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在外荷载作用下，地基中各点均会产生应力，称为附加应力。对于一般天然土层来说，自重应力引起的压缩变形在地质历史上已经完成，不会引起地基沉降，附加应力才是引起地基产生变形及破坏的原因。要了解掌握地基变形，必须先掌握土中附加应力的分布规律以及基本的计算。在计算地基中的附加应力时，一般均假定土体是连续、均质、各向同性的，来用弹性力学解答。以下介绍工程中常遇到的一些荷载情况和附加应力计算方法。
半空间弹性体的表面作用有一个集中力 F （图2.11），任意一点 M （ x ， y ， z ）的全部应力和全部位移已按弹性力学的方法由法国的布辛涅斯克推导出，其中与地基沉降计算直接有关的竖向附加应力 σ z 的计算公式为
式中：
α
——竖向集中力作用下土中附加应力系数，
，一般可由表2.1查得。其中，
r
为
M
点与集中力作用点的水平距离，
z
为
M
点的深度。
图2.11 竖向集中荷载作用下土中附加压力
表2.1 竖向集中荷载作用下地基附加应力系数 α
利用式（2.8）可求出地基中任意一点的附加应力值。将地基划分成许多网格，求出各网格交点上的 σ z 值，就可绘出土中竖向附加应力等值线分布图及附加应力沿荷载轴线和不同深度处的水平面上的分布（图2.12），由图可知：
①当 r = 0时的荷载轴线上，随着深度 z 的增大， σ z 减小。
②当 z 一定时， r = 0时， σ z 最大，随着 r 的增大， σ z 逐渐减小。
应力等值线分布图其空间形状如泡状，成为应力泡。图中离集中力作用点越远，附加应力越小，这种现场称为应力扩散。
图2.12 土中附加应力分布图
若地基表面作用着多个竖向集中荷载时 F i （ i = 1，2，3，…， n ），按照叠加的原理，则地面下 z 深度某点 M 处的竖向附加应为各个集中力单独作用时产生的附加应力之和，即
式中： α i ——第 i 个集中力作用下，地基中的竖向附加应力系数，根据 r i / z 按表2.1查得，其中 r i 为第 i 个集中力作用点到 M 点的水平距离。
矩形（指基础底面）基础边长分别为 b ， l ，基底附加压力均匀分布，计算基础4个角点下地基中的附加应力。4个角点下应力相同，只计算一个即可。
将坐标原点选在基底角点处（图2.13），在矩形面积内取一微面积d x d y ，其上均布荷载用集中力d F = p 0 d x d y 代替，经过微积分计算，可将角点下某点的竖向附加应力 σ z 表达为
图2.13竖向均布荷载作用时角点下的附加应力
式中： p 0 ——作用在矩形范围的竖向均布荷载，在实际工程中为基础底面的附加压力；
α c ——竖向矩形均布荷载作用下土中附加应力分布系数，计算式为
α c 一般可由表2.2查得，其中， l 为矩形长边， b 为矩形短边， z 为角点下某点的深度。
表2.2 矩形竖向均布荷载作用下的附加应力系数 α c
续表
矩形均布荷载的附加应力
在实际工程中，在矩形均布荷载作用下，常需计算地基中任意点下的附加应力。此时，可利用角点下应力的计算公式和应力叠加原理求解，此方法称为角点法。
如图2.14所示，图中列出了几种计算点不在角点的情况（即任意点），其计算方法为：通过任意点，把荷载面分成若干个矩形面积，这样该点就成为所划出的各个小矩形的公共角点，再按式（2.10）计算每个矩形角点下深度 z 处的附加应力 σ z ，并求出代数和。
图2.14 角点法的应用
角点法的应用可分为以下4种情况：
① O 点在基底边缘，如图2.14（a）所示
② O 点在基础底面内，如图2.14（b）所示
