积分是什么

微分与变化率有关，积分则与很多微小增量的和有关。这种关系看上去不显而易见，但是确实存在。

我们从一个函数 f （ t ）的图像（如图2-4所示）开始讲起。

积分的核心问题是计算 f （ t ）定义的曲线与坐标轴围成的面积。为了让定义更精确，我们来看两个变量值 t = a 和 t = b 之间的函数，这两个值被称作积分限（limit of integration）。我们要计算的是图2-5上的阴影区域的面积。

为了计算该区域的面积，我们把阴影区域分割成非常小的矩形，然后再来求它们各自的面积之和（如图2-6所示）。

当然这是一个近似，不过当我们令矩形的宽度趋近于0时，这个近似也趋近精确。为了完成这个过程，我们首先把 t = a 和 t = b 之间的区间分成 N 个子区间，每个子区间的宽度等于Δ t 。当一个矩形在 t 点处时，它的宽度是Δ t 、高度等于 f （ t ）在那一点的值。这个矩形的面积δ A 等于：

δ A = f （ t ）Δ t

下面我们把所有独立的矩形面积加起来计算所求总面积的近似值。这个近似值等于：

其中大写希腊字母∑表示对由 i 定义的连续值的求和。例如，当 N =3，有：

这里 t _i 表示沿着 t 轴第 i 个矩形的位置。

为了得到精确的答案，我们令Δ t 趋近于0，也就是矩形的数目趋近于无穷大，来计算近似面积的极限。这个过程定义了 f （ t ）在 t = a 和 t = b 之间的定积分（definite integral）。我们把它写成：

符号∫被称作积分号（summa），它取代了求和号，就像在微分里d t 取代了Δ t 。函数 f （ t ）被称作被积函数（integrand）。

我们换一个记号，用 T 表示其中一个积分限。特别地，用 T 代替 b 从而得到积分：

其中，我们把 T 看作一个变量，而不是 t 的确定值。这个例子中的积分定义了一个 T 的函数， T 可以取 t 的任意值。因为当 T 取一个定值的时候积分也是一个定值，所以这个积分是 T 的函数。

因此可以用 f （ t ）定义另一个函数 F （ T ）。我们也可以令 a 变化，这里就不赘述了。函数 F （ T ）被称作 f （ t ）的不定积分（indefinite integral）。因为这个积分是从 a 到一个变量的积分，而不是从一个定值到另一个定值的积分，所以它是不定的。通常，我们把这种积分写成不带积分限的形式：

微积分基本定理（The fundamental theorem of calculus）是数学中最简单而优美的定理之一，揭示了积分和微分之间深刻的关系。该定理讲的是，如果 ，那么有：

为了证明它，我们给 T 增加一个微小增量，令其从 T 变到 T +∆ t 。因此，我们得到一个新的积分：

也就是说，在图2-6所示的阴影区域基础上，我们在 t = T 处增加了一个宽度为Δ t 的矩形。实际上， F （ T +Δ t ）- F （ T ）刚好是增加的矩形面积，即 f （ T ）Δ t 。所以有：

F （ T +∆ t ）− F （ T ）= f （ T ）∆ t

用这个式子除以∆ t 得到：

当计算令∆ t 趋近于0的极限时，我们可以得到与 F 和 f 关联的基本定理：

我们可以忽略 t 与 T 的差别，把这个式子简写成：

也就是说，积分和微分是逆运算： 某个函数的积分的微分是原始被积函数。

已知 F （ t ）的导数是 f （ t ），我们可以完全确定 F （ t ）吗？几乎可以，只差一点儿。问题在于给 F （ t ）加上一个常数不会改变它的导数。因此，已知 f （ t ）的条件下它的不定积分是不明确的，但差别只在一个常数。

我们求解几个不定积分来看看微积分基本定理是如何使用的。我们来求解幂函数 f （ t ）= t ⁿ 的不定积分。考虑到：

于是有：

或

我们需要做的是找到导数等于 t ⁿ 的函数 F ，这很容易。

在上一讲里，我们知道对任意 m 有：

如果我们用 m = n +1进行替换，上式便变成：

两侧同时除以 n +1得到：

因此，我们发现 t ⁿ 是 的导数。代入相关变量可以得到：

还缺少一个需要加到 F 上的任意常数。这个不定积分的结果应该写成：

其中 c 是一个常数，它需要通过其他方法确定。

这个待定的常数与另一个任意选取的我们记为 a 的积分终点密切相关。我们利用下面的式子看看 a 如何确定那个待定常数。

我们令两个积分限相等，即 T = a 。这个情况下，积分等于0。你可以用这个事实确定 c 。

一般而言，微积分基本定理可以写成：

另一种用一个等式表达积分基本定理的途径是：

换句话说，对导数积分得到它的原函数（取决于待定常数）。

下面给出一些积分公式：