第五章
“追赶上前”的话

从六个元素中取出三个来做题目，照理可成二十个。除了上面所说的不能成题的三个，以及前面已举出的三个，还有十四个。

“讲第三段的时候，我曾经说过，倘若你有了一张图，坐在屋里，看看表，又看看图，随时就可知道你出了门的弟弟离开你已有多远。这次我就来讲关于走路这一类的问题。”马先生今天这样开场。

例一： 赵阿毛上午八点由家中动身到城里去，每小时走三里。上午十一点，他的儿子赵小毛发现他忘了带应当带到城里去的东西，拿着从后面追去，每小时走五里，什么时候可以追上？

这题只需用第二段讲演中的最后一个作基础便可得出来。用横线表示路程，每一小段一里；用纵线表示时间，每两小段一小时。纵、横线用作表示单位1的长度，无妨各异，只要表示得明白。

因为赵阿毛是上午八点由家中动身的，所以时间就用上午八点作为起点，赵阿毛每小时走三里，他走的行程和时间是“定倍数”的关系，画出来就是 AB 线。

赵小毛是上午十一点动身的，他走的行程和时间对交在 C 点的纵、横线来说，也只是“定倍数”的关系，画出来就是 CD 线。

AB 和 CD 交于 E 点，就是赵阿毛和赵小毛父子俩在这儿碰上了。

从 E 点横看，得下午三点半，这就是解答。

“你们仔细看这个，比上次的有趣味。”趣味！今天马先生从走进课堂直到现在，都是板着面孔的，我还以为他有什么不高兴的事，或是身体不适呢！听到这两个字，知道他将要说什么有趣的话了，精神不禁为之一振。但是仔细看一看图，依然和上次的各个例题一样，只有两条直线和一个交点，真不知道马先生说的趣味在哪里。别人大概也和我一样，没有看出什么特别的趣味，所以整个课堂上，只有静默。打破这静默的，自然只有马先生：

“看不出吗？嗐！这不是真正的趣味‘横’生吗？”

“横”字说得特别响，同时右手拿着粉笔朝着黑板上的图横着一画。虽是这样，但我们还是猜不透这个谜。

“大家横着看！看两条直线间的距离！”因为马先生这么一提示，果然，大家都看那两条线间的距离。

“看出了什么？”马先生静了一下问。

“越来越短，最后变成了零。”周学敏回答。

“不错！但这表示什么意思？”

“两人越走越近，到后来便碰在一起了。”王有道回答。

“对的，那么，赵小毛动身的时候，两人相隔几里？”

“九里。”

“走了一小时呢？”

“七里。”

“再走一小时呢？”

“五里。”

“每走一小时，赵小毛赶上赵阿毛几里？”

“二里。”这几次差不多都是齐声回答，课堂里显得格外热闹。

“这二里从哪里来的？”

“赵小毛每小时走五里，赵阿毛每小时只走三里，五里减去三里，便是二里。”我抢着回答。

“好！两人先隔开九里，赵小毛每小时能够追上二里，那么几小时可以追上？用什么算法计算？”马先生这次向着我问。

“用二去除九得四点五。”我答。

马先生又问：“最初相隔的九里怎样来的呢？”

“赵阿毛每小时走三里，上午八点动身，走到上午十一点，一共走了三小时，三三得九。”另一个同学这么回答。

在这以后，马先生就写出了下面的算式：

3 ^里 ×3÷（5 ^里 －3 ^里 ）＝9 ^里 ÷2 ^里 ＝4.5小时——赵小毛走的时间

11 ^时 ＋4.5 ^时 －12 ^时 ＝3.5 ^时 ——即下午三点半

“从这次起，公式不写了，让你们去如法炮制吧。从图上还可以看出来，赵阿毛和赵小毛碰到的地方，距家是二十二里半。若是将 AE ， CE 延长，两线间的距离又越来越长，但 AE 翻到了 CE 的上面。这就表示，若他们父子碰到以后，仍继续各自前进，赵小毛便走在了赵阿毛前面，越离越远。”

