数学插曲：微分学

《理论最小值：经典力学》这本书里我们主要研究的是随时间变化的事物。经典力学主要处理随时间平滑演变的问题——平滑的数学术语叫作连续。不同于第1讲中的频闪观测式的变化，更新系统状态的动力学定律涉及连续变化的时间。因此，我们会对独立变量 t 的函数感兴趣。

为了处理数学上的连续变化，我们要用到微分。微分涉及极限概念，所以我们先来了解极限的概念。假设我们有一个数列 l ₁ ， l ₂ ， l ₃ ……这组数列越来越接近某个值。例如，0.9，0.99，0.999，0.9999……这组数列的极限是1。数列中没有元素等于1，但是它们越来越接近那个值。为了表示这种关系，我们可以这样写：

用语言描述上述公式， L 是当 i 趋近无穷大时 l _i 的极限。

我们可以把同样的概念应用到函数上。假设有一个函数 f （ t ），我们想描述当 t 趋近某个值 a 的时候， f （ t ）会发生什么样的变化。如果当 t 趋近 a 的时候， f （ t ）会任意地接近 L ，则称 L 是当 t 趋近 a 时 f （ t ）的极限。可以用公式表示为：

令 f （ t ）是变量 t 的函数， f （ t ）随 t 变化。微分研究函数的变化率。我们的想法是从 f （ t ）处于某时刻的值开始，微小地改变时间，然后观察 f （ t ）变化了多少。定义变化率为 f 值的变化相对 t 的变化的比率。我们用大写希腊字母Δ表示值的变化。 t 的变化记作Δ t （注意这里不是Δ× t 而是表示 t 值的变化）。经过Δ t 的变化区间， f 从 f （ t ）变化到了 f （ t +Δ t ）。 f 的变化表示为Δ f ，它可以这样计算：

Δ f = f （ t +Δ t ）- f （ t ）

为了精确地定义在 t 时刻的变化率，必须让Δ t 趋近于0。当然，这样做也会令Δ f 趋近于0。但如果这时用Δ f 除以Δ t ，这个比率就会趋近一个极限，这个极限被称作 f （ t ）对 t 的导数，可以写成：

一个严谨的数学家也许不同意这种 表示两个微分比率的概念，但是用这种写法你几乎不会犯错。

我们来计算几个导数，从 t 的幂函数开始。特别地，我们用计算 f （ t ）= t ² 的导数演示计算方法。我们首先应用公式计算 f （ t +Δ t ）：

f （ t +Δ t ）=（ t +Δ t ） ²

我们可以通过直接相乘或者应用二项式定理计算（ t +Δ t ） ² ，两种方法都会得到：

f （ t +Δ t ）= t ² +2 t Δ t +Δ t ²

用上面的公式减去 f （ t ）得到：

用这个结果除以Δ t ：

可以很容易地计算出，当Δ t →0时，这个式子的极限。第一项不依赖Δ t ，所以保持不变，但是第二项趋近0，因此可以消去。记住，当计算导数的时候，可以忽略上式中Δ t 和它的高阶项。因此：

所以 t ² 的导数是：

接下来我们考虑一般的幂函数， f （ t ）= t ⁿ 。为了计算它的导数，我们需要计算 f （ t +∆ t ）=（ t +∆ t ） ⁿ 。这里要用到高中代数知识：这个式子的结果可以应用二项式定理得到。已知两个数 a 和 b ，如果计算（ a + b ） ⁿ ，那么应用二项式定理可以得到：

这个展开式有多少项？如果 n 是整数，那么这个展开式就有 n +1项。但是，二项式定理具有一般性，实际上 n 可以是任意实数或者复数。如果 n 不是整数，那么这个展开式有无穷多项，它是一个无穷级数。令人高兴的是，这里的计算只用到前两项。

为了计算（ t +Δ t ） ⁿ ，我们用 a = t 和 b =Δ t 对上式进行替换：

求极限时，上式中省略号代表的项趋近于0，因此可以省略。

用 f （ t +Δ t ）减去 f （ t ）（或者 t ⁿ ），

用Δ f 除以Δ t 得到：

令Δ t →0可以得到导数：

重点是无论 n 是否为整数，这个公式都成立， n 可以是任意实数或者复数。

有一些导数的特例：如果 n =0，那么 f （ t ）恒等于1。对于保持不变的常函数，它的导数恒等于0。如果 n =1，那么 f （ t ）= t ，它的导数等于1——某个变量对其自身求导数时，总会得到这个结果。下面是一些幂函数的导数：

为了后面内容的方便，这里给出其他一些函数的导数：

关于上面公式（2）的第三个式子 有一点说明：当 t 是整数的时候函数 e ^t 的意义显而易见，例如 e ³ = e × e × e ；但是当 t 不是整数的时候，它的意义就不明显了。可以说，函数 e ^t 是利用它的导数等于自身这个性质定义的。因此，第三个式子实际上是一个定义。

应该记住关于导数的几条有用的规则，如果你想做一些挑战性的练习的话，还可以证明它们。第一条是，常数的导数等于0。这说得通，因为导数是某个函数的变化率，常数（通常用 c 表示）保持不变，因此：

常数与函数乘积的导数，等于常数乘以函数的导数：

假设我们有两个函数 f （ t ）和 g （ t ），它们的和也是函数，并且它的导数由下面的方程式推导出：

这条规则可以被称为加法法则（sum rule）。

两个函数的乘积是另一个函数，它的导数是：

不出意外地，这条法则被称为乘法法则（product rule）。

接下来，假设 g （ t ）是 t 的函数并且 f （ g ）是 g 的函数，这就使得 f 成为 t 的隐函数（implicit function）。如果你想计算当 t 等于某个值时 f 的取值，那么你首先要计算 g （ t ），知道了 g 再计算 f （ g ）。可以很容易地计算 f 对 t 的导数：

这被称作链式法则（chain rule）。如果导数真的是比率的话这个式子显然成立。因为如果这样，上式中分子和分母的d g 可以消去。事实上，直觉的想法就是这个例子的正确答案。使用链式法则的时候有很重要的一点需要记住，那就是你引入了中间函数 g （ t ）并用 f （ g ）化简了 f （ t ）。例如：

f （ t ）=ln t ³

如果我们需要求 ，那么对数函数中的 t ³ 就会造成麻烦。因此引入中间函数 g = t ³ 从而得到 f （ g ）=ln g ，然后应用链式法则求解：

用前面给出的常用函数导数公式可得 以及 ，因此：

用 g = t ³ 代换上式中的 g 得到：

这就是链式法则的使用方法。

你可以应用上面的几个规则计算很多函数的导数，而且它们基本上是微分全部的规则。