2.7 高斯随机过程

2.7.1 高斯随机过程的概念

高斯随机过程又称正态随机过程，是实际应用中非常重要又普遍存在的随机过程。在信号检测、通信系统、电子测量等许多应用中，高斯噪声是最重要的一种随机过程，自始至终都必须考虑。此外，在许多特殊应用场合，通常假设讨论的对象具有高斯特性。高斯随机过程的统计特性及其线性变换具有许多独特的性质。所有这些，都促使人们深入研究这类随机信号与系统的各种性质与关系。

所谓高斯随机过程 ξ （ t ），即指它的任意 n 维（ n =1，2，…）概率密度函数由下式表示的随机过程，即

式中， a _k = E [ ξ （ t _k ）]， ， B 为归一化协方差矩阵的行列式，即

｜ B ｜ _jk 为行列式｜ B ｜中元素 b _jk 的代数余因子； b _jk 为归一化协方差（相关系数），即

2.7.2 高斯随机过程的性质

高斯随机过程从定义上看比较复杂，但在实际应用中，我们只需要掌握它的一些重要性质就可以了。

性质1：高斯随机过程的分布完全由其数字特征决定。这一点可以由式（2-154）看出，其 n 维概率密度函数仅由 n 个随机变量的数学期望、方差和两两之间的归一化协方差（相关系数）就可以确定。所以对于高斯随机过程，只需关注其数字特征就够了。

性质2：高斯随机过程若是广义平稳的，则也是严平稳的。因为如果高斯随机过程是广义平稳的，即其数学期望与时间无关，协方差函数只与时间间隔 τ 有关，而与时间起点无关，则它的 n 维分布也与时间起点无关，满足严平稳的条件。

性质3：如果高斯随机过程中的随机变量之间互不相关，则它们也是统计独立的。因为，如果各随机变量之间两两互不相关，则在式（2-155）中，对所有 j ≠ k 都有 b _jk =0，故式（2-154）变为

满足统计独立的条件。

性质4：高斯随机过程之和仍为高斯随机过程。

性质5：高斯随机过程通过线性系统，其输出仍为高斯随机过程。这一点在2.8节也会提到。

2.7.3 一维高斯分布与常用特殊函数

由式（2-154）可以得到高斯随机过程的一维概率密度函数，即

此式即为2.4.3节中的式（2-102）给出的高斯分布概率密度函数，其基本特点已在2.4.3节给出。一维高斯分布在实际中应用很广，下面我们将对其做进一步的讨论，并导出在分析通信系统性能时常用的一些特殊函数。

由式（2-102）以及图2-14和图2-15可以看出一维高斯分布概率密度函数 f （ x ）具有如下特点：

（1） f （ x ）关于直线 x = a 对称，即 f （ a + x ）= f （ a - x ）。

（2） f （ x ）在（-∞， a ）内单调上升，在（ a ，∞）内单调下降，且在点 a 处达到极大值 ，当 x →-∞或 x →∞时， f （ x ）→0。

（3） 。

（4）对不同的 a （固定 σ ），表现为 f （ x ）的图形左右平移；对不同的 σ （固定 a ）， f （ x ）的图形将随 σ 的减小而变高和变窄。

如果式（2-102）中 a =0， σ ² =1，则称这种高斯分布为标准化的（在2.4.3节已经说明，称为标准正态分布），这时有

现在我们再来看一维高斯分布函数，根据分布函数的定义式（2-92），显然它可表示为

该积分值无法使用闭合表达式计算，工程上一般将其变换成可以利用数学手册查出积分值的特殊函数来表示。常用的特殊函数有以下几种。

（1）概率积分函数 φ （ x ）

式（2-157）给出了标准正态分布的概率密度函数，通常我们将其概率分布函数称为概率积分函数 φ （ x ），即

显然 φ （ x ）是自变量 x 的递增函数，且 φ （0）=1/2， φ （∞）=1。利用 φ （ x ）的定义，式（2-158）的一维高斯分布函数可表示为

（2） Q 函数，其定义为 Q （ x ）=1- φ （ x ），即

显然 Q （ x ）是自变量 x 的递减函数，且 Q （0）=1/2， Q （-∞）=1，且当 x ≥0时，有 Q （- x ）=1- Q （ x ）。

（3）误差函数erf（ x ），其定义为

显然，erf（ x ）是自变量 x 的递增函数，且erf（0）=0，erf（∞）=1，erf（- x ）=-erf（ x ）。

（4）互补误差函数erfc（ x ），其定义为erfc（ x ）=1-erf（ x ），即

显然，erfc（ x ）是自变量 x 的递减函数，且erfc（0）=1，erfc（∞）=0，且erfc（- x ）=2-erfc（ x ）。当 x >>1（在工程上只要 x >2）时，即可近似有

在今后讨论通信系统抗噪声性能（分析误码率）时，经常会用到上述特殊函数，尤其是 Q 函数和互补误差函数erfc（ x ）用得更多。通过比较定义式（2-161）和式（2-163），还可以得到erfc（ x ）和 Q （ x ）的关系如下：

当变量 x 的值给定时，相关特殊函数的值可通过查询数学手册得到，并结合它们之间的关系式算出。为方便使用，附录中给出了部分erfc（ x ）和 Q （ x ）的值。 L0EkdaS94ee/DEn48fOD4wBQQBkxMh1CJi8c7aR7RNG9ZLn9xR4owxhqJ/FxSy3e