偏导数

单变量微积分可以很自然地推广到多变量微积分。想象我们有一个多变量函数，而不是单变量。举个例子，我们把这些变量称作 x ， y ， z ，尽管这些变量不只用来表示常规空间坐标。而且，变量的数目可能多于或少于3个。同时我们也想象一个这些变量的函数 V （ x ， y ， z ）。每个 x ， y ， z 都对应一个独一无二的 V （ x ， y ， z ），并且假设这个函数随坐标产生平滑的变化。

多变量微积分围绕偏导数（partial derivatives）的概念展开。假设我们正在考察 x ， y ， z 附近的区域，并且我们想知道固定 y 和 z ，只让 x 变化时 V 的变化率。我们可以把 y 和 z 看作固定参数，因此只有 x 是变量。 V 的导数可以定义为：

其中Δ V 定义为：

注意在Δ V 的定义中，只有 x 发生了改变， y 和 z 保持不变。

由方程（7）和（8）定义的导数被称作 V 对于 x 的偏导数，写成：

或者，当需要强调 y 和 z 保持不变时写成：

用相同的方法我们可以建立对其他变量的偏导数：

V 对 y 的偏导数可以简写为：

同样可以定义高阶偏导数。如果把 自身看作 x ， y ， z 的函数，那么它也可以进行求导。因此我们可以定义对于 x 的二阶偏导数：

同样存在混合偏导数。例如，我们可以求∂ _y V 对于 x 的导数：

关于混合偏导数有一个有趣而且重要的事实，那就是混合偏导数不依赖于求导顺序 。也就是说：