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最简单的例子是一个不受力的质点。运动方程用公式定义，但是力等于0：
或者，用对时间求导的点标记法写成：
我们可以消去质量项把方程写成分量形式：
方程的解很简单：速度分量等于常数且只等于它们的初始值：
同理，可以得到另外两个分量。顺便说一下，这个方程的解常常被称作牛顿第一定律（Newton's first law of motion）：
每个处于匀速运动状态的物体都将保持该状态直到有外力施加在上面。
公式（1）和（2）被称作牛顿第二定律（Newton's second law of motion）：
和受力
之间的关系是：
但是正如我们所见，牛顿第一定律仅是第二定律受力等于0时的特例。
回想速度是位置关于时间的导数，我们可以把公式（3）表达为：
这是最简单的微分方程，它的解（分量形式）是：
或者，用矢量表示为：
恒力会产生一种较为复杂的运动。我们用只沿 z 方向的运动举例。用力除以质量 m 得到运动方程：
练习2： 对这个方程进行积分。提示：用定积分。
通过积分我们推导出：
或者
这可能是第二简单的微分方程。它可以很容易地求解：
练习3： 对这个式子求导来证明它满足运动方程。
这个简单的例子似曾相识。如果
z
表示离开地球表面的高度，
用重力加速度代替，即
，那么方程就是描述物体从高度
z
0
以初始速度
v
z
（0）的下落运动：
我们来考虑简谐振子（harmonic oscillator）的例子。这个系统最适合想象成一个沿着 x 轴运动的质点，它受将它拉向原点的力。受力方程是：
负号表示无论 x 取值多少，力都倾向于把它重新拉回 x =0的位置。因此，当 x 是正数时力是负值，反之亦然。运动方程式可以写成：
或者，令
，方程写成：
练习4： 通过求导证明上面方程（6）的解的一般形式可以利用两个常数 A 和 B 写成：
利用 A 和 B 确定质点在初始时刻 t= 0时的位置和速度。
简谐振子是一个非常重要的系统，从单摆运动到光波中的电磁场振动都有它的身影。仔细学习简谐振子运动规律很有用处。
“看那边，列尼。那些山丘和山谷难道不是很美丽吗？”
“是啊，乔治。我们有钱之后也在那边买一块地，可以吗？”
乔治斜眼看着列尼：“列尼，你具体说的是哪儿？”
列尼指着远方：“就在那边，乔治。在那个局部极小点。”