3.设函数 要使极限 存在， b 应取何值？

4.在下列各题中，指出哪些是无穷小？哪些是无穷大？

（1） （ x →∞）；

（2） （ x →3）；

（3） （ x →0）；

（4） （ x →0）。

5.计算下列各极限。

（1） ；

（2） 。

6.计算下列各极限。

（1） ；

（2） ；

（3） ；

（4） ；

（5） ；

（6） 。

7.计算下列各极限。

（1） ；

（2） ；

（3） ；

（4） 。

8.已知 =1，试求 a 与 b 的值。

9.计算下列各极限。

（1） ；

（2） ；

（3） ；

（4） （ x ≠0）。

10.计算下列各极限。

（1） ；

（2） ；

（3） ；

（4） 。 cH0cc1qlrSga5eXBLZEbPT8KNmFvmQVX6jQfihOZdRHaoa94LOTDwcwbIZeyznBR