2.13 习题

1．请判断下列信号是周期信号还是非周期信号，能量信号还是功率信号。

（1） s ₁ （ t ）=e ^{- t} （2） s ₂ （ t ）=sin（5π t ）+2cos（8π t ）

（3） s ₃ （ t ）=sin（2π t ）cos（200π t ） （4） s ₄ （ t ）=5cos（2π t ）， t ≥0

2．试求题图2-1a、b所示两种情况下单个矩形脉冲的频谱密度、能量谱密度、自相关函数及其波形、信号能量。

3．已知 s （ t ）的频谱函数如题图2-2所示，设 f ₀ =5 f _s ，试画出 s （ t ）cos（2π f ₀ t ）的频谱函数图。

4．已知功率信号 s （ t ）= A sin（200π t ）cos（2000π t ），试求该信号的平均功率、功率谱密度和自相关函数。

5．正弦波经过半波整流后的信号波形如题图2-3所示，求该信号的傅里叶级数展开式。

6．已知某信号的频谱函数为Sa ² （π fτ ），求该信号的能量。

7．已知随机变量 X 的概率密度函数为 f （ x ）= A e ^{-| x |} ，求：（1） A 的值；（2）数学期望和方差。

8．试求下列均匀概率密度函数的数学期望和方差：

9．试求下列瑞利概率密度函数的数学期望和方差：

10．具有上题所示的瑞利概率密度函数，已知方差是7，那么均值是多少？并求随机变量大于均值，而又小于10的概率是多少？

11．设（ X ， Y ）的二维概率密度函数为

f （ x ， y ）=4 xy exp（- x ² - y ² ） （ x ≥0， y ≥0）

求 的概率密度函数。

12．两个高斯随机变量 X 和 Y ，设它们的均值都是0，方差都是 σ ² 。它们的联合概率密度函数为

（1）证明上式中的 ρ 是 X 和 Y 之间的相关系数。

（2）证明当 ρ =0时， X 和 Y 是统计独立的。

13．设随机变量 X 、 Y 和随机变量 θ 之间的关系为： X =cos θ ， Y =sin θ ，并设 θ 在0～2π范围内均匀分布，试说明 X 和 Y 不是统计独立的，但却是不相关的。

14．设随机过程 ξ （ t ）可表示成 ξ （ t ）=2cos（2π t + θ ），式中 θ 是一个离散随机变量，且 P （ θ =0）=1/2， P （ θ =π/2）=1/2，试求数学期望 E _ξ （1）及自相关函数 R _ξ （0，1）。

15．题图2-4给出了随机过程 X （ t ）、 Y （ t ）的样本函数。假设样本函数出现的概率相等。

（1）试求 a _X （ t ）= E { X （ t ）}和 R _X （ t ， t + τ ）。过程 X （ t ）是广义平稳的吗？

（2）试求 a _Y （ t ）= E { Y （ t ）}和 R _Y （ t ， t + τ ）。过程 Y （ t ）是广义平稳的吗？

16．已知 x （ t ）和 y （ t ）是统计独立的平稳随机过程，且它们的自相关函数分别为 R _x （ τ ）、 R _y （ τ ）。

1）试求乘积 z （ t ）= x （ t ） y （ t ）的自相关函数。

2）试求之和 z （ t ）= x （ t ）+ y （ t ）的自相关函数。

17．设有两个随机过程

S ₁ （ t ）= X （ t ）cos2π f ₀ t ， S ₂ （ t ）= X （ t ）cos（2π f ₀ t + θ ）

X （ t ）是广义平稳过程； θ 是对 X （ t ）独立的、均匀分布于（-π，π）上的随机变量。求 S ₁ （ t ）， S ₂ （ t ）的自相关函数，并说明它们的平稳性。

18．假定随机过程 X （ t ）和 Y （ t ）是独立并联合平稳的。试求

（1） Z （ t ）= X （ t ）+ Y （ t ）的自相关函数。

（2）在 X （ t ）和 Y （ t ）不相关时， Z （ t ）的自相关函数。

19．考虑随机过程 Z （ t ）= X cos2π f ₀ t - Y sin2π f ₀ t ，式中 X 、 Y 是独立的高斯随机变量，均值为0，方差是 σ ² 。试说明 Z （ t ）也是高斯的、均值为0、方差为 σ ² ，自相关函数 R _Z （ τ ）= σ ² cos2π f ₀ τ 。

20．考虑随机过程 Z （ t ）= X （ t ）cos2π f ₀ t - Y （ t ）sin2π f ₀ t ，其中 X （ t ）和 Y （ t ）是高斯的、零均值、独立的随机过程，且有 R _X （τ） = R _Y （τ） 。

（1）试证： R _Z （ τ ）= R _X （ τ ）cos2π f ₀ τ ，区别这个问题与上题。

（2）设 R _X （ τ ）= σ ² e ^{- a | τ |} （ a >0），求功率谱 P _Z （f） ，并作图。

21．设随机过程 ξ （ t ）= a cos（2π ft + θ ），式中 a 和 f 为常数， θ 是在（0，2π）内均匀分布的随机变量，试证明 ξ （ t ）是各态历经性的平稳随机过程。

