矢量

矢量（vector）符号是另一个我们假设你之前见过的数学概念。不过，为了让这一节课的内容解读得更顺利，我们来复习一下普通三维空间中的矢量符号。

矢量可以认为是空间中既有长度，长度可称为模（magnitude），也有方向的物理量。位移就是一种矢量。如果一个物体从某个初始地点移动，仅仅知道它移动了多远还不足以确定它的终止位置，还需要知道位移的方向。位移是矢量的最简单实例。如图1-27所示，直观上矢量可以用一个有长度和方向的箭头表示。

书写上，矢量用带箭头的符号表示。因此位移可以表示为 。矢量的模（或长度）用绝对值符号表示。矢量 的长度表示为 。

我们可以对矢量进行运算。首先，你可以用矢量乘以实数。当你在使用矢量的时候你经常会遇到这样的实数，它们有一个特别的名字——标量（scalar）。用正数乘以矢量只相当于用这个数缩放矢量的长度。但是，你也可以用负数乘以矢量来反转矢量的方向。例如，矢量 在长度上是 的2倍，但它却指向相反的方向。

矢量可以相加。为了求 与 的和，把它们按照图1-28所示放在一起，构成一个平行四边形的两条临边（这种方法保留了它们的方向）。这两个矢量的和就是这两条临边所夹对角线的角度与方向构成的矢量。

如果矢量可以相加，而且可以乘以负数，那么它们一定也可以相减。

矢量同样可以用分量形式表示。我们首先建立三条互相垂直的坐标轴 x 、 y 、 z 。接下来我们定义沿着坐标轴方向且具有单位长度 的三条单位矢量（unit vector）。和坐标轴同向的单位矢量被称作基矢量（basis vector）。笛卡儿坐标轴中的基矢量习惯上记作 、 和 （如图1-29所示）。一般情况下，当我们使用（ x ₁ ， x ₂ ， x ₃ ）表示坐标轴时，用 、 和 表示基矢量，其中^（脱字符caret）表示单位矢量（或基矢量）。基矢量很有用，因为任何矢量都可以用它们写成如下形式：

V _x 、 V _y 和 V _z 是用来组合基矢量从而构成矢量 的数值系数，它们也叫作 的分量（components）。我们可以称公式（7）为基矢量的线性组合（linear combination）。这是一种优雅地描述基矢量与系数相组合的方法。矢量分量可正可负。我们还可以用列出各个分量的形式表示矢量——写成（ V _x ， V _y ， V _z ）。矢量的大小可以使用其分量以三维毕达哥斯拉定理求得：

我们可以用标量 α 乘以矢量，以分量形式表示时就是用 α 乘以每个分量：

我们可以把两个矢量的和写成对应分量的和的形式：

矢量可以相乘吗？可以，而且有多种方式。其中一种乘积形式——叉积，可以得到另一个矢量。我们暂时不讨论叉积，只讨论另一种乘积形式——点积（dot product）。两个矢量的点积得到一个数，即一个标量。假设有矢量 和 ，他们的点积定义为：

这里 θ 是矢量之间的夹角。简而言之，点积是两个矢量的模以及夹角余弦值的乘积。

点积同样可以使用分量形式定义为：

当已知矢量分量的时候，这种方法可以方便地计算点积。

点积的一个重要性质是，当两个矢量正交（orthogonal，互相垂直）时点积等于0。牢记这个性质，因为我们会利用它证明矢量正交。