2.9 窄带随机过程

在通信系统中，许多实际的信号和噪声都是“窄带”的，即它们的频谱只限于以± f _c 为中心频率，带宽为Δ f ，且满足Δ f ≪ f _c 的条件，更确切地说，应该称之为高频窄带信号或噪声。例如，无线广播系统中的中频信号及噪声就是如此。如果这时的信号或噪声是一个随机过程，则称它们为窄带随机过程。为了表述窄带随机过程，我们需要推导出窄带信号的一般表示式。

窄带波形的定义可借助于它的频谱和波形示意图2-19来说明。图中，波形的频带宽度为Δ f ，中心频率为 f _c 。若波形满足Δ f ≪ f _c ，则称该波形为窄带的。

如果在示波器上观察这个过程的一个实现的波形，则它像一个包络和相位缓慢变化的正弦波。因此，窄带随机过程可用下式表示

式中， a _ξ （ t ）及 φ _ξ （ t ）是窄带随机过程 ξ （ t ）的随机包络函数及随机相位函数； f _c 是正弦波的中心频率。显然，这里的 a _ξ （ t ）及 φ _ξ （ t ）变化一定比载波cos（2π f _c t ）的变化要缓慢得多。

窄带过程也可用下式表示：

其中

这里的 ξ _c （ t ）及 ξ _s （ t ）通常分别称为 ξ （ t ）的同相分量及正交分量。由以上表述看出， ξ （ t ）的统计特性可由 a _ξ （ t ）、 φ _ξ （ t ）或 ξ _c （ t ）、 ξ _s （ t ）的统计特性确定。那么，如果已知 ξ （ t ）的统计特性，则 a _ξ （ t ）、 φ _ξ （ t ）或 ξ _c （ t ）、 ξ _s （ t ）的特性如何确定呢？下面我们分析一个实用的特例，即 ξ （ t ）为零均值平稳高斯窄带过程时，确定随机包络 a _ξ （ t ）和随机相位 φ _ξ （ t ）的统计特性，以及同相分量 ξ _c （ t ）和正交分量 ξ _s （ t ）的统计特性。

1．确定同相分量 ξ _c （ t ）和正交分量 ξ _s （ t ）的统计特性

对式（2-178）求数学期望

因为 ξ （ t ）是平稳的，且已假设均值为零，也就是说，对于任意的时间 t ，有 E [ ξ （ t ）]=0，故由式（2-181）得

再来看 ξ （ t ）的自相关函数。由式（2-181）可知，自相关函数可表示为

其中

，

，

因为 ξ （ t ）是平稳的，故有

R _ξ （ t ， t + τ ）= R _ξ （ τ ）

这就要求式（2-183）的右边与时间 t 无关，而仅与 τ 有关。若令 t =0，式（2-183）仍应成立，即

这时显然要求下式恒等：

所以，式（2-184）变为

再令 t =1/（4 f _c ），则同理可求得

由此我们证明了，如果 ξ （ t ）是平稳的， ξ _c （ t ）与 ξ _s （ t ）也必将是广义平稳的。

另外，由式（2-185）及式（2-186）还看到，要使这两个式子同时成立，则应有

可是根据互相关函数的性质，应有

将上式代入式（2-188），则得

上式表明， 是 τ 的一个奇函数，故

同理可证

于是，由式（2-185）及式（2-186）得到

即

又因为已证得 ξ _c （ t ）、 ξ _s （ t ）是平稳的，而由式（2-178）可得

当 t ₁ =0时， ξ （ t ₁ ）= ξ _c （ t ₁ ）

当 t ₂ =1/（4 f _c ）时， ξ （ t ₂ ）=- ξ _s （ t ₂ ）

因为 ξ （ t ）是高斯随机过程，故 ξ _c （ t ₁ ）、 ξ _s （ t ₂ ）也是高斯随机变量，从而 ξ _c （ t ）、 ξ _s （ t ）也是高斯随机过程。结合式（2-190）还可以看出，在同一时刻 ξ _c （ t ）、 ξ _s （ t ）的取值是不相关的，由于它们还是高斯型变量，因此也是统计独立的。

综上可得，同相分量 ξ _c （ t ）和正交分量 ξ _s （ t ）的统计特性具有如下结论：

1）一个均值为零、方差为 的平稳高斯窄带过程，它的同相分量 ξ _c （ t ）和正交分量 ξ _s （ t ）同样是平稳高斯随机过程，而且数学期望均为0，方差均为 。

2）对 ξ _c （ t ）、 ξ _s （ t ）在同一时刻上取样得到的随机变量 ξ _c 、 ξ _s 是不相关或统计独立的。

2．确定随机包络 a _ξ （ t ）和随机相位 φ _ξ （ t ）的统计特性

这里主要分析它们的一维分布函数。由上面的结论2）得知，同一时刻上同相分量 ξ _c 和正交分量 ξ _s 都为高斯变量且相互独立，且数学期望均为0，方差均为 ，所以它们的二维分布密度函数为

设 a _ξ 、 φ _ξ 的二维分布密度函数为 f （ a _ξ ， φ _ξ ），则根据概率论知识 ^[11] 有

利用式（2-179）及式（2-180）的关系，可得

所以，可得

注意，这里 a _ξ ≥0[因 a _ξ （ t ）≥0]，而 φ _ξ 在（0，2π）内取值。

再利用概率论中边际分布知识，可分别求得 f （ a _ξ ）及 f （ φ _ξ ）

可见，a _ξ 服从瑞利分布；而

由瑞利分布的性质可得，上式中的积分值为1，故

可见， φ _ξ 服从均匀分布。

结合式（2-195）、式（2-196）与式（2-197）可以看出， f （ a _ξ ， φ _ξ ）= f （ a _ξ ） f （ φ _ξ ），所以 a _ξ 、 φ _ξ 是统计独立的。

综上可得，随机包络 a _ξ （ t ）和随机相位 φ _ξ （ t ）的统计特性具有如下特点：

1）一个均值为零、方差为 的平稳高斯窄带过程，其包络 a _ξ （ t ）的一维分布是瑞利分布，而其相位 φ _ξ （ t ）的一维分布是均匀分布。

2）包络 a _ξ （ t ）与相位 φ _ξ （ t ）的一维分布是统计独立的。