若 O 点在基底中心，则 σ z = α c p 0 = 4 α cⅠ p 0
③ O 点在基础底面边缘以外，如图2.14（c）所示
在图2.14（c）中，Ⅰ为 Ogbf ，Ⅱ为 Oecg ，Ⅲ为 Ohaf ，Ⅳ为 Oedh 。
④ O 点在基底角点外侧，如图2.14（d）所示
在图2.14（d）中，Ⅰ为 Oech ，Ⅱ为 Oedg ，Ⅲ为 Ofbh ，Ⅳ为 Ofag 。
式中， α cⅠ ， α cⅡ ， α cⅢ ， α cⅣ 相应于面积Ⅰ、面积Ⅱ、面积Ⅲ、面积Ⅳ的角点下附加应力系数。
地基表面作用一宽度为 b 的均布条形荷载 p 0 ，沿 y 轴方向无限延伸，如图2.15所示。在计算条形基底竖向均布荷载作用下地基中任意一点 M 的附加应力时，可在宽度 b 方向取一微条，经过微积分计算，可将某点的竖向附加应力 σ z 表达为
式中： α sz ——条形基础上作用竖向均布荷载时的附加应力系数，可由表2.3查得。
图2.15 条形基底竖向均布荷载作用下地基附加应力
表2.3 条形基底竖向均布荷载作用下的附加应力系数
本项目的主要内容为地基土中的自重应力和附加应力，具体介绍了土体中自重应力的概念、分布规律和计算方法，包括均质土中的自重应力计算、成层土中的自重应力计算以及地下水与不透水层对自重应力的影响；还介绍了基底压力与基底附加压力的概念和计算方法。另外，引出了附加应力的概念，总结了其分布规律，以及矩形、条形基础在均布荷载作用下土中附加应力的计算方法。
一、选择题
1.土中自重应力起算点位置为（）。
A.基础底面
B.天然地面
C.室内设计地面
D.室外设计地面
2.计算土的自重应力时，对地下水位以下的土层采用（）。
A.干重度
B.天然重度
C.饱和重度
D.有效重度
3.建筑物基础作用于地基表面的压力称为（）。
A.基底压力
B.基底附加压力
C.基底净反力
D.附加应力
4.由建筑物的荷载在地基内产生的应力称为（）。
A.自重应力
B.附加应力
C.有效应力
D.附加压力
5.某场地表层为4m厚的粉质黏土，天然重度 γ = 18kN/m 3 ，其下为很厚的黏土层，饱和重度 γ sat = 19kN/m 3 ，地下水位在地表下4m处，经计算地表以下5m处土的竖向自重应力为（）。
A.91kPa
B.81kPa
C.72kPa
D.41kPa
6.在单向偏心荷载作用下，若基底反力呈梯形分布，则偏心距与矩形基础长度的关系为（）。
A. e < l /6
B. e > l /6
C. e = l /6
D.无关
二、填空题
1.土中应力按成因可分为___和___。
2.地下水位下降后，地基土层自重应力会___。
3.对于一般土层来说，___应力不会引起地基沉降，___应力会引起地基破坏与变形。
4.在基底附加压力 p 0 的作用下，地基中的附加应力随深度 z 增加而___。
三、简答题
1.什么是自重应力？什么是附加应力？
2.自重应力与附加应力在地基中的分布规律如何？
3.地下水位升降对土的自重应力分布有何影响？
4.什么是基底压力、地基反力、基底附加压力？如何区别基底压力与基底附加压力？
四、计算题
1.某建筑场地各层土水平地质剖面图如图2.16所示，请计算土层交界处的竖向自重应力，并绘制自重应力沿深度的分布曲线。
图2.16 某建筑场地各层土水平地质剖面图
2.某轴心受压柱下独立基础，埋置深度为1.2m，基底尺寸为3.5m × 2.5m，作用于基础上的荷载为 F k = 1 150kN，埋深范围内土的重度为 γ = 18kN/m 3 ，试求基底附加压力。
3.某矩形基底，面积为4m × 2m，基底附加压力 p 0 = 180kPa，求基底中心点、两个边缘中心点及角点下 z = 4m处的附加应力 σ z 。