2.8 平稳随机过程通过线性系统

在实际工程应用中，特别是在通信系统中，需要对信号进行采集、存储、变换、传输和处理，因而必须研究随机信号通过各类系统的情况，其本质就是研究随机过程通过系统后的输出特性。本节主要讨论平稳随机过程通过线性时不变系统后输出信号的统计特性，以及系统输入输出之间的一些重要关系。

在2.1.2节介绍了系统的分类，知道线性系统具有均匀性和叠加性，即满足式（2-8）和式（2-9）的特性。现在假设系统输入信号为 v _i （ t ），系统的冲激响应为 h （ t ），则对应的输出 v _o （ t ）等于输入信号与冲激响应的卷积，即：

如果 v _o （ t ）⇔ V _o （ f ）， v _i （ t ）⇔ V _i （ f ）， h （ t ）⇔ H （ f ），结合表2-2傅里叶变换的卷积特性有

如果考虑的线性系统是物理可实现的，由2.1.2节给出的定义可知，当 t <0时，有 h （ t ）=0，只有 t ≥0时， h （ t ）才有值，所以输出信号 v _o （ t ）可表示为

或

由式（2-170）看到，假设线性系统的输入是随机过程的一个实现 v _i （ t ），则必将获得一个系统响应 v _o （ t ）。这个 v _o （ t ）可以看成是输出随机过程的一个实现。因此，只要输入有界且系统是物理可实现的，则当输入是随机过程 ξ _i （ t ）时，便有输出随机过程 ξ _o （ t ），且有

假定输入 ξ _i （ t ）是平稳随机过程，现在来分析系统的输出过程 ξ _o （ t ）的统计特性。我们先确定输出过程的数学期望、方差及相关函数与功率谱密度，然后再讨论输出过程的概率分布问题。

1． ξ _o （ t ）的数学期望 E [ ξ _o （ t ）]

根据式（2-121）的定义，有

再根据平稳性假设， ξ _i （ t ）的数学期望应为常数，即 E [ ξ _i （ t - τ ）]= E [ ξ _i （ t ）]= μ _i ，故上式成为

因为

求得

所以

由此可见，输出过程的数学期望等于输入过程的数学期望与 H （0）相乘，并且 E [ ξ _o （ t ）]与 t 无关。

2． ξ _o （ t ）的自相关函数 R _o （ t ₁ ， t ₁ + τ ）

根据自相关函数的定义式（2-123），有

根据输入随机过程的平稳性，有

E [ ξ _i （ t ₁ - α ） ξ _i （ t ₁ + τ - β ）]= R _i （ τ + α - β ）

于是

可见，自相关函数只依赖时间间隔 τ ，而与时间起点 t ₁ 无关。由式（2-173）和式（2-174）可以看出，输出过程 ξ _o （ t ）也是广义平稳随机过程。

3． ξ _o （ t ）的功率谱密度 P _{ξ o} （ f ）

利用式（2-147），有

可见，系统输出功率谱密度是输入功率谱密度 P _{ξ i} （ f ）与 H （ f ） ² 的乘积。这是今后很有用处的一个结论。

【例2-15】 设某噪声的功率谱密度为 P _i （ f ）= n ₀ /2（-∞< f <∞），试求该噪声通过传递函数 H （ f ）为下式的理想低通滤波器后的功率谱密度、自相关函数及噪声功率：

解： 由 H （ f ）的表达式可知

，

根据式（2-175）得输出功率谱密度为

，

由于输出噪声的自相关函数 R _o （ τ ）⇔ P _o （ f ），所以

于是，输出噪声功率 N 即为 R _o （0），即

可见，输出的噪声功率与 、 n ₀ 及 f _H 成正比。

4．输出过程 ξ _o （ t ）的分布

原理上，在给定输入过程的分布的情况下，借助于式（2-171）总可以确定输出过程的分布。其中一个十分有用的情形是：如果线性系统的输入过程是高斯型的，则系统的输出过程也是高斯型的。

因为式（2-171）可以表示成一个和式的极限

由于 ξ _i （ t ）已假设成高斯型的，因此，在任一时刻上的每一项 ξ _i （ t - τ _k ） h （ τ _k ）Δ τ _k 都是一个高斯随机变量。所以，在任一时刻上得到的输出随机变量，将是无限多个（独立的或不独立的）高斯随机变量之和。由概率论可知道，这个“和”也是高斯随机变量。

于是得到，在任一时刻上的输出[如式（2-176）]随机变量是服从高斯分布的结论。更一般地说 ^[10，11] ，多维高斯随机变量的线性变换仍为多维高斯随机变量；高斯随机过程经线性变换后的过程仍为高斯的。必须注意，线性变换前后虽然保持高斯统计特性，但是它们的数学期望、方差和相关函数等数字特征均发生了变化。