2.10 通信系统中的噪声

通信过程中不可避免地存在噪声，它们对通信质量的好坏，甚至能否进行正常通信有极大的影响。噪声的来源很广，种类繁多，且表现形式多样。本节将对通信系统中常用的噪声及其模型展开分析。

2.10.1 高斯白噪声

在分析通信系统的抗噪声性能时，高斯白噪声是一种常用的噪声模型。因为通信系统中常见的热噪声就可近似为白噪声，且其瞬时取值服从高斯分布。下面我们具体介绍高斯白噪声的含义。

我们把功率谱密度在整个频域内都是均匀分布（相同大小）的噪声，称之为白噪声，即

式中， n ₀ 是一个常数，单位为“瓦/赫”（W/Hz），这里的“白”字其实是借鉴了白色光谱中“白”的含义。我们知道，白光是由各种频率（颜色）的单色光混合而成，且白色光谱中所有频率分量都相等，上面定义中的噪声功率谱密度与白色光谱类似，故称白噪声。

白噪声的自相关函数可借助于式（2-147）求得。这时，因为1⇔ δ （ t ），故白噪声的自相关函数为

显然，白噪声的自相关函数仅在 τ =0时才不为零；而对于其他任意的 τ 它都为零。这说明，白噪声只有在 τ =0时才相关，而它在任意两个不同时刻上的随机变量都是不相关的。

需要注意的是，如果只考虑有物理意义的正频率，白噪声的功率谱密度也可以表示为

通常我们把式（2-198）称为双边功率谱密度，式（2-200）称为单边功率谱密度。白噪声的自相关函数及其功率谱密度示意图如图2-20所示。

可以看出，理想的白噪声具有无限带宽，因而其能量为无限大，这在现实世界是不可能存在的。所以白噪声是一种人为构造的理想化噪声模型，采用这种模型可以使问题的分析大大简化。在实际中，只要噪声的功率谱密度均匀分布的范围远远大于通信系统的工作频带，就可以将其视为白噪声，并且实践也证明了这种近似是合理的。

如果白噪声瞬时取值服从高斯分布，就称之为高斯白噪声。由高斯过程的性质可知，高斯白噪声任意两个不同时刻的取值之间不相关，因而也是统计独立的。

实际中我们还经常用到加性高斯白噪声（Additive White Gaussian Noise，AWGN）的概念，从名称上看它包含了3层含义：①加性，即噪声与信号是叠加关系，对信号造成的影响属于加性干扰；②高斯，即噪声的瞬时取值概率分布服从高斯分布；③白，即噪声的功率谱密度在整个频率范围内均匀分布（大小相同）。

2.10.2 带限白噪声

如果理想白噪声通过一个带限滤波器，则会得到带限白噪声。下面我们分析几种不同的带限白噪声。

1．理想低通白噪声

白噪声通过理想低通（lowpass）滤波器后得到的噪声称为理想低通白噪声。设理想低通滤波器的传输特性为

根据随机过程通过线性系统后的功率谱公式（2-175），白噪声输入到低通滤波器后，低通滤波器输出端噪声的功率谱为

其波形如图2-21a所示。对式（2-201）所示的功率谱密度求积分可得到低通滤波器输出端的噪声功率，当白噪声的均值为零时，噪声功率与方差相等，此时低通白噪声的方差 为

对式（2-201）所示的功率谱密度求傅里叶反变换，可得低通白噪声的自相关函数 R _LP （ τ ）为

自相关函数 R _LP （ τ ）的波形如图2-21b所示。它是Sa（ x ）函数，有等间隔的零点。当 τ =± k/ （2 B ）（ k =1，2，3，…）时， R _LP （ τ ）=0。这个结论的物理意义是：如果对低通白噪声以1/（2 B ）等间隔抽样（由第8.1节可知，此时满足抽样定理要求），则抽样得到的各随机变量之间是不相关的，如果是高斯白噪声，则这些随机变量之间也是相互独立的。

2．理想带通白噪声

白噪声通过理想带通（bandpass）滤波器后的输出噪声称为带通白噪声。设理想带通滤波器的中心频率为 f _c ，带宽为 B ，传输特性为

则带通白噪声的功率谱密度 P _BP （ f ）为

其波形如图2-22a所示。

同样当白噪声的均值为零时，噪声功率与方差相等，此时带通白噪声的方差 为

对式（2-203）求傅里叶反变换，可得带通白噪声的自相关函数 R _BP （ τ ）为

其波形如图2-22b所示。带通白噪声的自相关函数是以 n ₀ B Sa（π Bτ ）为包络，再填进频率为 f _c 的载波组成。由图可见，使 R _BP （ τ ）=0的 τ 值很多，以这样的 τ 为间隔对带通白噪声取值，所得到的两个值是不相关的，当白噪声为高斯分布时，这两个值之间也是独立的。

