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分部积分

求解积分问题有一些技巧,其中一种是查积分表,另一种是学习使用Mathematica。但是如果你都不想用,而且不能自己识别出原函数,那么可以用最经典的技巧——分部积分(integration by part)。这个技巧是微分乘法法则的逆向应用。回想第2讲中讲到的对一个由两个函数相乘得到的函数进行微分,应当使用乘法法则:

下面我们对上式等号两边从 a b 进行的积分:

等号左边的积分很容易求得。某个导数的积分( f g 的导数)等于函数自身。等号左边等于:

f b g b )- f a g a

也常写成:

接下来把等号右边的一项移到等号左边:

虽然有时我们不能识别出积分中的原函数,但是可以发现被积函数刚好是一个函数 f x )和另一个函数 g x )的导数的乘积。也就是说,虽然我们不知道怎么解,但是经过检查发现积分可以写成公式等号右边的形式,然后就可能会幸运地识别出等号左边的积分原函数。

我们来举一个例子。假设我们要求解下面的积分:

在积分表中无法查到它的原函数,但是我们发现:

因此积分可以写成:

应用公式(7),原积分等价于:

到这里积分就很容易求解了。我们之前给出了 的结果——cos x 。剩下的交给你完成。

本讲经典力学练习

练习12: 完成求解

你可能会问这个技巧管用吗?答案是:它通常管用,但不总是管用的。祝你好运。 4N5q7ted7qtRVouEXxrvqx6hGKmFG0gSD1A7SWIQEDvySi7rao9X31NN4OEgK8xw

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