分部积分

求解积分问题有一些技巧，其中一种是查积分表，另一种是学习使用Mathematica。但是如果你都不想用，而且不能自己识别出原函数，那么可以用最经典的技巧——分部积分（integration by part）。这个技巧是微分乘法法则的逆向应用。回想第2讲中讲到的对一个由两个函数相乘得到的函数进行微分，应当使用乘法法则：

下面我们对上式等号两边从 a 到 b 进行的积分：

等号左边的积分很容易求得。某个导数的积分（ f 与 g 的导数）等于函数自身。等号左边等于：

f （ b ） g （ b ）- f （ a ） g （ a ）

也常写成：

接下来把等号右边的一项移到等号左边：

虽然有时我们不能识别出积分中的原函数，但是可以发现被积函数刚好是一个函数 f （ x ）和另一个函数 g （ x ）的导数的乘积。也就是说，虽然我们不知道怎么解，但是经过检查发现积分可以写成公式等号右边的形式，然后就可能会幸运地识别出等号左边的积分原函数。

我们来举一个例子。假设我们要求解下面的积分：

在积分表中无法查到它的原函数，但是我们发现：

因此积分可以写成：

应用公式（7），原积分等价于：

或

到这里积分就很容易求解了。我们之前给出了 的结果——cos x 。剩下的交给你完成。

你可能会问这个技巧管用吗？答案是：它通常管用，但不总是管用的。祝你好运。 ZTT+g3dA6kKgpA+FwVJlcHCjmV9PQ7HV6FV9WpvxYbQaAHwFF0gc5Cnnd8DXXpOZ