帕累托边界

正如我们之前所说的，因为标准存在矛盾性，所以决策时会出现困难。我们会有一对选项，其中一个选项和某一个标准相关时显得更好，而另一个选项和另一个标准相关时也显得更好。在这种情况下，如果不能获得更多的信息，我们无法确定哪个选项是更好的。

然而，在有两个选项的情况下，确实可以选出哪一个更好。在评估全部标准时，会出现某一选项超越其他选项的情况。

在汽车的例子中，西雅特600和西姆卡1000的情况就是如此。对这两个型号的汽车来说，各标准被量化评估如下：

我们可以看到，西姆卡1000的各项得分与西雅特600相当甚至更好，这意味着通常情况下我们会选择西姆卡1000而不是西雅特600。

一个选项比另一个更好被称为帕累托优势，其正式的定义如下：

给定两个向量 u =（ u ₁ ，……， u _n ）和 v =（ v ₁ ，……， v _n ），对应于根据 n 个标准对两个选项进行评估，设向量 u 总是优于向量 v ，对所有标准而言， i 满足了 v _i ≤ u _i ，且存在 v _i < u _i 的最小值。

在这个定义中，我们可以假设目标是使满意度（效用）最大化，这意味着最好的解决方案将是效用数值最高的解决方案。当然，我们可以将“优势”定义为最小化，比如在追求成本最小化的生产方式时。

在购车的例子中，帕累托优势有两种情况：可以看到，西姆卡1000在各方面都优于福特T。然而，西雅特600和福特T相比互有胜负，没有明显的优势。

因此，我们可以得到以下两个关系式：

·福特T<西姆卡1000

·西雅特600<西姆卡1000

这些关系表明，在任何情况下，福特T和西雅特600都不会被选中（或者说，如果确实要选择的话，那么也必须选择西姆卡1000）。因此，对于购车家庭而言，和福特T或西雅特600相比，西姆卡1000将永远是最佳的选择。

从决策的角度来看，更耐人寻味的是非帕累托优势的选项之间的比较。从理性的角度来看，非优势性的选项在选择时依据的是个人兴趣，也就是看做选择的人更注重哪项标准。在购车的例子中，非优势性的选项如下：

·西姆卡1000

·大众甲壳虫

·雪铁龙阿卡迪恩

可以观察到，这些选项是非优势性的，因为每个选项至少在一个标准中击败了其他选项。例如，西姆卡1000在价格方面击败了其他汽车；大众甲壳虫在后备厢空间方面击败了其他汽车；雪铁龙在安全性方面击败了西姆卡1000，同时在价格上击败了大众甲壳虫。

帕累托最优解集，也称非优势选择集合，或帕累托边界，由非优势选项组成。如果我们只有一个标准，帕累托边界就是由此标准下最优的选项组成的。

简单说，有时为了在某方面有所改进，我们会在帕累托最

维尔弗雷多·帕累托（Vilfredo Pareto，1848-1923）

帕累托边界的名字来自意大利社会学家、经济学家和哲学家维尔弗雷多·帕累托。他在财富分配领域做出了决定性的贡献。他曾就读于都灵大学，曾于佛罗伦萨大学任教授，后来在洛桑大学任教。除了以帕累托边界闻名外，他的名字也在帕累托原则中出现。这个原则是基于他在1906年的观察，即意大利20%的人口占有了80%的土地。

优解集中选择那些不太好的选项。汽车选购就是如此，如果我们考虑西姆卡1000的同时希望获得更好的安全性，我们会选雪铁龙阿卡迪恩或大众甲壳虫，虽然两者的价格都较高。帕累托边界定义如下：

给定一组选项 U ，用向量 u =（ u ₁ ，……， u _n ）表示，对应于评估的 n 个标准，帕累托边界是集合 u ∈ U ，使得 v 优于 u 时不会有 v ∈ U 。

只有一个元素的帕累托边界被称为帕累托效率。 EGHlR9xXM1wsB6/bhOcj+EBR51ocIzLH+i4BVfgCJTkbfeMcjlfKZ9MwGC9rIyMO