3．窄带高斯白噪声

如果带通滤波器的带宽 B ≪ f _c ，则称其为窄带滤波器，若高斯白噪声通过该滤波器，则输出的噪声就是窄带高斯白噪声。

现在假设窄带高斯白噪声的均值为0，则可直接利用2.9节窄带随机过程得出的结论来描述，即在时域上它可表示为 n （ t ）= n _c （ t ）cos（2π f _c t ）- n _s （ t ）sin（2π f _c t ），其中 n _c （ t ）为同相分量， n _s （ t ）为正交分量，且它们都是高斯分布的，均值都为0，方差 、 与 n （ t ）的方差 相同，由式（2-204）可知 ，所以 ，这个结论在后面分析通信系统抗噪声性能时经常用到。

2.10.3 正弦波加窄带高斯噪声

在数字调制系统中，常用正弦波作为载波来完成调制。经过信道传输后，接收端通常会采用一个带通滤波器来降低带外噪声对系统性能的影响，带通滤波器的输出正是正弦波已调信号和窄带高斯噪声的混合波形，因此，分析正弦波叠加窄带高斯噪声后的统计特性，对深入研究这类实际问题有很强的指导意义。

正弦波和窄带高斯噪声的混合信号可表示为

式中， n （ t ）= x （ t ）cos（2π f _c t ）- y （ t ）sin（2π f _c t ）为窄带高斯过程，其均值为零；正弦波的 θ 在（-π，π）上均匀分布，且假定振幅 A 和频率 f _c 已知。显然，信号 r （ t ）的包络函数为

令 z _c （ t ）= A cos θ + x （ t ）， z _s （ t ）= A sin θ + y （ t ），则有

利用2.9节的结果，如果 θ 值已给定，则 z _c 及 z _s （即 z _c （ t ）和 z _s （ t ）在某时刻的取值）都是相互独立的高斯随机变量，故有

E （ z _c ）= A cos θ ， E （ z _s ）= A sin θ

D （ z _c ）= D （ z _s ）= σ ² （即为 n （ t ）的方差）

所以，已给定相位 θ 为条件的 z _c 及 z _s 的联合密度函数为

因为式（2-206）可以改写成 r （ t ）= z （ t ）cos（2π f _c t + φ ）的形式，所以在某时刻其包络随机变量为

而其相位随机变量为 φ =arctan（ z _s /z _c ），-π≤ φ ≤π，于是

z _c = z cos φ ； z _s = z sin φ

所以，以相位 θ 为条件的 z 与 φ 的联合密度函数为

而以相位 θ 为条件的包络 z 的概率密度为

由于

这里 I ₀ （ x ）为零阶修正贝塞尔函数，容易看出

因此

由此看出， f （ z/θ ）与 θ 无关，故正弦波加窄带高斯过程的包络概率密度函数为

这个概率密度函数称为广义瑞利分布，也称莱斯（Rice）分布。

分析式（2-208）可以得出包络分布 f （ z ）的一些特点。首先令 γ = A ² /2 σ ² ，即 γ 为正弦信号的平均功率与窄带高斯噪声的平均功率之比（信噪比），显然，包络的分布 f （ z ）跟信噪比有关，下面我们看两种特殊情况。

1）当信噪比 γ 很小时，信号幅度 A →0，由于 I ₀ （0）=1，所以式（2-208）近似为式（2-103），即包络由莱斯分布退化为瑞利分布。

2）当信噪比 γ 较大时，信号幅度 A 很大，所以 Az/σ ² 很大；而当 x 较大（满足 x >0.2即可）时，有 ，所以式（2-208）近似为 ，即在 z = A 附近，包络近似服从高斯分布。

由此可见，正弦信号加窄带高斯噪声的包络 f （ z ）在小信噪比时近似为瑞利分布，在大信噪比时，近似为高斯分布，在其他一般情况下才服从莱斯分布。图2-23a给出了不同 γ 值时 f （ z ）的曲线。

现在来求 f （ φ/θ ），它可由下式得到：

上式经积分和整理后，得到

式中， ，见式（2-162）。

因为 f （ φ ， θ ）= f （ φ/θ ） f（θ） ，所以，正弦波加窄带高斯噪声的相位概率密度函数 f （ φ ）为

这个积分比较复杂，这里就不演算了。图2-23b为在给定 θ （图中 θ =0）的条件下 f （ φ/θ ）的曲线，它并不直接是 f （ φ ）的分布，但从中可以看出，相位分布 f （ φ ）也与信噪比 γ 有关。信噪比越高， f （ φ ）的分布越集中在 θ （图中为 θ =0）附近；随着信噪比的降低， f （ φ ）的分布越来越分散。这是因为，高信噪比时，合成信号的相位主要由正弦信号 A cos（2π f _c t + θ ）决定；当正弦信号越来越弱时，噪声的影响逐渐加大，从而导致合成信号的相位逐步发散，直至正弦信号完全被噪声淹没时，合成信号的相位变为均匀分布。