2.3 确知信号的时域性质

信号的相关性是现代通信中应用广泛的重要概念，它是波形之间相似性或关联性的一种测度，也是我们重点关注的时域性质之一。本节主要讨论确知信号在时域的自相关函数、互相关函数，以及它们与谱密度之间的关系。

2.3.1 能量信号的自相关函数

1．定义

能量信号 s （ t ）的自相关函数定义为

自相关函数表示的是一个信号与其自身延迟 τ 后的相关程度。由式（2-61）的定义可以看出，自相关函数是时间间隔 τ 的函数，与时间 t 无关。

2．性质和物理意义

1） R （0）。由于 ，所以当 τ =0时，能量信号的自相关函数 R （0）等于信号的能量 E 。

2） R（ 0）≥ R（τ） 。这一点可以从下面的分析得出。由于 ，将其展开：

所以有 R（ 0）≥ R（τ） 。从物理意义上， R（ 0）是完全相同的两个波形在时间上重合在一起时得到的相关函数，因此一定是最大的。

3） R（τ） = R（ - τ） ，即自相关函数是偶函数。由 R（τ） 的定义，有 ，令 x = t - τ ，代入可得

4） R（τ） 与能量谱密度 G （ f ）之间的关系。对式（2-61）求傅里叶变换，即

令 v = t + τ ，代入式（2-64），可得

其中， ，表示信号 s （ t ）的频谱密度。当 s （ t ）为实函数时，由式（2-35）可知， S （- f ）= S ^∗ （ f ），所以

其中， G （ f ）为能量信号 s （ t ）的能量谱密度。由式（2-66）可以看出，能量信号的自相关函数 R（τ） 与能量谱密度 G （ f ）构成了一对傅里叶变换，即 R（τ） ⇔ G （ f ）。

2.3.2 功率信号的自相关函数

1．定义

功率信号 s （ t ）的自相关函数定义为

对于周期性（周期为 T ₀ ）的功率信号 s （ t ），自相关函数可以改写为

2．性质和物理意义

1） R （0），由于 ，所以当 τ =0时，功率信号的自相关函数 R （0）等于信号的平均功率 P 。

2） R（ 0）≥ R（τ） 。这一点的分析与2.3.1节能量信号的分析类似，此处不再赘述。

3） R（τ） = R（ - τ） ，即自相关函数是偶函数。这一点的分析与2.3.1节能量信号的分析类似，这里不再赘述。

4） R（τ） 与功率谱密度 P （ f ）之间的关系。对于周期功率信号，由式（2-68）求傅里叶变换，并利用式（2-24），可得

由式（2-25）有

代入式（2-69），可得

对于非周期功率信号 s （ t ），取其截短信号 s _T （ t ），则 s _T （ t ）是能量信号，且有Γ [s _T （ t ）]= S _T （ f ），利用能量信号的结论：Γ [R _T （ τ ）]=| S _T （ f ）| ² ，再对其求 T →∞的极限，即

