第四章
就讲和差算吧

这种方法比较具体而且确定，所以用来解决问题比较便当。由它虽有时不能直接得出算术的计算法来，但一个题已有了答案总比较易于推敲。

例一： 大小两数的和是十七，差是五，求两数。

马先生侧着身子在黑板上写了这么一道题，转过来对着听众，两眼向大家扫视了一遍。

“周学敏，这道题你会算了吗？”周学敏也是一个对学习算学感到困难的学生。

周学敏站起来，回答道：“这和前面的例子是一样的。”

“不错，是一样的，你试将图画出来看看。”

周学敏很规矩地走上讲台，迅速在黑板上将图画了出来。

马先生看了看，问：“得数是多少？”

“大数十一，小数六。”

虽然周学敏得出了这个正确的答案，但他好像不是很满意，回到座位上，两眼迟疑地望着马先生。

马先生觉察到了，问：“你还放心不下什么？”

周学敏立刻回答道：“这样画法是懂得了，但是这个题的算法还是不明白。”

马先生点了点头说：“这个问题，很有意思。不过你们应当知道，这只是算法的一种，因为它比较具体而且可以依据一定的法则，所以很有价值。由这种方法计算出来以后，再仔细地观察、推究算术中的计算法，有时便可得出来。”

如图， OA 是两数的和， OC 是两数的差， CA 便是两数的和减去两数的差， CF 恰是小数，又是 CA 的一半。因此就本题说，便得出：

OF 既是大数， FA 又等于 CF ，若在 FA 上加上 OC ，就是图中的 FH ，那么 FH 也是大数，所以 OH 是大数的二倍。由此，又可得下面的算法：

记好了 OA 是两数的和， OC 是两数的差，由这计算，还可得出这类题的一般的公式来：

（和＋差）÷2＝大数，大数－差＝小数；

或

（和－差）÷2＝小数，小数+差＝大数。

例二： 大小两数的和为二十，小数除大数得四，大小两数各是多少？

这道题的两个条件是：（1）两数的和为二十，这便是和一定的关系；（2）小数除大数得四，换句话说，便是大数是小数的四倍——倍数一定的关系。由（1）得图中的 AB ，由（2）得图中的 OD 。 AB 和 OD 交于 E 点。

由 E 点横看得16，竖看得4。大数16，小数4，就是所求的解答。

“你们试由图上观察，发现本题的计算法，和计算这类题的公式。”马先生一边画图，一边说。

大家都睁着双眼盯着黑板，还算周学敏勇敢：“ OA 是两数的和， OF 是大数， FA 是小数。”

“好！ FA 是小数。”马先生好像对周学敏的这个发现感到惊异，“那么， OA 里一共有几个小数？”

“5个。”周学敏。

“5个？从哪里来的？”马先生有意地问。

“ OF 是大数，大数是小数的4倍。 FA 是小数， OA 等于 OF 加上 FA 。4加1是5，所以有5个小数。”王有道。

“那么，本题应当怎样计算？”马先生。

“用5去除20得4，是小数；用4去乘4得16，是大数。”我回答。

马先生静默了一会儿，提起笔在黑板上一边写，一边说：“要这样，在理论上才算完全。”

20÷（4＋1）＝4——小数

4×4＝16——大数

接着又问：“公式呢？”

大家差不多一齐说：“和÷（倍数＋1）＝小数，小数×倍数＝大数。”

例三： 大小两数的差是六，大数是小数的三倍，求两数。

马先生将题目写出以后，一声不响地随即将图画出，问：

“大数是多少？”

“9。”大家齐声回答。

“小数呢？”

“3。”也是众人一齐回答。“

在图上， OA 是什么？”

“两数的差。”周学敏。

“ OF 和 AF 呢？”

“ OF 是大数， AF 是小数。”我抢着说。

“ OA 中有几个小数？”

“3减1个。”王有道表示不甘示弱地争着回答。

“周学敏，这题的算法怎样？”

“6÷（3－1）＝6÷2＝3——小数，3×3＝9——大数。”

“李大成，计算这类题的公式呢？”马先生表示默许以后说。

“差÷（倍数－1）＝小数，小数×倍数＝大数。”

例四： 周敏和李成分三十二个铜板，周敏得的比李成得的三倍少八个，各得几个？

马先生在黑板上写完这道题目，板起脸望着我们，大家不禁哄堂大笑，但不久就静默下来，望着他。

马先生：“这回，老文章有点儿难套用了，是不是？第一个条件两人分三十二个铜板，这是‘和一定的关系’，这条线自然容易画。第二个条件却是含有倍数和差，困难就在这里。王有道，表示这第二个条件的线怎样画法？”

王有道受窘了，紧紧地闭着双眼思索，右手的食指不停地在桌上画来画去。

马先生：“西洋镜凿穿了，原是不值钱的。只要想想昨天讲过的三个例子的画线法，本质上毫无分别。现在无妨先来解决这样一个问题，‘甲数比乙数的二倍多三’，怎样用线表示出来？