试将这个题改成“甲每小时行三里，乙每小时行五里，甲动身后三小时，乙去追他，几时能追上？”这就更一般了，画出图来，当然和前面的一样。不过表示时间的数字需换成0，1，2，3……

例二： 甲每小时行三里，动身后三小时，乙去追他，四小时半追上，乙每小时行几里？

对于这个题，表示甲走的行程和时间的线，自然谁都会画了。就是表示乙走的行程和时间的线，经过了马先生的指示，以及共同的讨论，知道：因为乙是在甲动身后三小时才动身，而得 C 点。又因为乙追了四小时半赶上甲，这时甲正走到 E ，而得 E 点，连结 CE ，就得所求的线。再看每过一小时，横线对应增加5，所以知道乙每小时行五里。这真是马先生说的趣味横生了。

不但如此，图上明明白白地指示出来：甲七小时半走的路程是二十二里半，乙四小时半走的也正是这么多，所以很容易使我们想出了这题的算法。

3 ^里 ×（3＋4.5）÷4.5＝22.5 ^里 ÷4.5＝5 ^里 ——乙每小时走的

但是马先生的主要目的不在讨论这题的算法上，当我们得到了答案和算法后，他又写出下面的例题。

例三： 甲每小时行三里，动身后三小时，乙去追他，追到二十二里半的地方追上，求乙的速度。

跟着例二来解这个问题，真是十分轻松，不必费心思索，就知道应当这样算：

22.5 ^里 ÷3＝7.5 ^小时 ——甲走的时间

22.5 ^里 ÷（7.5－3）＝22.5 ^里 －4.5＝5 ^里 ——乙每小时走的

原来，图是大家都懂得画了，而且一连这三个例题的图，简直就是一个，只是画的方法或说明不同。甲走了七小时半而比乙多走三小时，乙走了四小时半，而路程是二十二里半，上面的计算法，由图上看来，真是“了如指掌”呵！我今天才深深地感到对算学有这么浓厚的兴趣！

马先生在大家算完这题以后发表他的议论：

“由这三个例子来看，一个图可以表示几个不同的题，只是着眼点和说明不同。这不是活鲜鲜的，很有趣味吗？原来例二、例三都是从例一转化来的，虽然面孔不同，根源的关系却没有两样。这类问题的骨干只是距离、时间、速度的关系，你们当然已经明白：

“ 速度×时间＝距离 。

“由此演化出来，便得：

“ 速度＝距离÷时间 ，

“ 时间＝距离÷速度。 ”

我们说：

“赵阿毛的儿子是赵小毛，老婆是赵大嫂子。

“赵大嫂子的老公是赵阿毛，儿子是赵小毛。

“赵小毛的妈妈是赵大嫂子，爸爸是赵阿毛。”

这三句话，表面上看起来自然不一样，立足点也不同，从文学上说，所给我们的意味、语感也不同，但表出的根本关系却只有一个，画个图便是：

照这种情形，将例一先分析一下，我们可以得出下面各元素以及元素间的关系：

1.甲每小时行三里。

2.甲先走三小时。

3.甲共走七小时半。

4.甲、乙都共走二十二里半。

5.乙每小时行五里。

6.乙共走四小时半。

7.甲每小时所行的里数（速度）乘所走的时间，得甲走的距离。

8.乙每小时所行的里数（速度）乘所走的时间，得乙走的距离。

9.甲、乙所走的总距离相等。

10.甲、乙每小时所行的里数相差二。

11.甲、乙所走的小时数相差三。

1到6是这题所含的六个元素。一般地说，只要知道其中三个，便可将其余的三个求出来。如例一，知道的是1、5、2，而求得的是6，但由2、6便可得3，由5、6就可得4。例二，知道的是1、2、6，而求得5，由2、6当然可得3，由6、5便得4。例三，知道的是1、2、4，而求得5，由1、4可得3，由5、4可得6。

不过也有例外，如1、3、4，因为4可以由1、3得出来，所以不能成为一个题。2、3、6只有时间，而且由2、3就可得6，也不能成题。再看4、5、6，由4、5可得6，一样不能成题。

