效用函数

效用函数（也称支付函数或分数函数）使我们能够量化偏好，因为对于每个选项，我们都可以用一个数值代表其分数。

以选择汽车为例，我们可以将完全满足我们标准的汽车定为100分，给完全不满足标准的车打0分。所以，如果我们的标准是车价越低越好，而A车的价格是所有选择中最低的，那么我们可以给它打100分；如果备选车的价格高得离谱，我们就给它打0分。和我们的支付能力越接近，选项的分数越高：

·价格满意度（福特T）=0

·价格满意度（西雅特600）=100

·价格满意度（西姆卡1000）=100

·价格满意度（大众甲壳虫）=30

·价格满意度（雪铁龙阿卡迪恩）=60

关于座位数量，家庭成员认为：福特T不行，因为它只有两个座位，雪铁龙阿卡迪恩和西雅特600的座位也不够（雪铁龙比西雅特更差），所以分数是：

·座位数量满意度（福特T）=0

·座位数量满意度（西雅特600）=60

·座位数量满意度（西姆卡1000）=100

·座位数量满意度（大众甲壳虫）=80

·座位数量满意度（雪铁龙阿卡迪恩）=20

从这里开始，我们按照同样的方法为其他标准下的车辆打分。得分信息反映在下页表中：

在上表中，我们可以看到以前讨论过的标准之间的矛盾问题，这使决策变得困难：价格让人满意的车舒适性和安全性不好，价格较高的汽车比便宜的汽车更舒适、安全，后备厢空间也更大。

偏好关系的表示

可以在偏好关系和效用函数之间建立一种对应关系：假设对于集合 X 中的所有 x ， y 来说， u 代表偏好≥，那么当且仅当 u （ x ）≥ u （ y ）时， x ≥ y 。

乔治·康托尔（George Cantor）在1895年提出的理论在偏好与效用之间建立了重要关系，也明确了效用函数是偏好关系的数学描述，他说：

当偏好关系为理性偏好关系时，可以在一组选项中建立起一个效用函数。

康托尔和克罗内克

德国的乔治·康托尔（1845-1918）对数学的主要贡献是构建了集合论的基础，从而对现代数学起到了奠基性作用。他对无限集也颇有研究，证明了实数的无穷大大于整数的无穷大。在证明过程中，他研究了集与集的元素之间的对应关系。在研究无限集以及从研究结果中推断无限集有无穷多个这一事实时，他忍受了来自同时代人，如利奥波德·克罗内克（Leopold Kronecker）、亨利·庞加莱（Henri Poincaré）以及哲学家如维特根斯坦，甚至神学家的苛刻批评。对康托尔的老师克罗内克而言，如果没有提供这些集合的具体例子，就不能证明具有某些性质的元素集合的存在。为此，克罗内克被认为是建构主义学派的教父之一，确立了找到一个数学对象以证明其存在的必要性。

可以看到，表（见15页）中的座位数量、安全性、舒适度和后备厢空间的效用函数都有共同的趋势。在价格方面却不然，以西雅特600和西姆卡1000为例，我们的效用函数值的上限为100，我们发现西雅特600≥西姆卡1000，而不是西姆卡1000≥西雅特600。

可以看出，偏好关系是理性的，因为它们是完全的、可传递的和自反的。

在这个例子中，我们可以假设家庭根据自己的喜好为每辆车的特性分配了一个数值。在某些情况下，这种评分是通过中间函数进行的，下面我们就来讨论这个过程。

我们如何定义效用函数？

在应用效用函数时，我们可以根据某种标准，设计一个标准值，然后用这个标准值去评价各选项的效用函数。例如，为了评估西姆卡1000是否满足我们预期的价格标准，可以使用我们的预期价格作为中间函数，且这个函数在某种程度上独立于汽车价格。例如，我们将购车预算定为10000欧元，低于或等于1000欧元的价格对于我们来说都是完美的（满意度100%），而对超过了10000欧元的车价，我们的满意度是绝对不满意（满意度0%）。1000至10000欧元之间的满意度可以使用线性函数表示。

根据以上信息，我们可以在数学上定义某个价格 x 的价格效用函数，如下所示：

如果 x 小于或等于1000欧元，函数值为100；如果 x 大于或等于10000欧元，则为0；如果 x 在1000和10000欧元之间，则（10000- x ）/90。

相应的数学表达式如下：

其函数的图形表示如下：

设价格（西姆卡1000）代表汽车的价格， AFP 是辅助价格函数，则 AFP ［价格（西姆卡1000）］这一效用函数可以量化西姆卡1000满足我们价格标准的程度。因为西姆卡1000的价格是1000欧元，我们可以得出：

AFP ［价格（西姆卡1000）］= AFP （1000）=100

同理可得：

AFP ［价格（西雅特600）］=100

对于价格为2000欧元的雪铁龙阿卡迪恩，我们可以得出：

AFP ［价格（雪铁龙阿卡迪恩）］=

AFP （2000）=（10000-2000）/90=800/9

对于大众甲壳虫，我们可以得出：

AFP ［价格（大众甲壳虫）］= AFP （6000）=（10000–6000）/90=400/9

这里得出的满意度比第15页表中对价格满意度的评估更加精确。采用不同的效用函数式也会产生不同的值，这里选择这个函数式，是因为它简单易懂。处理其他实际问题时需要根据具体情况选择合理的函数式，最终做出判断。

需要注意的是，上述效用函数可以评估对任何汽车的价格的满意度。 AFP ［价格（汽车）］可以用0至100评价任何汽车的价格是否符合我们的预期，所有的汽车都能满足：价格满意度（汽车） =AFP ［价格（汽车）］。

效用函数和单调性

在上述有关价格效用函数的定义中，我们可以看到，函数值随着价格的下降而上升，反之亦然。在这种情况下，我们可以说价格和效用之间是单调的关系。但并非所有效用函数都是如此，一个例子是后备厢空间。我们认为人们选购家庭用车时比较倾向于选择有大容量后备厢的，比如1立方米，小一点也要0.25立方米。但购买者也有可能不希望后备厢空间太大，因为超过一定的尺寸后，就会失去便利性。换句话说，这个家庭希望有一辆实用的车，但不一定想要一辆小货车！在这种情况下，后备厢空间的效用函数不再是单调的。事实上，在上面这个例子中，雪铁龙阿卡迪恩的效用就是0。

首先，假设后备厢的最佳容量是1立方米，容量从0立方米开始增加，满意度水平随之增加，而超过该值后，满意度逐渐降低。假设满意度是线性的，可接受范围为最佳容量的正负0.2立方米，且在相应区间外，即0.8立方米至1.2立方米之外满意度为0，我们可以得出相应的函数：

这个函数如下图所示：

在以上例子中，我们对标准的评估都是按照0至100的尺度进行的。但在实际生活中，我们在评估时还可能会用到其他尺度，不仅是数字。例如，我们会利用“非常少”“少”“中等”“很多”“最多”等形容词来做出评价。 /dDM+e1zVhOxhtNkjfe6kcZnsKzHguoTm4X91E1hEl7rzO8B8IS2P2onk5eqnxDX