运动的实例

假设一个质点从 t =0时刻开始按照下面方程式运动：

显然质点在 x 或 y 方向没有运动，只沿着 z 轴运动。常数 z （0）和 v （0）表示了它在 t =0时刻沿着 z 轴的初始位置和速度。这里 g 也可看作是常数。

我们下面通过求对时间的导数计算速度。

分量 x 和 y 的速度恒等于0。分量 z 的速度在开始的 t =0时刻等于 v （0）。换句话说， v （0）是速度的初始条件。

随着时间的推移，- gt 项不再等于0。最终这项的数值会超过初始速度，并且质点会沿着 z 轴的负方向运动。

下面我们通过再次求导数来计算加速度：

质点沿着 z 轴方向的加速度是一个负常数。如果 z 轴用来表示高度，那么该质点会像自由落体一样加速垂直下落。

接下来，我们考虑一个沿着 x 轴来回振荡的质点。因为另外两个方向上没有运动，所以我们忽略它们。一个简单的振荡运动可以用三角函数表示为：

x （ t ）=sin ωt

其中小写希腊字母 ω 是一个常数。 ω 越大，振荡越剧烈。这种运动被称为简谐运动（如图2-1所示）。

我们来计算速度和加速度。为了达到目的，我们需要计算 x （ t ）对于时间的微分。下面是对时间求导数的结果：

这里是一个乘积的正弦函数，我们可以用 b = ωt 代换这个乘积：

应用链式法则，有：

或

或

v _x = ω cos ωt

用相似的方法我们可以得到加速度：

a _x =− ω ² sin ωt

这里有一些有趣的事实。无论当 x 在最大值还是最小值处，速度都等于0。相反地，在 x =0处速度取最大或最小值。我们称该位置和速度 有90°相位差。这一点可以在代表 x （ t ）的图2-2和代表 v （ t ）的图2-3中发现。

同样地，位置和加速度也相关，它们都与sin ωt 成比例。但是注意加速度包含负号，负号意味着当 x 是正（负）时，加速度是负（正）。换句话说，无论质点在哪里，它的加速度都指向原点。用术语来说，位置与加速度有180°相位差。

接下来，我们考虑一个围绕原点做匀速圆周运动的质点。这个质点以恒定的速率按照圆形运动。为了描述这个运动，可以忽略 z 轴，只考虑在 x 、 y 平面上的运动。为了描述这个运动需要两个函数 x （ t ）和 y （ t ）。具体地说，我们令该质点做逆时针运动，并令轨道半径等于 R 。

把这个运动投影到两个坐标轴上会对分析问题有帮助。当这个质点绕原点运动，坐标值 x 在 x =- R 和 x = R 之间振荡，对于坐标值 y 同理。但是两个坐标值有90°的相位差，也就是当 x 取最大值时， y 等于0，反之亦然。

最一般的（逆时针）绕原点做匀速圆周运动时，可以用下面的数学表达式描述：

x （ t ）= R cos ωt

y （ t ）= R sin ωt

这里参数 ω 被称作角频率（angular frequency）。它定义为单位时间内角度改变对应的弧度值。它同样与完成完整圆周运动所需时长有关，这个时长定义为运动周期——与我们在上页本章练习6得到的一样：

现在可以容易地通过微分计算速度和加速度的分量：

这组公式展示了圆周运动一个很有趣的性质，牛顿曾用这个性质分析月球的运动规律： 圆周运动的加速度矢量与位置矢量平行，但是方向相反。换句话说，加速度矢量沿径向指向原点。

第2讲插曲 积分

“乔治，我喜欢反过来做事。那么，我们能反着做微分吗？”

“当然了，列尼。那叫作积分。” Va3W3vq0iPgvvcOnDkt78UL4qMbTqsQmv5kr0Ei24eUuVAxxxIk4LR0kY0MqJEjR