亚里士多德运动定律

亚里士多德生活在一个被摩擦力“统治”的时代。那时若想让物体移动——如一辆木轮手推车，那么你需要施加推力。你越用力推，它前进得越快。但是如果你停止推它，它很快就会停下。亚里士多德得出了一些错误的结论，因为那时他不理解摩擦力也是一种力。我们仍然有必要用今天的语言解释他的想法。如果亚里士多德懂点儿微积分，那么他大概会提出这样的运动定律：

任何物体的速度与受到的合力成正比。

假设亚里士多德知道如何写出矢量方程，那么他提出的定律应该会像下面的形式：

其中 是受到的力，响应（按照亚里士多德的说法）是速度矢量 。联系两个矢量的参数 m 是描述被移动的物体受到的阻力的某种特征量。给定一个力，物体的 m 越大，它的移动速度就越小。亚里士多德可能没有经过仔细思考就认定 m 是物体的质量。这是显而易见的，重的物体比轻的物体更难移动，也许也是因为这个原因，质量出现在了他的方程里。

有人怀疑亚里士多德从来没有滑过冰，否则他不会不知道让一个物体停下来和让它动起来一样难。亚里士多德的理论明显是错误的，但是他的理论仍然有价值——作为一个例子来研究运动方程如何确定系统的未来。从现在起，我们称物体为质点。

考虑有一个在给定力的作用下沿 x 轴做一维运动的质点。这里所说的给定力是指在任何时间我们都知道力的值。我们把这个力记作 F （ t ）（注意，在一维问题中使用矢量符号稍显累赘）。利用速度是位置 x 相对时间的导数这一事实，我们发现亚里士多德的方程可以写成：

在解这个方程之前，我们将它和第1讲中提到的定律进行比较。很明显的区别是，亚里士多德的方程不是频闪观测式的，因为 t 或 x 都不是离散的。它们不是频闪观测式地阶跃变化，而是连续地变化。但是，如果把时间分割成长度为Δ t 的区间，并用 代替导数，我们就可以发现它们之间的相似点。如果这样做，会得到：

也就是说，无论 t 时刻质点在哪个位置，到下一个时刻它的位置会改变一个固定的值。例如，如果施加的是正向的恒力，那么每隔一个增量步质点都会向前移动 。这个定律显然是确定性的。已知质点在位置 x （0）和时刻 t =0（或状态 x ₀ 处），可以很容易地预测未来它在哪里。因此，按照第1讲的判断准则，亚里士多德没有错。

我们回到运动方程：

包含未知函数的导数的方程叫作微分方程（differential equations）。上面的式子中只包含一阶微分，所以它是一阶微分方程。这样的微分方程很容易求解，求解技巧是对方程等号两边进行积分：

等号左边是导数的积分，积分基本定理可以派上用场。等号左边的结果等于 x （ t ）+ c 。

另外，等号右边是某个函数的积分。而且除了待定常数，等号右边的结果是确定的。例如，如果 F 是一个常数，那么等号右边等于：

注意：这里我们加入了一个额外的常数。在方程等号两边同时添加待定常数显得累赘，因此可以通过移项整理成一个待定常数。在这个例子中，满足运动方程的表达式是：

怎样确定常数 c 呢？答案是利用初始条件。例如，如果我们知道质点在 t =3时刻从 x =1开始运动，那么就可以把这些值代入方程，从而得到：

进而解得 c ：

亚里士多德的运动方程是确定性的，但是它是可逆的吗？在第1讲中，我解释了“可逆”意味着如果让指示状态演变的箭头反转方向，那么得到的新的运动定律也是确定性的。当时间是连续的时候，类似的反转箭头的步骤很简单，只需在方程中所有出现时间变量的地方，用带负号的时间变量代替。这个效果有些像交换过去和未来。把 t 换成- t 同样包括改变微小时间增量的符号。也就是说，每个Δ t 必须换成-Δ t 。实际上，你可以在微分尺度d t 改变符号。反转箭头意味着把d t 变为-d t 。我们回到亚里士多德的方程：

并改变时间变量的符号，得到：

等号左边是一个力，不过是在- t 时刻而不是 t 时刻计算得到的。但是，如果 F （ t ）是一个已知函数，那么 F （- t ）也是已知的。在可逆问题中，力依然是负时间的已知函数。

在等号右边我们用-d t 代替了d t ，也就改变了整个表达式的符号。实际上，等号右边的负号可以移到左边：

这个式子的含义很明显： 运动的逆向方程和原来形式一致，但是有着不同的力随时间变化的函数 。结论很明确：如果亚里士多德运动方程对于未来是确定性的，那么它对于过去同样是确定性的。但是亚里士多德运动方程的问题不在于一致性，而在于它本身就是错误的。

令人感到有趣的是，亚里士多德运动方程确实有一个应用——虽然不是作为基本定律，而是作为近似定律。摩擦力确实存在，而且很多情况下它很重要，以至于亚里士多德的直觉——“如果你停止推一个物体，那么它就会停止运动”基本正确。摩擦力不是基本力。它是一个物体与非常多的微小物体——原子和分子（体积太小、数目太大而无法追踪）互相作用的结果。因此我们把这些暗藏的自由度平均化，得到的结果就是摩擦力。当摩擦力非常显著时，例如，一块石头在泥中运动时，亚里士多德运动方程对其描绘得已经称得上非常精准了，但仍有局限。在这种情况下，决定力和速度的不是质量，而是一种被称作黏性系数的量。对于黏性系数，我们在此先不做讨论。 aS26zKJp75e+LkQtwHceCfMYWL/9RDomb+mj7re5VTrP+zPCuPsbSTYVUmyXXyov