(1)外层每边多少人?
(2)总数多少人?
(3)从外向里第二层每边多少人?
(4)从外向里第三层每边多少人?
(5)中央多少人?
(6)每相邻的两层每边依次少多少人?
“这些就是方阵的秘诀。”马先生含笑说。
这类题,也是可照题画图来实际观察的。马先生说为了彻底明白它的要点,各人先画一个图来观察下面的各项:
图65
(1)外层每边多少人?(7)
(2)总数多少人?(7×7)
(3)从外向里第二层每边多少人?(5)
(4)从外向里第三层每边多少人?(3)
(5)中央多少人?(1)
(6)每相邻的两层每边依次少多少人?(2)
“这些就是方阵的秘诀。”马先生含笑说。
例一: 三层中空方层,外层每边11人,共有多少人?
除了上面的秘诀,马先生又说:“这正用得着兵书上的话,‘虚者实之,实者虚之’了。”
“先来‘虚者实之’,看共有多少人?”马先生问。
“十一乘十一,121人。”周学敏回答。
“好!那么,再来‘实者虚之’。外面三层,里面剩的顶外层是全方阵的第几层?”
“第四层。”也是周学敏回答。
“第四层每边是多少人?”
“第二层少2人,第三层少4人,第四层少6人,是5人。”王有道。
“计算各层每边的人数有一般的法则吗?”
“二层少一个2人,三层少两个2人,四层少三个2人,所以从外层数起,第某层每边的人数是:
“外层每边的人数-2人×(层序数-1)。”
“本题按照实心算,除去外边的三层,还有多少人?”
“五五二十五。”我回答。
这样一来,谁都会算了。
例二: 兵一队,排成方阵,多49人,若纵横各加一行,又差38人,原有兵多少?
图66
马先生首先提出这样一个问题:
“纵横各加一行,照原来外层每边的人数说,应当加多少人?”
“两倍外层的人数。”某君回答。
“你这是空想的,不是实际观察得来的。”马先生加以批评。
对于这批评,某君不服气,他用铅笔在纸上画来看,才明白了“还需加上一个人”。
“本题,每边加一行共加多少人?”马先生问。
“原来多的49人加上后来差的38人,共87人。”周学敏。
“那么,原来的方阵外层每边几个人?”
“87减去1——角落上的,再折半,得43人。”周学敏。
马先生指定我将式子列出,我只好在黑板上去写,还好,没有错。
[(49+38-1)÷2]×[(49+38-1)÷2]+49=1898
例三: 1296人排成12层的中空方阵,外层每边有几人?
图67
观察!观察!马先生又指导我们观察了!所要观察的是,每边各层都按照外层的人数算,是怎么一回事!
清清楚楚地, AEFD 、 BCHG ,横看每排的人数都和外层每边的人数相同。换句话说,全部的人数,便是层数乘外层每边的人数。而竖着看, ABJI 和 CDKL 也是一样。这和本题有什么关系呢?我想了许久,看了又看,还是觉得莫名其妙!
后来,马先生才问:“依照这种情形,我们算成总共的人数是四个 AEFD 的人数行不行?”自然不行,算了两个 AEFD 已只剩两个 EGPM 了。所以若要算成四个,必须加上四个 AEMI ,这是大家讨论的结果。至于 AEMI 的人数,就是层数乘层数。这一来,算法也就明白了。
例四: 有兵一队,正好排成方阵。后来减少12排,每排正好添上30人,这队兵是多少人?
图68
越来越糟,我简直是坠入迷魂阵了!
马先生在黑板上画出这一个图来,便一句话也不说,只是静悄悄地看着我们。自然!这是让我们自己思索,但是从哪儿下手呢?
看了又看,想了又想,我只得到了这几点:
(1) ABCD 是原来的人数。
(2) MBEF 也是原来的人数。
(3) AMGD 是原来12排的人数。
(4) GCEF 也是原来12排的人数,还可以看成是30乘“原来每排人数减去12”的人数。
(5) DGFH 的人数是12乘30。
完了,我所能想到的,就只有这几点,但是它们有什么关系呢?
无论怎样我也想不出什么了!
周学敏还是值得我佩服的,在我百思不得其解的时候,他已算了出来。马先生就叫他讲给我们听。最初他所讲的,原只是我已想到的五点。接着,他便说明下去。
(6)因为 AMGD 和 GCEF 的人数一样,所以各加上 DGFH ,人数也是一样,就是 A M FH 和 DCEH 的人数相等。
(7) AMFH 的人数是“原来每排人数加30”的12倍,也就是原来每排的人数的12倍加上12乘30人。
(8) DCEH 的人数却是30乘原来每排的人数,也就是原来每排人数的30倍。
(9)由此可见,原来每排人数的30倍与它的12倍相差的是12乘30人。
(10)所以,原来每排人数是30×12÷(30-12),而全部的人数是:
[30×12÷(30-12)]×[30×12÷(30-12)]=400
可不是吗?400人排成方阵,恰好每排20人,一共20排,减少12排,便只剩8排,而减去的人数一共是240,平均添在8排上,每排正好加30人。为什么他会转这么一个弯儿,我却不会呢?
我真是又羡慕,又嫉妒啊!