从六个元素中取出三个来做题目，照理可成二十个。除了上面所说的不能成题的三个，以及前面已举出的三个，还有十四个。 这十四个的算法，当然很容易推知，画出图来和前三例子完全一样。为了便于比较、研究，逐一写在后面。

例四： 甲每小时行三里 ¹ ，走了三小时乙才动身 ² ，他共走了七小时半 ³ 被乙赶上，求乙的速度。

3 ^里 ×7.5÷（7.5－3）＝5 ^里 ——乙每小时所行的里数

例五： 甲每小时行三里 ¹ ，先动身，乙每小时行五里 ⁵ ，从后追他，只知甲共走了七小时半 ³ ，被乙追上，求甲先动身几小时？

7.5－3 ^里 ×7.5÷5 ^里 ＝3 ^小时 ——甲先动身三小时

例六： 甲每小时行三里 ¹ ，先动身，乙从后面追他，四小时半6追上，而甲共走了七小时半 ³ ，求乙的速度。

3 ^里 ×7.5÷4.5＝5 ^里 ——乙每小时所行的里数

例七： 甲每小时行三里 ¹ ，先动身，乙每小时行五里 ⁵ ，从后面追他，走了二十二里半 ⁴ 追上，求甲先走的时间。

22.5 ^里 ÷3 ^里 －22.5 ^里 ÷5 ^里 ＝7.5－4.5＝3 ^小时 ——甲先走三小时

例八： 甲每小时行三里 ¹ ，先动身，乙追四小时半 ⁶ ，共走二十二里半 ⁴ 追上，求甲先走的时间。

22.5 ^里 ÷3－4.5＝7.5－4.5＝3 ^小时 ——甲先走三小时

例九： 甲每小时行三里 ¹ ，先动身，乙从后面追他，每小时行五里 ⁵ ，四小时半 ⁶ 追上，甲共走了几小时？

5 ^里 ×4.5÷3 ^里 ＝22.5 ^里 ÷3 ^里 ＝7.5 ^小时 ——甲共走七小时半

例十： 甲先走三小时 ² ，乙从后面追他，在距出发地二十二里半 ⁴ 的地方追上，而甲共走了七小时半 ³ ，求乙的速度。

22.5 ^里 ÷（7.5－3）＝22.5 ^里 ÷4.5＝5 ^里 ——乙每小时所行的里数

例十一： 甲先走三小时 ² ，乙从后面追他，每小时行五里 ⁵ ，到甲共走七小时半 ³ 时追上，求甲的速度。

5 ^里 ×（7.5－3）÷7.5＝22.5 ^里 ÷7.5＝3 ^里 ——甲每小时所行的里数

例十二： 乙每小时行五里 ⁵ ，在甲走了三小时的时候 ² 动身追甲，乙共走二十二里半 ⁴ 追上，求甲的速度。

22.5 ^里 ÷（22.5 ^里 ÷5 ^里 ＋3）＝22.5 ^里 ÷7.5＝3 ^里 ——甲每小时所行的里数

例十三： 甲先动身三小时 ² ，乙用四小时半 ⁶ ，走二十二里半路 ⁴ ，追上甲，求甲的速度。

22.5 ^里 ÷（3＋4.5）＝22 ^里 ÷7.5＝3 ^里 ——甲每小时所行的里数

