贝叶斯的魔力8号球

现在是2015年8月7日的清晨，你正坐在林迪餐厅，阅读着关于前一天首演的音乐剧的评论。其中一则是这样写的：

我并不愿意让人们倾家荡产去购买一张热门百老汇演出的门票。但是，由托马斯·凯尔（Thomas Kail）执导、林-曼努埃尔·米兰达（Lin-Manuel Miranda）主演的《汉密尔顿》（ Hamilton ） 值得你这么做，至少对于那些想要证明美国的音乐剧不仅存活了下来而且得以发展的人，这部剧会让他们看到美国音乐剧在未来几年脱胎换骨、蓬勃兴起的希望。 ⁷

——本·布兰特利（Ben Brantley），《纽约时报》记者

戈特的预测有一定的局限性。一个有影响力的剧评家的热烈赞扬让人们有理由相信该剧会持续上演很长一段时间，尽管可能这部剧才刚刚被搬上舞台。或许，我们对自己也有同样的知觉。智人战胜猛犸象、疟疾和原子弹而幸存了下来，还没有什么能够杀死我们。我们不是一般的物种，现在也不是一个寻常的时代——所以，管他呢！

换句话说，我们可能坚信人类将存在很长时间。这种信念是一种先验概率。当然，人们对于世界末日应该什么时候到来有着各种各样的观点。一些邪教徒和悲观主义者认为末日就在眼前，而一些乐观主义者认为人类还将存活数十亿年。也有对诺查丹玛斯 预言深信不疑的巫师声称能够预测世界末日的确切时间，精确到几时几分（并且可以比任何数学方法都更准确地预测你的爱情生活）。

在1993年的文章中，戈特并没有提到先验概率。但是，这个概念在卡特和莱斯利提出的第三个版本的末日论证中是十分关键的。他们利用贝叶斯定理来修正先验概率，从而能够更好地反映从出生顺序中获得的新信息。 ⁸

但是，这第三个版本末日预测并不能延缓末日的到来。就算对于理性的乐观主义者而言，贝叶斯派的末日论证都可以改变他们对末日的看法，让他们相信最终发生灾难的概率非常高。卡特把他的末日论证形容成放大镜，因为它预测的概率比人们一般想象的要大。末日灾难比在反光镜中看见的更近 。

我将给出一个简化版的模型，在该模型中，只有两种情况：“末日将近”和“末日尚远”。“末日将近”的意思是人类将在500年内灭绝，而“末日尚远”则指人类还将存活超过500年。同时，“末日尚远”的情形中最终累计人类数量将是“末日将近”情形中的累计人口数量的1000倍。

在这个示例中，假设我一开始认为“末日将近”的先验概率是10%，那么贝叶斯定理就能让其后验概率增大到99% ⁽¹⁾ 。 ⁹ 如果我更乐观一点，认为“末日将近”的概率只有1%，但利用贝叶斯定理计算之后的概率也会提升到91%。就算是一个极其乐观的人，他认为“末日将近”的先验概率只有0.1%，经过贝叶斯定理的矫正，“末日将近”的后验概率也会被提高到50%。

如果贝叶斯派的末日论证是正确的，那么在各种对未来的理性预测中，即无论认为“末日将近”的先验概率是多少，“人类末日将近”都不是一句空谈。自从英国经济学家马尔萨斯提出他的人口理论以来，没有一个与人口相关的预测引起过如此激烈的争论。人类是否能解决内部分歧，消除战争和恐怖主义，拯救环境并继续探索银河系？贝叶斯的魔力8号球 说：“基本不可能。”

(1) 99%是一个用贝叶斯公式算出来的近似值。该计算公式为 p /[ p +（1- p ）×（ soon/late ）]。其中 p 是指“末日将近”的先验概率即10%， soon/late 是“末日将近”情况的累计人类数量比上“末日尚远”情况下的累计人类数量，即1/1000。代入计算，结果约等于99%。——译者注 Lrj5Zhx1R06zerN0V/WRmhzZ3tR2pCi/5QjRhUgjP6RIiqvU5Z9+VwyZAwX7QVoc