式（2-71）和式（2-73）表明，功率信号的自相关函数 R（τ） 和其功率谱密度 P （ f ）之间是傅里叶变换关系，即 R（τ） ⇔ P （ f ）。

【例2-6】 试求余弦信号 s （ t ）= A cos（2π f ₀ t + θ ）的自相关函数、功率谱密度和平均功率。

解： 信号 s （ t ）是周期性功率信号，根据式（2-68）的定义可得

利用三角变换积化和差公式，上式可变为

对上式做傅里叶变换（可参考表2-1），即可得其功率谱密度

而平均功率为 P = R （0）= A ² /2。

2.3.3 能量信号的互相关函数

1．定义

两个能量信号 s ₁ （ t ）和 s ₂ （ t ）的互相关函数定义为

互相关函数表示的是一个信号和延迟 τ 后的另一个信号间的相关程度。由式（2-74）的定义可以看出，互相关函数也是时间间隔 τ 的函数，与时间 t 无关。

2．性质和物理意义

1）若对所有 τ ，都有 R ₁₂ （ τ ）=0，则说明这两个能量信号间始终差别很大或极不相似，这种信号称为互不相关信号。

2）互相关函数与两个信号相乘的前后次序有关，即 R ₁₂ （τ） = R ₂₁ （- τ） ，这一点不难证明。若令 v = t + τ ，代入式（2-74）有

3）互相关函数与能量谱密度之间的关系。设Γ [s ₁ （ t ）]= S ₁ （ f ），Γ [s ₂ （ t ）]= S ₂ （ f ），由式（2-74）有

而 ，且对实信号有 ，所以

其中， 表示 s ₁ （ t ）和 s ₂ （ t ）的互能量谱密度。

式（2-77）表明，互相关函数 R ₁₂ （ τ ）与互能量谱密度 G ₁₂ （ f ）之间也为傅里叶变换对关系，即 R ₁₂ （ τ ）⇔ G ₁₂ （ f ）。

2.3.4 功率信号的互相关函数

1．定义

两个功率信号 s ₁ （ t ）和 s ₂ （ t ）的互相关函数定义为

如果两个功率信号都为周期信号，且周期均为 T ，则其互相关函数可定义为

同样功率信号的互相关函数也是时间间隔 τ 的函数，与时间 t 无关。

2．性质和物理意义

1）若对所有 τ ，都有 R ₁₂ （ τ ）=0，则说明这两个功率信号间始终差别很大或极不相似，也称它们为互不相关信号。例如两个频率不同的正弦波之间，或一个直流信号和一个正弦波之间，互相关函数都恒为零，它们都是互不相关的功率信号。

2）互相关函数与两个信号相乘的前后次序有关，即 R ₁₂ （τ） = R ₂₁ （- τ） ，这一点的证明与上一节的能量信号类似，这里不再赘述。

3）互相关函数与功率谱密度之间的关系。对周期相同的两个周期功率信号，由互相关函数的定义式（2-79），并结合周期函数的傅里叶级数展开式（2-24），可得

式中， f ₀ =1 /T ，引入冲激函数，并交换积分和求和的顺序，可得

其中， 表示信号的互功率谱密度。式（2-81）表明，周期功率信号的互相关函数 R ₁₂ （ τ ）与互功率谱密度 P ₁₂ （ f ）也为傅里叶变换对关系，即 R ₁₂ （ τ ）⇔ P ₁₂ （ f ）

2.3.5 归一化相关函数和相关系数

不管是能量信号还是功率信号，由前几节的定义可知，其自相关函数 R（τ） 和互相关函数 R ₁₂ （τ） 不仅与 τ 有关，还与波形的形状和幅度大小有关，所以不易直接从数值的大小判断相关程度。而用归一化相关函数和相关系数则可以比较明显地看出两个信号间相关的程度。

设信号为 s ₁ （t） 和 s ₂ （t） ，记 R ₁₁ （τ） 为 s ₁ （t） 的自相关函数， R ₂₂ （τ） 为 s ₂ （t） 的自相关函数， R ₁₂ （τ） 为 s ₁ （t） 、 s ₂ （t） 的互相关函数。

定义归一化自相关函数为

定义归一化互相关函数为

定义信号 s ₁ （t） 和 s ₂ （t） 的互相关系数为

可见，互相关系数与 τ 无关。互相关系数的值在-1到+1间变化，即-1≤ ρ ₁₂ ≤+1。当 s ₁ （t） = s ₂ （t） 时， ρ ₁₂ =1，这就是自相关系数；当 s ₁ （t） =- s ₂ （t） 时， ρ ₁₂ =-1；当 s ₁ （t） 与 s ₂ （t） 不相关时， ρ ₁₂ =0。

【例2-7】 已知 s ₁ （ t ）= A sin2π f ₀ t ， s ₂ （ t ）= A sin（2π f ₀ t +π），求 s ₁ （t） 与 s ₂ （t） 的互相关系数 ρ ₁₂ 。

解： R ₁₁ （0）= R ₂₂ （0）= S = A ² /2

所以， ρ ₁₂ =-1。 Y8Yme1adba5SvaIKGXzLLIKalElCvCQMx1H4N/G6THJ+mjElkK15fJoQiDAPqZZ8