例十四： 甲先动身三小时 ² ，乙每小时行五里 ⁵ ，从后面追他，走四小时半 ⁶ 追上，求甲的速度。

5 ^里 ×4.5÷（3＋4.5）＝22.5 ^里 ÷7.5＝3 ^里 ——甲每小时所行的里数

例十五： 甲七小时半 ³ 走二十二里半 ⁴ ，乙每小时行五里 ⁵ ，在甲动身后若干小时后动身，正好追上甲，求甲先走的时间。

7.5－22.5 ^里 ÷5＝7.5－4.5＝3 ^小时 ——甲先走三小时

例十六： 甲动身后若干小时，乙动身追甲，甲共走七小时半 ³ ，乙共走四小时半 ⁶ ，所走的距离为二十二里半 ⁴ ，求各人的速度。

22.5 ^里 ÷7.5＝3 ^里 ——甲每小时所行的里数

22.5 ^里 ÷4.5＝5 ^里 ——乙每小时所行的里数

例十七： 乙每小时行五里 ⁵ ，在甲动身若干小时后追他，到追上时，甲共走了七小时半 ³ ，乙只走四小时半 ⁶ ，求甲的速度。

5 ^里 ×4.5÷7.5＝22.5 ^里 ÷7.5＝3 ^里 ——甲每小时所行的里数

在这十七个题中，第十六题只是凑数的，严格地说，已不成一个题了。将这些题对照图来看，比较它们的算法，可以知道：将一个题中的己知元素和所求元素对调而组成一个新题，这两题的计算法的更改，正有一定法则。大体说来，总是这样，新题的算法，对被调的元素来说，正是原题算法的还原，加减互变，乘除也互变。

前面每一题都只求一个元素，若将各未知的三元素作一题，实际就成了四十八个。还有，甲每时行三里，先走三小时，就是先走九里，这也可用来代替第二元素，而和其他二元素组成若干题，这样地推究多么活泼、有趣！而且对于研究学问实在是一种很好的训练。

本来无论什么题，都可以下这么一番功夫探究的，但前几次的例子比较简单，变化也就少一些，所以不曾说到。而举一反三，正好是一个练习的机会，所以以后也不再这么不怕麻烦地讲了。

把题目这样探究，学会了一个题的计算法，便可悟到许多关系相同、形式各样的题的算法，实不只“举一反三”，简直要“闻一以知十”，使我觉得无比快乐！我现在才感到算学不是枯燥的。

马先生花费许多精力，教给我们探索题目的方法，时间已过去不少，但他还不辞辛苦地继续讲下去。

例十八： 甲、乙两人在东西相隔十四里的两地，同时相向动身，甲每小时行二里，乙每小时行一里半，两人几时在途中相遇？

这差不多算是我们自己做出来的，马先生只告诉了我们，应当注意两点：第一，甲和乙走的方向相反，所以甲从 C 向 D ，乙就从 A 向 B ， A 、 C 相隔十四里；第二，因为题上所给的数都不大，图上的单位应取大一些——都用二小段当1——图才好看，做算学也需兼顾好看！

