简单动力学系统和状态空间

客观物质——包括粒子、场、波等的集合被称作系统。宇宙系统或者与外界完全孤立的系统叫作封闭系统。

我们先来讨论几个简单的封闭系统，以此理解确定性和可逆性的概念。它们比物理学家研究的系统简单得多，但它们满足简化版的经典力学定律。我们从一个非常简单的例子入手。想象一个只有一种状态的抽象物体，它可以是一枚粘在桌子上的硬币——一直正面朝上。在物理学术语中，一个系统的全部状态的集合叫作它的状态空间（state-space）。状态空间不是一般的空间，它是一个数学集合，其中的元素代表系统可能出现的状态。这个例子中，因为系统只有一种状态，所以状态空间只有一个元素——正面（Head），简写为“正”（H）。我们可以很轻松地预测这个系统的未来：它不会发生任何改变，对它的任意观测结果总是“正”。

下一个简单系统的状态空间包含两个元素。在这个例子里，我们有一个物体和它的两种状态。想象有一枚硬币，它可以正面朝上（“正”）或者反面（Tail）朝上，简称“反”（T）。如图1-1所示。

在经典力学中，我们可以假设系统平稳地演化，不会出现跳跃或中断，这样的行为被称作连续（continuous）。显然，你不可能平稳地改变硬币的正反面。在这个例子里，改变必须以离散的跳跃形式发生。所以，我们假设时间以用整数表示的离散形式存在，一个离散演化的世界可以被称作频闪观测式的世界（stroboscopic） 。

一个随时间演化的系统被称作动力学系统（dynamical system）。一个动力学系统不仅由状态空间组成，还包含运动定律（law of motion），也可称作动力学定律（dynamical law）。动力学定律是一种规则，它可以在已知系统当前状态条件下告诉我们下一个状态。

其中，一种非常简单的动力学定律是：无论系统在任意时刻的状态如何，它的下一个状态都保持不变。对于前面的例子来讲，硬币可能有两种状态：“正-正……”和“反-反……”。

另一种动力学定律规定：不管系统当前状态如何，它的下一个状态都与之相反。我们可以用图描述这两种定律。图1-2描述了第一种定律，其中从“正”出发的箭头回到“正”、从“反”出发的箭头回到“反”。它可以轻松地预测系统的未来：如果系统以“正”开始，它会一直保持“正”；如果以“反”开始，它则会一直保持“反”。

图1-3是上述第二种可能动力学定律的示意图，其中箭头由“正”指向“反”，或由“反”指向“正”。你仍然可以预测系统的未来。比如，如果系统以“正”开始，那么它的状态会是“正-反-正-反-正-反……”；如果以“反”开始，那么状态会是“反-正-反-正-反-正……”。

可以把这些动力学定律写成方程式。描述系统的变量被称作自由度（degree of freedom）。上面的例子中的硬币有一个自由度，它可以用希腊字母 σ 表示。只有两种可能的值： σ =1或 σ =−1，分别代表“正”“反”。我们同样可以用符号追踪时间。当处理随时间连续演化的问题时，我们可以用符号 t 表示时间。这里我们研究的问题是离散演化的，因此用 n 表示时间。系统在 n 时刻的状态用 σ （ n ）表示，它表示 σ 在 n 时刻的值。

我们写出上面两个定律的方程式。第一种定律规定状态保持不变，方程式是：

σ （ n +1）= σ （ n ）

也就是说，无论 σ 在第 n 时间步等于何值，在下一步它将取相同的值。

第二种定律的方程式是：

σ （ n +1）=− σ （ n ）

表示每过一个时间步，系统的状态发生反转。

上述例子中系统未来的状态完全由初始状态决定，描述这种规律的定律是确定性的。经典力学中所有基本定律都是确定性的。

为了让事情更有趣，我们来试试增加状态的数量使系统一般化。我们不用硬币，而用一个六面骰子，这样就有了6种可能状态（如图1-4所示）。

现在我们有非常多可能的定律，而且它们难以用语言，甚至难以用方程式描述。最简单的办法是采用如图1-5一样的图来呈现。图1-5表示，已知系统在第 n 时间步的状态数值，在 n +1时间步状态数值增加一个单位。这个规则在状态数值达到6之前都适用，在这之后图1-5说明状态数值返回1并重复这套模式。这种无限重复的模式被称作循环（cycle）。例如，如果我们从3开始，那么历史就是：3，4，5，6，1，2，3，4，5，6，1，2……我们称这个模式为动力学定律1。

图1-6描述了另一种定律——动力学定律2。它看起来比上一个定律混乱，但逻辑上是一样的——系统状态在6种可能性中无限循环。如果我们重新给这些状态命名，那么动力学定律2就可以和动力学定律1完全一样。

不是所有定律都有一样的逻辑，例如，图1-7所示的动力学定律3。动力学定律3有两个循环，如果从一个循环开始，那么就不能跳到另一个。不过这个定律也是确定性的，无论从哪里开始，系统的未来都是确定的。例如，如果系统从状态2开始，那么它的历史就会是：2，6，1，2，6，1……它不会跳到5。如果系统从5开始，那么历史就是：5，3，4，5，3，4……并且不会跳到6。

图1-8描述的动力学定律4包含3个循环。

写出6种状态系统的所有可能的动力学定律会花费很长时间。