质点运动

质点运动的概念是一个理想化概念。没有物体可以小到成为一个点——电子也不能。但是，很多情况下我们可以忽略物体的体积并视其为点。例如，地球显然不是一个点，但当计算它围绕太阳运动的轨道时，即便忽略地球的体积仍能获得很高的精度。

给定空间坐标可以确定质点的位置，并且质点的运动可以通过其位置随着时间变化定义。数学上，我们可以把空间坐标分量定义为时间 t 的函数： x （ t ）， y （ t ）和 z （ t ）。

质点的位置同样可以被看作在 t 时刻分量为 x 、 y 和 z 的矢量。质点走过的路线——它的轨迹（trajectory）用 表示。经典力学的任务是利用动力学定理研究质点从某初始状态开始运动，相应的 的变化规律。除了质点的位置，另一个重要的量是它的速度。速度是一个矢量。定义速度需要微分学知识，我们可以按照如下情形进行。

考虑质点在 t 时刻和稍后 t +Δ t 时刻的位移。在这个时间区间内质点从 x （ t ）， y （ t ）， z （ t ）移动到了 x （ t +Δ t ）， y （ t +Δ t ）， z （ t +Δ t ）。或者用矢量表示，从 移动到了 。位移定义为：

Δ x = x （ t +Δ t ）- x （ t ）

Δ y = y （ t +Δ t ）- y （ t ）

Δ z = z （ t +Δ t ）- z （ t ）

或

位移是质点在微小时间段Δ t 内移动的微小距离。为了计算速度，我们用位移除以Δ t ，并计算当Δ t 趋近于0时两者商的极限。例如：

当然，这个式子就是 x 对 t 的导数的定义：

在某个量上面加一个点是表示这个量对时间的导数的常用简写形式。这种写法不仅可以用于表示质点位置对于时间的导数，还可以表示任何物理量对时间的导数。例如，如果 T 表示浴盆里的热水的温度，那么 就代表水温随时间的变化率。本书中会经常使用这个写法，所以请记住它。

反复书写 x ， y ， z 很烦琐，因此我们通常用简化的符号。坐标的三个分量集中用 x _i 表示，速度分量用 v _i 表示：

其中 i 代表了 x ， y ， z ，或者用矢量表示为：

速度矢量的模等于 ：

它表示了质点移动得有多快，但不能表示移动方向。模 被称作速率（speed）。

加速度是表示速度如何变化的物理量。如果物体以常速度矢量（后称常矢量）运动，那么它没有加速度。常矢量不仅暗示速率恒定，也暗示了方向恒定。无论速度的模还是方向改变，你都会感受到加速度。实际上，加速度是速度对时间的导数：

或用矢量表示为：

因为 v _i 是 x _i 对时间的导数， a _i 是 v _i 对时间的导数，所以加速度是 x _i 对时间的二阶导数：

其中两个点代表对时间的二阶导数。 RK8qpvQGwseuyi4y1Dc70iAjU8Vup5082XebpD/yA2EuwuKVrSiUEo02++KHxfUz