由 E 点横看得4，自然就是4小时两人在途中相遇了。

“趣味横生”，横向看去，甲、乙两人每走一小时将近三里半，就是甲、乙速度的和，所以算法也就得出来了：

14 ^里 ÷（2 ^里 ＋1.5 ^里 ）＝14 ^里 ÷3.5 ^里 ＝4 ^小时 ——所求的小时数

这算法，没有一个人不对，算学真是人人能领受的啊！

马先生高兴地提出下面的问题，要我们回答算法，当然，这更不是什么难事！

1.两人相遇的地方，距东、西各几里？

2 ^里 ×4＝8 ^里 ——距东的

1.5 ^里 ×4＝6 ^里 ——距西的

2.甲到了西地，乙还距东地几里？

14 ^里 －1.5 ^里 ×（14 ^里 ÷2 ^里 ）＝14 ^里 －10.5 ^里 ＝3.5 ^里 ——乙距东的

下面的推究，是我和王有道、周学敏依照马先生的前例做的。

例十九： 甲、乙两人在东西相隔十四里的两地，同时相向动身，甲每小时行二里，走了四小时，两人在途中相遇，求乙的速度。

（14 ^里 －2 ^里 ×4）÷4＝6 ^里 ÷4＝1.5 ^里 ——乙每小时行的

例二十： 甲、乙两人在东西相隔十四里的两地，同时相向动身，乙每小时行一里半，走了四小时，两人在途中相遇，求甲的速度。

（14 ^里 －1.5 ^里 ×4）÷4＝8 ^里 ÷4＝2 ^里 ——甲每小时行的

例二十一： 甲、乙两人在东西两地，同时相向动身，甲每小时行二里，乙每小时行一里半，走了四小时，两人在途中相遇，两地相隔几里？

（2 ^里 ＋1.5 ^里 ）×4＝3.5 ^里 ×4＝14 ^里 ——两地相隔的

这个例题所含的元素只有四个，所以只能组成四个形式不同的题，自然比马先生所讲的前一个例子简单得多。不过，我们能够这样穷追不舍，心中确实感到无比愉快！

下面又是马先生所提示的例子。

例二十二： 从宋庄到毛镇有二十里，何畏四小时走到，苏绍武五小时走到，两人同时从宋庄动身，走了三时半，相隔几里？走了多长时间，相隔三里？

马先生说，这个题目的要点，在于正确地指明解法所在。他将表示甲和乙所走的行程、时间的关系的线画出以后，这样问：

“走了三时半，相隔的里数，怎样表示出来？”

“从三时半的那一点画条横线和两直线分别相交于点 F 、 H ， F 、 H 间的距离，三里半，就是所求的。”

“那么，几时相隔三里呢？”

由图上，很清晰地可以看出来：走了三小时，就相隔三里。但怎样由画法求出来，却倒使我们呆住了。

马先生见没人回答，便说：“你们难道没有留意过斜方形（平行四边形）吗？”随即在黑板上画了一个 ABCD 斜方形，接着说：

“你们看图上（图22） AD ， BC 是平行的，而 AB ， DC 以及 AD ， BC 间的横线都是平行的，不但平行而且还一样长。应用这个道理，（图21）过距 O 点三里的一点，画一条线和 OB 平行，它与 OA 交于 E 点。在 E 这点， E 、 D 两点间的距离正好指示三里，而横向看去，却是三小时，这便是解答。”

至于这题的算法，不用说，很简单，马先生大概因此不曾提起，我补在下面：

（20 ^里 ÷4－20 ^里 ÷5）×3.5＝3.5 ^里 ——走了三时半相隔的

3 ^里 ÷（20 ^里 ÷4－20 ^里 ÷5）＝3小时——相隔三里所需走的时间

跟着，马先生所提出的例题更曲折、有趣了。

例二十三： 甲每十分钟走一里，乙每十分钟走一里半。甲动身五十分钟时，乙从甲出发的地点动身去追甲。乙走到六里的地方，想起忘带东西了，马上回到出发处寻找。花费五十分钟找到了东西，加快了速度，每十分钟走二里去追甲。若甲在乙动身转回时，休息过三十分钟，乙在什么地方追上甲？

“先来讨论表示乙所走的行程和时间的线的画法，”马先生说，“这有五点：1.出发的时间比甲迟五十分钟；2.出发后每十分钟行一里半；3.走到六里便回头，速度没有变；4.在出发地停了五十分钟才第二次动身；5.第二次的速度，每十分钟行二里。”

“依第一点，就时间说，应从五十分钟的地方画起，因而得 A 点。从 A 点起依照第二点，每一单位时间——十分钟——一里半的定倍数，画直线到6里的地方，得 AB 。

依第三点，从 B 点折回，照同样的定倍数画线，正好到一百三十分钟的 C 点，得 BC 。

依第四点，虽然时间一分一分地过去，乙却没有离开一步，即五十分钟都停着不动，所以得 CD 。

依第五点，从 D 点起，每单位时间，以二里的定倍数，画直线 DF 。

至于表示甲所走的行程和时间的线，却比较简单，始终是一定的速度前进，只有在乙达到六里 B 点——正是九十分钟——甲达到九里时，他休息了——停着不动——三十分钟，然后继续前进，因而用来表示甲所走的行程和时间的线是 GHIJ 。