“在昨天我们讲最后三个例子的时候，每图都是先找出 A ， B 两点来，再连结它们成一条直线，现在仍旧可以依样画葫芦。

“用横线表乙数，纵线表甲数。

“甲比乙的二倍多三，若乙是0，甲就是3，因而得 A 点。若乙是1，甲就是5，因而得 B 点。

“现在从 AB 上取任意一点，比如 C 点，横看得11，竖看得4，不是正合条件吗？

“若将表示小数的横线移到3 x ，对于3 x 和3 y 来说， AB 不是正好表示两数定倍数的关系吗？

“明白了吗？”马先生很庄重地问。

大家只以沉默表示已经明白。接着，马先生又问：

“那么，表示‘周敏得的比李成得的三倍少八个’，这条线怎么画？周学敏来画画看。”大家又笑一阵。周学敏在黑板上画成下图：

“由这图看来，李成一个钱不得的时候，周敏得多少？”马先生。

“8个。”周学敏。

“李成得1个呢？”

“11个。”有一个同学回答。

“那岂不是文不对题吗？”这一来大家又呆住了。

毕竟王有道的算学好，他说：“题目上是‘比三倍少八’，不能这样画。”

“照你的意见，应当怎么画？”马先生问王有道。

“我不知道怎样表示‘少’。”王有道。

“不错，这一点儿需要特别注意。现在大家想，李成得三个的时候，周敏得几个？”

“1个。”

“李成得四个的时候呢？”“4个。”

“这样 A 、 B 两点都得出来了，连结 AB ，对不对？”

“对——”大家露出有点儿乐得忘形的神气，拖长了声音这样回答，简直和小学三、四年级的学生一般，惹得马先生也笑了。

“再来变一变戏法，将 AB 和 OY 都向相反方向延长，得交点 E 。 OE 是多少？”

“8。”

“这就是‘少’的表出法，现在归到本题。”马先生接着画出了图16。

“各人得多少？”

“周敏二十二个，李成十个。”周学敏。

“算法呢？”

“（32＋8）÷（3＋1）＝40÷4＝10——李成得的数。

10×3－8＝30－8＝22——周敏得的数。”我说。

“公式是什么？”

好几个人回答：

“（总数＋少数）÷（倍数＋1）＝小数，小数×倍数－少数＝大数。”

例五： 两数的和是十七，大数的三倍与小数的五倍的和是六十三，求两数。

“我用这个题来结束这第四段。你们能用画图的方法求出答案来吗？各人都自己算算看。”马先生写完了题这么说。

跟着，没有一个人不用铅笔、三角板在方格纸上画。方格纸是马先生预先叫大家准备的。这是很奇怪的事，没有一个人不比平常上课用心。同样都是学习，为什么有人强迫着，反而不免想偷懒；没有人强迫，比较自由了，倒一齐用心起来。这真是一个谜。

和小学生交语文作业给先生看，期望着先生说一声“好”，便回到座位上誊正一般，大家先后画好了拿给马先生看。这也是奇迹，八九个人全没有错，而且画完的时间相差也不过两分钟。这使马先生感到愉快，从他脸上的表情就可以看出来。不用说，各人的图，除了线有粗细以外，全是一样，简直好像印板印的一样。

各人回到座位上坐下来，静候马先生讲解。他却不讲什么，突然问王有道：“王有道，这道题用算术的方法怎样计算？你来给我代课，讲给大家听。”马先生说完了就走下讲台，让王有道去做临时先生。

王有道虽然有点儿腼腆，但最终还是拖着脚上了讲台，拿着粉笔，硬做起先生来。

“两数的和是十七，换句话说，就是：大数的一倍与小数的一倍的和是十七，所以用三去乘十七，得出来的便是：大数的三倍与小数的三倍的和。

“题目上第二个条件是大数的三倍与小数的五倍的和是六十三，所以若从六十三里面减去三乘十七，剩下来的数里，只有‘五减去三’个小数了。”王有道很神气地说完这几句话后，便默默地在黑板上写出下面的式子，写完低着头走下讲台。

（63－17×3）÷（5－3）＝12÷2＝6——小数

17－6＝11——大数

马先生接着上了讲台：“这个算法，你们大概都懂得了吧？我想你们依了前几个例子的样儿，一定要问：‘这个算法怎样从图上可以观察得出来呢？’这个问题却把我难住了。我只好回答你们，这是没有法子的。你们已学过了一点代数，知道用方程式来解算术中的四则问题。有些题目，也可以由方程式计算，找出算术上的算法，并且对于那算法加以解释。但有些题目，要这样做却很勉强，而且有些简直勉强不来。各种方法都有各自的立场，这里不能和前几个例子一样，由图上找出算术中的计算法，也就因为这个。

“不过， 这种方法比较具体而且确定，所以用来解决问题比较便当。虽有时由它不能直接得出算术的计算法来，但一个题已有了答案总比较易于推敲。 对于算术方法的思索，这也是一种好处。

“这一课就这样完结吧。” mdrazDB0vnqBoEEcJhM7cfvHNd3BYXACr4BIioDwwTT7ALE5RIMZWaqw4XtFqA7V