22．已知 s _m （ t ）= m （ t ）cos（2π f _c t + θ ）是一个幅度调制信号。其中 f _c 为常数， m （ t ）为零均值平稳随机基带信号， m （ t ）的自相关函数和功率谱密度分别为 R _m （ τ ）和 P _m （ f ），相位 θ 为[-π，π]上均匀分布的随机变量，并且 m （ t ）和 θ 相互独立。

（1）证明 s _m （ t ）是广义平稳随机过程。

（2）求 s _m （ t ）的功率谱密度 P _s （ f ）。

23．一个均值为零的随机信号 s （ t ），具有如题图2-5所示的三角形功率谱。

（1）信号的平均功率 S 为多少？

（2）试证其自相关函数为 R （ τ ）= S · Sa ² （π Bτ ）。

（3）设 B =1MHz， K =1（μV） ² /Hz。试证信号的均方根值为 S =1mV，以及相距1μs的 s （ t ）的两个样值是不相关的。

24．在实际问题中常常遇到的一个自相关函数是 R （ τ ）= R （0）e ^{- a | τ |} cos2π βτ 。

（1）计算功率谱 P（f） 。

（2）取 α =1、 β =0.6时，画出 R（τ）/R（ 0）和 P（f） 的图形。

（3）考虑两种极限情况来验算（1）的结果：① α =0；② β =0。

25．频带有限的白噪声 n （ t ），具有功率谱 P _s （f） =10 ^-6 V ² /Hz，其频率范围为-100～100kHz。

（1）试证噪声的方均根约为0.45V。

（2）求 R _n （τ） ， n （ t ）和 n （ t + τ ）在什么间距上不相关？

（3）设 n （ t ）是服从高斯分布的，试求在任一时刻 t 时， n （ t ）超过0.45V的概率是多少？超过0.9V呢？

26．在时间 t 和 τ 秒之后的（ t + τ ），对相关函数为 R _n （τ） 的高斯噪声 n （ t ）进行抽样，分别称此二样值为 n ₁ 和 n ₂ 。

（1）写出联系所取二样值的二维联合概率密度函数 f（n ₁ ， n ₂ ）的表达式（表达式中的各个矩和相关系数都应以 R _n （τ） 表示）。

（2）对于上题中的噪声例子，设噪声是高斯分布的，具体写出二维概率密度函数 f（n ₁ ， n ₂ ）。取两种情况：① τ =2.5μs；② τ =5μs。每一种情况与一维概率密度函数 f（n ₁ ）、 f（n ₂ ）相比较。

27．试求白噪声（单边功率谱为 N ₀ ）通过具有高斯频率特性的谐振放大器后，输出噪声的自相关函数。该放大器的频率特性为 H （ f ）= K exp[-（ f - f ₀ ） ² /（2 β ² ）]，其中参数 β 是用来确定通带带宽的，并画出 R （ τ ）的图形。

28．若通过题图2-6的随机过程是均值为零、双边功率谱密度为 n ₀ /2的高斯白噪声，试求输出过程的一维概率密度函数。

29．将均值为0、自相关函数为（ n ₀ /2） δ （ τ ）的高斯白噪声加到一个中心角频率为 f _c ，带宽为 B 的理想带通滤波器上，如题图2-7所示。

（1）求出滤波器输出噪声的自相关函数及平均功率。

（2）写出输出噪声的一维概率密度函数。

30．已知噪声 n （ t ）的自相关函数 R _n （ τ ）=（ a/ 2）e ^{- a | τ |} ， a 为常数。

（1）求噪声的功率谱密度 P _n （ f ）和平均功率 S 。

（2）绘出 R _n （ τ ）及 P _n （ f ）的图形。

31．某基带传输系统，信道中存在高斯白噪声 n （ t ），其单边功率谱密度为 N ₀ （W/Hz），接收滤波器为截止频率 f _c 的理想低通，求接收滤波器输出噪声 X ₀ （ t ）的自相关函数 R ₀ （ τ ），若以2 f _c 的速率对 X ₀ （ t ）进行抽样，求样值的一维概率密度函数，并判断样值间是否统计独立。

32．已知一正弦波加窄带高斯过程的信号表达式为 r （ t ）= A cos（2π f _c t + θ ）+ n （ t ），并且有 n （ t ）= X （ t ）cos2π f _c t - Y （ t ）sin2π f _c t 。

（1）求 r （ t ）的包络平方 Z ² （ t ）的概率密度函数。

（2）证明 A =0时， r （ t ）的包络平方的相关函数为 。

提示，对零均值高斯随机变量，有下列等式：

E [ x ₁ x ₂ x ₃ x ₄ ]= E [ x ₁ x ₂ ] E [ x ₃ x ₄ ]+ E [ x ₁ x ₃ ] E [ x ₂ x ₄ ]+ E [ x ₁ x ₄ ] E [ x ₂ x ₃ ]。

33．设输入随机过程 X （ t ）是平稳的，功率谱为 P _X （ f ），加于题图2-8所示的系统，试证明：输出过程 Y （ t ）的功率谱为 P _Y （ f ）=2 P _X （ f ）（1+cos2π fT ）