两线相交于 E 点，从 E 点往下看得三十里，就是乙在距出发点三十里的地点追上甲。

“从图上观察能够得出算法来吗？”马先生问。

“当然可以的。”没有人回答，他自己说，接着就讲题的计算法。

老实说，这个题从图上看去，就和乙在 D 点所指的时间，用每十分钟二里的速度，从后去追甲一样。但甲这时己走到 K 点，所以乙需追上的里数，就是 DK 所指示的。

倘若知道了 GD 所表示的时间，那么除掉甲在 HI 休息的三十分钟，便是甲从 G 点到 K 点所走的时间，用它去乘甲的速度，得出来的即是 DK 所表示的距离。

图上 GA 是甲先走的时间，五十分钟。

AM ， MC 都是乙以每十分钟行一里半的速度，走了六里所花费的时间，所以都是（6÷1.5）个十分钟。

CD 是乙寻找东西花费的时间——五十分钟。

因此， GD 所表示的时间，也就是乙第二次动身追甲时，甲已经在路上花费的时间，应当是：

GD ＝ CA ＋ AM ×2＋ CD ＝50 ^分 ＋10 ^分 ×（6÷1.5）×2＋50 ^分 ＝180 ^分

但甲在这段时间内，休息过三十分钟，所以，甲在路上走的时间只是：

180 ^分 －30 ^分 ＝150 ^分

而甲的速度是每十分钟一里，因而， DK 所表示的距离是：

1 ^里 ×（150÷10）＝15 ^里

乙从第二次动身到他追上甲所用的时间是：

15 ^里 ÷（2 ^里 －1 ^里 ）＝15——15个10分钟

乙所走的距离是：

2 ^里 ×15＝30 ^里

这题真是曲折，要不是有图对着看，这个算法，我是很难听懂的。

马先生说：“我再用一个例题来作这一课的收场。”

例二十四： 甲、乙两地相隔一万公尺（1公尺=1米），每隔五分钟同时对开一辆电车，电车的速度为每分钟五百公尺。冯立人从甲地乘电车到乙地，在电车中和对面开来的车两次相遇，中间隔几分钟？又从开车至到乙地之间，和对面开来的车相遇几次？

题目写出后，马先生和我们作下面的问答。

“两地相隔一万公尺，电车每分钟行五百公尺，几分钟可走一趟？”

“二十分钟。”

“倘若冯立人所乘的电车是对面刚开到的，那么这辆车是几时从乙地开过来的？”

“前二十分钟。”

“这辆车从乙地开出，再回到乙地共需多长时间？”

“四十分钟。”

“乙地每五分钟开来一辆电车，四十分钟共开来几辆？”

“八辆。”

自然经过这样一番讨论，马先生将图画了出来，还有什么难懂的呢？

由图24，一眼就可得出，冯立人在电车中，和对面开来的电车相遇两次，中间相隔的是两分半钟。

而从开车至到乙地，中间和对面开来的车相遇七次。

算法是这样：

10000 ^公尺 ÷50 ^公尺 ＝20 ^分 ——走一趟的时间

20 ^分 ×2＝40 ^分 ——来回一趟的时间

40 ^分 ÷5 ^分 ＝8——一辆车自己来回一趟，中间乙所开的车数

20 ^分 ÷8＝2.5 ^分 ——和对面开来的车相遇两次，中间相隔的时间

8 ^次 －1 ^次 ＝7 ^次 ——和对面开来的车相遇的次数

“这课到此为止，但我还得拖个尾巴，留个题给你们自己去做。”说完，马先生写出下面的题，匆匆地退出课堂，他额上的汗珠已滚到颊上了。

今天足足在课堂上坐了两个半小时，回到寝室里，觉得很疲倦，但对于马先生出的题，不知为什么，还想继续探究一番，于是决心独自试做。总算“有志者事竟成”，费了二十分钟，居然成功了。但愿经过这次暑假，对于算学能够找到得心应手的方法！

例二十五： 甲、乙两地相隔三英里 ，电车每小时行十八英里，从上午五时起，每十五分钟，两地各开车一辆。阿土上午5：01从甲地电车站，顺着电车轨道步行，于6：05到乙地车站。阿土在路上碰到往来的电车共几次？第一次是在什么时间和什么地点？

答案：

阿土共碰到往来电车八次。

第一次约在上午五时八分半多。

第一次离甲地百分之三十六英里。